义务教育教科书

九年级

上册

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义务教育教科书

九年级

上册

人民教育出版社课程教材研究所编著

·北京·

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

顾 问：林群田刚
主 编：王长平
执行主编：李海东
分册主编：王嵘

编写人员（以姓氏笔画为序）：
王飞兵王凯歌刘金英李龙才
张飞玲张劲松张艳娇陈清华

责任编辑：李健
责任设计：王俊宏
责任校对： 李嘉楠
责任印制：

义务教育教科书数学九年级上册
人民教育出版社课程教材研究所编著

出 版
（北京市海淀区中关村南大街17号院1号楼邮编：100081）
网 址http://www.pep.com.cn

版权所有·侵权必究

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

致同学

亲爱的同学，九年级的数学学习开始了．在本学期，我们将要学习哪些内
容？快来了解一下吧．
对于现实生活和数学中的很多问题，方程是一种解决它们的有效的数学工
具．在方程大家庭中，一元二次方程是其中的重要成员．在“一元二次方程”
中，与一元一次方程内容的学习类似，你将学习一元二次方程的概念、解法，
并运用它解决一些实际问题，提升运算能力，增强模型观念．
函数是刻画现实世界中的变量关系和变化规律的重要工具．我们已经学习
了一次函数，知道可以用它来刻画均匀变化．在“二次函数”和“反比例函
数”中，你将进一步学习两种基本的函数，学习它们的概念、图象和性质，运
用它们描述某些变化规律、解决一些实际问题，进一步提高对函数的认识，增
强模型观念和应用意识．
与平移、轴对称一样，旋转也是一种基本的图形变化．在“旋转”中，你
将类比平移、轴对称的学习，学习旋转的概念、性质和应用，进一步认识中心
对称这种特殊的旋转．运用旋转，再结合平移、轴对称，你能设计出更加丰富
多彩的图案．
圆是一种曲线图形，也是一种基本的几何图形．在“圆”中，你将在小学
的基础上进一步认识圆、探索圆的性质，并运用这些知识去解决一些实际问
题．在“直线与圆的位置关系”中，你还将学习直线与圆这两种基本几何图形
之间的位置关系，并进一步认识三角形与圆、正多边形与圆之间的关系．通过
学习这些内容，你将进一步提高解决图形问题的能力，增强几何直观，提升推
理能力．
此外，综合与实践“高铁列车运行中的数量关系”将带你从函数的视角去
了解风驰电掣的高铁列车；“生活中的优化问题”需要你综合运用数学知识去
解决生活中广泛存在的最值问题，感受数学的应用价值．
数学伴着我们成长，数学伴着我们进步，数学伴着我们成功．让我们扬帆
起航，开启一段新的数学之旅吧！

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目录

第二十五章一元二次方程１
２５．１一元二次方程的概念 ２
２５．２降次———解一元二次方程５
阅读与思考一元二次方程与黄金分割数１８
２５．３实际问题与一元二次方程２０
数学活动　２５
小结　２６

第二十六章二次函数　２９
２６．１二次函数的概念　３０
２６．２二次函数的图象和性质３３
２６．３二次函数与一元二次方程４６
２６．４实际问题与二次函数５１
阅读与思考生活中的抛物线５６
数学活动　５８
小结　５９

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第二十七章反比例函数 ６３
２７．１反比例函数的概念 ６４
２７．２反比例函数的图象和性质６７
２７．３实际问题与反比例函数７４
阅读与思考生活中的反比例函数８２
数学活动　８３
小结　８４

综合与实践高铁列车运行中的数量关系８７

第二十八章旋转
２８．１图形的旋转
阅读与思考全等变换
２８．２中心对称
阅读与思考旋转对称图形 １０６
信息技术应用探索反比例函数图象的对称性１０７
数学活动
小结

９１
９２
９７
９９
１０８
１０９

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第二十九章圆
２９．１圆的有关概念
探究与发现等宽曲线
２９．２圆的有关性质
２９．３弧长和扇形面积
数学活动
小结

１１３
１１４
１２１
１２３
１３４
１４０
１４２

第三十章直线与圆的位置关系１４７
３０．１直线与圆
探究与发现圆与圆的位置关系１５６
３０．２三角形的内切圆
３０．３正多边形与圆
图说数学史圆周率的计算 １６６
数学活动
小结

１４８
１５８
１６１
１６８
１６９

综合与实践生活中的优化问题１７３

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第二十五章一元二次方程

方程是现实问题中含有未知数的等量关系的数学表达．我们已经学习过利
用一元一次方程解决现实生活中具有等量关系的问题，下面再来考虑一个更为
复杂的问题．
在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以
下与全身的身长比，可以增加视觉美感．如果某人体雕像全身长为５ｍ，按照
上述比例，雕像腰部以下为多长？
雕像腰部以上的身长犃犆与腰部以下的身长犅犆满足如下等量关系：
犃犆∶犅犆＝犅犆∶５，即犅犆２＝５犃犆．
设雕像腰部以下的身长犅犆为狓ｍ，根据上述等量关系，就可以列出方程
狓２＝５（５－狓），整理得狓２＋５狓－２５＝０．解这个方程就可以得出雕像腰部以下
的身长．
与一元一次方程相比较，上述方程也只含有一个未知数，但未知数的最高
次数是２，这样的方程就是本章要学习的一元二次方程．在本章中，我们将探
究一元二次方程的解法、根与系数的关系，并运用一元二次方程解决一些实际
问题，增强模型观念．学习本章后，你对方程的认识将会得到进一步提升．

A

5-x

C　2
x+5x-25=0

x

B

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２５．１一元二次方程的概念

章引言中的方程
狓２＋５狓－２５＝０ ①
只含有一个未知数狓，狓的最高次数是２．像这样的方程有丰
富的背景、广泛的应用，可以帮助我们解决很多实际问题．
看如下一些问题．
问题１如图２５．１１，有一块矩形铁皮，长１００ｃｍ，宽５０ｃｍ．在它的四
角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一
个无盖方盒（图２５．１２）．如果要制作的无盖方盒的底面积为３６００ｃｍ２，那么
矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？

图２５．１１ 图２５．１２
设各角切去的正方形铁皮的边长为狓ｃｍ，则盒底的长为（１００－２狓）ｃｍ，
宽为（５０－２狓）ｃｍ．根据方盒的底面积为３６００ｃｍ２，可列得方程
（１００－２狓）（５０－２狓）＝３６００．
整理并化简，得　方程②中未知数的个
狓２－７５狓＋３５０＝０．②数和最高次数各是多少？
由方程②可以得出各角所切正方形铁皮的边长．
问题２要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比
赛１场）．根据场地和时间等条件，赛程计划安排７天，每天安排４场比赛，组
织者应邀请多少支球队参赛？
设应邀请狓支球队参赛，每支球队要与其为什么需进行１（）场？
他（狓－１）支球队各赛１场，则此次邀请赛共２狓狓－１

需进行１２狓（狓－１）场，所以可列得方程

１狓（狓－１）＝２８．
２
２第二十五章一元二次方程
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整理并化简，得　方程③中未知数的个
狓２－狓－５６＝０．③数和最高次数各是多少？
由方程③可以得出应邀请的球队数．

5

方程①②③有什么共同点？
一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，
未知数的最高次数是２，这样的方程叫作一元二次方程（ｑｕａｄｒａｔｉｃｅｑｕａｔｉｏｎ
ｗｉｔｈｏｎｅｕｎｋｎｏｗｎ）．
一元二次方程的一般形式是
犪狓２＋犫狓＋犮＝０（犪≠０），　为什么规定犪≠０？
其中犪狓２是二次项，犪是二次项系数；犫狓是一次
项，犫是一次项系数；犮是常数项．
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的
解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根．
例将方程３狓（狓－１）＝５（狓＋２）化成一元二次方程的一般形式，并写出
它的二次项系数、一次项系数和常数项．
解：去括号，得
３狓２－３狓＝５狓＋１０．
移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式
３狓２－８狓－１０＝０．
它的二次项系数为３，一次项系数为－８，常数项为－１０．



１．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、
一次项系数和常数项：
（１）５狓２－１＝４狓；　（２）４狓２＝８１；
（３）４狓（狓＋２）＝２５； （４）（３狓－２）（狓＋１）＝５狓－２．
２．根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程
的一般形式：

第二十五章一元二次方程３
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（１）４个完全相同的正方形面积之和是２５，求正方形的边长；
（２）一个矩形的长比宽多２，面积是１００，求矩形的长；
（３）把长为１ｍ的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，
等于较长一段长的平方，求较短一段的长．





１．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项
系数和常数项：

（１）４狓２＋５狓＝８１；

（２）狓（狓＋１２）＝０；

（３）（２狓－３）（狓－１）＝０； （４）（３狓－２）（狓＋１）＝狓（２狓＋１）．
２．根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般
形式：
（１）一个圆的面积是２π，求半径狉；
（２）一个直角三角形的两条直角边的长相差３，面积为９，求较长直角边的
长狓；
（３）一个直角三角形的一条直角边长是另一条直角边长的２倍，斜边长为５，
求较短直角边的长．
３．下列哪些数是一元二次方程狓２＋狓－１２＝０的根？为什么？
－４，－３，－２，－１，０，１，２，３，４．



４．南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一个问题：直田积（矩
形面积）八百六十四步，只云阔不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及
长各几步．根据此问题列方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式．



５．如果２是方程狓２－犮＝０的一个根，求解如下问题：
（１）常数犮是多少？
（２）此方程是否有其他根？如果有，求出这个根．

４第二十五章一元二次方程
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２５．２降次———解一元二次方程

与解一元一次方程类似，解一元二次方程也是把它逐步
转化为“狓＝犿”的形式．与一元一次方程不同，一元二次方
程是二次的，因此解一元二次方程需要“降次”，即把二次
方程转化为一次方程．本节我们研究如何通过“降次”解一
元二次方程．
２５２１配方法
先来看一个简单的一元二次方程
狓２＝４．
根据平方根的意义，得
狓＝±２，
即
狓１＝２，狓２＝－２．
一般地，对于方程
狓２＝狆，
（１）当狆＞０时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根狓１＝槡狆，
狓２＝－槡狆；
（２）当狆＝０时，方程有两个相等的实数根狓１＝狓２＝０；
（３）当狆＜０时，因为对任意实数狓，都有狓２≥０，所以方程无实数根．

/

对照上面解方程狓２＝４的过程，你认为应怎样解方程（狓＋３）２＝５？
在解方程狓２＝４时，由方程狓２＝４得狓＝±２．由此想到：由方程
（狓＋３）２＝５，　①
得
狓＋３＝±槡５，
即
第二十五章一元二次方程５
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狓＋３＝槡５，或狓＋３＝－槡５．　②
于是，方程（狓＋３）２＝５的两个根为
狓１＝－３＋槡５，狓２＝－３－槡５．
在上面的解法中，由方程①得到②，实质上是根据平方根的意义，把一个
一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．这样就把方程①转化为我
们会解的方程了．
例１解下列方程：
（１）４狓２－３＝０；　（２）（狓＋２）２－９＝０．
解：（１）移项，并将二次项系数化为１，得

狓２＝３４．

由此可得
狓＝±槡３，
２
即
狓１＝槡３，狓２＝－槡３．
２ ２
（２）移项，得
（狓＋２）２＝９．
由此可得
狓＋２＝±３，
狓＋２＝３，或狓＋２＝－３，
即
狓１＝１，狓２＝－５．



解下列方程：
（１）狓２－９＝０；　（２）２狓２－８＝０；
（３）９狓２－５＝３；　（４）（狓＋６）２－９＝０；
（５）３（狓－１）２－６＝０； （６）狓２－４狓＋４＝５．

６第二十五章一元二次方程
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解方程（狓＋３）２＝５时，因为它的左边是含有狓的完全平方式，右边是非
负数，所以可以直接降次解方程．对于任意一个一元二次方程，能否都转化为
这种可以直接降次的形式再求解呢？

/

怎样解方程狓２＋６狓＋４＝０？
要把方程狓２＋６狓＋４＝０转化为像（狓＋３）２＝５这种形式的方程，关键是
将方程的左边转化为一个完全平方式．为此，对方程狓２＋６狓＋４＝０移
项，得
狓２＋６狓＝－４．
由犪２＋２犪犫＋犫２＝（犪＋犫）２，将上述方程两边同
２　为什么在方程狓２＋

时加（６２），即９，方程左边就可以配成狓２＋２犿狓＋６狓＝－４的两边加９？加

犿２形式的完全平方式，即　其他数行吗？
狓２＋６狓＋９＝－４＋９．
左边写成完全平方形式，得　配方是为了利用开
（狓＋３）２＝５．　方实现降次，把一个一
解这个方程，得　元二次方程转化成两个
１ ，２　一元一次方程来解．
狓＝－３＋槡５狓＝－３－槡５．
可以验证，－３±槡５是方程狓２＋６狓＋４＝０的两个根．
像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配
方法．
例２解下列方程：
（１）狓２－８狓＋１＝０；（２）２狓２＋１＝３狓；（３）３狓２－６狓＋４＝０．
分析：（１）方程的二次项系数为１，可直接运用配方法．
（２）方程的二次项系数为２，为了便于配方，可把二次项系数化为１．为
此，方程的两边都除以２．
（３）与（２）类似，方程的两边都除以３后再配方．
解：（１）移项，得
狓２－８狓＝－１．
第二十五章一元二次方程７
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

配方，得
狓２－８狓＋４２＝－１＋４２，
（狓－４）２＝１５．
由此可得
狓－４＝±槡１５，
狓１＝４＋槡１５，狓２＝４－槡１５．
（２）移项，得
２狓２－３狓＝－１．
二次项系数化为１，得

狓２－３２狓＝－１２．

配方，得

狓２－３２狓＋（３４）２＝－１２＋（３４）２，
（狓－３４）２＝１１６．

由此可得

狓－３４＝±１４，
狓１＝１，狓２＝１２．

（３）移项，得
３狓２－６狓＝－４．
二次项系数化为１，得

狓２－２狓＝－４３．

配方，得

狓２－２狓＋１２＝－４３＋１２，
（狓－１）２＝－１３．

因为实数的平方不会是负数，所以狓取任何实数时，（狓－１）２都是非负数，
８第二十五章一元二次方程
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

上式都不成立，所以原方程无实数根．
一般地，一元二次方程可以通过配方转化为
（狓＋狀）２＝狆
的形式．
（１）当狆＞０时，方程有两个不相等的实数根
狓１＝－狀＋槡狆，狓２＝－狀－槡狆；
（２）当狆＝０时，方程有两个相等的实数根
狓１＝狓２＝－狀；
（３）当狆＜０时，因为对任意实数狓，都有（狓＋狀）２≥０，所以方程无实
数根．



１．填空：
（１）狓２＋１０狓＋＝（狓＋）２；（２）狓２－１２狓＋＝（狓－）２；

（３）狓２＋５狓＋＝（狓＋）２；（４）狓２－２３狓＋＝（狓－）２．

２．解下列方程：

（１）狓２＋１０狓＋９＝０；

（２）狓２－狓－７４＝０；

（３）３狓２＋６狓－４＝０；　（４）４狓２－６狓－３＝０；
（５）狓２＋４狓－９＝２狓－１１； （６）狓（狓＋４）＝８狓＋４．

２５２２公式法

/

任何一个一元二次方程都可以化成一般形式
犪狓２＋犫狓＋犮＝０（犪≠０）．
能否用配方法得出它的解呢？

第二十五章一元二次方程９
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

我们根据用配方法解一元二次方程的经验解决这个问题．
移项，得
犪狓２＋犫狓＝－犮．
二次项系数化为１，得
狓２＋犫狓＝－犮．
犪犪
配方，得

狓２＋犪犫狓＋（２犫犪）２＝－犪犮＋（２犫犪）２，

即
犫２犫２－４犪犮

（狓＋２犪）＝４犪２．

①

因为犪≠０，所以４犪２＞０．式子犫２－４犪犮的值有以下三种情况：

２

（１）当犫２－４犪犮＞０时，犫－４２犪犮＞０，由①得
４犪
犫槡犫２－４犪犮
狓＋２犪＝±２犪．
方程有两个不相等的实数根
犫＋槡犫２－４犪犮犫－槡犫２－４犪犮

狓１＝－２犪，狓２＝－２犪．

２

（２）当犫２－４犪犮＝０时，犫－４２犪犮＝０，由①可知，方程有两个相等的实
４犪
数根
狓１＝狓２＝－犫

２ ２犪．
（３）当犫２－４犪犮＜０时，犫４－４犪２犪犮＜０，由①可知（狓＋２犫犪）２＜０，而狓取任何
实数都不能使（狓＋２犫犪）２＜０成立，因此方程无实数根．

可以发现，式子犫２－４犪犮可以判别一元二次方程的根的情况，因此把它叫
作一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，
即Δ＝犫２－４犪犮．

１０第二十五章一元二次方程
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3

由上可知，对于方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０（犪≠０），当Δ＞０时，方程有两
个不相等的实数根；当Δ＝０时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜０时，
方程无实数根．
当Δ≥０时，方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０（犪≠０）的实数根可写为

狓＝－犫±槡犫２－４犪犮

２犪
的形式，这个式子叫作一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０的求根公式．
求根公式表达了用配方法解一般形式的一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０的结
果．解一个具体的一元二次方程时，把各系数代入求根公式，可以直接得出方
程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法．
例３用公式法解下列方程：
（１）狓２－４狓－７＝０； （２）２狓２－２槡２狓＋１＝０；
（３）５狓２－３狓＝狓＋１； （４）狓２＋１７＝８狓．
解：（１）因为犪＝１，犫＝－４，犮＝－７，所以
Δ＝犫２－４犪犮＝（－４）２－４×１×（－７）＝４４＞０．确定犪，犫，犮的值
方程有两个不相等的实数根时，要注意它们的符号．
犫±槡犫２－４犪犮（－４）±槡４４

狓＝－２犪＝－２×１＝２±槡１１，

即
狓１＝２＋槡１１，狓２＝２－槡１１．
（２）因为犪＝２，犫＝－２槡２，犮＝１，所以
Δ＝犫２－４犪犮＝（－２槡２）２－４×２×１＝０．
方程有两个相等的实数根

狓１＝狓２＝－２犫犪＝－－２２×２槡２＝槡２２．

（３）方程化为５狓２－４狓－１＝０，此时犪＝５，犫＝－４，犮＝－１，所以
Δ＝犫２－４犪犮＝（－４）２－４×５×（－１）＝３６＞０．
方程有两个不相等的实数根
第二十五章一元二次方程１１
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

犫±槡犫２－４犪犮（－４）±槡３６

狓＝－２犪＝－２×５＝４±６１０，

即

狓１＝１，狓２＝－１５．

（４）方程化为狓２－８狓＋１７＝０，此时犪＝１，犫＝－８，犮＝１７，所以
Δ＝犫２－４犪犮＝（－８）２－４×１×１７＝－４＜０．
方程无实数根．
回到本章引言中列出的一元二次方程
狓２＋５狓－２５＝０．
用公式法解这个方程，得
槡５２－４×１×（－２５） 槡５

狓＝－５±２×１＝－５±５２，

即

狓１＝－５２＋５２槡５，狓２＝－５２－５２槡５．

如果结果保留小数点后两位，那么狓１≈３．０９，狓２≈－８．０９．
关于这两个根，只有狓１≈３．０９符合问题的实际意义，因此雕像腰部以下
身长约为３．０９ｍ．



用公式法解下列方程：

（１）狓２＋狓－６＝０；

（２）狓２－槡３狓－１４＝０；

（３）３狓２－６狓＋４＝０；
（５）狓２＋４狓＋８＝４狓＋１１；

（４）２狓２－３狓＝０；
（６）狓（２狓－４）＝５－８狓．

２５２３因式分解法　２
一元二次方程一般可以用公式法来解，但对于像狓＝４这样的方程，根据
平方根的意义求解较为简便．下面，我们继续讨论对于解某些一元二次方程较
为简便的方法．先看下面的问题．
１２第二十五章一元二次方程
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

问题根据物理学规律，如果把一个物体从地
面以１０ｍ／ｓ的速度竖直上抛，那么物体经过狓ｓ
后的离地高度（单位：ｍ）约为
１０狓－５狓２．
根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？
设物体经过狓ｓ落回地面，这时它离地面的高
度为０ｍ，即
１０狓－５狓２＝０．
将方程的左边分解因式，得
狓（１０－５狓）＝０．
这个方程的左边是两个一次因式的乘积，右
边是０．我们知道，如果两个因式的积为０，那么 如果犪犫＝０，那么
这两个因式中至少有一个等于０；反之，如果两个犪＝０，或犫＝０．
因式中任何一个为０，那么它们的积也等于０．
所以
狓＝０，或１０－５狓＝０．
因此，方程１０狓－５狓２＝０的两个根是
狓１＝０，狓２＝２．
对于这两个根，狓１＝０表示物体抛离地面的时刻，即在０ｓ时物体被抛出，
此刻物体的高度是０ｍ；而狓２＝２表示物体在抛离地面２ｓ时落回地面．

5

解方程１０狓－５狓２＝０时，二次方程是如何降为一次的？
可以发现，在上述解法中，由１０狓－５狓２＝０到狓＝０或１０－５狓＝０的过
程，不是用开平方降次，而是先分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于
０的形式，再使这两个一次式分别等于０，从而实现降次．这种解一元二次方
程的方法叫作因式分解法．
例４解下列方程：

（１）狓（狓－２）＋狓－２＝０； （２）５狓２－２狓－１４＝狓２－２狓＋３４．

第二十五章一元二次方程１３
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

解：（１）左边分解因式，得
（狓－２）（狓＋１）＝０．
于是
狓－２＝０，或狓＋１＝０，
即
狓１＝２，狓２＝－１．
（２）移项、合并同类项，得
４狓２－１＝０．
左边分解因式，得
（２狓＋１）（２狓－１）＝０．
于是
２狓＋１＝０，或２狓－１＝０，
即

狓１＝－１２，狓２＝１２．

5

学习了配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程的方法后，
你能说说它们各自的特点吗？
配方法要先配方，再开方，进而降次；通过配方法可以推出求根公式，公
式法直接利用求根公式解方程；因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式
相乘，另一边为０，再分别使各一次因式等于０．
配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法只在解某些一元二
次方程时比较简便．总之，解一元二次方程的基本思路是：先将二次方程化为
两个一次方程，即降次，再分别解两个一次方程．



１．解下列方程：
（１）狓２＋狓＝０；
（３）３狓２－６狓＝－３；

（２）狓２－２槡３狓＝０；
（４）４狓２－８１＝０；

１４第二十五章一元二次方程
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

（５）３狓（２狓＋１）＝４狓＋２；
（６）（狓－４）２＝（５－２狓）２．
２．如图，把小圆形场地的半径增加５ｍ，得到大圆形
场地，大圆形场地与小圆形场地的面积比为９∶４．
求小圆形场地的半径．　（第２题）

２５２４一元二次方程的根与系数的关系２
由一元二次方程的解法可知，当Δ≥０时，方程犪狓＋犫狓＋犮＝０（犪≠０）
－犫±槡犫２－４犪犮
的根可由系数犪，犫，犮确定．由求根公式狓＝２犪可知，通过对系
数犪，犫，犮进行有限次加、减、乘、除、乘方、开方等运算，可以得到方程的
根．求根公式反映了一元二次方程的根与系数的关系，这种关系还有其他表现
形式吗？

5

－犫±槡犫２－４犪犮
观察求根公式狓＝２犪，它有什么特点？由此考虑一元二
次方程的两个根与系数的关系，你能获得什么启发？
整体上看，两个根分别是“犿＋狀”和“犿－狀”的形式，而且式子“狀”
中含有根号．这种形式的式子相加可以消去“狀”，相乘可以去掉“狀”中的根
号，从而使形式简洁．
因为
犫＋槡犫２－４犪犮犫－槡犫２－４犪犮

狓１＝－２犪，狓２＝－２犪，

所以
犫＋槡犫２－４犪犮犫－槡犫２－４犪犮犫犫

狓１＋狓２＝－２犪＋－２犪＝－２２犪＝－犪，

犫＋槡犫２－４犪犮－犫－槡犫２－４犪犮（－犫）２－（犫２－４犪犮）犮

狓１狓２＝－２犪·２犪＝４犪２ ＝犪．

第二十五章一元二次方程１５
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

由此得出，一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０的两个
根狓１，狓２与其系数犪，犫，犮有如下关系：　这种表示方式中，
１２犫，１２犮　交换狓１，狓２的位置，
狓＋狓＝－犪狓狓＝犪．　不影响它们的和、积的
上述关系还可以用如下方法得出．　值．随着后续的学习，
我们知道，如果一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０研究一元狀次方程的根
的左边可以分解因式为犪（狓－狓１）（狓－狓２），那么方与系数的关系时，我们
程２　的两个根为１和２反过来，会认识到这种表示更具
犪狓＋犫狓＋犮＝０ 狓狓．　一般性．
如果一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０的两个根为狓１
和狓２，那么
犪狓２＋犫狓＋犮＝犪（狓－狓１）（狓－狓２），
即
犪狓２＋犫狓＋犮＝犪狓２－犪（狓１＋狓２）狓＋犪狓１狓２．
由此可得
－犪（狓１＋狓２）＝犫，犪狓１狓２＝犮．
因此
狓１＋狓２＝－犫，狓１狓２＝犮．
犪 犪
例５根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根狓１，狓２的
和与积：
（１）狓２－６狓－１５＝０；（２）３狓２＋７狓－９＝０；（３）５狓－１＝４狓２．
解：（１）狓１＋狓２＝－（－６）＝６，狓１狓２＝－１５．

（２）狓１＋狓２＝－７３，狓１狓２＝－９３＝－３．
（３）方程化为４狓２－５狓＋１＝０，所以狓１＋狓２＝－－５４＝５４，狓１狓２＝１４．



不解方程，求下列方程两个根狓１，狓２的和与积：
（１）狓２－３狓＝１５；
（３）５狓２－１＝４狓２－狓；

（２）３狓２＋２＝１－４狓；
（４）２狓２－狓＋２＝３狓＋１．

１６第二十五章一元二次方程
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用





１．解下列方程：
（１）３６狓２－１＝０；　（２）４狓２＝４９；
（３）（狓＋５）２＝２５；　（４）狓２＋２狓＋１＝４．
２．填空：
（１）狓２＋６狓＋＝（狓＋）２；（２）狓２－狓＋＝（狓－）２；

（３）４狓２＋４狓＋＝（２狓＋）２；（４）狓２－２５狓＋＝（狓－）２．

３．用配方法解下列方程：

（１）狓２＋１０狓＋１６＝０；

（２）狓２－狓－３４＝０；

（３）３狓２＋６狓－５＝０；　（４）４狓２－狓－９＝０．
４．利用一元二次方程根的判别式判断下列方程的根的情况：

（１）２狓２－３狓－３２＝０；

（２）１６狓２－２４狓＋９＝０；

（３）狓２－４槡２狓＋９＝０；　（４）３狓２＋１０＝２狓２＋８狓．
５．用公式法解下列方程：

（１）狓２＋狓－１２＝０；

（２）狓２－槡２狓－１４＝０；

（３）狓（狓－４）＝２－８狓；　（４）狓２＋２槡５狓＋１０＝０．
６．用因式分解法解下列方程：
（１）３狓２－１２狓＝－１２；　（２）４狓２－１４４＝０；
（３）３狓（狓－１）＝２（狓－１）； （４）（２狓－１）２＝（３－狓）２．
７．求下列方程两个根狓１，狓２的和与积：
（１）狓２－３狓＋２＝１０；　（２）５狓２＋狓－５＝０；
（３）狓２＋狓＝５狓＋６；　（４）７狓２－５＝狓＋８．



８．一个直角三角形的两条直角边的长相差５，面积是７，求斜边的长．
９．用适当方法解下列方程：
（１）３狓２＝５４；　（２）狓２－４狓＝８；

第二十五章一元二次方程１７
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（３）３狓２－１＝２狓；　（４）狓２－６狓＋９＝（５－２狓）２．
１０．无论狆取何值，方程（狓－３）（狓－２）－狆２＝０总有两个不相等的实数根吗？
如果有，求出这两个根；如果没有，说明理由．



１１．已知方程２狓２－６狓＋３＝０的两个根为狓１，狓２，求下列式子的值：
（１）１＋１；　（２）狓１２＋狓２２．
狓１狓２
１２．（１）因为狓３－８狓２＋１９狓－１２＝（狓－１）（狓－３）（狓－４），所以１，３，４是一元三
次方程狓３－８狓２＋１９狓－１２＝０的三个根，计算１＋３＋４，１×３＋３×４＋
４×１，１×３×４的值，它们与一元三次方程狓３－８狓２＋１９狓－１２＝０的系数
有什么关系？
（２）如果一元三次方程犪狓３＋犫狓２＋犮狓＋犱＝０有三个实数根狓１，狓２，狓３，那
么犪狓３＋犫狓２＋犮狓＋犱可以化为犪（狓－狓１）（狓－狓２）（狓－狓３）．由此你能发
现狓１，狓２，狓３与一元三次方程的系数犪，犫，犮，犱之间的关系吗？

 

一元二次方程与黄金分割数
本章引言中有一个关于人体雕像身长比
例的问题，可以将其一般化：如图１，在线段A 1-x　x　B

犃犅上找一个点犆，它把线段犃犅分为不相等
的两段犃犆和犆犅，其中犃犆＜犆犅，且使犃犆∶　图１
犆犅＝犆犅∶犃犅．
为简单起见，设犃犅＝１，犆犅＝狓，则犃犆＝
１－狓，代入犃犆∶犆犅＝犆犅∶犃犅，得（１－狓）∶狓＝ 一些有关线段成比

狓∶１，即狓２＋狓－１＝０．解方程，得狓＝－１±２槡５．例的问题，往往可转化

为利用一元二次方程求
根据问题的实际意义，取狓＝槡５－１≈０．６１８，解的问题，再通过求解
２　方程，获得问题的答案
这个值就是上面问题中所求长度的比．　．
人们把槡５－１这个数叫作黄金分割数．如果
２

１８第二十五章一元二次方程
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

把一条线段分为两部分，使其中较短一段与较长一段的长A
度比是黄金分割数，那么较长一段与整个线段的长度比也B N M E
是黄金分割数．
黄金分割数在很多优美的图案中都有体现．如在常见的
正五角星（图２）中存在黄金分割数．随着后面“相似”内 C　D
容的学习，通过解一元二次方程，可以证明犕犖＝犅犖＝ 图２
犖犅犅犕
犅犕＝槡５－１．再如，观察鹦鹉螺外壳的截面（图３），可以看出其轮廓形如黄金
犅犈２
螺线（图４），而黄金螺线恰恰是通过黄金分割数得到的．

图３　图４
长期以来，很多人认为黄金分割数是一个很特别的数．早在古希腊时期，《原
本》中就有关于“内外比”的记载，即我们所说的黄金分割数．在古希腊以及文艺
复兴时期的许多艺术设计中，都能发现黄金分割数的“身影”．因此，黄金分割数也
常被视作一种数学眼光下的美的标准．例如，一些名画和雕塑中人的腰部以上与以
下身长之比大都接近黄金分割数，就可以增加美感．
优选法中有一种０．６１８法应用了黄金分割
数．优选法是一种具有广泛应用价值的数学方
法，著名数学家华罗庚曾为普及它作出重要贡
献．１９８５年６月１２日，华罗庚去世前几小时，
仍在进行题为《理论数学及其应用》的学术报
告（图５），报告主要内容即优选法．华罗庚曾
说过，他要工作到人生的最后一刻．他践行了自
己的诺言．　图５
同学们可以查阅资料，进一步了解黄金
分割数及其应用．

第二十五章一元二次方程１９
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２５．３实际问题与一元二次方程

同一元一次方程、二元一次方程（组）一样，一元二次
方程也是刻画某些问题中等量关系的数学模型，运用一元二
次方程可以解决很多问题．
例１是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样
的三角形有多少个？
解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为狓，狓＋１，狓＋２，其中狓
为正整数．
由勾股定理，得
狓２＋（狓＋１）２＝（狓＋２）２．
解方程，得
狓１＝３，狓２＝－１（不符合题意，舍去）．
因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长
分别为３，４，５．
例２用一根长为４０ｍ的细绳，能否围成一个面积为９６ｍ２的矩形区域？
如果能围成，这样的矩形是否唯一？
分析：假设细绳能围成面积为９６ｍ２的矩形区域，则矩形的周长就是细绳
的长度．设矩形一边长为狓ｍ，由周长为４０ｍ，可用含狓的式子表示出该边的
邻边长，再利用面积列方程求解．
解：设矩形的一边长为狓ｍ，由矩形的周长为４０ｍ，可得此边的邻边长
为（２０－狓）ｍ；再由矩形的面积为９６ｍ２，得
狓（２０－狓）＝９６．
解方程，得
狓１＝１２，狓２＝８．　方程有两个根，是
因此，用一根长为４０ｍ的细绳可以围成面积否表示可以围成两个满
为９６ｍ２的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边足条件的矩形区域？
长分别为８ｍ，１２ｍ．

２０第二十五章一元二次方程
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5

对于例２中的问题，设矩形的两邻边长的方法有多种．例如：
（１）可设一边长为狓ｍ，那么其邻边长为９６ｍ；
狓
（２）可设一边长为（１０＋狓）ｍ，那么其邻边长为（１０－狓）ｍ．
能根据以上设两邻边长的方法列方程求解例２吗？比较这些设法，说
说它们各自的特点．



１．怎样用一根长为４０ｍ的细绳围成一个面积为７５ｍ２
的矩形区域？能围成一个面积为１０１ｍ２的矩形区域D
吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由． 1
２．如图，矩形犃犅犆犇的两条邻边犃犇＝１，犆犇＝４，AE
犃犅上是否存在点犈，使得∠犇犈犆为直角？

4
B
（第２题）

C

接下来，我们进一步探究如何运用一元二次方程解决现实生活中的问题．

/

某种传染病的传染速度很快．如果开始有１个人被传染，经过两轮传
染后共有１２１个人被传染，那么每轮传染中平均１个人传染了多少个人？
分析：设每轮传染中平均１个人传染了狓个人．
开始有１个人被传染，第一轮的传染源就是这个人，他传染了狓个人，用
代数式表示，第一轮后共有个人被传染；第二轮传染中，这些人中的每
个人又传染了狓个人，用代数式表示，第二轮后共有个人被传染．
列方程
１＋狓＋狓（１＋狓）＝１２１．
解方程，得　通过探究本题，谈
狓１＝１０，狓２＝－１２（不合题意，舍去）． 谈你对类似的传播问题
因此，每轮传染中平均１个人传染了１０个人．中数量关系的认识．
第二十五章一元二次方程２１
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

5

按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人被传染？由此体
会阻断病毒传播的必要性．

/

两年前生产１ｔ甲种食品的成本是１００００元，生产１ｔ乙种食品的成本是
１２０００元．随着生产技术的进步，现在生产１ｔ甲种食品的成本是６０００元，生
产１ｔ乙种食品的成本是７２００元．哪种食品成本的年平均下降率较大？
分析：容易求出，甲种食品成本的年平均下降额为（１００００－６０００）÷２＝
２０００（元），乙种食品成本的年平均下降额为（１２０００－７２００）÷２＝２４００
（元）．显然，乙种食品成本的年平均下降额较大．但年平均下降额（元）不等
同于年平均下降率（百分数）．
设甲种食品成本的年平均下降率为狓，则一年后甲种食品成本为１００００（１－狓）
元，两年后甲种食品成本为１００００（１－狓）２元，于是有
１００００（１－狓）２＝６０００．
解方程，得　为什么选择
狓１≈０．２２５，狓２≈１．７７５．　２２．５％
根据问题的实际意义，甲种食品成本的年平均作为答案？
下降率约为２２．５％．
请计算乙种食品成本的年平均下降率，并比较两种食品成本的年平均下降率．

5

经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的食品，它的成本下降
率一定大吗？应怎样全面比较几个对象的变化情况？



１．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与这些支干同
样数目的小分支．如果主干、支干和小分支的总数是９１，那么每个支干
长出多少个小分支？

２２第二十五章一元二次方程
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２．青山村所种水稻某年平均每公顷产１５０００ｋｇ，两年后平均每公顷产
１８０００ｋｇ．求这两年水稻每公顷产量的年平均增长率（结果写成犪％的
形式，其中犪保留小数点后两位）．

回到本章第一节中的排球邀请赛问题，通过“设应邀请狓支球队参赛”，
并根据“每两支球队之间比赛１场”，列得方程狓２－狓－５６＝０．
解方程，得狓１＝８，狓２＝－７（不合题意，舍去）．
因此，比赛组织者应邀请８支球队参赛．
下面再来看一种有关比赛球队数量与场数的问题．

/

若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是
３００．他算得对吗？为什么？
分析：双循环比赛是指所有参赛球队彼此间
进行两场比赛．如果有狀支球队参赛，那么比赛由总场数为狀（狀－１）
的总场数为狀（狀－１）．　可知，其必为两个连续正
假设这个人算得对，即狀支球队进行主客场整数的乘积，如２，６，
双循环比赛的总场数为３００，那么　１２，２０，…，２４０，２７２，
（）　３０６，…．
狀狀－１＝３００．
解方程，得

狀＝１±槡２１２０１．

由于１２０１不是完全平方数，所以狀不可能为整数．
因此，总场数不可能为３００，这个人算得不对．



１．狀个人参加聚会，每两人都握１次手，所有人共握手１０次，共有多少人？
２．一个凸多边形共有２０条对角线，它是几边形？是否存在有１８条对角线
的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明理由．

第二十五章一元二次方程２３
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１．两个数的和是２６，积是１６８，求这两个数．
２．一个直角三角形的两条直角边的和是１４，面积是２４．求这两条直角边的长．
３．某足球联赛采用双循环赛制，如果赛季结束后共比赛９０场，那么共有多少支
球队参加比赛？
４．２０２２年我国快递业务量是１１０５．８亿件，２０２４年增至１７５０．８亿件，这两年的
年平均增长率是多少（结果写成犪％的形式，其中犪保留小数点后一位）？
５．请结合生活实际，提出一个与一元二次方程有关的问题，并加以解决．



６．一个菱形的两条对角线长之和是１０，面积是１２．求这个菱形
的周长．
７．如图，要为两边长分别为２２ｃｍ，２９ｃｍ的照片配相框，要求
相框的四条边宽度相等，并且相框边的面积是照片面积的四分
之一，相框边的宽度应是多少厘米（结果保留小数点后一位）？
８．一个直角三角形的三边长均为正整数，斜边的长比一直角边（第７题）
的长多１，比另一直角边的长多８，这样的直角三角形存在
吗？如果存在，有多少个？



９．如图，要设计一幅宽２０ｃｍ，长３０ｃｍ的图案，其中有两
横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为３∶２．如果要使彩
条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽
度（结果保留小数点后一位）？　（第９题）
１０．如图，线段犃犅的长为１，点犆，犇，犈在线段犃犅上．

A ED C

B

（第１０题）
（１）若犃犆２＝犅犆·犃犅，求线段犃犆的长；
（２）在（１）的条件下，若犃犇２＝犆犇·犃犆，求线段犃犇的长；
（３）在（１）（２）的条件下，若犃犈２＝犇犈·犃犇，求线段犃犈的长．
上面各题的结果反映了什么规律？

２４第二十五章一元二次方程
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"//?+

已知犪犫犮≠０，方程
犪狓２＋犫狓＋犮＝０，　①
犫狓２＋犮狓＋犪＝０，　②
犮狓２＋犪狓＋犫＝０　③
恰有一个公共解．
给出犪，犫，犮满足的条件，并求出方程①②③的解．

".+3

王芳：李明，我们来做个智力游戏吧．你能把任意一条线段分成两两
不等的三条线段，使其中最长的线段等于另外两条线段的和吗？
李明：这简单，你来试试这个．还是把一条线段分成两两不等的三条
线段，如果三条线段的长度分别为犪，犫，犮，且犪＞犫＞犮，你能找到合适
的犪，犫，犮，使犪＝犫＋犮和１＋１＝１同时成立吗？
犪犫犮
王芳：这可能吗？
李明：当然，不过要费一番脑筋．
现在，你来试一试解决王芳和李明提出的问题，并用直尺和圆规作
出李明提出的问题中线段的两个分点．

第二十五章一元二次方程２５
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用


 

犪狓２＋犫狓＋犮＝０







狓＝－２犪

 犪狓２＋犫狓＋犮＝０
犫±槡犫２－４犪犮


 

本章主要内容是一元二次方程的概念、解法、根与系数的关系以及运
用一元二次方程解决实际问题．
一元二次方程是含有一个未知数，并且未知数的最高次数是２的整式
方程．解一元二次方程的基本思想是“降次”，即通过配方、因式分解等
方法，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．配方法就是通
过配方，把一元二次方程转化为（狓＋狀）２＝狆的形式，根据平方根的意义
求解；一元二次方程的求根公式，是通过对方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０配方后得
犫２犫２－４犪犮　２

到（狓＋２犪）＝４犪２获得的．若一元二次方程犪狓＋犫狓＋犮＝０的左边能

分解为两个一次因式的乘积，则可通过令每个因式为０来解．通过解一元
二次方程，可以提升我们的运算能力、推理能力．一元二次方程的根可由
其系数表示，通过求根公式或分解因式，可以得到其根与系数的关系．
在配方法、公式法、因式分解法这三种一元二次方程的解法中，配方
法是推导一元二次方程求根公式的工具．掌握了公式法，就可以直接用公

２６第二十五章一元二次方程
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

式求一元二次方程的根．解具体的方程时，需要根据方程的特点选择适当
的解法．配方法是一种重要的、应用广泛的数学方法，如后面研究二次函
数时也要用到它．
一元二次方程是刻画某些现实世界问题中的等量关系的有效数学模
型．在运用一元二次方程分析、表达和解决实际问题的过程中，要注意体
会建立数学模型解决实际问题的思想和方法，增强模型观念．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．比较你学过的各种整式方程，说明它们的未知数的个数与次数．你
能写出这些方程的一般形式吗？
２．一元二次方程有哪些解法？各种解法在什么情况下比较适用？你
能说说“降次”在解一元二次方程中的作用吗？
３．求根公式与配方法有什么关系？如何判断一元二次方程根的情况？
４．一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０的两个根狓１，狓２与系数犪，犫，犮有
什么关系？我们是如何得到这种关系的？
５．你能举例说明运用一元二次方程解决实际问题的过程吗？





１．解下列方程：
（１）６４狓２－１＝０；　（２）４狓２＋１２狓＋９＝８１；
（３）狓２－７狓－１＝０；　（４）２狓２＋３狓＝３；
（５）狓２－２狓＋１＝２５；　（６）狓（２狓－５）＝４狓－１０；
（７）狓２＋５狓＋７＝３狓＋１１； （８）１－４狓＋１６狓２＝２－８狓．
２．解决第２页的问题１．
３．两个数的和为８，积为９．７５，求这两个数．
４．一个菱形的两条对角线的长相差２，其面积为４，求两条对角线的长．
５．求下列方程两个根狓１，狓２的和与积：
（１）狓２－５狓－１０＝０；　（２）２狓２＋７狓＋１＝０；
（３）３狓２－１＝２狓＋５；　（４）狓（狓－１）＝３狓＋７．
第二十五章一元二次方程２７
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６．已知关于狓的方程２狓２－（４犽＋１）狓＋２犽２－１＝０，当犽为何值时，方程有两个不
相等的实数根，有两个相等的实数根，没有实数根？
７．一个直角梯形的下底比上底长２ｃｍ，高比上底短１ｃｍ，面积是８ｃｍ２．画出这个梯形．
８．一个长方体的长与宽的比为５∶２，高为５ｃｍ，表面积为４０ｃｍ２．画出这个长方
体的展开图．
９．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，计划安排１５场比赛，应邀请多少支
球队参加比赛？
１０．如图，在一面墙（墙的长度不限）边，怎样用
２０ｍ长的篱笆围成一个面积为４８ｍ２的矩形菜园？
１１．某银行经过两次降息，使一年期存款的年利率由
１．７５％降至１．５０％，平均每次降息的百分率是
多少（结果写成犪％的形式，其中犪保留小数点
后两位）？　（第１０题）
１２．绿水村２０２０年的人均收入为１８０００元，２０２２年的人均收入为２１０００元．求人
均收入的年平均增长率（结果写成犪％的形式，其中犪保留小数点后两位）．



１３．右图是南宋数学家杨辉研究的垛积问题中“圭垛”的示意图，
其问题如下：今有圭垛一堆．上一束，底宽八束．问共几束．
（１）你能解决这个问题吗？
（２）如果将这个“圭垛”继续堆积下去，即第狀行有狀束……
你能发现从上往下数前多少行的束数的和是３００吗？（提（第１３题）

示：１＋２＋３＋…＋（狀－２）＋（狀－１）＋狀＝１２狀（狀＋１）．）

１４．一个小球以５ｍ／ｓ的速度开始向前滚动，并且均匀减速，４ｓ后小球停止滚动．
（１）小球的滚动速度平均每秒减少多少？
（２）小球滚动５ｍ用了多少秒（结果保留小数点后一位）？
（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度狏（初速度与末速度的算
术平均数）与路程犾，时间狋的关系为犾＝狏狋．）

２８第二十五章一元二次方程
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第二十六章二次函数

函数是描述现实世界中变量关系和变化规律的数学模型．我们已经学习
过利用一次函数表示一个变量随另一个变量均匀变化的关系，下面再来看一
些变量之间的更为复杂的关系．
用长为４０ｍ的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积狔（单位：ｍ２）
会随矩形一边长狓（单位：ｍ）的变化而变化，狔与狓之间有什么关系？
再看章前图，从喷头喷出的水珠，在空中经过的路线是一条曲线．在这
条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度狔与它距离喷头的水平距离狓之间有
什么关系？
回答上述问题就要用到二次函数．像学习一次函数一样，本章我们首先
讨论什么样的函数是二次函数，然后讨论二次函数的图象和性质，由此加深
对一元二次方程的认识，最后运用二次函数分析和解决某些实际问题．通过
上述过程，进一步体会函数在描述现实世界中变量关系和变化规律时的
作用．

第二十五章一元二次方程
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２６．１二次函数的概念

在现实世界中，变量之间的关系多种多样．作为描述
变量之间关系的函数，其种类也很丰富．
我们先来分析本章引言中的矩形区域问题．
显然，矩形的一边长狓和面积狔都是变量，而且对于狓的每一个确定的
值，狔都有唯一确定的值与其对应，即狔是狓的函数．根据矩形面积公式，它
们之间的关系可以表示为狔＝狓（２０－狓），即
狔＝－狓２＋２０狓．　①
这是一个不同于一次函数的新函数．
再来看几个问题．
问题１狀支球队参加比赛，每两队之间进行１场比赛．比赛的场次数犿
与球队数狀之间有什么关系？
每支球队都要与其他（狀－１）支球队各比赛１场，由于甲队对乙队的比赛

与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数犿＝１２狀（狀－１），即
犿＝１２狀２－１２狀．　②

②式表示比赛的场次数犿与球队数狀之间的关系，其中犿和狀都是变量，而
且对于狀的每一个确定的值，犿都有唯一确定的值与其对应，即犿是狀的函数．
问题２某种产品现在的年产量是２０ｔ，计划今后两年增加产量．如果每
年都比上一年的产量增加狓倍，那么两年后这种产品的产量狔（单位：ｔ）将
由狓的值确定，狔与狓之间的关系应怎样表示？
这种产品的原产量是２０ｔ，一年后的产量是２０（１＋狓）ｔ，再经过一年后的
产量是２０（１＋狓）（１＋狓）ｔ，即两年后的产量狔＝２０（１＋狓）２，即
狔＝２０狓２＋４０狓＋２０．　③
③式表示了两年后的产量狔与每年的计划增产倍数狓之间的关系，其中狓
和狔都是变量，而且对于狓的每一个确定的值，狔都有唯一确定的值与其对
应，即狔是狓的函数．
３０第二十六章二次函数
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5

观察函数①②③，它们有什么共同点？
上述问题中，函数都是用自变量的二次式表示的．一般地，形如
狔＝犪狓２＋犫狓＋犮（犪，犫，犮是常数，犪≠０）
的函数，叫作二次函数（ｑｕａｄｒａｔｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎ）．其中狓是自变量，犪，犫，犮分别
是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项．
例（１）一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积犛关于半径狉的
函数解析式．
（２）一种产品某年的销售量为８万件，由于其他新产品的出现，后两年的
年销售量有所下降，年平均下降率是狓．写出两年后产品的年销售量狔（单位：
万件）关于狓的函数解析式．
解：（１）圆柱表面积是其底面积与侧面积的和，所以犛＝２π狉２＋２π狉·狉，即
犛＝４π狉２．
（２）一年后产品的年销售量为８（１－狓）万件，两年后的年销售量为
８（１－狓）（１－狓）万件，所以狔＝８１－（狓）２，即
狔＝８狓２－１６狓＋８．



１．写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
（１）狔＝８狓２－１６狓＋８；（２）狔＝狓２；

（３）狔＝－１２狓２＋５狓； （４）狔＝２（狓－１）２－５．

２．如图，矩形绿地的两边长各增加狓ｍ，扩mx
充后的绿地面积为狔ｍ２．写出狔关于狓的
函数解析式．　m20
３．提出一个问题，使其中变量之间的关系可
以用一个二次函数来表示．　30m　xm
（第２题）

第二十六章二次函数３１
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１．某商场一月份的销售额为５０万元，二、三月份每月销售额的平均增长率为狓，
写出三月份的销售额狔（单位：万元）关于狓的函数解析式．
２．设人民币一年期定期储蓄的年利率是狓，一年到期后，银行将本金和利息自
动按一年期定期储蓄转存．如果本金是３００００元，写出两年后的本息之和狔
（单位：元）关于年利率狓的函数解析式．



３．如图，一面圆形的镜子，其周边镶有宽为５ｃｍ的边框．
已知镜面的价格是每平方米１８０元，边框的价格是每平
方米１００元，求这面镜子的价格狔（单位：元）关于镜子
半径狓（单位：ｍ）的函数解析式．
（第３题）



４．如图，钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒
增加１．５ｍ／ｓ．
（１）写出钢球滚动的距离犾（单位：ｍ）关于滚动的时间狋
（单位：ｓ）的函数解析式．（提示：本题中，距离＝平（第４题）
均速度狏×时间狋，狏＝狏０＋狏狋，其中，狏０是开始时的
２
速度，狏狋是狋ｓ时的速度．）
（２）如果斜面的长是３ｍ，钢球从斜面顶端滚到底端要用多长时间？

３２第二十六章二次函数
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２６．２二次函数的图象和性质

与学习一次函数一样，在学习了二次函数的概念之后，
我们来研究它的图象和性质．先从简单的二次函数狔＝犪狓２开
始，逐步深入到一般的二次函数．在这个过程中，数形结合，
即解析式与图象结合是重要的研究方法．
２６２１二次函数狔＝犪狓２的图象和性质
先来研究最简单的二次函数狔＝狓２，画出它的图象．
对于狔＝狓２，自变量狓可以是任意实数，列表表示几组对应值：
狓…－３－２－１０１２３…
狔＝狓２…９４１０１４９…
根据表中狓，狔的值在平面直角坐标系中描点（狓，狔）（图２６．２１），再
用平滑曲线顺次连接各点，就得到狔＝狓２的图象（图２６．２２）．

y
9
y=x
6

y
9
6

2

3　3　还记得如何用描点
法画一个函数的图象吗？

-3O 3x

-3O 3x

图２６．２１　图２６．２２
可以看出，二次函数狔＝狓２的图象是一条曲线，
它的形状类似投篮或掷铅球时球在空中经过的路线，
只是这条曲线开口向上．实际上，二次函数的图象都
是类似的曲线，它们的开口或者向上或者向下．我们
把二次函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮的图象叫作抛物线狔＝
犪狓２＋犫狓＋犮．
第二十六章二次函数３３
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由图２６．２２还可以看出，狔轴是抛物线狔＝狓２
的对称轴，抛物线狔＝狓２与其对称轴的交点（０，０）
叫作抛物线狔＝狓２的顶点，它是抛物线狔＝狓２的最低在抛物线狔＝狓２上
点．实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称任取一点（犿，犿２），因
轴的交点叫作抛物线的顶点．顶点是抛物线的最低点为该点关于狔轴的对称
点（－犿，犿２）也在抛物
或最高点．　线狔＝狓２上，所以抛物
从二次函数狔＝狓２的图象可以看出：在对称轴 ２
线狔＝狓关于狔轴对称．
的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，
抛物线从左到右上升．也就是说，当狓＜０时，狔随
狓的增大而减小；当狓＞０时，狔随狓的增大而增大．

例１在同一平面直角坐标系中，画出函数狔＝１２狓２，狔＝２狓２的图象．

解：分别列表，再画出它们的图象（图２６．２３）．
…
狓 －４－３－２－１０１２３４
狔＝１狓２…８４．５２０．５００．５２４．５８…
２

yy=2x2
…
6
4

8
12

…　…　2　2
狓 －２－１．５－１－０．５００．５１１．５２
狔＝２狓２…８４．５２０．５００．５２４．５８…-4-2O 2 4 x
图２６．２３

5

２

２

y

（１）函数狔＝１２狓，狔＝２狓的图象与y=23x2 y=15x2

函数２的图象（图 中的虚线图　8
狔＝狓 ２６．２３　y=ax2　6
形）相比，有什么共同点和不同点？　4
（２）利用信息技术工具画二次函数
狔＝犪狓２（犪＞０）的图象，改变犪的值，函数a=0.42
狔＝犪狓２的图象也发生了改变（图２６．２４）． -4-2O 2 4 x
随着犪的变化，二次函数狔＝犪狓２的图象有
什么变化？　图２６．２４

３４第二十六章二次函数
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

一般地，当犪＞０时，抛物线狔＝犪狓２的开口向上，对称轴是狔轴，顶点是
原点，顶点是抛物线的最低点，犪越大，抛物线的开口越小．
进一步，从二次函数狔＝犪狓２（犪＞０）的图象可以看出：当狓＜０时，狔随
狓的增大而减小；当狓＞０时，狔随狓的增大而增大．

/

回顾上面研究二次函数狔＝犪狓２（犪＞０）的图象和性质的过程，你能
用类似的方法研究二次函数狔＝犪狓２（犪＜０）的图象和性质吗？
类似于对函数狔＝犪狓２（犪＞０）的研究，可以在同 y

一平面直角坐标系中画出函数狔＝－狓２，狔＝－１２狓２，-4-2-2 2 4x

２

y=1x2

狔＝－２狓的图象（图２６．２５），观察这些抛物线有什2 -4
么共同点和不同点．也可以利用信息技术工具画二次-6
函数狔＝犪狓２（犪＜０）的图象，改变犪的值，观察随着

２

-8

犪的变化，二次函数狔＝犪狓的图象的变化．　y=x2　y=2x2
一般地，当犪＜０时，抛物线狔＝犪狓２的开口向图２６．２５
下，对称轴是狔轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最
高点，犪越小，抛物线的开口越小．当狓＜０时，狔随
狓的增大而增大；当狓＞０时，狔随狓的增大而减小．

3

一般地，抛物线狔＝犪狓２的对称轴是狔轴，顶点是原点．当犪＞０时，
抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当犪＜０时，抛物线的开口
向下，顶点是抛物线的最高点．犪越大，抛物线的开口越小．
从二次函数狔＝犪狓２的图象可以看出：如果犪＞０，那么当狓＜０时，狔
随狓的增大而减小，当狓＞０时，狔随狓的增大而增大；如果犪＜０，那么
当狓＜０时，狔随狓的增大而增大，当狓＞０时，狔随狓的增大而减小．



１．在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：
（１）狔＝３狓２；　（２）狔＝－３狓２．
第二十六章二次函数３５
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

２．说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，以及随着狓的增大，狔
的变化情况：

（１）狔＝４狓２；（２）狔＝－４狓２；（３）狔＝１４狓２；（４）狔＝－１４狓２．

２６２２二次函数狔＝犪狓（－犺）２＋犽的图象和性质
在研究了狔＝犪狓２的图象和性质之后，我们进一步探讨当犫，犮不全为０
时，二次函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮的图象和性质．如何研究呢？能否将狔＝犪狓２＋
犫狓＋犮转化为类似狔＝犪狓２的简单形式？

5

回想一下，上一章是如何通过配方法解一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０
的？由此，你得到了什么启发？
通过配方，可以将“犪狓２＋犫狓＋犮”转化为“犪（狓－
犺）２＋犽”的形式，即将二次函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮转化用犪，犫，犮表示，这
为（）２的形式当分别讨论，的取值里的犺和犽分别是什么？
狔＝犪狓－犺＋犽． 犺犽
时，就可以建立起狔＝犪狓２＋犫狓＋犮与狔＝犪狓２的联系了．
先来讨论当犺＝０，犽≠０时，二次函数狔＝犪狓２＋犽的图象和性质．

/

（１）在同一平面直角坐标系中，画出二次函数狔＝１２狓２＋２，狔＝１２狓２－２

的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点．

（２）抛物线狔＝１２狓２＋２，狔＝１２狓２－２与抛物线狔＝１２狓２有什么关系？

先列表：
狓 …－４－３－２－１０１２３４…
狔＝１狓２＋２…１０６．５４２．５２２．５４６．５１０…
２
狔＝１狓２－２…６２．５０－１．５－２－１．５０２．５６…
２
３６第二十六章二次函数
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２

y

然后描点画图，就得到狔＝１２狓＋２，y=21x2+210

12

＝１狓２－２的图象（图２６．２６）．　8　2
狔２

6

y=1x2

， １２
可以看出抛物线狔＝２狓＋２的开口
向上，对称轴是狔轴，顶点是（０，２）；抛

2-2
4
2

物线狔＝１２狓２－２的开口向上，对称轴是狔-4-2-2O 2 4 x

轴，顶点是（０，－２）．
１２
可以发现，把抛物线狔＝２狓（图２６．２６

图
２６．２６

中的虚线图形）向上平移２个单位长度，就得到抛物线狔＝１２狓２＋２；把抛物线
狔＝１２狓２向下平移２个单位长度，就得到抛物线狔＝１２狓２－２．
也可以利用信息技术工具画函数狔＝犪狓２＋犽的图象（不妨令犪分别为１２和
－１２）．改变犽的值，可以发现，随着犽的变化，二次函数狔＝犪狓２＋犽的图象

在向上或向下平移，即把抛物线狔＝犪狓２向上（犽＞０）或向下（犽＜０）平移
犽个单位长度，就得到抛物线狔＝犪狓２＋犽（图２６．２７）．

y

y

y=1x2+1
2
6 2
2 2

12
y=x+3y=x+k
2
k=1.5

12
1 74
y=x2+

图２６．２７

第二十六章二次函数３７
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5

你能归纳出二次函数狔＝犪狓２＋犽的图象特征和性质吗？与同学交流
一下．



在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：
狔＝狓２，狔＝狓２＋１，狔＝狓２－１．
指出三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶
点，以及随着狓的增大，狔的变化情况．

再来讨论当犺≠０，犽＝０时，二次函数狔＝犪（狓－犺）２的图象和性质．

/

（１）在同一平面直角坐标系中，画出二次函数狔＝－１２（狓＋１）２，狔＝
－１２（狓－１）２的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点．
（２）抛物线狔＝－１２（狓＋１）２，狔＝－１２（狓－１）２与抛物线狔＝－１２狓２有

什么关系？
先分别列表：
狓　…－４－３－２－１０１２…

狔＝－１２（狓＋１）２…－４．５－２－０．５０－０．５－２－４．５…

狓

…－２－１０１２３４…

狔＝－１２（狓－１）２…－４．５－２－０．５０－０．５－２－４．５…
然后描点画图，得到狔＝－１２（狓＋１）２，狔＝－１２（狓－１）２的图象（图２６．２８）．
可以看出，抛物线狔＝－１２（狓＋１）２的开口向下，对称轴是经过点（－１，０）且
与狓轴垂直的直线，把它记作狓＝－１，顶点是（－１，０）；抛物线狔＝－１２（狓－１）２

３８第二十六章二次函数
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

的开口向下，对称轴是狓＝１，顶点是（１，０）．

２

y

可以发现，把抛物线狔＝－１２狓（图２６．２８

-4x=-21Ox=124x

中的虚线图形）向左平移１个单位长度，就得到　-2
抛物线狔（狓＋１）２；把抛物线狔狓２

向右平移＝－１２１个单位长度，就得到抛物线＝－１２狔＝

-4

１ ２
－２（狓－１）．

-6
-8

y=1(x+1)2

y=1(x-1)2

也可以利用信息技术工具画函数狔＝ 2　2
犪狓（－犺）２的图象．改变犺的值，可以发现，随 图２６．２８
着犺的变化，二次函数狔＝犪狓（－犺）２的图象向左或向右平移，即把抛物线
狔＝犪狓２向左（犺＜０）或向右（犺＞０）平移犺个单位长度，就可以得到抛物线
狔＝犪狓（－犺）２（图２６．２９）．

y

y

y=a(x-h)2
y=ax
6

2
6

y=ax2

y=a(x-h)2

4

a=0.5

4

a=0.5

2

h=-2

2

h=3

-6-4-2O 2 4 6x

-4-2O 2 4 6 8x

图２６．２９

5

你能归纳出二次函数狔＝犪狓（－犺）２的图象特征和性质吗？与同学交流
一下．



在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：

狔＝１２狓２，狔＝１２（狓＋２）２，狔＝１２（狓－２）２．

指出三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶
点，以及随着狓的增大，狔的变化情况．
第二十六章二次函数３９
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

最后来讨论当犺≠０，犽≠０时，二次函数狔＝犪（狓－犺）２＋犽的图象和性质．

/

（１）画出二次函数狔＝－１２（狓＋１）２－１的图象，并指出它的开口方

向、对称轴和顶点．

（２）抛物线狔＝－１２（狓＋１）２－１与抛物线狔＝－１２狓２有什么关系？
如图２６．２１０，抛物线狔＝－１２（狓＋１）２－１的开口向下，对称轴是狓＝－１，顶

点是（－１，－１）．

y

y

O
-4-2

O
2 4x

-4-2

2 4x

-2
2
-4

-2 y=1x2
-4

-6y=1(x+1)2
1
2

12-6y=1(x+1)2
y=x1
2

1
2

图２６．２１０

图２６．２１１

如图２６．２１１，把抛物线狔＝－１２狓２向下平移１个单位长度，再向左平移１
个单位长度，就得到抛物线狔＝－１２（狓＋１）２－１．

3

一般地，抛物线狔＝犪（狓－犺）２＋犽与狔＝犪狓２形状相同，位置不同．把抛物
线狔＝犪狓２向上（或向下）、向左（或向右）平移，可以得到抛物线狔＝犪（狓－犺）２
＋犽．平移的方向、距离要根据犺，犽的值来决定．
抛物线狔＝犪（狓－犺）２＋犽有如下特点：
（１）当犪＞０时，开口向上；当犪＜０时，开口向下．
（２）对称轴是狓＝犺．
（３）顶点是（犺，犽）．
从二次函数狔＝犪狓（－犺）２＋犽的图象可以看出：如果犪＞０，那么当狓＜犺
时，狔随狓的增大而减小，当狓＞犺时，狔随狓的增大而增大，当狓＝犺时，狔
４０第二十六章二次函数
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

取最小值，最小值为犽；如果犪＜０，那么当狓＜犺时，狔随狓的增大而增大，
当狓＞犺时，狔随狓的增大而减小，当狓＝犺时，狔取最大值，最大值为犽．
我们来看一个与章前图有关的问题．
例２要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶
端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为１．６ｍ处达
到最高，高度为３ｍ，水柱落地处离池中心３．６ｍ，水管的长应为多少？
解：如图２６．２１２，以水管与地面交点为原y/m (1.6
3)
点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管3
狓　2
所在直线为狔轴，建立平面直角坐标系．
点（１．６，３）是图中这段抛物线的顶点，因1
此可设这段抛物线对应的函数解析式为O 1 2 33.64x/m
狔＝犪（狓－１．６）２＋３（０≤狓≤３．６）．
由这段抛物线经过点（３．６，０），可得　图２６．２１２
０＝犪（３．６－１．６）２＋３．
解得

犪＝－３４．

因此

狔＝－３４（狓－１．６）２＋３（０≤狓≤３．６）．

当狓＝０时，狔＝１．０８，也就是说，水管的长应为１．０８ｍ．



１．说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，以及随着狓的增大，狔
的变化情况：
（１）狔＝２（狓＋３）２＋５； （２）狔＝－３（狓－１）２－２；
（３）狔＝４（狓－３）２＋７； （４）狔＝－５（狓＋２）２－６．
２．说出下列二次函数的最大值或最小值：

（１）狔＝１２（狓＋２）２－２； （２）狔＝－１２（狓－１）２＋２．

第二十六章二次函数４１
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２６２３二次函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮的图象和性质
从简单的二次函数狔＝犪狓２开始，我们逐步深入，研究了二次函数狔＝
犪狓（－犺）２＋犽的图象和性质．我们还知道，通过配方，可以将二次函数狔＝
犪狓２＋犫狓＋犮转化为狔＝犪狓（－犺）２＋犽．这样，就可以利用狔＝犪狓（－犺）２＋犽的
图象和性质来研究二次函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮的图象和性质．
先来看一个具体的例子．

5

对于二次函数狔＝１２狓２－６狓＋２１，如何画出它的图象并讨论它的性质？
对二次函数狔＝１２狓２－６狓＋２１配方，可得狔＝１２（狓－６）２＋３．根据前面的
学习，可以先画出二次函数狔＝１２狓２的图象，然后还有其他平移方

把这个图象向右平移６个单位长度，再向上平移３法吗？

个单位长度，就得到二次函数狔＝１２狓２－６狓＋２１的图象．
如果直接画二次函数狔＝１２狓２－６狓＋２１的图象，可按如下步骤进行．
由配方的结果可知，抛物线狔＝１２狓２－６狓＋２１的顶点是（６，３），对称轴是狓＝６．

先利用图象的对称性列表：
狓　…３４５６７８９…

狔＝１２（狓－６）２＋３…７．５５３．５３３．５５７．５…

然后描点画图，得到狔狓２－６狓＋２１的图象

（图 ） ＝１２

10y y=1x2-6x+21

２６．２１３．

2

从二次函数狔＝１２狓２－６狓＋２１的图象可以看出：在5

对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右 (6
3)
侧，抛物线从左到右上升．也就是说，当狓＜６时，狔随O　5　10x
狓的增大而减小；当狓＞６时，狔随狓的增大而增大；
当狓＝６时，狔取最小值，最小值是３．　图２６．２１３
４２第二十六章二次函数
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/

你能用上面的方法研究二次函数狔＝－２狓２－４狓＋１的图象和性质吗？
一般地，我们可以类似地研究二次函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮的图象和性质．
通过配方，可以将二次函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮化成
犫２４犪犮－犫２

狔＝犪（狓＋２犪）＋４犪．

２

犫 犫４犪犮－犫２

因此，抛物线狔＝犪狓＋犫狓＋犮的对称轴是狓＝－２犪，顶点是（－２犪，４犪）．

如图２６．２１４，从二次函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮的图象可以看出：
如果犪＞０，那么当狓＜－犫时，狔随狓的增大而减小，当狓＞－犫时，狔
２犪　２犪
随狓的增大而增大；
如果犪＜０，那么当狓＜－犫时，狔随狓的增大而增大，当狓＞－犫时，狔
２犪　２犪
随狓的增大而减小．
因此，当犪＞０（或犪＜０）时，抛物线狔＝犪狓２＋犫狓＋犮的顶点是最低点
（或最高点）．也就是说，当狓＝－犫时，二次函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮有最小值
２犪
４犪犮－犫２
（或最大值）４犪．

（１）　（２）
图２６．２１４



１．先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，说出随着狓的增大，狔
的变化情况，再描点画图：
（１）狔＝－３狓２＋１２狓－３； （２）狔＝４狓２－２４狓＋２６；

第二十六章二次函数４３
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

（３）狔＝２狓２＋８狓－６；

（４）狔＝１２狓２－２狓－１．

２．求下列函数的最大值或最小值：
（１）狔＝３狓２＋２狓；　（２）狔＝－２狓２＋８狓－８．





１．在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象，并写出其开口方向、
对称轴和顶点，以及随着狓的增大，狔的变化情况：

（１）狔＝５狓２；

（２）狔＝－１５狓２．

２．分别在同一平面直角坐标系中，画出下列各组二次函数的图象，并写出其对
称轴和顶点：

（１）狔＝－１３狓２＋３，狔＝－１３狓２－２；

（２）狔＝１（狓－３）２，狔＝１（狓＋１）２；
４ ２４　２

（３）狔＝２（狓＋３２）－５，狔＝２（狓－１２）＋１．

３．先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，说出随着狓的增大，狔的变
化情况，再描点画图：
（１）狔＝狓２＋２狓－５；　（２）狔＝－２狓２＋６狓＋３；

（３）狔＝２狓２＋４狓－５； （４）狔＝－１４狓２＋２狓－３．

４．求下列二次函数的最大值或最小值：
（１）狔＝５狓２＋３狓＋２； （２）狔＝－狓２＋６狓－３；

（３）狔＝－１２狓２－３狓－５２； （４）狔＝１４狓２－２狓＋５．

５．已知抛物线狔＝－１２狓２＋犫狓＋犮的顶点为（５，１２７），求犫，犮的值．



６．填空：
（１）在平面直角坐标系中，把抛物线狔＝－３（狓－２）２－５先向上平移５个单位长
度，再向左平移２个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式为；
４４第二十六章二次函数
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（２）在平面直角坐标系中，把抛物线狔＝２狓２＋４狓＋３先向下平移１个单位长度，
再向右平移１个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式为．
７．如图，一名足球运动员在点犃处踢出任意球，球的飞行路线是一条抛物线．
当球飞行到最高点时，恰好击中２．４４ｍ高的球门横梁上的点犅．设位于点犅
正下方的地面上的点为犆，且犃犆＝２４．４ｍ．求这一飞行过程中，球的竖直高
度狔（单位：ｍ）关于它距离点犃的水平距离狓（单位：ｍ）的函数解析式．

24.4m　2.44
（第７题）



８．抛物线狔＝犪狓２＋犫狓＋犮经过（－１，－２２），（０，－８），（２，８）三点，求它的
开口方向、对称轴和顶点．
９．如图，在平面直角坐标系中，点犃的坐标是　5y
（０，２）．在狓轴上任取一点犕，并按以下步骤43
作图：　2A(0
2)
①连接犃犕，作线段犃犕的垂直平分线犾１，　1

过点犕作狓轴的垂线犾２，记犾１，犾２的交点　-1-2
为犘；　-3-4
②在狓轴上多次改变点犕的位置，用①的方　-5
法得到相应的点犘，再用平滑的曲线连接（第９题）
这些点，记为曲线犾．
解答如下问题：
（１）对于曲线犾上任意一点犘，线段犘犃与犘犕有什么关系？
（２）设点犘的坐标是（狓，狔），根据（１）的结论求狓，狔满足的关系式．你
能由此确定曲线犾是哪种曲线吗？（提示：根据勾股定理，用含狓，狔的
式子表示线段犘犃的长．）

第二十六章二次函数４５
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２６．３二次函数与一元二次方程

以前我们从一次函数的角度看一元一次方程，认识了一
次函数与一元一次方程的联系．类似地，可以从二次函数的
角度看一元二次方程，认识二次函数与一元二次方程的联系．

5

如图２６．３１，下列二次函数的图象与
狓轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐y=x2-x+16y　y=x2-8x+16
标是多少？当狓取公共点的横坐标时，函y=x2+x-2

数值是多少？
（１）狔＝狓２＋狓－２；
（２）狔＝狓２－８狓＋１６；

2
-2O 2 46x

（３）狔＝狓２－狓＋１．
由此，你能说说方程　图２６．３１
狓２＋狓－２＝０，狓２－８狓＋１６＝０，狓２－狓＋１＝０
的根的情况吗？
通过图２６．３１中的函数图象可以看出：
（１）抛物线狔＝狓２＋狓－２与狓轴有两个公共点，它们的横坐标分别是
－２，１．当狓取公共点的横坐标时，函数值是０．由此可知，方程狓２＋狓－２＝０
有两个不相等的实数根－２，１．
（２）抛物线狔＝狓２－８狓＋１６与狓轴只有一个
公共点，这个点的横坐标是４．当狓＝４时，函数值反过来，由一元二
是０．由此可知，方程狓２－８狓＋１６＝０有两个相等次方程的根的情况，也
的实数根４．　可以确定相应二次函数
（３）抛物线狔＝狓２－狓＋１与狓轴没有公共点．的图象与狓轴的公共点
由此可知，方程２ 没有实数根的情况．
狓－狓＋１＝０．

４６第二十六章二次函数
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

3

一般地，从二次函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮的图象，可得如下结论：
（１）如果抛物线狔＝犪狓２＋犫狓＋犮与狓轴有公共点，公共点的横坐标
是狓０，那么当狓＝狓０时，函数值是０，因此狓＝狓０是一元二次方程犪狓２＋
犫狓＋犮＝０的一个根．
（２）二次函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮的图象与狓轴的公共点的情况有三种：
没有公共点，有一个公共点，有两个公共点．它们分别对应着一元二次方
程犪狓２＋犫狓＋犮＝０的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，
有两个不相等的实数根．
根据二次函数与一元二次方程的联系，可以将二次函数问题转化为相应的
一元二次方程问题．下面来看一个实际问题．
例１如图２６．３２，以４０ｍ／ｓ
的速度将小球沿与地面成３０°角的方
向击出时，小球的飞行路线将是一
条抛物线．小球的飞行高度犺（单　图２６．３２
位：ｍ）与飞行时间狋（单位：ｓ）的
关系近似为犺＝２０狋－５狋２．小球的飞行高度能否达到２０ｍ？如果能，需要多
长时间？
分析：问题“小球的飞行高度能否达到２０ｍ”即“二次函数犺＝２０狋－５狋２
的函数值能否取２０”，由二次函数与一元二次方程的关系，可转化为讨论一元
二次方程２０＝２０狋－５狋２的根的问题．
解：当犺＝２０时，由函数关系犺＝２０狋－５狋２，列得方程
２０＝２０狋－５狋２，
即
狋２－４狋＋４＝０．
解方程，得
狋１＝狋２＝２．
这说明，当自变量狋＝２时，二次函数犺＝２０狋－５狋２的函数值为２０，即当小
球飞行２ｓ时，它的飞行高度为２０ｍ．
第二十六章二次函数４７
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关于例１，回答下列问题：
（１）小球的飞行高度能否达到１５ｍ？如果能，需要多长时间？
（２）小球的飞行高度能否达到２０．５ｍ？如果能，需要多长时间？
（３）小球从飞出到落地，需要多长时间？

根据二次函数与一元二次方程的联系，也可以将一元二次方程问题转化为
相应的二次函数问题．不妨来看下面的问题．
例２利用函数图象求方程狓２－２狓－２＝０的根的近似值（结果保留小数
点后一位）．
解：画出函数狔＝狓２－２狓－２的图象（图２６．３３），它与狓轴的公共点的
横坐标大约是－０．７y，２．７．

1
-1O 12345x
-1
-2

y=x2-2x-2
能存在误差，所以由函
数图象求得的相应方程
的根，一般是近似的．

由于画图或观察可

图２６．３３
所以方程狓２－２狓－２＝０的实数根为
狓１≈－０．７，狓２≈２．７．
我们还可以通过不断缩小根所在的范围，估计一元二次方程的根．
观察函数狔＝狓２－２狓－２的图象，可以发现：点（２，－２）在狓轴的下方，
即当自变量为２时的函数值小于０，点（３，１）在狓轴的上方，即当自变量为３
时的函数值大于０．因为抛物线狔＝狓２－２狓－２是一条连续不断的曲线，所以抛
物线狔＝狓２－２狓－２在２＜狓＜３这一段经过狓轴．也就是说，当自变量取２，３之
间的某个值时，函数值为０，即方程狓２－２狓－２＝０在２，３之间有根．
我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围．例如，取２，３的
平均数２．５，用计算器算得自变量为２．５时的函数值为－０．７５，与自变量为３
４８第二十六章二次函数
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时的函数值异号，所以这个根在２．５，３之间．再取２．５，３的平均数２．７５，用
计算器算得自变量为２．７５时的函数值为０．０６２５，与自变量为２．５时的函数值
异号，所以这个根在２．５，２．７５之间．
重复上述步骤，我们逐步得到：这个根在２．６２５，２．７５之间，在２．６８７５，
２．７５之间……可以看到：根所在的范围越来越小，根所在范围的两端的值越
来越接近根的值，因而可以作为根的近似值．例如，当要求根的近似值与根的
准确值的差的绝对值小于０．１时，由于２．６８７５－２．７５＝０．０６２５＜０．１，我们
可以将２．６８７５作为根的近似值．
你能用这种方法得出方程狓２－２狓－２＝０的另一个根的近似值吗（要求根
的近似值与根的准确值的差的绝对值小于０．１）？
这种求根的近似值的方法也适用于更高次的一元方程．



利用函数图象求下列方程根的近似值（结果保留小数点后一位）：
（１）狓２－３狓＋１＝０； （２）－狓２－狓＋１＝０．





１．已知函数狔＝狓２－狓－２．
（１）画出这个函数的图象；
（２）观察图象，当狓取哪些值时，函数值为０？
２．利用函数图象求下列方程的根的近似值（结果保留小数点后一位）：
（１）狓２－６狓＋７＝０； （２）－狓２＋３狓＋１＝０．



３．下列函数的图象与狓轴是否有公共点？如果有公共点，写出公共点的坐标．
（１）狔＝３狓２－６狓＋９； （２）狔＝２狓２－４狓－６．
４．一辆汽车在一段时间内加速行驶，测得行驶路程犾（单位：ｍ）关于行驶时间

狋（单位：ｓ）的函数解析式是犾＝９狋＋１２狋２，经过１０ｓ汽车行驶了多远？行驶

１８０ｍ需要多长时间？
第二十六章二次函数４９
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５．画出函数狔＝狓２－２狓－３的图象，利用图象回答：
（１）方程狓２－２狓－３＝０的根是多少？
（２）狓取什么值时，函数值大于０？
（３）狓取什么值时，函数值小于０？
６．如果犪＞０，下列情形时，抛物线狔＝犪狓２＋犫狓＋犮的顶点在什么位置？
（１）方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０有两个不相等的实数根；
（２）方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０有两个相等的实数根；
（３）方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０无实数根．
如果犪＜０呢？

５０第二十六章二次函数
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

２６．４实际问题与二次函数

对于某些实际问题，如果其中变量之间的关系可以用二
次函数来刻画，那么就可以利用二次函数的图象和性质对其
进行研究．
例１在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度犺（单位：ｍ）
与起跳后的时间狋（单位：ｓ）之间的关系式是犺＝－４．９狋２＋２．８狋＋１１．运动员起
跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？（结
果保留小数点后一位．）
分析：运动员在跳水过程中重心的高度是时间的二次函数，于是最大高度
问题转化为求二次函数的最大值问题，而何时达到最高点问题，转化为二次函
数取最大值时自变量的取值问题．
解：对于二次函数犺＝－４．９狋２＋２．８狋＋１１，当h/m
犫 ２．８　1211　2
狋＝－２犪＝－２×（－４．９）≈０．３ 10h=-4.9t+2.8t+11
时，犺有最大值　98
４犪犮－犫２（－４．９）×１１－２．８２　7

４犪＝４×４×（－４．９）＝１１．４．65

因此，运动员起跳后大约０．３ｓ时，其重心达43
到最高点，最大高度为１１．４ｍ．　21
函数犺＝－４．９狋２＋２．８狋＋１１的图象（图２６．４１），O1234567t/s
直观地反映了运动员跳水过程中重心高度的变化， 图２６．４１
由此你能描述运动员在竖直方向上的运动过程吗？
例２如图２６．４２，利用一面墙（墙的长度不 
限），用２０ｍ长的篱笆围成一个矩形菜园．如何围才 
能使菜园的面积最大？最大面积是多少？
分析：菜园面积是一边长的函数，设一边长为
狓ｍ，由矩形的面积公式可得函数解析式，于是菜园图２６．４２
的面积最大问题转化为函数的最大值问题．
第二十六章二次函数５１
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解：设垂直于墙的边长为狓ｍ，则平行于墙的
边长为（２０－２狓）ｍ，矩形菜园的面积
犛＝狓（２０－２狓），　在实际问题中，函
即　数自变量的取值应使问
犛＝－２狓２＋２０狓（０＜狓＜１０）．　题有现实意义．如菜园的
犫 ２０　边长应为正数，即狓＞
当狓＝－２犪＝－２×（－２）＝５时，犛有最大值０，且２０－２狓＞０，于是
４犪犮－犫２－２０２　自变量狓的取值范围是
４犪＝４×（－２）＝５０．　０＜狓＜１０．
因此，当垂直于墙的边长为５ｍ时，这个矩形
菜园的面积最大，最大面积为５０ｍ２．



１．如果例２中墙的长度为８ｍ，如何围才能使菜园的面积最大？最大面积
是多少？
２．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度犺（单位：ｍ）与小球的运动
时间狋（单位：ｓ）的关系近似为犺＝３０狋－５狋２（０≤狋≤６）．小球运动的
时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？

利用二次函数的性质，可以解决生活中的一些最大值（或最小值）问题，
如例１的最大高度，例２的最大面积．下面我们再来看一个最大利润问题．

/

某商品现在的售价为每件６０元，每星期可卖出３００件．市场调查反
映，若调整单价（单价为整数）：每涨价１元，则每星期要少卖出１０件；
每降价１元，则每星期可多卖出２０件．已知商品的进价为每件４０元，如
何定价才能使利润最大？最大利润是多少？
分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，先来看涨价的情况．
（１）设每件涨价狓元，则每星期售出商品的利润狔随之变化．我们先来确
定狔随狓变化的函数解析式．

５２第二十六章二次函数
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每件涨价狓元时，每星期要少卖１０狓件，实际卖出（３００－１０狓）件，销售
额为（６０＋狓）（３００－１０狓）元，买进商品需付４０（３００－１０狓）元．因此，所得利润
狔＝（６０＋狓）（３００－１０狓）－４０（３００－１０狓），
即
狔＝－１０狓２＋１００狓＋６０００，
其中，０≤狓≤３０，狓为整数．
根据上面的函数，填空：
当狓＝时，狔最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价元，即定
价元时，利润最大，最大利润是元．
（２）在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（１）的讨论求解．
由（１）（２）的讨论及现在的销售状况，你知道如何定价才能使利润最大了吗？



１．旅行社开设一旅游团，２０人起组团，每人需缴费２１００元．旅行社对超过
２０人的旅行团给予优惠：每增加１人，每人需缴费用降低３０元．当旅行
团的人数为多少时，旅行社可获得最大营业额？最大营业额是多少？
２．生产某种商品需要５００元的固定花费，在此基础上，每生产１件商品花
费１０元，预定单价为５０元，实际单价随产量的增加而下调，下调幅度
为产量的八分之一．当产量为何值时，生产这种商品的利润最大？最大
利润是多少？

二次函数在生活中应用广泛，除了之前的最大值（或最小值）问题，我们
再来看其他一些应用二次函数来解决的实际问题．

/

一座抛物线形拱桥如图２６．４３所
示，当拱顶离水面４ｍ时，水面宽１０ｍ．
突降暴雨后水面上升１ｍ，此时水面宽
为多少（结果保留小数点后一位）？
２６．４３

m
4
10m1m
图

第二十六章二次函数５３
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分析：二次函数的图象是抛物线，建立　y/m
适当的平面直角坐标系，就可以根据已知条-5-4-3-2-1-1O12345x/m
件求出这条抛物线对应的二次函数，进而解　-2
决问题．为简单起见，以抛物线的顶点为原-3

点，以抛物线的对称轴为狔轴，建立平面直图２６．４４
角坐标系（图２６．４４）．
设这条抛物线表示的二次函数为狔＝犪狓２．
由抛物线经过点（５，－４），可得
－４＝犪×５２．
解得
犪＝－４．
２５
因此，这条抛物线对应的二次函数为狔＝－４狓２．
２５
当水面上升１ｍ时，水面的纵坐标为－３．请你根据上面的函数解析式求
出这时水面的宽度．



１．在一名运动员的某次投篮中，篮球的运动路线是抛物线狔＝－０．２狓２＋
３．８５的一部分（如图），若篮球投入篮筐，求运动员到篮筐正下方的
距离犾．

3.05

（第１题）　（第２题）
２．对于探究２，在突降暴雨致水位上升１ｍ后，有一艘装有物资的船准备
从桥下通过，船身及物资外形如图所示．这艘船宽４ｍ，物资顶部为长
方形，且物资顶部距水面２ｍ．这艘船能从这座拱桥下通过吗？

５４第二十六章二次函数
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１．刘伟在练习原地垂直起跳．某次起跳后，他的脚离开地面的距离狔（单位：ｍ）
关于起跳后的时间狋（单位：ｓ）的函数解析式大致为狔＝－５狋２＋３．６狋．求刘伟
跳到最高点时脚离开地面的距离．
２．若汽车刹车后行驶的距离犾（单位：ｍ）关于行驶的时间狋（单位：ｓ）的函数解
析式为犾＝１５狋－６狋２．汽车从刹车到停下来，前进了多远？
３．点燃某种烟花后，其升空高度犺（单位：ｍ）关于时间狋（单
位：ｓ）的函数可近似表示为犺＝３９狋－５狋２（狋≥０）．若这种烟
花在点燃升空后到最高处引爆，烟花点燃多久后引爆？烟花
升空的最大高度是多少？
４．用总长犾（单位：ｍ）的篱笆围成矩形场地，矩形场地的面
积犛（单位：ｍ２）随矩形场地一边长犪（单位：ｍ）的变化
而变化．当犪是多少米时，场地的面积犛最大？最大面积是
多少？此时的场地是什么形状？



５．如图，用长为６ｍ的材料做一个上部为半圆、下部为矩形的窗框．底部宽狓
（单位：ｍ）为多少时，窗户的透光面积犛（单位：ｍ２）最大（结果保留小数
点后一位）？

（第５题）　（第６题）
６．一块三角形材料如图所示，∠犃＝３０°，∠犆＝９０°，犃犅＝１２ｃｍ．用这块材料
剪出一个矩形犆犇犈犉，其中，点犇，犈，犉分别在犅犆，犃犅，犃犆上．要使剪
出的矩形犆犇犈犉的面积最大，点犈应选在何处？
７．某宾馆有５０个房间供游客居住．当每间房定价为１８０元／天时，房间会全部住
满；当每间房定价每增加１０元／天时，就会增加一个空闲房间．如果游客居住

第二十六章二次函数５５
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房间，宾馆需对每间房支出２０元／天的各种费用．房价定为多少时，宾馆利润
最大？
８．某商店销售一种成本为４０元／ｋｇ的水产品，若按５０元／ｋｇ销售，一个月可售
出５００ｋｇ．当销售价格狓（狓为整数，单位：元／ｋｇ）每上涨１元／ｋｇ时，月销
售量就减少１０ｋｇ．
（１）写出月销售利润狔（单位：元）与销售价格狓之间的函数解析式．
（２）当销售价格为５５元／ｋｇ时，计算出月销售量和销售利润．
（３）商店计划使月销售利润为８０００元，销售价格应定为多少？
（４）当销售价格定为多少时会获得最大利润？求出最大利润．
９．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，
两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水
面宽度为２０ｍ，顶点距水面８ｍ，小孔顶点距
水面５ｍ．求当水位上涨至刚好淹没小孔时，大
孔的水面宽度（结果保留小数点后一位）．　（第９题）



１０．分别用定长为犾的线段围成矩形和圆，哪种图形的面积更大？为什么？

 

生活中的抛物线
生活中经常可见抛物线的“身影”，当你用数学的眼光观察时，就会发现它
们．图１中滑雪运动员起跳后在空中飞行的路线，图２中跨江大桥的造型……
它们都形似抛物线．

图１

图２

５６第二十六章二次函数
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除了“形”为抛物线，生活中还有很多物品的设计“用”到了抛物线．因
为抛物线有一条重要性质：平行于抛物线对称轴的光线照射到抛物线上，光线
经反射后集中于对称轴上的一点，这一点被称为焦点（图３）．太阳灶就是利用
这一性质设计的，如图４所示．太阳灶上装有一个反光镜，镜面的形状是一个
由抛物线绕它的对称轴旋转得到的曲面，这种曲面叫作抛物面．当抛物面的轴
与太阳光线平行时，太阳光线经过反射后集中于焦点处，这一点的温度就会很
高，可以用来加热食物．由于光的可逆性，也可以使从抛物线焦点处发出的光
线，经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴射出（图５）．手电筒、探照灯等就
是利用这个原理设计的．

O F

O F

图３　图４　图５
抛物面的光学性质也可以应用到电磁
波上．人们把射电望远镜的天线制成抛物
面，将来自宇宙的电磁波聚集在焦点处．
２０１６年９月２５日在贵州落成启用的“中
国天眼”———５００ｍ口径球面射电望远镜
（ＦＡＳＴ工程），当接收电磁波时，其反射面　图
主体就会调整变形为一个抛物面（图６）．　６
作为目前世界上最大、最灵敏的单口径射电望远镜，“中国天眼”能够接收到
１００多亿光年以外的电磁信号，是中国科技创新的一张代表性名片．
现在，请你用数学的眼光来发现生活中的抛物线，以及应用抛物线性质设
计的物品吧！

第二十六章二次函数５７
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"/

（１）观察下列两个两位数的积（两个乘数的十位上的数字都是９，个
位上的数字的和等于１０），猜想其中哪个积最大：
９１×９９，９２×９８，…，９８×９２，９９×９１．
（２）观察下列两个三位数的积（两个乘数的百位上的数字都是９，十
位上的数字与个位上的数字组成的数的和等于１００），猜想其中哪个积最大：
９０１×９９９，９０２×９９８，…，９９８×９０２，９９９×９０１．
对于（１）（２），你能用二次函数的知识说明你的猜想正确吗？

"DC.DDE+2

由于惯性作用，汽车刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，
这段距离被称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这
种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据见下表：
刹车时车速／（ｋｍ·ｈ－１）４０４８５６６４７２８０
刹车距离／ｍ １７２２．４２７．９３５．３４３．４５２．８
（１）以刹车时车速为横坐标，刹车距离为纵坐标，根据表中数据，
在平面直角坐标系中描点，并用平滑的曲线连接这些点，得到大致满足
这些数据的函数图象．
（２）通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的
函数解析式．
（３）一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得这辆车
的刹车距离约为７０ｍ，已知这条高速公路限速１００ｋｍ／ｈ．请根据你确定
的函数解析式，通过计算判断：在事故发生时，汽车是否超速行驶？

５８第二十六章二次函数
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用


 





２



 狔＝犪狓＋犫狓＋犮





 



 


 

本章我们首先认识了二次函数，研究了它的图象和性质，然后从函数
的角度研究了一元二次方程，最后运用二次函数分析和解决了一些实际
问题．
通过分析实际问题中的变量关系，我们抽象出了一类形如狔＝犪狓２＋
犫狓＋犮（犪≠０）的函数，即二次函数，认识到二次函数是描述现实世界中变
量关系和变化规律的数学模型．
在研究二次函数的图象和性质时，我们按照从简单到复杂、从特殊到
一般的顺序：先讨论简单的二次函数狔＝犪狓２的图象和性质；再通过配方，
将二次函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮化为狔＝犪（狓－犺）２＋犽的形式，通过平移，由抛
物线狔＝犪狓２得到抛物线狔＝犪（狓－犺）２＋犽，利用图象得到狔＝犪（狓－犺）２＋犽
的性质，进而得到狔＝犪狓２＋犫狓＋犮的图象和性质．在这个过程中，配方、图
象平移等起着重要作用，而利用函数图象研究其性质，又一次体现了数形结
合思想，让我们领悟到几何直观的作用．
二次函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮的图象与狓轴的公共点的情况，与一元二次
方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０的根的情况联系密切．如果函数图象与狓轴有公共点，

第二十六章二次函数５９
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

那么公共点的横坐标就是对应方程的根．据此，我们研究了如何利用二次
函数的图象求对应一元二次方程的根的近似值．
运用二次函数解决实际问题，首先要用二次函数表示问题中变量之间
的关系，然后利用二次函数的图象和性质求解，从而获得实际问题的答
案．这是一个用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，
用数学的语言表达现实世界的过程．经历此过程，可以进一步增强应用意
识和模型观念．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．举例说明，一些实际问题中变量之间的关系可以用二次函数表示，
列出函数解析式并画出图象．
２．结合二次函数的图象回顾二次函数的性质，例如根据抛物线的开
口方向、对称轴、顶点等，说明二次函数在什么情况下取得最大值或最
小值．
３．结合抛物线狔＝犪狓２＋犫狓＋犮与狓轴的公共点的情况，说明方程
犪狓２＋犫狓＋犮＝０的根的各种情况．
４．在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使材
料最省、时间最少、效率最高等问题，其中一些问题可以归结为求二次函
数的最大值或最小值．请举例说明如何分析、解决这样的问题．
５．回顾一次函数和二次函数，体会函数这种数学模型在描述现实世
界运动变化中的作用．





１．某市为打造“绿色城市”，积极投入资金实施园林绿化工程．已知去年一年投入
资金１５００万元，计划从今年起，连续三年每年投入资金比上一年增加相同的百
分率狓．写出明年将投入的资金量狔（单位：万元）关于每年增加的百分率狓的
函数解析式．

６０第二十六章二次函数
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

２．选择题．
（１）下列各点中，在抛物线狔＝狓２－４狓－４上的是（）．
（Ａ）（４，４）　（Ｂ）（３，－１）

（Ｃ）（－２，－８）

（Ｄ）（－１２，－７４）

（２）下列抛物线中，对称轴是狓＝－２的是（）．
（Ａ）狔＝－２狓２－２ （Ｂ）狔＝２狓２－２

（Ｃ）狔＝－１２（狓＋２）２ （Ｄ）狔＝２（狓－２）２

３．先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，说出随着狓的增大，狔的变化
情况，再描点画图：

（１）狔＝１５狓２；

（２）狔＝－２狓２－３；

２

１ ２

（３）狔＝１４（狓＋２）；

（４）狔＝－２（狓＋３２）－１．

４．先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，说出随着狓的增大，狔的变化
情况，再描点画图：
（１）狔＝狓２＋２狓－３；　（２）狔＝１＋６狓－狓２；

（３）狔＝１２狓２＋２狓＋１；

（４）狔＝－１４狓２＋狓－４．

５．求下列二次函数的最大值或最小值：
（１）狔＝狓２＋３狓＋１；　（２）狔＝－２狓２－６狓＋５．
６．利用函数图象求下列方程的根的近似值（结果保留小数点后一位）：
（１）２狓２－３狓－１＝０；　（２）狓２＋５狓－４＝０．



７．某高为１ｍ的喷水管竖直向上喷水，水在空中的高度犺（单位：ｍ）与水离开水
管后在空中的时间狋（单位：ｓ）的关系近似为犺＝－５狋２＋１２狋＋１．
（１）水离开喷水管后，经过多久能落回到起始高度？
（２）喷出的水在空中的最大高度是多少？
８．若飞机着陆后滑行的距离狔（单位：ｍ）关于滑行时间狋（单位：ｓ）的函数解析
式是狔＝６０狋－１．５狋２．飞机着陆后，滑行多远才能停下来？最后４ｓ将滑行多远？

第二十六章二次函数６１
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９．如图，点犈，犉，犌，犎分别位于正方形犃犅犆犇的四条边上，四边形犈犉犌犎也
是正方形．当点犈位于何处时，正方形犈犉犌犎的面积最小？

D

GC

H

12m

A

D

AE

B

B

C

（第９题）　（第１０题）
１０．如图，在一道长为１２ｍ的墙一侧，用长为３３ｍ的篱笆，围成一个一边靠墙、
中间隔有一道篱笆的矩形花圃．当犃犅，犅犆各为多少时，花圃的面积最大？
最大面积是多少？
１１．某商品的进价为每件３５元，售价为每件５０元，每个月可卖出２１０件；如果每
件商品的售价每上涨１元，那么每个月少卖７件（每件售价不能高于７０元）．
设每件商品的售价上涨狓元（狓为正整数），每个月的销售利润为狔元．
（１）求狔关于狓的函数解析式，并写出自变量狓的取值范围．
（２）每件商品的售价定为多少时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是
多少？
（３）每件商品的售价定为多少时，每个月的利润为３５００元？根据以上结论，
请你写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于３５００元．
１２．已知矩形的周长为３６ｃｍ，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱．矩形的两邻
边长各为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？



１３．对某条路线的长度进行狀次测量，得到狀个结果狓１，狓２，…，狓狀．如果用狓作为
这条路线长度的近似值，当狓取什么值时，（狓－狓１）２＋（狓－狓２）２＋…＋（狓－狓狀）２
最小？狓所取的这个值是哪个常用的统计量？

６２第二十六章二次函数
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第二十七章反比例函数

现实世界中的变化现象多种多样，除了一次函数、二次函数，还有其他函
数模型可以用于刻画不同的变化规律．例如，同一条铁路线上，由于不同车次
列车的运行时间有长有短，所以它们的平均速度有快有慢．由狊＝狏狋可知，
在路程狊一定的前提下，平均速度狏与运行时间狋成反比例．从函数角度看，
平均速度狏随运行时间狋的变化而变化的规律，可表示为狏＝狊，这类函数就
狋
是本章要研究的反比例函数．
与研究一次函数、二次函数类似，我们先从现实世界中具有反比例关系的
具体变化实例出发，抽象得出反比例函数的概念，然后研究反比例函数的图象
和性质，并运用反比例函数解决一些实际问题．在经历建立模型、求解模型、
验证反思的学习过程中，你将再次体会建立函数模型解决问题的思想与方法．

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２７．１反比例函数的概念

与研究一次函数、二次函数类似，我们仍然从现实世界
中具有某种变化规律的具体实例出发，用函数的眼光分析问
题中变量之间的对应关系，抽象出它们的共同特征，获得反
比例函数的概念．

5

在下列问题中，变量之间具有函数关系吗？如果有，它们的解析式有
什么共同特点？
（１）京沪高铁全程为１３１８ｋｍ，某次列车的平均速度狏（单位：ｋｍ／ｈ）
随此次列车的全程运行时间狋（单位：ｈ）的变化而变化；
（２）某住宅小区要种植一块面积为１０００ｍ２的矩形草坪，草坪相邻两
边的一边长狔（单位：ｍ）随另一边长狓（单位：ｍ）的变化而变化；
（３）李明计划在一段时间内使用完５ＧＢ手机流量，平均每天使用的
流量犙（单位：ＧＢ）随使用完流量的总时间狋（单位：天）的变化而变化．
在问题（１）中，有两个变量狋与狏，当一个量狋变化时，另一个量狏随着狋
的变化而变化，而且对于狋的每一个确定的值，狏都有唯一确定的值与其对应．
问题（２）（３）也一样．所以这些变量之间具有函数关系，它们的解析式分别为

狏＝１３狋１８，狔＝１０狓００，犙＝狋５．

上述解析式都具有狔＝犽的形式，其中犽是非
狓
零常数．　犽
一般地，形如犽（为常数，）的函数在狔＝狓中，当狓＝
狔＝狓犽 犽≠０　犽
叫作反比例函数（　），０时，分式狓无意义．
ｉｎｖｅｒｓｅｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌｆｕｎｃｔｉｏｎ
其中狓是自变量，其取值范围是不等于０的一切
实数．

６４第二十七章反比例函数
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例如，在上面的问题（１）中，当路程一定时，狏＝１３１８表示速度狏是时
狋
间狋的反比例函数．
例已知狔是狓的反比例函数，且当狓＝２时，狔＝６．
（１）写出狔关于狓的函数解析式；
（２）当狓＝４时，求狔的值．
分析：因为狔是狓的反比例函数，所以设狔＝犽．把狓＝２，狔＝６代入上
狓
式，就可求出常数犽的值．
解：（１）设狔＝犽．因为当狓＝２时，狔＝６，所以
狓
６＝犽．
２
解得　犽＝１２．

因此　狔＝１狓２．
（２）把狓＝４代入狔＝１狓２，得
狔＝１４２＝３．



１．用函数解析式表示下列问题中变量之间的关系：
（１）一个游泳池的容积为２０００ｍ３，游泳池注满水所用时间狋（单位：ｈ）
随注水速度狏（单位：ｍ３／ｈ）的变化而变化；
（２）学校准备将１０００ｍ２实践田平均划分给一些班级，每班分得的实
践田面积狔（单位：ｍ２）随班级个数狓的变化而变化；
（３）在某次物理实验中，电路中的电压犝为３Ｖ，则该电路中的电流犐
（单位：Ａ）随电阻犚（单位：Ω）的变化而变化．
２．已知狔是狓的反比例函数，当狓＝－２时，狔＝４．求这个函数的解析式
和自变量的取值范围．

第二十七章反比例函数６５
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用





１．用函数解析式表示下列问题中变量之间的关系，并指出它们各是什么函数：
（１）圆柱形蓄水池的容积是常数犞（单位：ｍ３），其底面积犛（单位：ｍ２）与高
犺（单位：ｍ）之间的关系；
（２）王芳要把一篇包含３２０００字的调查报告录入电脑，完成录入所用时间狋（单
位：ｍｉｎ）与录入平均速度狏（单位：字／ｍｉｎ）之间的关系；
（３）列车从相距２２４０ｋｍ的甲地行驶到乙地，平均速度狏（单位：ｋｍ／ｈ）与全
程行驶时间狋（单位：ｈ）之间的关系；
（４）列车以３００ｋｍ／ｈ的平均速度从甲地行驶到乙地，行驶路程狊（单位：ｋｍ）
与行驶时间狋（单位：ｈ）之间的关系．



２．已知反比例函数狔＝犽（犽＞０），当自变量狓扩大到原来的犪倍（犪≥２，且犪
狓
为正整数）时，对应的函数值狔将如何变化？请说明理由．



３．已知狔与狓２成反比例，且当狓＝３时，狔＝４．
（１）写出狔关于狓的函数解析式；
（２）当狓＝１．５时，求狔的值；
（３）当狔＝６时，求狓的值．

６６第二十七章反比例函数
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２７．２反比例函数的图象和性质

与研究一次函数、二次函数的图象和性质类似，在建立
反比例函数的概念后，我们类比上述函数图象和性质的研究
方法，研究反比例函数的图象和性质．

5

回顾一次函数、二次函数的图象和性质的研究过程，如何研究反比例
函数的图象和性质？
在研究一次函数、二次函数的图象和性质时，都是先画出函数的图象，再
利用图象，结合函数的解析式研究函数的性质，这种方法同样适用于反比例
函数．
有了前面的知识储备，我们换一个角度，从反比例函数的解析式出发，思
考它的图象形状，运用数形结合的方法研究其性质．
与对一次函数的研究一样，需要对反比例函数解析式狔＝犽（犽为常数，
狓
犽≠０）中的犽分情况讨论，即分犽＞０，犽＜０两种情况．
先研究犽＞０时的情况，我们从具体的反比例函数开始．

/

对于反比例函数狔＝３与狔＝６，结合它们的解析式，分析自变量
狓狓
的取值范围，以及狔随狓的变化而变化的规律，你能想象一下它们图象
的位置和形状吗？你能画出它们图象的示意图吗？
用描点法画出反比例函数狔＝３与狔＝６的图象，看看它们是否与
狓狓
你画出的示意图大致相同．
下面用描点法画函数狔＝３与狔＝６的图象．
狓狓

第二十七章反比例函数６７
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（１）列表．写出几组狓与狔的对应值（填空）：
狓…－６－５－４－３－２－１１２３４５６…

狔＝狓３… －３４－１ ３ １ ３５ …
狔＝狓６…－１－６５－２－３６ ２３２１…

（２）描点．以表中各组对应值为坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点．
（３）连线．用平滑的曲线顺次连接描出的点，就得到函数狔＝３与狔＝６
狓狓
的图象（图２７．２１）．

y
6 3
y=x
4

y
6y=6
x
4

2
-6-4-2O 246x -6-4-2O 246x数图象由两支曲线组成．
-2
-4

2
-2
-4

因为狓≠０，所以函
在画示意图时，你注意
到这一点了吗？

-6

-6

图２７．２１

5

观察反比例函数狔＝３与狔＝６的图象，回答下列问题：
狓狓
（１）每个函数的图象分别位于哪
些象限？　y

5

y=k

（２）在每一个象限内，随着狓的　4　x
增大，狔如何变化？你能由它们的解析32

式说明理由吗？

y=x

利用信息技术工具，画反比例函数 -1-2
狔＝犽（犽＞０）的犽取不同值时的图象-3
狓
（图２７．２２），考虑问题（１）（２），你能得
出同样的结论吗？

k=12
-4-5
图２７．２２

６８第二十七章反比例函数
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一般地，当犽＞０时，对于反比例函数狔＝犽，结合函数图象与解析式，
狓
可以发现：
（１）函数图象的两支分别位于第一、第三象限；
（２）在每一个象限内，狔随狓的增大而减小．
接下来，我们研究犽＜０时反比例函数的图象和性质．

/

回顾上述过程，我们从特殊到一般、数形结合地研究了反比例函数狔＝
犽（犽＞０）的图象和性质，你能用类似的方法研究反比例函数狔＝犽（犽＜０）
狓　狓
的图象和性质吗？
一般地，当时，对于反比例函数犽，　y
犽＜０　狔＝狓y=kx(k0)
结合函数图象（图２７．２３）与解析式，可以发现：
（１）函数图象的两支分别位于第二、第四象限；　O　x
（２）在每一个象限内，狔随狓的增大而增大．

图２７．２３

3

反比例函数狔＝犽的图象特征和性质如下：
狓
（１）反比例函数的图象由两条曲线组成，它是双曲线．
（２）当犽＞０时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个
象限内，狔随狓的增大而减小；
当犽＜０时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限
内，狔随狓的增大而增大．

第二十七章反比例函数６９
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１．如图所示的图象对应的函数解析式为（）．
（Ａ）狔＝５狓（Ｂ）狔＝２狓＋３（Ｃ）狔＝４（Ｄ）狔＝－２
y　狓y　狓

（第１题）　（第２题）
２．反比例函数狔＝犽的图象如图所示，则犽０；在每个象限内，狔随
狓
狓的增大而．

例１已知反比例函数的图象经过点犃（－２，４）．
（１）这个函数的图象位于哪些象限？狔随狓的增大如何变化？

（２）点犅（１，－８），犆（２１２，－３１５），犇（２，４）是否在这个函数的图象上？

解：（１）反比例函数图象的位置只有两种可能：位于第一、第三象限，或
者位于第二、第四象限．因为点犃（－２，４）在第二象限，所以这个函数的图
象位于第二、第四象限．在每一个象限内，狔随狓的增大而增大．
（２）设这个反比例函数的解析式为狔＝犽．因为点犃（－２，４）在其图象
狓
上，所以点犃的坐标满足狔＝犽，即
狓
４＝犽．
－２
解得　犽＝－８．
因此，这个反比例函数的解析式为狔＝－８．因为点犅，犆的坐标都满足
狓
７０第二十七章反比例函数
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狔＝－８，点犇的坐标不满足狔＝－８，所以点犅，犆在函数狔＝－８的图象
狓　狓　狓
上，点犇不在这个函数的图象上．
例图 中的曲线是反比例函数犿－５的图y
２２７．２４狔＝狓
象的一支．根据图象，回答下列问题：
（１）图象的另一支位于哪个象限？常数犿的取值范围　x
是什么？　O
（２）在这个函数图象的某一支上任取点犃（狓１，狔１）和图２７．２４
点犅（狓２，狔２）．如果狓１＞狓２，那么狔１和狔２有怎样的大小关系？
解：（１）因为这个函数的图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第
三象限．
因为这个函数的图象位于第一、第三象限，所以
犿－５＞０．
解得　犿＞５．
（２）因为犿－５＞０，所以在这个函数图象的任意一支上，狔都随狓的增大
而减小．因此当狓１＞狓２时，狔１＜狔２．



１．已知一个反比例函数的图象经过点犃（２，６）．
（１）这个函数的图象位于哪些象限？在每一个象限内，狔随狓的增大如
何变化？

（２）点犅（３，４），犆（－２１２，－４４５），犇（２，－６）是否在这个函数的图

象上？为什么？
２．反比例函数狔＝犿＋２的图象的一支位于第二象限，图象的另一支位于
狓
哪个象限？常数犿的取值范围是什么？
３．已知点犃（狓１，狔１），犅（狓２，狔２）在反比例函数狔＝１的图象上．如果
狓
狓１＜狓２，且狓１，狓２同号，那么狔１，狔２有怎样的大小关系？为什么？
第二十七章反比例函数７１
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１．函数狔＝－３的图象大致是（）．
y狓　y　y　y

!

"#

$

（第１题）
２．填空题．
（１）反比例函数狔＝犽的图象如图（１）所示，则犽０，在每一个象限内，
狓
狔随狓的增大而；
（２）反比例函数狔＝犽的图象如图（２）所示，则犽０，在每一个象限内，
狓
狔随狓的增大而；
（３）若点（１，３）在反比例函数狔＝犽的图象上，则犽＝，在每一个象
狓
限内，狔随狓的增大而．

y

y

O

x

O

x

（１）　（２）
（第２题）
３．李明需要制作一个底面积为２０ｃｍ２的长方体无盖纸盒，底面矩形的一边长狔
（单位：ｃｍ）与其邻边长狓（单位：ｃｍ）之间的关系可以用图象大致表示为（）．

y/cm

y/cm

y/cm

y/cm

O x/cm O x/cm O x/cm

O x/cm

!

"#

$

（第３题）

７２第二十七章反比例函数
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４．已知点（－２，－４）在反比例函数狔＝犽的图象上．
狓
（１）当狔＜４时，求狓的取值范围；
（２）已知点犃（－３，狔１），犅（－５，狔２），犆（４，狔３）在这个反比例函数的图象
上，比较狔１，狔２，狔３的大小，并用反比例函数的性质说明理由．
５．正比例函数狔＝－狓的图象与反比例函数狔＝犽的图象有一个交点的纵坐标
狓
是２．
（１）当狓＝－３时，求反比例函数狔＝犽的值；
狓
（２）当－３＜狓＜－１时，求反比例函数狔＝犽的取值范围．
狓



６．在同一平面直角坐标系中，函数狔＝犽狓与狔＝犽（犽≠０）的图象大致是
狓
（）．
（Ａ）（１）（２）（Ｂ）（１）（３）（Ｃ）（２）（４）（Ｄ）（３）（４）

y

y

y

y

O

x

O x

O x

O

x

（１）　（２）　（３）　（４）
（第６题）
７．已知反比例函数狔＝犪－槡２的图象的一支位于第一象限．
狓
（１）图象的另一支位于哪个象限？常数犪的取值范围是什么？
（２）在该函数图象上任取点犃（狓１，狔１）和点犅（狓２，狔２）．如果狔１＞狔２，那么
狓１与狓２有怎样的大小关系？

第二十七章反比例函数７３
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２７．３实际问题与反比例函数

函数是具有广泛应用的数学模型．对于某些实际问题，
如果其中两个变量之间具有反比例关系，那么我们就可以利
用反比例函数来研究它．
例１港口的起重机每小时可往一艘轮船上装
载７００ｔ货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了
９ｈ．
（１）此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机
平均卸载速度狏（单位：ｔ／ｈ）与卸载完所有货物的
总时间狋（单位：ｈ）之间有怎样的函数关系？
（２）由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过６ｈ卸载完毕，那么起
重机平均每小时至少要卸载多少货物？
分析：根据“平均装载速度×装载总时间＝货物总量”，可以先求出轮船
装载货物的总量；再根据“平均卸载速度＝货物总量÷卸载总时间”，得到狏
关于狋的函数解析式．
解：（１）轮船上的货物总量为７００×９＝６３００（ｔ），所以狏关于狋的函数解
析式为

狏＝６３狋００．
（２）把狋＝６代入狏＝６３狋００，得
狏＝６３６００＝１０５０（ｔ／ｈ）．

从结果可以看出，如果全部货物恰好用６ｈ卸载完，那么平均每小时卸载

１０５０ｔ．对于函数狏＝６３狋００，当狋＞０时，狋越小，狏越大．因此，若货物不超

过６小时卸载完，则平均每小时至少要卸载１０５０ｔ货物．

７４第二十七章反比例函数
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古希腊科学家阿基米德（公元前２８７—前２１２）发现：若杠杆上的两物体与
支点的距离与其所受重力成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原
理”．杠杆原理为：阻力×阻力臂＝动力×动力臂（图２７．３１）．











图２７．３１
例２某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为１２００Ｎ
和０．５ｍ．
（１）动力犉（单位：Ｎ）与动力臂犾（单位：ｍ）有怎样的函数关系？当动力
臂为１．５ｍ时，撬动石头至少需要多大的力？
（２）若想使动力犉不超过（１）中所用力的一半，则动力臂犾至少要加长
多少？
解：（１）根据“杠杆原理”，得
犉犾＝１２００×０．５，
所以犉关于犾的函数解析式为

犉＝６犾００．

当犾＝１．５ｍ时，

犉＝６１．５００＝４００（Ｎ）．

对于函数犉＝６００，当犾＝１．５ｍ时，犉＝４００Ｎ，此时杠杆平衡．因此，
犾
撬动石头至少需要４００Ｎ的力．

（２）对于函数犉＝６犾００，当犾＞０时，犉随犾的增大而减小．因此，只要求

出犉＝２００Ｎ时对应的犾的值，就能确定动力臂犾至少应加长的量．

将犉＝４００×１２＝２００代入犉＝６犾００，得
２００＝６犾００，
犾＝６２００００＝３（ｍ）．

第二十七章反比例函数７５
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

因此，若想用力不超过４００Ｎ的一半，动力臂用反比例函数的知识
的长度就应该不小于３ｍ，则动力臂至少要加长解释：在使用撬棍时，为
３－１．５＝１．５（ｍ）．　什么动力臂越长就越省力？



１．如图，某玻璃器皿制造公司要制造容积为１２０ｃｍ３（不
计直玻璃管部分）的圆锥形漏斗．　h
（１）漏斗口的面积犛（单位：ｃｍ２）与漏斗的深犺（单位：
ｃｍ）有怎样的函数关系？
（２）如果漏斗口的面积不超过５０ｃｍ２，那么漏斗的深犺
至少为多少？　（第１题）
２．为推广新能源汽车，某销售商推出免息分期付款的购车促销活动．客户
交付首付款后，在３６个月内结清余款即可．小张在活动期间购买了价
格为１８万元的汽车，首付款６万元．他计划用狓个月结清余款，平均
每月还款狔万元．
（１）狔与狓有怎样的函数关系？
（２）如果小张打算２０个月结清余款，那么他平均每月应还款多少万元？
（３）如果小张打算每月还款不超过５０００元，那么他至少要多少个月才
能结清余款？

例３在力犉（单位：Ｎ）的作用下，若物体会在s/m
力犉的方向上发生位移狊（单位：ｍ），则力犉所做的50(10,50)
功犠（单位：Ｊ）满足犠＝犉狊．当犠为定值时，狊与犉
之间的函数关系如图２７．３２所示．　O10　F/N
（１）当力犉为１０Ｎ时，求犉所做的功犠；
（２）写出狊关于犉的函数解析式；　图２７．３２
（３）在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于１００ｍ，求
力的范围．
解：（１）由图２７．３２可知，当力犉为１０Ｎ时，物体在力犉的方向上发生
７６第二十七章反比例函数
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

的位移狊为５０ｍ，此时犉所做的功犠＝犉狊＝１０×５０＝５００（Ｊ）．
（２）当犠为定值时，可以用反比例函数描述狊与犉之间的关系．由（１）
可知其解析式为
狊＝５００．
犉
（３）将狊＝１００代入狊＝５００，可得犉＝５（Ｎ）．
犉
因为狊随着犉的增大而减小，所以要使物体在力的作用下的位移小于１００ｍ，
力犉要大于５Ｎ．
例４一辆客车从甲地行驶到乙地，平均速度狏（单 V/(km·h-1)
位：ｋｍ／ｈ）与行驶全程所用时间狋（单位：ｈ）的函数关120
系如图２７．３３所示，其中６０≤狏≤１２０．　60
（１）写出狏关于狋的函数解析式，并求狋的取值O12345t/h
范围；
（２）若客车上午８时从甲地出发，需在当天１０时 图２７．３３
４０分至１１时之间到达乙地，求客车平均速度狏的范围．
解：（１）甲地到乙地的路程为定值，可以用反比例函数描述狏与狋之间的
关系．由图２７．３３可知，当狋＝２时，狏＝１２０，于是有
狏＝２４０．　①
狋
当狏＝６０时，由①得狋＝４．
因为６０≤狏≤１２０，并且平均速度狏随着行驶全程所用时间狋的增大而减
小，所以２≤狋≤４．
（２）客车上午８时从甲地出发，若当天１０时４０分到达乙地，则行驶全程

所用时间狋＝２２３ｈ，代入①，可得狏＝９０（ｋｍ／ｈ）；若当天１１时到达乙地，则

行驶全程所用时间狋＝３ｈ，代入①，可得狏＝８０（ｋｍ／ｈ）．
因为平均速度狏随着行驶全程所用时间狋的增大而减小，所以客车平均速
度狏的范围是８０≤狏≤９０．

第二十七章反比例函数７７
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用



１．近视眼镜镜片的度数狔（单位：度）是关于镜片焦距y/
狓（单位：ｍ）的反比例函数，其图象如图所示． 400(0.25,400)
（１）求近视眼镜镜片的度数狔关于镜片焦距狓的
函数解析式；　O0.25　x/m
（２）若某近视眼镜的镜片为５００度，求其焦距． （第题）
２．收音机的音量、台灯的亮度以及电风扇的转速都１
可以通过内置的可变电阻来调节．某用电器内置可变电阻犚的范围为
犝２
１１０～２２０Ω，电压犝为２２０Ｖ．已知功率犘＝犚，回答下列问题：
（１）功率犘与电阻犚有怎样的函数关系？
（２）这个用电器的功率犘的范围是多少？

函数是刻画现实世界中变量关系和变化规律的数学模型．面对不同的实际
问题，我们需要根据数据和图象特征选择合适的函数模型，确定函数解析式，
利用函数解决问题．

/

某物理实验小组研究气体的压强狆（单位：ｋＰａ）与体积犞（单位：ｍＬ）
的关系，在温度不变的条件下，通过实验得到了６组数据（表２７．３１）．
表２７３１
序号１２３４５６
体积犞／ｍＬ２０１８１６１４１２１０
压强狆／ｋＰａ１００１１２１２３１４５１６３２０１
气体的压强狆与体积犞是否存在一定的函数关系？如果存在，请你
建立函数模型，并估计当压强为１３２ｋＰａ时，气体的体积为多少（结果保
留小数点后两位）．
分析：由表２７．３１可知，压强狆是体积犞的函数．由于没有现成的函数
模型，所以需要选择合适的函数类型．

７８第二十七章反比例函数
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（１）为直观分析这组数据的变化规律，可以先画出散点图（图２７．３４（１））．
观察这些点的分布状况，画一条曲线，使其尽可能靠近所有这些点．可以发
现，图２７．３４（２）中的曲线形似双曲线的一支，因此尝试选择反比例函数近
似描述气体的压强狆与体积犞之间的关系．

p/kPa

p/kPa

200

200

180

180

160

160

140

140

120

120

（１）　（２）
图２７．３４
（２）建立模型．设函数解析式为狆＝犽（犞＞０），根据表２７．３１中的数据，
犞
分别求出犽的值，列出表２７．３２．
表２７３２
犞 ２０１８１６１４１２１０
狆 １００１１２１２３１４５１６３２０１
犽２０００２０１６１９６８２０３０１９５６２０１０
计算所有犽值的平均值，得

犽＝１６（２０００＋２０１６＋１９６８＋２０３０＋１９５６＋２０１０）≈１９９７．

我们把这个平均值１９９７作为犽的值，就得到一个函数模型
狆＝１９９７．　①
犞
（３）检验模型．将已知数据代入①，或画出函数①的图象，可以发现，这
个函数模型与实际数据基本吻合，说明它能较好地反映气体的压强狆与体积犞
的关系．
（４）求解问题．将狆＝１３２代入①，得
１３２＝１９９７．
犞
第二十七章反比例函数７９
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解得　犞＝１９９７≈１５．１３（ｍＬ）．
１３２
因此，当压强为１３２ｋＰａ时，气体的体积约为１５．１３ｍＬ．



回顾“探究”，回答以下问题：
（１）表２７．３１中的有些数对只能近似满足函数解析式狆＝１９９７（犞＞０），
犞
即图２７．３４（１）中的点并没有完全落在函数①的图象上，这种建立函
数模型的方式与你以往所学有什么不同？
（２）结合“探究”和问题（１）所涉及的分析与解决问题的过程，归纳建
立函数模型解决实际问题的一般步骤．





１．举出一个生活中应用反比例函数的例子．
２．某农业大学计划修建一块面积为２×１０６ｍ２的矩形试验田．
（１）试验田的一边长狔（单位：ｍ）关于它的邻边长狓（单位：ｍ）的函数解析
式是什么？
（２）如果试验田的相邻两边长的比为２∶１，那么试验田的两邻边长分别为多少？
３．学校食堂一次性购买了３０００ｋｇ大米．
（１）这些大米能够使用的天数犿与食堂平均每天的用米量狀（单位：ｋｇ）有怎
样的函数关系？
（２）如果食堂平均每天使用大米２００～２５０ｋｇ，那么至少多少天后，食堂需再
购买大米？
４．在对地面的压力一定的情况下，地面所受的压强狆（单位：Ｐａ）是受力面积犛
（单位：ｍ２）的反比例函数，请填下表：
狆／Ｐａ　４００３００２００１５０１２０１００
犛／ｍ２０．５０．６１１．２１．５
５．已知甲、乙两地相距狊（单位：ｋｍ），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶全
程所用时间狋（单位：ｈ）关于行驶速度狏（单位：ｋｍ／ｈ）的函数图象是（）．
８０第二十七章反比例函数
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

t/h

t/h

t/h

t/h

O
V/(km·h)

-1O
V/(km·h)

-1O
V/(km·h)

-1

（Ａ）　（Ｂ） （Ｃ）　（Ｄ）
（第５题）



６．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的容积犞 r/(kg·m-3)
（单位：ｍ３）变化时，气体的密度（单位：ｋｇ／ｍ３）随76
ρ　5
之变化．已知密度ρ与容积犞是反比例函数关系，它的4
图象如图所示．　32　A(5,1.98)
（１）写出密度ρ关于容积犞的函数解析式；　1
（２）当犞＝９ｍ３时，求二氧化碳的密度．　O1234567V/m3
ρ
７．某棉花种植大户准备用４台同型号的大型棉花采摘机采（第６题）
摘６００ｈｍ２棉花．
（１）采摘完该农场棉花所需时间狔（单位：天）与每台棉花采摘机的工作效率狓
（单位：ｈｍ２／天）有怎样的函数关系？
（２）４台棉花采摘机全部投入工作，每天最多共可采摘６０ｈｍ２棉花，预计棉花采
摘最快可在几天内完成？　I/A
８．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流犐（单位：Ａ）
与电阻犚（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．4
（１）写出电流犐关于电阻犚的函数解析式；　O　9 ?
（２）如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过R/
１０Ａ，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？（第８题）



９．生活中有各式各样的电子屏幕．在相同分辨率下，屏幕尺寸不同，屏幕的像素密
度也会不同．下表记录了当分辨率为１９２０×１０８０时，某些电子屏幕的尺寸狓（单
位：英寸）与像素密度狔（单位：ＰＰＩ）的相关数据．
屏幕尺寸狓／英寸 ５７１５２４２７
屏幕像素密度狔／ＰＰＩ４４０３１４１４７９２８１
（１）试确定屏幕像素密度狔关于屏幕尺寸狓的函数解析式；

第二十七章反比例函数８１
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

（２）某电子屏幕的分辨率为１９２０×１０８０，屏幕像素密度约为４０ＰＰＩ，则该屏幕尺
寸为多少（结果取整数）？



生活中的反比例函数
如果细心观察，你会发现，日常生活中的两个量之间，有许多具有反比例
变化规律．
你一定熟悉这种现象：生活中常用的刀具，使用一段时间后就会变钝，用
起来很费劲．如果把刀刃磨薄，刀具就会锋利起来．你知道这是为什么吗？
解释这种现象需要考虑压强与受力面积之间的关系．压强不仅与压力的大
小有关，还与受力面积的大小有关．压强就是单位面积上受到的压力，压强的
计算公式为
狆＝犉，
犛
其中狆为压强，犉为压力，犛为受力面积．从上
式可以看出，当压力犉一定时，压强狆是受力面
积犛的反比例函数．使用刀具时，刀刃磨得越薄，
即刀刃与物体的接触面积越小，压强就越大，刀
具就会越锋利．　图１
如图１，你能解释为什么要在挖掘机的轮子
上安装又宽又长的履带吗？你能说明大型载重卡车装有许多车轮的原因吗？
再如，在不考虑其他因素的情况下，一辆匀速行驶的汽车空载时行驶得很
快，满载时速度明显减小了，这是为什么呢？
这里涉及汽车的行驶速度与汽车所受阻力之间的反比例关系．设汽车的功
率为犘，行驶速度为狏，所受阻力为犉，三者满足关系
狏＝犘．
犉
从上面的式子可以看出，当汽车的功率犘一定时，行驶速度狏是阻力犉的
反比例函数．也就是说，汽车负载越大，阻力就越大，行驶速度就会越小．
你还能再举出一些生活中应用反比例函数的例子吗？

８２第二十七章反比例函数
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"*-
*
3

下表是１０个面积相等的矩形的两邻边长，请补全表格．
一边长／ｃｍ１２３４５

邻边长／ｃｍ

２５３１７０５４１９０１

设∠犃为这１０个矩形的公共角，画出这１０个矩形，然后取∠犃的
１０个对角的顶点，并把这１０个点用平滑的曲线连接起来．
这条曲线是反比例函数图象的一支吗？为什么？

"*0@"F

如图１，物理兴趣小组的同学们做了一个圆柱形简易密
度计，其质量为７．２ｇ，底面积为１ｃｍ２，能悬浮在液体中．
经过实验，小组同学记录了当简易密度计悬浮在不同液体中
时，其浸入液体的深度，得到如下数据：　图１
液体汽油煤油植物油水饱和盐水蜂蜜
ρ／（ｇ·ｃｍ－３）０．７００．８００．９０１．００１．１５１．４０
犺／ｃｍ１０．２９９ ８ ７．２６．２６５．１４
（１）简易密度计浸入液体的深度犺（单位：ｃｍ）与液体的密度ρ（单
位：ｇ／ｃｍ３）之间是否具有函数关系？如果有，请你选择合适的函数模型
描述这种关系．
（２）当简易密度计悬浮在牛奶中时，它浸入牛奶的深度为６．９９ｃｍ，
则牛奶的密度为多少（结果保留小数点后两位）？

第二十七章反比例函数８３
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用


 





K

Y

X






 



 


 

与一次函数和二次函数类似，在本章中，我们先从现实世界中具有
反比例关系的实例出发，从函数角度刻画了反比例关系，认识了反比例
函数狔＝犽；然后研究了反比例函数的图象和性质，并用反比例函数解决
狓
了一些实际问题．
反比例函数刻画了具有反比例关系的两个变量之间的对应关系：在变
量狔随变量狓的变化而变化的过程中，它们的积狓狔始终保持不变（狓狔＝
犽，犽≠０）．这也是判断一个问题能否用反比例函数来刻画的依据．运用这一
点，我们可以通过分析数据或图象，建立反比例函数模型解决实际问题．
从一次函数到二次函数，再到反比例函数，我们一直在经历用函数
的眼光观察现实世界事物的变量关系和变化规律，用函数的思想方法分
析问题和解决问题的过程，这有助于我们提升抽象能力，增强模型观念．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．举例说明什么是反比例函数，反比例函数描述了怎样的变化规律？
２．反比例函数狔＝犽的图象是怎样的？反比例函数有什么性质？
狓
３．你能举出几个现实生活中运用反比例函数性质的实例吗？

８４第二十七章反比例函数
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４．回顾应用反比例函数解决实际问题的过程，总结建立函数模型解
决实际问题的步骤．
５．结合本章的学习，你能总结研究一类函数模型的思路和方法吗？





１．在下列式子中，狔是狓的反比例函数的是（）．
（Ａ）狔＝１２　（Ｂ）狔狓＝－槡３
狓
（Ｃ）狔＝５狓＋６　（Ｄ）槡狓＝１
狔

２．对于反比例函数狔＝狓３，当狓＝－１２时，函数狔的值是．

３．填空题．

（１）函数狔＝１狓０的图象位于第象限，在每一个象限内，狔随狓的增大而

；

（２）函数狔＝－１狓０的图象位于第象限，在每一个象限内，狔随狓的增大

而．

４．已知反比例函数狔＝狓犽（犽≠０），当狓＝－６时，狔＝２３．

（１）求狔关于狓的函数解析式及自变量狓的取值范围；
（２）判断点（－２，２），（１，４）是否在这个函数的图象上．



５．对于反比例函数狔＝犽－１，在每一个象限内，狔随狓的增大而减小，求犽的取
狓
值范围．
６．如图，一块砖的犃，犅，犆三个面的面积比是４∶２∶１．如果C　A
犅面向下放在地上，地面所受压强为狆（单位：Ｐａ），那么　B
犃面和犆面分别向下放在地上时，地面所受压强各是多少？（第６题）

第二十七章反比例函数８５
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７．已知某品牌显示器的寿命大约为３×１０４ｈ．
（１）这种显示器可工作的天数犱与平均每天工作的小时数狋之间具有怎样的函数
关系？
（２）如果平均每天工作１０ｈ，那么这种显示器大约可使用多少天？
８．把下列函数的解析式与其图象对应起来：
（１）狔＝２；（２）狔＝２；（３）狔＝－２；（４）狔＝－２．
狓　狓　狓　狓

y
4

y
4

y
4

y
4

2

2

2

2

-4

-4

-4

-4

!

"#

$

（第８题）



９．两个不同的反比例函数的图象是否有公共点？为什么？
１０．在同一平面直角坐标系中，若正比例函数狔＝犽１狓的图象与反比例函数狔＝犽２
狓
的图象没有公共点，确定犽１犽２的取值范围．
１１．市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为１０６ｍ３，某运输
公司承担了运送土石方的任务．
（１）运输公司平均运送速度狏（单位：ｍ３／天）与完成运送任务所需时间狋（单位：
天）之间具有怎样的函数关系？
（２）运输公司原有１００辆卡车，每天共可运送土石方１０４ｍ３．运送４０天后，由
于工程进度的需要，剩下的所有运输任务必须在５０天内完成，公司至少应
增加多少辆卡车？

８６第二十七章反比例函数
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综合与实践
高铁列车运行中的数量关系

坐风驰电掣的高铁列车，看行稳致远
的美丽中国．
我国高速铁路从无到有，由少到多，
无论是建设，还是运营，都实现了跨越式
发展．现在，我国是全球高铁建设速度最
快、运营里程最长的国家．



１．科学、全面分析已有信息，通过假设、推理和运算，进行估计和判断，
获得新的信息．
２．对照估计获得的信息与真实信息，反思解决问题过程中的收获与不足．
３．根据实际信息，推断高铁列车的大致运行状态．
４．认识路程随时间均匀变化（一次函数），速度随时间均匀变化（一次函
数），以及路程随时间非均匀变化（二次函数）的数学模型．
５．全面认识“犪＝犫犮”型的数量关系．



１．查阅相关资料，了解我国高速铁路的建设和运营情况，例如：第一条
高速铁路通车时间，历年高速铁路通车里程，截至去年年底高速铁路通车总里
程；高铁列车的型号、命名和运行时速；高铁列车之所以“高速”的原因．
２．查阅相关资料，初步了解匀变速运动的概念，知道物体进行匀变速运
动时，路程关于时间的函数解析式．



根据高铁列车时刻表，获得信息、提出问题
任务１图１是２０２６年３月“北京南—上海虹桥”的Ｇ１３次“复兴号”高
综合与实践高铁列车运行中的数量关系８７
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铁列车的时刻表，你能由此表得到哪些信息？你能根据所得信息发现并提出哪
些问题？

图１
任务２根据从高铁列车时刻表中得到的信息，你能否解决自己提出的问
题？如果不能，还需要获得哪些信息？
研究高铁列车运行路程、速度、时间之间的数量关系
２０２６年３月１日，某乘客乘Ｇ１３次“复兴号”京沪高铁列车，由北京南到
上海虹桥．由时刻表知道，该列车行驶全程用时约４．５ｈ，经停济南西、南京南
两站，在两站均停留２ｍｉｎ．从北京南到济南西行驶用时约１．５ｈ，从济南西到南
京南行驶用时２ｈ，从南京南到上海虹桥行驶用时约１ｈ．该乘客通过列车屏幕上
的信息发现，列车大概在出站１５ｍｉｎ后加速到最大值３５０ｋｍ／ｈ，在入站前
１５ｍｉｎ由３５０ｋｍ／ｈ减速直至０ｋｍ／ｈ，在中间时间段近似以３５０ｋｍ／ｈ的速度匀
速行驶．
任务１根据上述信息，你能提出什么问题？
（１）你能估计“北京南至济南西”的路程吗？“济南西至南京南”呢？“南
京南至上海虹桥”呢？
（２）列车在上述三段路线中的平均速度一样吗？不计算能判断吗？依据是
什么？
（３）京沪高铁全长大概是多少？列车的全程平均速度大概是多少？全程的
平均速度等于每段平均速度的平均值吗？
（４）画出列车运行全程中速度随时间变化的图象．
任务２研究高铁列车运行路程与时间之间的关系．
８８综合与实践高铁列车运行中的数量关系
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（１）查询京沪高铁在这三段路线上的实际长度，你的估计是否准确？如果
存在差异，分析产生差异的可能原因．
（２）假设列车在这三段路线的起始狋ｍｉｎ、最后狋ｍｉｎ分别做匀变速运动，
中间阶段以３５０ｋｍ／ｈ做匀速运动．由这三段的实际路程，以及列车时刻表，
描述Ｇ１３次“复兴号”高铁列车的大致运行状态．
（３）画出列车运行路程随时间变化的图象．根据图象，你还能提出并解决
哪些问题？
问题的反思与拓展
任务１我们根据Ｇ１３次“复兴号”高铁列车的时刻表，以及运行状态，
估计了北京南至上海虹桥间的三段路程，进而得到平均速度．这里的关键是对
运行状态的假设，即分别在三段路线的起、止两个阶段做匀变速运动，中间阶
段做匀速运动．
实际上，高铁列车的运行状态非常复杂，绝对的匀速、匀变速几乎是不可
能的．但是，这样的假设来自实践经验，是对问题的简单化、理想化的描述，
可以使我们运用已有的知识研究问题，这是科学研究常用的方法．
回顾上述解决问题的过程，谈一谈你的体会．
任务２假设高铁相邻两站之间的路程为狊ｋｍ，列车在这段路程的运行时间
为狋ｈ，运行的起始狋１ｈ、最后狋２ｈ分别做匀变速运动，中间阶段以３５０ｋｍ／ｈ
做匀速运动，这时相邻两站之间的路程狊关于时间狋，狋１，狋２的代数表达式是
什么？



１组建合作团队
本次综合与实践活动需要团队协作．在班级中组成５～８人一组的研究小
组，每位同学参加其中一个小组，每个小组确定一名负责人．
２方案构思
小组成员进行充分的讨论与交流，集思广益，形成解决上述任务的方案．
３方案实施
按照小组设计的方案进行任务分工，使每位成员都有明确的任务，根据规
划的研究步骤实施，完成活动任务，形成研究报告．
综合与实践高铁列车运行中的数量关系８９
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４展示交流
制作向全班汇报的演示文稿，选出代表向全班同学展示本组的研究成果，
分享实践过程中的活动经验、遇到的困难及其解决方法，反思活动中的不足．



通过成果展示与交流，基于各组完成的研究报告，根据情况选择任务完成
表、表现评分表、自我反思表等进行评价．与老师和全班同学一起，通过质
疑、辩论、评价，总结成果，分享体会，分析不足，开展自我评价、同学评价
和教师评价，完成本次综合与实践活动．

９０综合与实践高铁列车运行中的数量关系
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第二十八章旋转

在我们的生活中，能看到许多转动着的物体，如车轮、风力发电机、直升
机的螺旋桨、时钟的指针、水车……．我们生活在一个处处能见到旋转现象的
世界中．
在数学中，与平移、轴对称一样，旋转也是一种图形变化．我们应该怎样
描述旋转呢？旋转又有什么性质呢？本章我们将应用研究平移、轴对称的方法
研究这些问题．另外，在本章中我们还要学习一类特殊的旋转———中心对称，
并综合应用平移、轴对称和旋转等进行图案设计，由此加深对图形变化的
认识．
让我们一起来探索旋转的奥秘吧！

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２８．１图形的旋转

在我们身边，旋转现象随处可见．用数学的眼光观察这些
旋转现象，如何描述它们？如何画出一个图形旋转后的图形？

5

如图２８．１１，钟表的指针在不停地转动，从３时到５时，时针转动了
多少度？
如图２８．１２，风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动到新的位置．
如图２８．１３，改变航向时，舵柄绕船舵中间的轴转动．

图２８．１１　图２８．１２　图２８．１３
以上这些运动现象有什么共同特点呢？
我们可以把上面问题中的指针、叶片、舵柄看作平面图形，这些图形都在
平面内围绕着一个点转动．像这样，把一个平面图形绕着平面内某一点犗转动
一个角度，叫作图形的旋转（ｒｏｔａｔｉｏｎ），点犗叫作旋转中心，转动的角叫作旋
转角．如果图形上的点犘经过旋转后变为点犘′，那么这两个点叫作这个旋转
的对应点．例如，在图２８．１１中，时针在旋转，表盘的中心是旋转中心，旋转
角是６０°，在３时的时针端点犘与在５时的时针端点犘′是对应点．
下面研究旋转的性质．
显然，旋转前后，图形的形状、大小未发生变化．也就是说，旋转前后的
图形全等．
接下来，类比对平移、轴对称的研究，我们研究图形旋转前后对应点之间
的关系．

９２第二十八章旋转
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/

如图２８．１４，利用以下方法或信息技术工具，将 A
△犃犅犆绕点犗旋转一个角度，得到△犃′犅′犆′．B C
（１）在硬纸板上，挖一个三角形洞，再另扎一个小
点犗作为旋转中心．　O B
A

（２）硬纸板下面放一张白纸，先在纸上描出这个挖C

掉的三角形图案（△犃犅犆），然后围绕旋转中心犗转动
硬纸板，再描出这个挖掉的三角形（△犃′犅′犆′），移开图２８．１４
硬纸板．
观察犗犃与犗犃′，犗犅与犗犅′，犗犆与犗犆′，你有什么发现？∠犃犗犃′，
∠犅犗犅′，∠犆犗犆′有什么关系？通过测量检验你的发现．
可以发现，犗犃＝犗犃′，犗犅＝犗犅′，犗犆＝犗犆′；∠犃犗犃′＝∠犅犗犅′＝∠犆犗犆′．
一般地，旋转具有性质：
一个图形和其旋转得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等；对应点
与旋转中心所连线段所成的角相等，都等于旋转角．
例１如图２８．１５，将△犃犅犆绕点犆顺时针旋转３５°，　A

得到△犃′犅′犆，若∠犅犆犃′＝１００°，求∠犅′犆犃的度数．　A
解：由旋转的性质可知，　B
　C
∠犅犆犅′＝∠犃犆犃′＝３５°．　B
又因为∠犅犆犅′＋∠犅′犆犃＋∠犃犆犃′＝∠犅犆犃′＝１００°，
所以　∠犅′犆犃＝３０°．　图２８．１５



１．举出一些现实生活、生产中旋转的实例，并指出旋转中心和旋转角．A
２．如图，杠杆绕支点转动撬起重物，
杠杆的旋转中心在哪里？旋转角是B
O　A

哪个角？　B
（第２题）

第二十八章旋转９３
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３．如图，男生坐在秋千上，秋千旋转了８０°．在图
中男生身上任意选一点犘，利用旋转的性质，
标出点犘的对应点．
（１）这两个点到旋转中心的距离有怎样的关系？
（２）这两个点与旋转中心所连线段所成的角是（第３题）
多少度？

给定一个点和一个图形，可以画出这个图形绕这个点旋转一定角度后得到
的图形．
与平移、轴对称类似，在画旋转得到的图形时，对于一些规则的几何图形
（如三角形、矩形），只要画出一些关键点（如三角形、矩形的顶点）的对应
点，连接这些对应点，就可以画出旋转后的图形．
例２如图２８．１６，犈是正方形犃犅犆犇的边犆犇上任意一点，以点犃为
旋转中心，把△犃犇犈顺时针旋转９０°，画出旋转后的图形．

A

D

A

D

E

E

B

C

E
B

C

图２８．１６　图２８．１７
分析：画图的关键是确定△犃犇犈三个顶点的对应点的位置．
解：因为点犃是旋转中心，所以它的对应点是还有其他方法确定
它本身．　旋转后的图形吗？
在正方形犃犅犆犇中，犃犇＝犃犅，∠犇犃犅＝９０°，
所以旋转后点犇与点犅重合．
设点犈的对应点为犈′．因为旋转后的图形与旋转前的图形全等，所以
∠犃犅犈′＝∠犃犇犈＝９０°，犅犈′＝犇犈．
因此，在犆犅的延长线上取点犈′，使犅犈′＝犇犈，则△犃犅犈′为旋转后的图
形（图２８．１７）．
利用旋转，可以设计美丽的图案．如图２８．１８（１），将一个等腰三角形绕
着它正下方的一点旋转，就可以得到图２８．１８（２）中的五角星图案．
９４第二十八章旋转
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想一想，需要旋转
几次，每次的旋转角是
多少？
（１）　（２）
图２８．１８
当选择不同的旋转中心、不同的旋转角旋转同一个图案
（图２８．１９）时，会出现不同的效果．
在图２８．１１０的两个旋转中，旋转中心不变，旋转角改图２８．１９
变了，产生了不同的旋转效果．

图２８．１１０　图２８．１１１
在图２８．１１１的两个旋转中，旋转角不变，旋转中心改变了，产生了不同
的旋转效果．
经过多次旋转，可以得到多个美丽的图案（图２８．１１２）．

图２８．１１２



１．如图，在△犃犅犆中，犃犅＝犃犆，犘是边犅犆上一点．以点犃 A
为旋转中心，取旋转角等于∠犅犃犆，把△犃犅犘逆时针旋
转，画出旋转后的图形．
２．选择一个简单的基本图形，对它进行旋转：　BP C
（１）选择不同的旋转中心、不同的旋转角，观察旋转后的效果；（第１题）
（２）改变基本图形的形状，观察旋转后的效果．

第二十八章旋转９５
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１．下列图形是由一个基本的图形经过旋转得到的，分别指出它们的旋转中心和
旋转角：

（第１题）
２．把图中的五角星图案，绕着它的中心犗旋转．旋转角至少为多少度时，旋转
后的五角星能与自身重合？对等边三角形进行类似的讨论．

O

OC

（第２题）　（第３题）
３．如图，分别画出△犃犅犆绕点犗逆时针旋转９０°和１８０°后得到的图形．
４．任意画一个△犃犅犆，并把它旋转：
（１）以点犃为旋转中心，把△犃犅犆逆时针旋转４０°；
（２）以边犅犆的中点为旋转中心，把△犃犅犆顺时针旋转９０°；
（３）在△犃犅犆内任取一点为旋转中心，把△犃犅犆逆时针旋转１８０°；
（４）在△犃犅犆外任取一点为旋转中心，把△犃犅犆顺时针旋转１２０°．



５．如图，△犃犅犆是一个等边三角形，犇为边犅犆的中点，把　A
△犃犇犆绕点犃顺时针旋转６０°得到△犃犈犅，求∠犃犅犈，E
∠犇犃犈，∠犅犈犇的度数．
６．图中的风车图案，可以由哪个基本的图形、经过什么样B D C
的旋转得到？试着由基本图形，经旋转画出这个图案． （第５题）

９６第二十八章旋转
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C

A

（第６题）　（第７题）
７．如图，在△犃犅犆中，∠犆＝９０°．
（１）将△犃犅犆绕点犅逆时针旋转９０°，画出旋转后的三角形；
（２）按（１）旋转后，点犃的对应点为犃′，若犅犆＝３，犃犆＝４，求犃′犃的长．



８．如图，△犃犅犇，△犃犈犆都是等边三角形．犅犈与犇犆D
有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的A
理由吗？试提出一个类似的问题．（提示：将等边三角B
形换成其他图形．）

E
C
（第８题）



全等变换
在数学中，按照某种方法把一个图形变成另
一个图形，叫作图形变换．图形变换在机械工
程、航空制造、计算机辅助设计等领域有着广泛
的应用．例如在计算机图形学中，经过图形变
换，可以由简单的图形生成复杂的图形，可以用
二维图形表示三维图形，甚至静态图形通过多次
变换，可以呈现动态显示效果等（图１）．
平移、轴对称和旋转都是图形变换，你能发 图
现它们有什么共性吗？　１
可以发现，经过这三种变换，虽然图形位置变化了，但图形的形状、大小
没有改变，即变换前后的图形全等．像这样，只改变图形的位置，而不改变其
形状、大小的图形变换，叫作全等变换．在全等变换中，图形上任意两点间的

第二十八章旋转９７
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距离保持不变，图形上任意三点所成的角保持不变．
下面，我们以三角形的旋转为例，说明线段长度和角的大小经过旋转后保
持不变．
如图２，将△犃犅犆绕点犗旋转，得到△犃′犅′犆′，由旋转A
的性质可知，犗犃＝犗犃′，犗犅＝犗犅′，∠犃犗犃′＝∠犅犗犅′，于　C
是，△犃犗犅≌△犃′犗犅′，进而犃犅＝犃′犅′．　B
同理可知，犃犆＝犃′犆′，犅犆＝犅′犆′，从而△犃犅犆≌O
△犃′犅′犆′，于是∠犃犅犆＝∠犃′犅′犆′，∠犃犆犅＝∠犃′犆′犅′， B
A

∠犅犃犆＝∠犅′犃′犆′．
一般地，在旋转过程中，△犃犅犆上任意两点间的距离保C

持不变，任意三点所成的角保持不变．　图２

９８第二十八章旋转
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２８．２中心对称

前面，我们研究了旋转及其性质，现在来研究一类特殊
的旋转———中心对称．
２８２１中心对称及其性质

5

（１）如图２８．２１，把其中一个图案绕点犗旋转１８０°，你有什么发现？

O

A

D

图２８．２１　图２８．２２
（２）如图２８．２２，线段犃犆，犅犇相交于点犗，犗犃＝犗犆，犗犅＝犗犇．
把△犗犆犇绕点犗旋转１８０°，你有什么发现？
可以发现，在图２８．２１中，一个图案旋转后与另一个图案重合；在图
２８．２２中，旋转后的△犗犆犇与△犗犃犅重合．
像这样，一个图形绕着某一点旋转１８０°，如果旋
转后的图形能与另一个图形重合，那么就说这两个图
形关于这个点对称或中心对称（ｃｅｎｔｒａｌｓｙｍｍｅｔｒｙ），
这个点叫作对称中心（简称中心），这两个图形在你还能指出其他对
旋转后能重合的点叫作对称点．例如，在图２８．２２称点吗？
中，△犗犆犇和△犗犃犅关于点犗对称，点犆与点犃
是对称点．
作为特殊的旋转，中心对称具有旋转的性质．除此之外，中心对称还有什
么特殊的性质呢？

第二十八章旋转９９
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/

如图２８．２３，△犃犅犆和△犃′犅′犆′C
关于点犗对称，我们仍考虑它们的对称A　B
点之间的关系．　O B
　A

对称中心犗与对称点的连线犃犃′有　C

什么关系？点犗与犅犅′，犆犆′呢？　图２８．２３
因为点犃′是点犃绕点犗旋转１８０°后得到的，所以点犗是线段犃犃′的中点．
同样地，点犗也是线段犅犅′和犆犆′的中点．
由此，中心对称除了具有旋转的性质，还具有性质：
成中心对称的两个图形中，对称点所连线段经过对称中心，并且被对称中
心平分．
给定一个点和一个图形，可以画出与这个图形关于这个点中心对称的图
形．与其他图形的变化类似，对于规则几何图形，只要找到它的关键点，作出
它们关于对称中心的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形中心对称
的图形．
例１如图２８．２４，选择点犗为对称中心，作出与△犃犅犆关于点犗对称
的△犃′犅′犆′．

B

B

C

A
C

A
O

A

C

O

图２８．２４　图２８．２５
分析：关键是利用中心对称的性质确定△犃犅犆三个顶点的对称点．
解：如图２８．２５，连接犃犗，在犃犗的延长线上截取犗犃′＝犗犃，即可以
得到点犃关于点犗的对称点犃′．以同样的方法分别作出点犅，犆关于点犗的
对称点犅′，犆′，依次连接犃′犅′，犅′犆′，犆′犃′，就得到与△犃犅犆关于点犗对
称的△犃′犅′犆′．

１００第二十八章旋转
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１．图中的两个四边形关于某点对称，标出它们的对称中心．

（第１题）　（第２题）
２．分别作出已知图形关于点犗对称的图形．

２８２２中心对称图形
在轴对称的学习中，我们既学习了两个图形成轴对称，也学习了轴对称图
形．类似地，有两个图形关于某个点中心对称，是不是也有中心对称图形呢？

5

（１）如图２８．２６，将线段犃犅绕它的中点犗旋转１８０°，你有什么发现？

A

D

图２８．２６　图２８．２７
（２）如图２８．２７，将犃犅犆犇绕它的两条对角线的交点犗旋转１８０°，
你有什么发现？
可以发现，线段犃犅绕它的中点犗旋转１８０°后 利用中心对称的性
与它本身重合．犃犅犆犇绕它的两条对角线的交点质，如何确定一个中心
犗旋转１８０°后与它本身重合．像这样，把一个图形对称图形的对称中心？
绕着某一个点旋转１８０°，如果旋转后的图形能够与线段、平行四边形的对
原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图称中心分别是什么？
形，这个点就是它的对称中心．
由上可得，线段、平行四边形都是中心对称图形．
第二十八章旋转１０１
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矩形、菱形、正方形不仅是轴对称图形，也是中心对称图形，它们的对称
轴的交点就是其对称中心（图２８．２８）．

O

O

O

图２８．２８
中心对称图形的形状通常匀称美观，在自然界中可以看到许多美丽的中心
对称图形（图２８．２９（１）），在很多建筑物和工艺品中也常采用中心对称图形作
装饰图案（图２８．２９（２））．另外，由于具有中心对称图形形状的物体，能够在
其所在平面内绕对称中心平稳地旋转，所以常将各种机器中需要旋转的零部件
的形状设计成中心对称图形，如水泵叶轮（图２８．２９（３））．







图２８．２９



１．圆是中心对称图形吗？为什么？
２．在以下交通标志图案中，哪些是中心对称图形？再举出几个自然界以
及生活、生产中的中心对称图形实例．

（第２题）

１０２第二十八章旋转
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２８２３关于原点对称的点的坐标
我们已经学习了关于坐标轴对称的点的坐标之间的关系，类似地，下面来
研究关于原点对称的点的坐标之间的关系．

/

如图２８．２１０，在平面直角坐标系中，作出下列y
已知点关于原点的对称点，并写出它们的坐标．　D3
犃（４，０），犅（０，－３），犆（２，１），犇（－１，２）， 1 C

犈（－３，－４）．

-1

这些坐标与已知点的坐标有什么关系？　E
图２８．２１０

3

两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点犘（狓，狔）关于
原点的对称点为犘′（－狓，－狔）．
利用上述规律，可以在平面直角坐标系中作出与一个图形关于原点对称的
图形．对于一些规则几何图形，与在平面直角坐标系中作关于坐标轴对称的图
形类似，只要先求出已知图形中的一些特殊点（如多边形的顶点）关于原点对
称的点的坐标，描出并连接这些点，就可以得到与这个图形关于原点对称的
图形．
例２如图２８．２１１，利用关于原点对称的点的坐标的关系，作出与
△犃犅犆关于原点对称的图形．

y
4
3
C(-3,2)
2
A(-4,1)
1

y
4
3
C(-3,2)
2
A(-4,1)
1

B
(1,1)

-5-4-3-2-1O12345x
B(-1,-1)-1
-2

-5-4-3-2-1O12345x
B(-1,-1)-1
-2

A
(4,-1)
C
(3,-2)

图２８．２１１　图２８．２１２
解：点犘（狓，狔）关于原点的对称点为犘′（－狓，－狔），因此△犃犅犆的三
第二十八章旋转１０３
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个顶点犃（－４，１），犅（－１，－１），犆（－３，２）关于原点的对称点分别为
犃′（４，－１），犅′（１，１），犆′（３，－２）．依次连接犃′犅′，犅′犆′，犆′犃′，就可得
到与△犃犅犆关于原点对称的△犃′犅′犆′（图２８．２１２）．



１．下列各点中，哪两个点关于原点对称？
犃（－５，０），犅（０，２），犆（２，－１），犇（２，０），
犈（０，５），犉（－２，１），犌（－２，－１）．
２．写出下列各点关于原点的对称点犃′，犅′，

y4
A(-2,2)3 D
2

犆′，犇′的坐标：　-4-3-2-1-1O1234x
犃（３，１），犅（－２，３），犆（－１，－２），　-2 C
犇（２，－３）．　B(-1,-3)--43
３．如图，犃犅犆犇的对角线相交于原点，其
顶点犃，犅的坐标分别为（－２，２）和 （第３题）
（－１，－３）．求其顶点犆，犇的坐标．





１．分别作出与下列图形关于点犗对称的图形：

（第１题）
２．下列图形是中心对称图形吗？如果是，指出其对称中心．

?





（第２题）

１０４第二十八章旋转
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３．四边形犃犅犆犇各顶点坐标分别为犃（５，０），犅（－２，３），犆（－３，０），
犇（－１，－５），作出与四边形犃犅犆犇关于原点对称的图形．
４．已知点犃（犪，１）与点犃′（５，犫）关于原点对称，求犪，犫的值．



５．如图，点犗１，犗２分别是两个半圆的圆心，这个图形是中心对称图形吗？如果
是，指出对称中心；如果不是，说明理由．

A

B









６．如图，已知△犃犅犆，能否通过平移、轴对称或旋转，得到另一个三角形，使
得这两个三角形能够拼成一个以犃犆，犃犅为邻边的平行四边形？
７．如图，说明如何通过平移、轴对称或旋转，由△犃犅犆得到△犇犈犆．

A

A

E

E

BC

D

D BC

（第７题）
８．有一块邻边长分别为１０ｍ，６ｍ的矩形园地，要在园地上开辟一个花坛，使花
坛面积是园地面积的一半，并且花坛形状是中心对称图形，该如何设计（提供
两种设计方案）？
９．在平面直角坐标系中，作点犃（－３，２）关于狓轴的对称点犅，再作点犅关于狔
轴的对称点犆，写出点犆的坐标，点犃与点犆有何关系？由此，你能发现什么？



１０．如图，过菱形对角线交点的一条直线把菱形分成了两个梯形，这两个梯形全
等吗？为什么？









１１．如图，△犃犇犈和△犆犅犉是犃犅犆犇外的两个等边三角形，用旋转的知识说
明△犃犇犈和△犆犅犉成中心对称．
第二十八章旋转１０５
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旋转对称图形
观察图１中的几幅图案，你能发现其对应的图形有什么共同特点吗？

120e

90e

图１
可以发现，分别将这些图形绕着某点旋转一定的角度，得到的新图形与原
图形完全重合．像这样，一个平面图形绕着平面上某点犗旋转角α（０°＜α＜
３６０°），如果得到的新图形与原图形完全重合，那么称这个图形是旋转对称图
形，它关于旋转中心具有角α的旋转对称性．中心对称图形就是一种特殊的旋
转对称图形，它关于对称中心有１８０°的旋转对称性．
想一想，正多边形都是旋转对称图形吗？它们具有怎样的旋转对称性？
利用旋转对称，可以设计出美丽的图案．例如图２中的风车图案是一个旋
转角为１２０°的旋转对称图形；在我国香港特别行政区区徽（图３）中，紫荆花
图案是一个旋转角为７２°的旋转对称图形．

图２　图３
在所有旋转对称图形中，圆是最特殊的，它关于圆心有任意角的旋转对称
性．应用圆的这个性质，给我们的生活和生产带来了很多的方便，许多物体设
计成圆形就是应用了这个性质．学习了圆的更多知识后，你会对圆的这个性质
有更加深刻的认识．

１０６第二十八章旋转
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探索反比例函数图象的对称性
信息技术工具不仅可以帮助我们便捷、迅速地绘制各种函数图象，而且能
帮助我们研究函数的性质．例如，双曲线狔＝犽有怎样的对称性？如何描述它
狓
的对称性？
利用信息技术工具画出反比例函数狔＝１的图象，在图象上任意取一点
狓
犃，作点犃关于原点的对称点犃１，拖动点犃，可以看出点犃１在图象的另一分
支上随之运动（图１）．由此发现，反比例函数狔＝１的图象关于原点中心对称．
狓　y
利用信息技术工具画出狔＝犽的图象，改　3
狓　A(0.50,2.00)2A
变犽的大小，分别得到两簇双曲线（图２，图３）．A1(-0.50,-2.00)1
由图２和图３，可以猜想：双曲线狔＝犽是中心-5-4-3-2-1-1O 123x
狓　A1
对称图形，它的对称中心是平面直角坐标系的-3-2
原点．这个猜想可以由函数解析式证明，请你　-4
试一试．
图１

y
y=1
x
5
y=2
x
y=3
x
2
1

y
6
x
5
y=
4
3
x
2
1

6
-2
4
3

y=-1
x
y=k

-6-5-4-3-2-1O123456x
-1
-2
y=4
-3
-4
k=5
-5
-6
x

-6-5-4-3-2-1O123456x
-1
-2
y=-4
x
k
y=x
-5
y=6
x

x
-5
y=x
y=-6

-3
-4
k=-3
-6

图２　图３
除了中心对称，根据图２和图３，你还可以尝试探究以下问题：双曲线狔＝犽
狓
是不是轴对称图形？你还能发现和提出一些问题，并分析和解决它们吗？

第二十八章旋转１０７
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"*@@

我们可以利用平移、轴对称和旋转中的一种进行图案设计，还可以
利用它们的组合进行图案设计．例如，图１中的图案就是由一个基本图形
经过旋转、轴对称和平移得到的．你能指出这个基本图形吗？

图１
如图２，以点犗为旋转中心，将图形逆时针旋转９０°三次作出图３，然
后以犾为对称轴作出图４，平移图４就可以得到图１中的图案．

图２　图３　图４
类似地，还可以运用图形的平移、轴对称和旋转的组合进行其他图
案设计．试试看，并与同学互相交流．

１０８第二十八章旋转
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在现实生活中，旋转现象是普遍存在的．在本章中，我们类比平移、
轴对称，从生活中的旋转现象出发，抽象得到平面图形的旋转的概念，
通过探究旋转前后图形的对应点之间的关系，得到了旋转的性质，并利
用旋转的性质学习了如何画旋转后的图形．在这个过程中，我们用数学的
语言表达现实世界中相关现象的能力得到了提升．
中心对称是旋转的特殊情况，是旋转角为１８０°的旋转．对于中心对
称，我们也是从图形变化前后对应点的关系着手，研究了其特殊的性质，
并进一步学习了中心对称图形，以及在平面直角坐标系中关于原点对称
的点的坐标的关系．中心对称和中心对称图形既有区别又有联系，它们之
间的关系与轴对称和轴对称图形之间的关系是类似的．
与平移、轴对称一样，旋转前后的图形也全等．这些图形变化在生
产、生活和图案设计中具有广泛的应用．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．

第二十八章旋转１０９
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１．你能举出一些平面图形旋转的实例吗？平面图形的旋转有哪些
性质？
２．作为一种特殊的旋转，中心对称有什么特殊的性质？
３．中心对称图形有什么特点？你能举出一些中心对称图形的例子吗？
４．中心对称和中心对称图形有什么区别和联系？
５．在平面直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标有什么关系？
６．综合应用平移、轴对称、旋转，可以设计美丽的图案，你能举出
一些例子吗？





１．如图所示的图案是由什么基本图形经怎样的旋转得到的？

C

A

（第１题）　（第２题）
２．如图，把Ｒｔ△犃犅犆以点犛为中心顺时针旋转３０°，画出旋转后的图形．
３．如图，点犗是正方形犃犅犆犇的中心．
（１）分别指出图中成中心对称的三角形；
（２）图中哪些三角形可以由其他三角形旋转得到？指出其旋转角．

A

D

B

C

（第３题）　（第４题）
４．在美术字中，有些汉字或字母是中心对称图形．图中的汉字或字母是中心对称图
形吗？如果是，标出它们的对称中心．

１１０第二十八章旋转
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５．如图，在平面直角坐标系中，点犃的坐标为
（－２，３），点犅的坐标为（－５，０）．
（１）写出点犃，犅关于原点的对称点犃′，犅′的
坐标；

5y
A(-2,3)3
B(-5,0)1

（２）画出四边形犃犅犃′犅′，求出其面积．

-1

（第５题）



６．下列图形中，哪个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形？

（第６题）
７．已知线段犃犅，用平移、轴对称或旋转完成以下要求：
（１）画出一个以这条线段为一边的正方形；
（２）画出一个以这条线段为一边的等边三角形；
（３）画出一个以这条线段为一边，一个内角是３０°的菱形．
８．如图，△犃犅犆和△犈犆犇都是等边三角形，点犅，犆，犇在　A　E
同一条直线上，△犈犅犆可以看作△犇犃犆经过平移、轴对
称或旋转得到的．　B　C D
（１）说明得到△犈犅犆的过程；　（第８题）
（２）若∠犃犅犈＝３６°，求∠犇犃犆和∠犃犇犈的度数．
９．观察图（１）中各图的阴影部分构成的图案，这些图案具有怎样的对称性？它们的面
积有什么共同特征？在图（２）中设计图案，使它也具备上述特征．





（第９题）
第二十八章旋转１１１
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１０．如图，有一张纸片，若连接犈犅，则纸片被分为矩形犉犃犅犈和菱形犈犅犆犇．你能
画一条直线把这张纸片分成面积相等的两部分吗？画一画，并说明理由．

（第１０题）　（第１１题）
１１．如图，直线犾１，犾２相交于点犗，图形犌１与图形犌关于直线犾１对称，图形犌２与
图形犌１关于直线犾２对称．图形犌２可以由图形犌旋转得到吗？如果能，指出旋
转中心和旋转角．

１１２第二十八章旋转
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第二十九章圆

圆是一种常见的几何图形，圆形物体在生活中随处可见．圆也是一种美丽
的图形，具有多种对称性．十五的满月、圆圆的月饼象征着圆满、团圆、和谐．
古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切立体图形中最美的是球，一切平面图形
中最美的是圆．”
本章我们将在前面学习的基础上，进一步认识圆，从确定一个圆的基本要
素———圆心和半径出发，借助圆的对称性，通过直观想象、操作确认和逻辑推
理等方法，探索与圆有关的线段、角的位置关系和数量关系，得到圆的有关性
质，并应用它们解决一些问题．

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

２９．１圆的有关概念

在小学，我们已经初步认识了圆．本节我们将进一步学
习圆的有关概念，探究点与圆的位置关系，这是进一步学习
圆的有关性质的基础．
２９１１圆的有关概念
圆形物体在生活中很常见，许多物体都给我们以圆的形象（图２９．１１）．

图２９．１１
如图２９．１２，观察画圆的过程，你能从点的运动的角度描述圆是怎样形成
的吗？

图２９．１２　图２９．１３
如图２９．１３，在一个平面内，线段犗犘绕它固定的一个端点犗旋转一周，
另一个端点犘所形成的图形叫作圆（ｃｉｒｃｌｅ）．其固定的端点犗叫作圆心，线段
１１４第二十九章圆
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

犗犘叫作半径．以点犗为圆心的圆，记作⊙犗，读作“圆犗”．
从图２９．１２画圆的过程可以看出：
（１）圆上各点到定点（圆心犗）的距离都等于定长（半径狉）；
（２）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
因此，圆心为犗，半径为狉的圆可以看成平面内所有到定点犗的距离等于
定长狉的点的集合．

##

众多记载表明，我们的祖先很早就能从具
体事物中抽象出纯粹的形的几何概念，并会用
规和矩这些工具绘制它们．如战国时的《墨子》
中记载着“圆，一中同长也”，即圆上各点到圆
心的距离都相等；还记载着“圆，规写交也”，
即用圆规画图，使其两端相交便形成一个圆．　《墨子》书影
观察图２９．１２画圆的过程，还可以发现，平面　C　A
被圆分成三部分．相应地，平面内的点与圆有三种位置O
关系：点在圆外，点在圆上，点在圆内（图２９．１４）．　B
类似于用点到圆心的距离刻画点在圆上，可以 图２９．１４
用点到圆心的距离刻画点在圆外、点在圆内．设
⊙犗的半径为狉，任意一点犘到圆心的距离犗犘＝
犱，则有　符号“”读作
点犘在圆外犱＞狉；　“等价于”，它表示从符
点犘在圆上犱＝狉；　号“”的左端可以推
出右端，从右端也可以
点犘在圆内犱＜狉．　推出左端．
例如图２９．１５，矩形犃犅犆犇的对角线犃犆，
犅犇相交于点犗．求证：犃，犅，犆，犇四个点在以点D　C
犗为圆心的同一个圆上．　O
证明：∵四边形犃犅犆犇为矩形，对角线犃犆， A　B
犅犇相交于点犗，　图２９．１５
第二十九章圆１１５
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∴犗犃＝犗犆＝１２犃犆，犗犅＝犗犇＝１２犅犇，犃犆＝犅犇．D

C

∴犗犃＝犗犆＝犗犅＝犗犇．

O

A

B

∴犃，犅，犆，犇四个点在以点犗为圆心，犗犃为半
径的圆上（图２９．１６）．　图２９．１６
连接圆上任意两点的线段叫作弦，经过圆心的弦叫作
直径，直径长是半径长的２倍．如图２９．１７，犃犅，犃犆是弦，
犃犅是直径．
圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧．以犃，犅为　B
端点的弧记作犃犅︵，读作“圆弧犃犅”或“弧犃犅”．圆的任意O
一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作A　C
半圆．大于半圆的弧叫作优弧，小于半圆的弧叫作劣弧．在图图２９．１７
２９．１７中，犃犅犆︵（用三个字母表示）是优弧，犃犆︵是劣弧．
能够重合的两个圆叫作等圆．容易看出：同圆或等圆的
半径相等；反过来，半径相等的两个圆是等圆．在同圆或等
圆中，能够互相重合的弧叫作等弧．



１．如何在操场上画一个半径是５ｍ的圆？说出你的方案及理由．
２．你见过树木的年轮吗？从树木的年轮，可以知道树
木的年龄．把树干的横截面看成圆形，如果一棵２０
年树龄的树的树干直径是２３ｃｍ，这棵树的半径平均
每年增加多少？
３．⊙犗的半径为１０，根据下列点犘到圆心犗的距离，（第２题）
判断点犘和⊙犗的位置关系：
（１）８；（２）１０；（３）１２．
４．在△犃犅犆中，∠犆＝９０°．求证：犃，犅，犆三点在同一个圆上．

２９１２过三点的圆
我们知道“两点确定一条直线”，那么几个点可以确定一个圆呢？
１１６第二十九章圆
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/

（１）经过一个点犃能不能作圆？如果能，这样的圆能作出多少个？
（２）经过两个点犃，犅能不能作圆？如果能，所作圆的圆心的位置
有什么特点？
（３）经过不在同一条直线上的三个点犃，犅，犆能不能作圆？如果
能，如何确定所作圆的圆心？
作圆的关键是确定圆心的位置和半径的大小．对于经过已知点作圆的问
题，当圆心确定后，半径也就随之确定，因此作圆的问题又转化为确定圆心的
问题．
经过一个点犃作圆，只要以点犃以外任意一点为圆心，以这一点与点犃
的距离为半径就可以作出，这样的圆有无数个（图２９．１８（１））．

（１）　（２）
图２９．１８
经过两个点犃，犅作圆，由于所作圆的圆心到犃，犅两点的距离相等，所以
圆心在线段犃犅的垂直平分线上，这样的圆也可以作出无数个（图２９．１８（２））．
经过不在同一条直线上的三个点犃，犅，犆作圆，因为所作的圆要经过
犃，犅，犆三点，其圆心应满足到这三个点的距离都相等，所以所作圆的圆心
既要在线段犃犅的垂直平分线上，又要在线段犅犆的垂直平分线上，显然所作
圆的圆心就是这两条垂直平分线的交点．　l1
可以用直尺和圆规作出经过犃，犅，犆三点的圆．如　A
图２９．１９，分别作线段犃犅，犅犆的垂直平分线犾１，犾２，设　O
犾１，犾２相交于点犗，则犗犃＝犗犅＝犗犆．以点犗为圆心， B　C
犗犃为半径，作出⊙犗．⊙犗就是经过犃，犅，犆三点
的圆．　l2
由作法可知，线段犃犅，犅犆的垂直平分线有且只有图２９．１９
第二十九章圆１１７
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一个交点，所以⊙犗的圆心是确定的，进而其半径也是确定的．因此，经过
犃，犅，犆三点可以作一个并且只可以作一个圆．这就得到：
不在同一条直线上的三个点确定一个圆．
由图２９．１９可以看出，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫
作三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫作
这个三角形的外心，这个三角形叫作圆的内接三角形．



１．如图，犆犇所在的直线垂直平分线段犃犅，怎样用这样的工具找到圆形
工件的圆心？

（第１题）　（第２题）
２．如图，△犃犅犆是边长为２的等边三角形，作出它的外接圆，并求外接
圆的半径长．

5

我们知道，经过不在同一条直线上的三个点，可以作一个圆．那么，
经过同一条直线上的三个点，可以作一个圆吗？
如图２９．１１０，假设经过同一条直线犾上的犃，犅，犆　P
三点可以作一个圆．设这个圆的圆心为犘，那么点犘既在
线段犃犅的垂直平分线犾１上，又在线段犅犆的垂直平分线l1　l2
犾２上，即点犘为犾１与犾２的交点．而犾１⊥犾，犾２⊥犾，这与以前A B Cl
学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾．
所以，经过同一条直线上的三个点不能作圆．　图２９．１１０
上面证明“经过同一条直线上的三个点不能作圆”
的方法与我们以前学过的证明不同，它不是直接去证明
１１８第二十九章圆
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命题的结论，而是先提出与结论相反的假设（即假设经过同一条直线上的三
个点可以作一个圆），再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的
结果，然后由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．这种方法叫
作反证法．
在某些情形下，反证法是很有效的证明方法．例如，对于平行线的性质
“两直线平行，同位角相等”，由“两直线平行”直接推导“同位角相等”比
较困难，可以采用反证法．
如图２９．１１１，我们要证明：如果犃犅∥犆犇，那么
∠１＝∠２．假设∠１≠∠２，过点犗作直线犃′犅′，使 A
　E

∠犈犗犅′＝∠２．根据“同位角相等，两直线平行”，可得A O　BB

犃′犅′∥犆犇．这样，过点犗就有两条直线犃犅，犃′犅′都平C　2　D
行于犆犇，这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直F
线与这条直线平行”矛盾．这说明假设∠１≠∠２不正确，图２９．１１１
从而∠１＝∠２．



１．用反证法说明：４００人中至少有两个人的生日相同．
２．用反证法说明：一个三角形中不能有两个角是直角．





１．已知点犃，犅在⊙犗１上，点犆，犇在⊙犗２上，判断下列说法是否正确：
（１）若犃犅＝犆犇，则⊙犗１与⊙犗２是等圆；
（２）若犗１犃＝犗２犆，则⊙犗１与⊙犗２是等圆；
（３）若犃犅＝犆犇，则犃犅︵与犆犇︵是等弧；
（４）若犗１犅＝犗２犇，则犃犅︵与犆犇︵是等弧．

此平行线性质定理的证明为选学内容．
第二十九章圆１１９
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２．体育课上，李明和王芳的铅球成绩分别是６．２ｍ
和５．１ｍ，他们投出的铅球分别落在图中哪个区
域内？　345
３．画出由所有到已知点犗的距离大于或等于２ｃｍ，　67
并且小于或等于３ｃｍ的点组成的图形．　（第２题）
４．求证：直径是圆中最长的弦．



５．矩形犃犅犆犇的对角线犃犆，犅犇相交于点犗，点犈，犉，犌，犎分别是犗犃，
犗犅，犗犆，犗犇的中点．求证：犈，犉，犌，犎四个点在以点犗为圆心的同一
个圆上．
６．张华不小心把家里的一块圆形玻璃镜打碎了，为了定制一块同样大小的玻璃
镜，需要确定原玻璃镜的半径．工人师傅在如图所示的玻璃镜残片的边缘描出
了点犃，犅，犆，给出△犃犅犆，你能找到这块圆形玻璃镜的半径吗？作图
说明．

C
B
D

O
B

（第６题）　（第７题）
７．如图，在⊙犗中，犃犅，犆犇为直径．求证犃犇∥犅犆．
８．用反证法说明：在同一平面内，一条直线与两条平行线中的一条相交，必定
与另一条也相交．



９．在⊙犗中，点犆，犇在弦犃犅上，且犃犆＝犅犇．
（１）如图（１），弦犃犅经过圆心犗，求证犗犆＝犗犇；
（２）如图（２），弦犃犅不经过圆心犗，犗犆与犗犇是否仍相等？说明理由．

（１）　（２）
（第９题）

１２０第二十九章圆
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等宽曲线
路上行驶的各种车辆，其车轮都是圆形的．那么，为什么车轮要做成圆形
的呢？你知道其中的数学道理吗？
用硬纸板剪一个圆，让它沿直尺在桌面上滚动（图１）．可以发现，圆心与
桌面的距离始终是不变的，这个距离等于圆的半径．因此，把车轮做成圆形，
当车轮在平坦的地面上滚动时，车轮中心与地面的距离始终保持不变，坐车的
人才会感到非常平稳．

图１　图２
如果车轮是正方形的，情况会怎样呢？剪一个
正方形纸板，让它沿直尺在桌面上滚动，用笔“跟
踪”其中心的运动轨迹，你得到了什么（图２）？　如果有条件，你也
实际生活中移动重物时，可以如图３那样，把可以利用信息技术工具
重物放在圆木棍上，借助木棍的滚动“帮助”重物模拟一下．
前进，既省力又平稳．这是因为无论圆怎样滚动，
圆的任何一条直径总是相等的，即圆在任意方向都
有相同的宽度，它是一条等宽曲线．

B

C

图３　图４
等宽曲线在任何方向上的直径（或称宽度）都是相等的．同一宽度的等宽曲
线，周长相等，其中面积最大的是圆，面积最小的是莱洛三角形（图４）．
分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭

第二十九章圆１２１
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图形就是莱洛三角形．如图５，以莱洛三角形为横截面的滚子，也能使所载重物
水平地移动，而不会上下颠簸．

图５　图６
等宽曲线有着广泛的应用．例如，锅、杯、壶、缸、桶等许多加盖的盛具，
都是圆口圆盖的形状；再如，汽车的发动机里也利用了等宽曲线（图６是某汽
车的转子发动机截面图）．

１２２第二十九章圆
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２９．２圆的有关性质

对于圆，与之相关的几何对象有线段、弧和角．研究圆
的有关性质，就是研究这些几何对象之间的位置关系和数量
关系．
２９２１垂直于弦的直径
我们先来研究与圆有关的线段．与圆有关的线段主要是直径和弦，而提到
直径，你能想到圆的哪种对称性？

/

剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，你发现了什么？重
复做几次，由此你能得到圆具有怎样的对称性？能证明你的结论吗？
通过探究可以发现，圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的
对称轴．下面来证明这个结论．
要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于A
直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上．

如图２９．２１，设犃犅是⊙犗的任意一条直径，如果犕 MONM

为⊙犗上点犃，犅以外的任意一点，犕′是点犕关于直线 B
犃犅的对称点，那么直线犃犅是线段犕犕′的垂直平分线．因图２９．２１
为圆心犗在犃犅上，所以犗犕′＝犗犕，因此点犕′在⊙犗上．
如果点犕与点犃或点犅重合，那么结论显然也成立．
这样，我们就证明了：
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴．
利用圆的轴对称性可以知道，如果⊙犗的直径犃犅垂直于弦犕犕′，垂足
为犖，那么犕和犕′是关于直径犃犅的对称点．把圆沿着直径犃犅对折时，点
犕与点犕′重合，犕犖与犕′犖重合，犕犃︵，犕犅︵分别与犕′︵犃，犕′︵犅重合．
因此，犕犖＝犕′犖，犕犃︵＝犕′︵犃，犕犅︵＝犕′︵犅．
因此，直径平分弦，并且平分（ ，（
犃犅犕犕′犕犃犕′犕犕′．
第二十九章圆１２３
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这样，就得到垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
进一步，还可以得到推论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
例１赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距
今已有１４００余年的历史，是我国古代人民勤劳
与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，跨度（弧
所对的弦的长）为３７ｍ，拱高（弧的中点到弦
的距离）为７．２３ｍ，求赵州桥主桥拱的半径长
（结果保留小数点后一位）．
分析：解决问题的关键是根据赵州桥的实物图抽象出几何图形，将求赵州
桥主桥拱的半径问题转化为求圆弧所在圆的半径问题．
解：如图２９．２２，犃犅︵表示主桥拱，设犃犅︵所在圆的圆心为犗，半径长为
犚ｍ．　︵
经过圆心犗作弦犃犅的垂线犗犆，犇为垂足，犗犆与犃犅相交于点犆，连接
犗犃．根据垂径定理，犇是犃犅的中点，犆是犃犅︵的中点，犆犇就是拱高．
由题设可知
犃犅＝３７，犆犇＝７．２３，　C
所以　A　D　B

犃犇＝１２犃犅＝１２×３７＝１８．５，

R

O

犗犇＝犗犆－犆犇＝犚－７．２３． 图２９．２２
在Ｒｔ△犗犃犇中，由勾股定理，得
犗犃２＝犃犇２＋犗犇２，
即
犚２＝１８．５２＋（犚－７．２３）２．
解得
犚≈２７．３．
因此，赵州桥主桥拱的半径长约为２７．３ｍ．

１２４第二十九章圆
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１．如图，两个圆都以点犗为圆心，大圆的弦犃犅交小圆于犆，犇两点．求
证犃犆＝犅犇．

（第１题）　（第２题）　（第３题）
２．如图，在⊙犗中，犃犅，犃犆为互相垂直且相等的两条弦，犗犇⊥犃犅，
犗犈⊥犃犆，垂足分别为犇，犈．求证：四边形犃犇犗犈是正方形．
３．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点犗为圆心的圆的一部分．
如果犕是⊙犗中弦犆犇的中点，犈犕经过圆心犗交⊙犗于点犈，且
犆犇＝４ｍ，犈犕＝６ｍ．求⊙犗的半径长．

２９２２圆心角
再来研究与圆有关的角，先考虑角的顶点在圆心这种特殊位置的情形．我
们把顶点在圆心的角叫作圆心角（ｃｅｎｔｒａｌａｎｇｌｅ）．
在圆的有关性质的研究中，其对称性发挥着重要作用．前面，我们利用
圆的轴对称性，得到了垂径定理．为研究圆心角，我们再看看圆的其他对
称性．

/

剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转１８０°，所得的图形与原图形重合
吗？由此你能得到什么结论？把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？
实际上，圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心．不仅如此，把圆绕
圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合，即圆是旋转对称图形．
利用这个性质，可以得到圆心角及其所对的弧、弦之间的关系．

第二十九章圆１２５
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5

B

B

如图２９．２３，在⊙犗中，当圆心角∠犃犗犅＝　O
∠犃′犗犅′时，它们所对的弧犃犅︵和犃︵′犅′有什么关系？　A
弦犃犅和犃′犅′呢？为什么？　图２９．２３
我们把∠犃犗犅连同犃犅︵绕圆心犗旋转，使射线犗犃
与犗犃′重合．
∵∠犃犗犅＝∠犃′犗犅′，
∴射线犗犅与犗犅′重合．
又犗犃＝犗犃′，犗犅＝犗犅′，
∴点犃与犃′重合，点犅与犅′重合．
因此，犃犅︵与犃︵′犅′重合，犃犅与犃′犅′重合．于是犃犅︵＝犃︵′犅′，犃犅＝犃′犅′．
这样，就得到下面的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 在同圆或等圆中，
所对的弦也相等．　对于两个圆心角、两条
同样，还可以得到：　弧、两条弦，如果有一
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们组量相等，那么它们所
所对的圆心角相等，所对的弦相等；　对应的其余各组量有什
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们么关系？
所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．
例２如图２９．２４，在⊙犗中，犃犅︵＝犃犆︵，　A
∠犃犆犅＝６０°．求证：∠犃犗犅＝∠犅犗犆＝∠犃犗犆．　O
证明：∵在⊙犗中，犃犅︵＝犃犆︵，

B

C

∴犃犅＝犃犆，△犃犅犆是等腰三角形．　图
又∠犃犆犅＝６０°，　２９．２４
∴△犃犅犆是等边三角形，可得犃犅＝犅犆＝犃犆．
∴∠犃犗犅＝∠犅犗犆＝∠犃犗犆．



１．如图，犃犅，犆犇是⊙犗的两条弦．
（１）如果犃犅＝犆犇，那么　，　．
１２６第二十九章圆
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

（２）如果犃犅︵＝犆犇︵，那么 ，　．
（３）如果∠犃犗犅＝∠犆犗犇，那么　，　．
（４）如果犃犅＝犆犇，犗犈⊥犃犅，犗犉⊥犆犇，垂足分别为犈，犉，犗犈与
犗犉相等吗？为什么？

O
O
F
A
C

D
M
B
C

A
N

B

O

（第１题）　（第２题）　（第３题）
２．如图，犃犅是⊙犗的直径，犅犆︵＝犆犇︵＝犇犈︵，∠犆犗犇＝３５°．求∠犃犗犈
的度数．
３．如图，犗犃，犗犅，犗犆是⊙犗的三条半径，犃犆︵＝犅犆︵，犕，犖分别是
犗犃，犗犅的中点．求证犕犆＝犖犆．

２９２３圆周角
对于与圆有关的角，除了圆心角，还有一种特殊位
置的情形：角的顶点在圆上，并且两边都与圆相交．下　A
面就来研究这种角．
如图２９．２５，在⊙犗中，∠犃的顶点在圆上，点 B O C
犅，犆是∠犃的两边与圆的交点．像这样，顶点在圆上并
且两边都与圆相交的角叫作圆周角（ａｎｇｌｅｉｎａｃｉｒｃｕｌａｒ图２９．２５
ｓｅｇｍｅｎｔ）．
如图２９．２５，连接犅犗，犆犗，得到圆心角∠犅犗犆．可以发现，圆周角
∠犅犃犆与圆心角∠犅犗犆对着同一条弧犅犆︵，它们之间是否存在一定的关系？

/

分别测量图２９．２５中犅犆︵所对的圆周角∠犅犃犆和圆心角∠犅犗犆的度
数，它们之间有什么关系？

第二十九章圆１２７
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利用信息技术工具，改变犅犆︵，测量∠犅犃犆，∠犅犗犆的大小，上述
关系是否仍然成立？
由此你能发现什么结论？能证明你发现的结论吗？
可以发现，一条弧所对圆周角的度数等于这条弧所对圆心角的度数的
一半．
如图２９．２６，为了证明上面发现的结论，在⊙犗上任取一个圆周角
∠犅犃犆，可以发现，圆心犗与圆周角∠犅犃犆的位置关系有三种：
（１）圆心在圆周角的一条边上；
（２）圆心在圆周角的内部；
（３）圆心在圆周角的外部．

（１）
图２９．２６
先来分析情况（１）．如图２９．２６（１），圆心犗在
∠犅犃犆的一条边上．
犗犃＝犗犆∠犃＝∠犆烌

（２）
符号“”读作
“推出”，“犃犅”表示

（３）

∠犅犗犆＝∠犃＋∠犆烍烎∠犃＝１２∠犅犗犆．由条件犃推出结论犅．

对于情况（２）（３），可以通过添加辅助线（图
２９．２６（２）（３）），将它们转化为情况（１），从而进行
证明（请你完成证明）．
这样，就得到圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．　C1C2
进一步，可以得到下面的推论（请你完成证明）：　C3
同弧或等弧所对的圆周角相等．　A　O　B
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，９０°的圆周角所
对的弦是直径（图２９．２７）．　图２９．２７
１２８第二十九章圆
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

例３如图２９．２８，⊙犗的直径犃犅的长为１０，弦　C
犃犆的长为６，∠犃犆犅的平分线交⊙犗于点犇，求犅犆，A　O　B
犃犇，犅犇的长．
分析：解决与圆有关的问题，关键在于分析圆心角、　D
圆周角、直径和弦之间的关系．由犃犅是直径，可知圆周图２９．２８
角∠犃犆犅＝∠犃犇犅＝９０°；由圆周角∠犃犆犇＝∠犅犆犇，可
知它们相应的圆心角相等，进而得到弦犃犇＝犅犇．
解：如图２９．２９，连接犗犇．　C
∵犃犅是⊙犗的直径，　A　O　B
∴∠犃犆犅＝∠犃犇犅＝９０°．
∵在Ｒｔ△犃犅犆中，犃犅＝１０，犃犆＝６，　D
∴犅犆＝槡犃犅２－犃犆２＝８．　图２９．２９
∵犆犇平分∠犃犆犅，
∴∠犃犆犇＝∠犅犆犇．
∵在⊙犗中，∠犃犗犇＝２∠犃犆犇，∠犅犗犇＝２∠犅犆犇，
∴∠犃犗犇＝∠犅犗犇．
∴犃犇＝犅犇．
又在Ｒｔ△犃犅犇中，犃犇２＋犅犇２＝犃犅２，
∴犃犇＝犅犇＝槡２犃犅＝５槡２．
２



１．判断下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由．

（１） （２） （３） （４） （５）
（第１题）

第二十九章圆１２９
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

２．如图，犗犃，犗犅，犗犆都是⊙犗的半径，∠犃犗犅＝２∠犅犗犆，求证
∠犃犆犅＝２∠犅犃犆．

（第２题）　（第３题）
３．如图，你能用三角尺确定一张圆形纸片的圆心吗？有几种方法？与同
学交流一下．

在上一节中，我们学习了圆的内接三角形和三角形的A D
外接圆，类似地，如果一个多边形的所有顶点都在同一个
圆上，这个多边形叫作圆的内接多边形，这个圆叫作这个B　O C
多边形的外接圆．如图２９．２１０，四边形犃犅犆犇是⊙犗的
内接四边形，⊙犗是四边形犃犅犆犇的外接圆．　图２９．２１０
因为圆内接四边形的每个角都是圆周角，所以可以利用圆周角定理研究圆
内接四边形的角之间的关系．

5

圆内接四边形的四个角除了具有一般四边形的内角和为３６０°的性质，
是否还有其他性质？
如图２９．２１１，四边形犃犅犆犇是⊙犗的内接四边形． A D
连接犗犅，犗犇．
∵∠犃所对的弧为犅犆犇︵，∠犆所对的弧为犅犇︵，　O
︵ ︵　B　C
又犅犆犇和犅犇所对的圆心角的和是周角，
３６０°　图２９．２１１
∴∠犃＋∠犆＝２＝１８０°．
同理∠犅＋∠犇＝１８０°．
这样，利用圆周角定理，得到圆内接四边形的一个性质：
圆内接四边形的对角互补．
１３０第二十九章圆
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例４如图２９．２１２，四边形犃犅犆犇是⊙犗的内接四边A
形．若∠犅犗犇＝１００°，求∠犃和∠犆的度数．　O
解：∵在⊙犗中，∠犃与∠犅犗犇所对的弧都是犅犇︵，

B

D

∴∠犃＝１２∠犅犗犇＝１２×１００°＝５０°．C

又四边形犃犅犆犇是⊙犗的内接四边形，　图２９．２１２
∴∠犆＋∠犃＝１８０°．
∴∠犆＝１３０°．



１．如图，圆内接四边形犃犅犆犇的对角线犃犆，犅犇把它的四个内角分成八
个角，这八个角中哪些相等？为什么？　A

D
A
1
2
O
3
45
B

D
8
7
6
C

EB

C

（第１题）
２．如图，四边形犃犅犆犇是⊙犗的内接四边形，犈为犆犅延A
长线上一点．若∠犇＝１１０°，求∠犃犅犈的度数．
３．如图，四边形犃犅犆犇是⊙犗的内接四边形，且犃犅＝B
犃犇．若∠犆＝７８°，求∠犃犅犇的度数．

（第２题）
O
C
（第３题）

D





１．如图，在半径为１的⊙犗中，弦犃犅的长为１．
（１）求∠犃犗犅的度数；
（２）求点犗到犃犅的距离．

O
A

（第１题）

第二十九章圆１３１
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２．如图，在⊙犗中，犃犅︵＝犃犆︵，∠犆＝７５°．求∠犃的度数．

O

O

（第２题）　（第３题）
３．如图，在⊙犗中，犗犃⊥犅犆，∠犃犗犅＝５０°．求∠犃犇犆的度数．
４．如图，用直角曲尺检查半圆形的工件，哪个工件是合格的？为什么？

（第４题）
５．求证：圆内接平行四边形是矩形．
６．⊙犗的半径为１３，犃犅，犆犇是⊙犗的两条弦，犃犅∥犆犇，犃犅＝２４，犆犇＝１０．
求犃犅和犆犇之间的距离．



７．如图，犃犅，犆犇是⊙犗的两条平行弦，犕犖是犃犅的垂直平分线．求证：犕犖
垂直平分犆犇．

O

D

A
N

B
O

B

（第７题）　（第８题）
８．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（犃犅︵），点犗是这段弧所在圆的圆心，
犃犅＝３００ｍ，犆是犃犅︵上一点，犗犆⊥犃犅，垂足为犇，犆犇＝４５ｍ，求这段弯
路所在圆的半径长．
９．如图，犃，犅是⊙犗上的两点，∠犃犗犅＝１２０°，犆是犃犅︵的中点．求证：四边
形犗犃犆犅是菱形．　A

A

P

（第９题）　（第１０题）
１３２第二十九章圆
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１０．如图，犃，犘，犅，犆是⊙犗上的四个点，∠犃犘犆＝∠犆犘犅＝６０°．判断
△犃犅犆的形状，并证明你的结论．
１１．如图，犃犇，犅犆是⊙犗上的两条弦，犃犇＝犅犆．判断犃犅和犆犇的长是否相
等，并证明你的结论．

D
M

O
B

B

A O

（第１１题）　（第１２题）
１２．如图，犃犅，犆犇是⊙犗上的两条弦，犗犕⊥犃犅，犗犖⊥犆犇，垂足分别为犕，
犖．如果犃犅＞犆犇，犗犕和犗犖的大小有什么关系？为什么？



１３．如图，铁路犕犖和公路犘犙在点犗处交会，∠犙犗犖＝３０°，在点犃处有一栋
居民楼，犃犗＝２００ｍ．如果一列４００ｍ长的火车行驶时，周围２００ｍ以内会
受到噪声的影响，那么火车在铁路犕犖上沿犗犖方向行驶时，居民楼是否会
受到噪声的影响？如果火车行驶的速度为７２ｋｍ／ｈ，居民楼受噪声影响的时
间为多少秒（结果保留小数点后一位）？

M
A
2

O
P
B

C

（第１３题）　（第１４题）
１４．如图，一个海港在犃犅︵范围内是浅滩．为了使深水船只不进入浅滩，需要测量
船所在的位置与两个灯塔的视角∠犃犘犅，并把它与已知的危险角∠犃犆犅
（犃犅︵上任意一点犆与两个灯塔所成的角）相比较，航行中保持∠犃犘犅＜
∠犃犆犅．你知道这样做的道理吗？

第二十九章圆１３３
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２９．３弧长和扇形面积

在小学，我们学过圆的周长和面积的计算．本节将结合
圆的性质，学习弧长和扇形面积的计算．

5

我们知道，弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分．想一想，如
何计算圆周长？圆的周长可以看作多少度的圆心角所对的弧长？由此出
发，１°的圆心角所对的弧长是多少？狀°的圆心角呢？
在半径为犚的圆中，因为３６０°的圆心角所对的弧长就是圆周长犆＝２π犚，
所以１°的圆心角所对的弧长是２π犚，即π犚．于是，狀°的圆心角所对的弧长为
３６０１８０
犾＝狀π犚．
１８０
例１制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料．计
算图２９．３１所示管道的展直长度犔（结果取整数）．

A

B

m

70

0m

0mm

70　mm
900

图２９．３１
解：由弧长公式，得犃犅︵的长

犾＝１００×９００×π＝５００π≈１５７０．在本书中，如无特

１８０　殊说明，π取３．１４．
因此所要求的展直长度
犔≈２×７００＋１５７０＝２９７０（ｍｍ）．
１３４第二十九章圆
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如图２９．３２，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对A
的弧围成的图形叫作扇形．可以发现，扇形的面积除了与圆
的半径有关，还与组成扇形的圆心角的大小有关．在同圆或O　B
等圆中，圆心角越大，扇形面积也就越大．那么，怎样计算
圆半径为犚，圆心角为狀°的扇形面积呢？ 图２９．３２

5

由扇形的定义可知，扇形面积就是圆面积的一部分．想一想，如何计
算圆的面积？圆面积可以看作圆心角为多少度的扇形的面积？圆心角为１°
的扇形面积是多少？圆心角为狀°的扇形呢？
在半径为犚的圆中，因为圆心角为３６０°的扇形
的面积就是圆面积犛＝π犚２，所以圆心角为１°的扇 比较扇形面积公式
π犚２　与弧长公式，可以用弧
形面积是３６０．于是，圆心角为狀°的扇形面积是长表示扇形面积：
扇形狀π犚２　犛扇形＝１犾犚，
犛＝３６０．　２
其中犾为扇形的弧长，
例２如图２９．３３，水平放置的圆柱形排水管犚为半径．
道的截面半径是０．６ｍ，其中水面高０．３ｍ．求截
面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）．

O

O

图２９．３３图２９．３４
解：如图２９．３４，连接犗犃，犗犅，过点犗作弦犃犅的垂线，垂足为犇，
交犃犅︵于点犆，连接犃犆．
∵犗犇＝犗犆－犇犆，犗犆＝０．６，犇犆＝０．３，
∴犗犇＝０．３．
∴犗犇＝犇犆．
又犃犇⊥犗犆，
第二十九章圆１３５
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

∴犃犇是线段犗犆的垂直平分线．
∴犃犆＝犃犗＝犗犆．　请你自己求出犃犅
从而∠犃犗犇＝６０°，∠犃犗犅＝１２０°．的长．
则有水部分的面积
犛＝犛扇形犗犃犅－犛△犗犃犅

＝１３２６００π×０．６２－１２犃犅·犗犇
＝０．１２π－１２×０．６×２ 槡３×０．３

≈０．２２（ｍ）．



１．弧长相等的两段弧是等弧吗？并说明理由．
２．如图，有一段弯道是圆弧形的，弯道长是１２ｍ，弧所对的圆心角是
８１°．这段圆弧所在圆的半径犚是多少米（结果保留小数点后一位）？

（第２题）　（第３题）
３．如图，△犃犅犆是边长为犪的等边三角形，犇，犈，犉分别是犅犆，犆犃，
犃犅的中点，以犃，犅，犆三点为圆心，犪为半径作圆．求图中阴影部
２
分的面积．

我们知道，圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何
体．如图２９．３５，我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意
一点的线段叫作圆锥的母线．
图２９．３５

１３６第二十九章圆
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5

圆锥的侧面展开图是什么图形？如何计算圆锥的侧面积？如何计算圆
锥的全面积？
如图２９．３６，沿一条母线将圆锥的侧面剪开并展平，
得到的圆锥的侧面展开图是一个扇形．设圆锥的母线长为
犾，底面圆的半径为狉，那么这个扇形的半径为犾，扇形的l　2pr
弧长为底面圆的周长２π狉，因此圆锥的侧面积为π狉犾，圆　r
锥的全面积为π狉（狉＋犾）．　O
例３如图２９．３７，毡房可以近似地看作由圆锥和圆图２９．３６
柱组成．如果想用毛毡搭建２０个底面积为１２ｍ２，高为３．２ｍ，外围高１．８ｍ
的毡房，至少需要多少平方米毛毡（π取３．１４２，结果取整数）？

图２９．３７　图２９．３８
解：图２９．３８是一个毡房的示意图．
根据题意，下部圆柱的底面积为１２，高犺２＝１．８；上部圆锥的高犺１＝３．２－
１．８＝１．４．
圆柱的底面圆的半径
狉＝１２≈１．９５４，

侧面积为 槡π

２π×１．９５４×１．８≈２２．１０．
圆锥的母线长
犾＝槡１．９５４２＋１．４２≈２．４０４，
第二十九章圆１３７
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侧面展开扇形的弧长为
２π×１．９５４≈１２．２８，
圆锥的侧面积为
１×２．４０４×１２．２８≈１４．７６．
２
因此，搭建２０个这样的毡房至少需要毛毡２０×（２２．１０＋１４．７６）≈
７３８（ｍ２）．



１．圆锥的底面半径是６，母线长１８，求它的侧面展开图
的圆心角．
２．如图，圆锥形烟囱帽的底面圆的直径是８０ｃｍ，母线
长是５０ｃｍ，制作１００个这样的烟囱帽至少需要多少（第２题）
平方米铁皮（π取３．１４２，结果保留小数点后一位）？





１．填空题．
（１）７５°的圆心角所对的弧长是２．５π，则此弧所在圆的半径为；
（２）一个扇形的弧长是２０π，面积是２４０π，则这个扇形的圆心角为；
（３）用一个圆心角为１２０°，半径为４的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的
底面圆的半径为．
２．如图，两个大小一样的传送轮连接着一条传送带．求这条传送带的长（结果保
留小数点后一位）．

3m

（第２题）　（第３题）
３．如图，正方形的边长为犪，以各边为直径在正方形内画半圆．求阴影部分的面积．
１３８第二十九章圆
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４．在Ｒｔ△犃犅犆中，∠犆＝９０°，犃犆＝３，犅犆＝４．把△犃犅犆分别沿三边所在直线
旋转一周，求所得三个几何体的全面积．



５．在航海中，常用海里（单位：ｎｍｉｌｅ）作为路程的度量单位．把地球看作球
体，１ｎｍｉｌｅ近似等于赤道所在的圆中１′的圆心角所对的弧长．已知地球半径
（也就是赤道所在圆的半径）约为６３７０ｋｍ，１ｎｍｉｌｅ约等于多少米（结果取
整数）？
６．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条所在直线犃犅，犃犆之间的夹角为
１２０°．若犃犅的长为３０ｃｍ，犅犇的长为２０ｃｍ，求扇面犅犇犈犆的面积（结果
取整数）．

B

C

（第６题）　（第７题）
７．如图，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面圆的周长为３２ｍ，母线长７ｍ．
为了防雨，需要在它的顶部铺上油毡，所需油毡的面积至少是多少？



８．如图，从一块直径是１ｍ的圆形铁皮上剪下一个圆心角为A
９０°的扇形，求剩余部分的面积．如果将剪下来的扇形围成
一个圆锥，圆锥的底面圆的半径长是多少（结果保留小数B O　C
点后两位）？
（第８题）

第二十九章圆１３９
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"


0

有两千多年历史的中国铜镜以“装饰繁缛、制作精美”著称于世，
圆形铜镜是它最重要的一种样式．圆形铜镜的背面通常有各种几何的、艺
术的花纹，许多花纹的制作都涉及等分圆周的问题，如图１中铜镜背面
的花纹制作分别需要八等分、十六等分圆周．

东汉连弧纹铜镜　西汉草叶纹铜镜
图１
如何用尺规八等分、十六等分一个圆周呢？
如图２，任意作⊙犗的直径犃犅，过点犗作犃犅A　C
的垂线，与⊙犗相交于犆，犇两点，则点犃，犅，
犆，犇将⊙犗四等分．你能说明其中的道理吗？　O
进一步，再逐步等分圆心角，就可以得到所需D　B
的八等分、十六等分了．随着后续的学习，你还会图２
学到更多利用尺规等分圆周的方法．
在我国，圆不仅是一种几何图形，还具有许多传统文化中的象征意
义，如“天圆地方”的哲学观、“团圆”“和谐”的美好愿望等．观察一下
你的周围，你会发现很多圆和圆的美，尝试用圆去创造美吧！

"


/%+

我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆．那么，过任意
一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？

１４０第二十九章圆
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图３给出了一些四边形，能否过它们的四个顶点作一个圆？试一试！

B

C

B

C

B

C

图３
分别测量上面各四边形的内角，如果过某个四边形的四个顶点能作
一个圆，那么其相对的两个内角之间有什么关系？证明你的发现．
如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个内
角之间有上面的关系吗？结合图４说明其中的道理．（提示：利用圆周角
所对弧的大小关系，考虑∠犅＋∠犇与１８０°之间的关系．）

图４
由上面的探究，归纳出判定过某个四边形的四个顶点能作一个圆的
条件．

第二十九章圆１４１
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本章的主要内容是圆的有关概念、性质，以及弧长、扇形面积等的
计算．在研究这些内容的过程中，我们运用数形结合、类比、转化等方
法，利用图形直观发现结论，通过逻辑推理证明结论，进一步增强了几
何直观，提升了推理能力．
圆是一种特殊的曲线，由圆是所有到定点的距离等于定长的点的集
合出发，我们研究了点与圆的位置关系；通过尺规作图明确了不在同一
条直线上的三点确定一个圆；给出了三角形的外接圆和圆的内接三角形
的概念，并将其推广到了多边形的外接圆和圆的内接多边形．
圆具有轴对称性，它的任何一条直径所在直线都是它的对称轴，同
时它也具有旋转对称性，围绕圆心旋转任意角度都和自身重合．圆的许多
性质与圆的对称性有关，研究圆的性质就是借助圆的对称性，探索与圆
有关的线段（如直径、弦等）和角（如圆心角、圆周角等）的位置关系
和数量关系．在得出和证明圆的性质的过程中，直线形图形的有关性质和
１４２第二十九章圆
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判定发挥了重要作用．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．圆的位置及大小由哪些要素确定？如何从点的集合的角度理解圆
的概念？
２．点与圆有怎样的位置关系？你能举出这些位置关系的一些实例吗？
你能用哪些方法刻画这些位置关系？
３．你能用直尺和圆规作出一个三角形的外接圆吗？圆的内接四边形
有什么性质？
４．垂直于弦的直径有什么性质？在同圆或等圆中，两个圆心角以及
它们所对的弧、弦有什么关系？这些关系和圆的对称性有什么联系？
５．一条弧所对的圆周角和这条弧所对的圆心角有什么关系？你能总
结出发现和证明结论的方法吗？
６．怎样由圆的周长和面积公式得到弧长公式和扇形面积公式？
７．研究圆的方法与研究直线形图形的方法有什么共同点？有什么不
同点？你能举出具体的例子说明吗？





１．选择题．
（１）如图，⊙犗的直径犃犅＝１０，犆犇是⊙犗的弦，犃犅⊥犆犇，垂足为犕，
犗犕∶犗犃＝３∶５，则犆犇的长为（）．
（Ａ）槡９１ （Ｂ）８ （Ｃ）６ （Ｄ）４

C

B

C
B
O
A
D

M A
O
D

P

（１）　（２）
（第１题）

第二十九章圆１４３
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

（２）如图，在⊙犗中，弦犃犅，犆犇相交于点犘，∠犃＝４０°，∠犃犘犇＝７５°，则
∠犅＝（）．
（Ａ）１５°（Ｂ）４０°（Ｃ）７５°（Ｄ）３５°
（３）一个圆锥的侧面积是底面积的２倍，则圆锥侧面展开图的圆心角是（）．
（Ａ）１２０°（Ｂ）１８０°（Ｃ）２４０°（Ｄ）３００°
２．已知线段犃犅的长为４ｃｍ，以３ｃｍ为半径作圆，使它经过犃，犅两点．
３．如图，四边形犃犅犆犇是⊙犗的内接四边形，犃犆为直径，　C
且犃犆⊥犅犇，垂足为犈．　D E　B
（１）若∠犅犃犇＝７０°，求四边形犃犅犆犇其余各角的大小；　O
（２）若犃犆＝１０，犅犇＝８，求犃犈，犆犈的长．　A
４．如图，公园内有一块半径为１８ｍ的扇形草坪，从犃地走（第３题）
到犅地有观赏路（弧犃犅︵）和便民路（线段犃犅），且
∠犃犗犅＝１２０°．
（１）求扇形草坪的面积（结果取整数）；
（２）王芳从犃地走到犅地，走便民路比走观赏路少走多少米（结果保留小数点
后一位）？

B

O

（第４题）　（第５题）
５．如图，大半圆中有狀个小半圆，大半圆的弧长为犔１，狀个小半圆的弧长和为犔２，
探索犔１和犔２的关系，并证明你的结论．



６．估计图中三段弧的半径的大小关系，再用尺规检验你的估计是否正确．

A
O
E

C
F

（第６题）　（第７题）
７．如图，菱形犃犅犆犇的对角线犃犆，犅犇相交于点犗，四条边犃犅，犅犆，犆犇，犇犃
的中点分别为犈，犉，犌，犎，这四个点共圆吗？如果共圆，圆心在哪里？

１４４第二十九章圆
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８．如图，分别作出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的外接圆，它们的外心
的位置有什么特征？

（第８题）
９．如图，网格中的每个小正方形的边长都为１，一条圆弧经过犃，犅，犆三点，求
这条圆弧所在圆的半径长．

（第９题）　（第１０题）
１０．如图，在足球比赛中，甲带球奔向对方球门犘犙，当他带球冲到点犃时，同伴
乙已经冲到点犅．此时甲是直接射门好，还是将球传给乙，让乙射门好（仅从
射门角度大小考虑）？
１１．如图，某兴趣小组的同学将边长为１０ｃｍ的正方形铁丝框犃犅犆犇变形为以点犃
为圆心，以犃犅，犃犇为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），所得扇形犃犅犇的面
积是多少？

300

D

C

800

D

B

A

B

A

300

（第１１题）　（第１２题）
１２．如图，锚标浮筒是打捞作业中用作标记锚或沉船位置的常用工具，它的上下两
部分是圆锥，中间是圆柱（单位：ｍｍ）．电镀时，如果每平方米用锌０．１１ｋｇ，
电镀１００个这样的锚标浮筒，需要用锌多少千克（结果保留小数点后一位）？

第二十九章圆１４５
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１３．如图，在△犃犅犆中，∠犃＝６０°，以犅犆为直径的⊙犗交△犃犅犆的边犃犅，犃犆
于犇，犈两点．判断△犗犇犈的形状，并说明理由．

B
O

C
O

A

D B

（第１３题）　（第１４题）
１４．如图，△犃犅犆为⊙犗的内接三角形，犃犅为直径，过点犆作犆犇⊥犃犅，垂足
为犇．设犃犇＝犪，犅犇＝犫．
（１）分别用犪，犫表示犗犆，犆犇．
（２）犗犆和犆犇的长之间有什么关系？由此你能得到怎样的关于犪，犫的不
等式？

１４６第二十九章圆
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第三十章直线与圆的位置关系

在日常生活中，我们经常遇到一些有关直线与圆的位置关系的问题．例
如，章前图中有哪些直线与圆的位置关系？用一张三角形的铁皮，怎样裁出一
个与三条边都相切的圆形用料？如何利用圆或正多边形设计一些美丽的图案？
要解决这些问题，需要进一步学习与圆有关的知识．
在上一章中，我们学习了圆的有关概念，知道了确定圆的方法，得到了圆
的一些性质．在此基础上，本章将通过直观想象、操作确认、逻辑推理等方
法，研究直线与圆、三角形与圆、正多边形与圆之间的关系，并用它们解决一
些问题．

第二十九章圆
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３０．１直线与圆

直线、圆都是基本的几何图形．我们类比点与圆的位置
关系的研究，进行直线与圆的位置关系的研究，并重点研究
直线与圆相切．
３０１１直线与圆相离、相切、相交

5

l

如图３０．１１，在纸上画一条直线犾，把钥匙环
看作一个圆，在纸上移动钥匙环．在移动钥匙环的
过程中，圆与直线犾会有几种位置关系？它们的公
共点个数又是如何变化的？　图３０．１１
可以发现，直线与圆有三种位置关系（图３０．１２）：

图３０．１２
如图３０．１２（１），直线与圆没有公共点，这时
称这条直线与圆相离．　利用信息技术工
如图３０．１２（２），直线与圆只有一个公共点，具，可以画出动态的图
这时称这条直线与圆相切，这条直线叫作圆的切线形，以此方便研究直线
（ｔａｎｇｅｎｔｌｉｎｅ），这个点叫作切点．　与圆的位置关系．有条
如图（），直线与圆有两个公共点，这件的同学可以试一试．
３０．１２３
时称这条直线与圆相交，这条直线叫作圆的割线．
我们知道，平面内一点犘与⊙犗的位置关系，可以根据点到圆心的距离
犗犘与⊙犗的半径狉的大小关系来确定．类似地，如何确定直线犾与⊙犗的位
置关系呢？

１４８第三十章直线与圆的位置关系
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5

如图３０．１３，设⊙犗的半径为狉，圆心犗到直线犾的距离为犱．在直
线与圆的三种位置关系中，犱与狉具有怎样的大小关系？反过来，你能根
据犱与狉的大小关系确定直线与圆的位置关系吗？

r
ld
l dO

r
l dO

r
O

（１）　（２）　（３）
图３０．１３
根据直线与圆相离、相切、相交的定义，容易得到：
直线犾与⊙犗相离犱＞狉；
直线犾与⊙犗相切犱＝狉；
直线犾与⊙犗相交犱＜狉．
例１如图３０．１４，在Ｒｔ△犃犅犆中，∠犆＝　C
９０°，犃犆＝５，犅犆＝１２．以边犃犅的中点犇为圆
心，以狉为半径作⊙犇．若狉＝２．５，分别判断犃犆，A　D　B
犅犆与⊙犇的位置关系．　图３０．１４
分析：要判断犃犆，犅犆与⊙犇的位置关系，
只需求出圆心犇到犃犆，犅犆的距离，再根据其与C
半径的大小关系作出判断．　E　F
解：如图３０．１５，过圆心犇分别作犃犆，犅犆
的垂线，垂足分别为犈，犉，则犇犈，犇犉的长分A　D　B
别为圆心犇到犃犆，犅犆的距离．　图３０．１５
连接犆犇，由犇为犃犅的中点，得犆犇＝犃犇＝犅犇，因而犈，犉分别为

犃犆，犅犆的中点．所以犇犈＝１２犅犆，犇犉＝１２犃犆．

∵犅犆＝１２，犃犆＝５，狉＝２．５，
∴犇犈＞狉，犇犉＝狉．
∴犃犆与⊙犇相离，犅犆与⊙犇相切．

第三十章直线与圆的位置关系１４９
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１．圆的直径是１３，如果圆心与直线的距离分别是
（１）４．５，（２）６．５，（３）８，
那么直线与圆的位置关系分别是什么？有几个公共点？　A
２．如图，∠犃犗犅＝３０°，犕为犗犅上一点，犗犕＝５．判断直线
犗犃与以点犕为圆心，下列狉为半径的圆的位置关系： O　M B
（１）狉＝２；（２）狉＝４；（３）狉＝２．５．（第２题）

３０１２圆的切线
下面，我们重点研究直线与圆相切的情况．
首先来看切线的性质．如图３０．１６，直线犾与⊙犗
相切于点犃．考虑到圆的有关性质多是通过与圆有关的O
线段和角来体现的，连接犗，犃两点，得到过切点犃的　A　l
半径犗犃．接下来，研究犗犃与切线犾的关系．　图３０．１６

5

⊙犗的半径犗犃与过点犃的切线犾有什么关系？
如图３０．１７，设犘为直线犾上不同于点犃的点，因
为直线犾与⊙犗只有一个公共点犃，所以点犘在⊙犗外，　O
从而犗犘＞犗犃，即半径犗犃是圆心犗与直线犾上的点的 A Pl
最短连线．因此，半径犗犃与直线犾垂直（可以用反证法图３０．１７
证明），由此得到切线的性质：
圆的切线垂直于过切点的半径．
接下来看切线的判定．

5

按上述性质，若⊙犗的切线犾经过半径犗犃的外端点O
犃，那么犾⊥犗犃．反过来，如图３０．１８，若直线犾过半径 A　l
犗犃的外端点犃，且犾⊥犗犃，那么直线犾是⊙犗的切线吗？图３０．１８

１５０第三十章直线与圆的位置关系
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可以看出，这时圆心犗到直线犾的距离就是已知一个圆和圆上的
⊙犗的半径，因而直线犾就是⊙犗的切线．由此可一点，如何过这个点作圆
以得到切线的判定定理：　的切线？
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是
圆的切线．　A
例２如图３０．１９，犃犅是⊙犗的弦，犘犃是⊙犗 P　O
的切线，犘犃＝犘犅．求证：犘犅是⊙犗的切线．　B
分析：因为点犅在⊙犗上，所以犗犅为⊙犗的半 图３０．１９
径．要证明犘犅是⊙犗的切线，只需证明犘犅⊥犗犅．　A
证明：如图３０．１１０，连接犗犃，犗犅，犗犘．
∵犘犃与⊙犗相切于点犃，　P　O
∴犘犃⊥犗犃，即∠犘犃犗＝９０°．　B
∵犘犃＝犘犅，犗犃＝犗犅，犗犘＝犗犘，　图３０．１１０
∴△犘犃犗≌△犘犅犗．
∴∠犘犅犗＝∠犘犃犗＝９０°．
∴犘犅⊥犗犅．　在解决有关圆的切
这样，犘犅经过⊙犗的半径犗犅的外端点犅，线的问题时，常常需要
并且垂直于半径犗犅，所以犘犅是⊙犗的切线． 作过切点的半径．

在生活中，有许多直线与圆相切的实例．例如，列车车轮的边沿与铁轨的
上沿是相切的，在砂轮上打磨工件时产生的火星是沿着圆的切线飞出的（图
３０．１１１）．

图３０．１１１

第三十章直线与圆的位置关系１５１
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１．如图，犃犅是⊙犗的直径，∠犃犅犆＝４５°，犃犆＝犃犅．求证：犃犆是⊙犗
的切线．

B

l1

A

O
A
l2
C

O
P B
A

O
B

（第１题）　（第２题）　（第３题）
２．如图，犃犅是⊙犗的直径，直线犾１，犾２是⊙犗的切线，犃，犅是切点．
犾１，犾２有怎样的位置关系？证明你的结论．
３．如图，在以点犗为圆心的两个同心圆中，大圆的弦犃犅与小圆相切，
点犘为切点．求证犃犘＝犅犘．

我们已经知道过圆上一点作圆的切线的方法，下面研究如何过圆外一点作
圆的切线．
如图３０．１１２，犘是⊙犗外一点，要过点犘作⊙犗
的切线．因为两点确定一条直线，并且所求作的直线过
点犘且与⊙犗相切，所以需在⊙犗上确定一点犃，满足 O　P
犗犃⊥犃犘，即∠犗犃犘＝９０°．由此可知，点犗，犘，犃
可以确定一个圆，犗犘是这个圆的直径．因此以犗犘为 图３０．１１２
直径作圆，该圆与⊙犗的交点即所要确定的点．
根据上面的想法，可以用直尺和圆规作出过圆外一点的圆的切线．
如图３０．１１３：
（１）连接犗犘，作线段犗犘的垂直平分线犕犖，与　A M
犗犘交于点犆；　O　C P
（２）以点犆为圆心，犆犗为半径作圆，与⊙犗相交　B N
于犃，犅两点；　图
３０．１１３
过圆外一点作圆的切线的尺规作图为选学内容．
１５２第三十章直线与圆的位置关系
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（３）作直线犘犃，犘犅，即所求作的切线．
可以看到，过圆外一点可以作出两条直线与这个圆相切．我们把经过圆外
一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长（如图３０．１１３中的线段犘犃，
犘犅的长），叫作这点到圆的切线长．

5

如图３０．１１４，犘犃，犘犅是犗的两条切线，　A
⊙
切点分别为犃，犅，过点犗，犘作直线犗犘．线段　O　P
犘犃与犘犅，∠犃犘犗与∠犅犘犗有什么关系？　B
如图，连接和　图３０．１１４
３０．１１５犗犃犗犅．
∵犘犃和犘犅是⊙犗的两条切线，　A
∴犗犃⊥犃犘，犗犅⊥犅犘．
又犗犃＝犗犅，犗犘＝犗犘，　O　P
∴Ｒｔ△犘犗犃≌Ｒｔ△犘犗犅．　B
∴犘犃＝犘犅，∠犃犘犗＝∠犅犘犗．　图３０．１１５
由此得到切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连
线平分两条切线的夹角．
例３如图３０．１１６，犘犃，犘犅是⊙犗的两条切线，　A
犃，犅是切点，连接犃犅，若∠犃犘犗＝３０°，犗犘＝２，求 P　O
△犘犃犅的周长．　B
解：如图３０．１１７，连接犗犃．　图３０．１１６
∵犘犃，犘犅是⊙犗的两条切线，犃，犅是切点，
∴犘犃＝犘犅，∠犃犘犗＝∠犅犘犗，犗犃⊥犘犃．　A
又∠犃犘犗＝３０°，　P　O
∴∠犃犘犅＝６０°．　B
∴△犘犃犅是等边三角形．　图３０．１１７
∴犃犅＝犘犃＝犘犅．
切线长定理的探索与证明为选学内容．
第三十章直线与圆的位置关系１５３
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又在Ｒｔ△犘犗犃中，∠犃犘犗＝３０°，犗犘＝２，
∴犗犃＝１，犘犃＝槡犗犘２－犗犃２＝槡３．
∴△犘犃犅的周长为３槡３．



１．如图，犘犃，犘犅是⊙犗的两条切线，犃，犅为切点，犃犆是⊙犗的直
径，∠犅犃犆＝２５°．求∠犘的度数．

A

A

O
P

C OED
P

C B

B

（第１题）　（第２题）
２．如图，犘犃，犘犅是⊙犗的两条切线，犃，犅为切点，直线犗犘交⊙犗
于点犆，犇，交犃犅于点犈．
（１）写出图中所有垂直关系；
（２）如果犘犃＝４，犘犇＝２，求⊙犗的半径长．





１．在Ｒｔ△犃犅犆中，∠犆＝９０°，犃犆＝３，犅犆＝４，判断以点犆为圆心，下列狉为
半径的⊙犆与犃犅的位置关系：
（１）狉＝２；（２）狉＝２．４；（３）狉＝３．
２．一根钢管放在犞形架内，其横截面如图所示，钢管的半T
径是２５ｃｍ．　U　W
（１）如果犝犞＝２８ｃｍ，求犞犜的长；
（２）如果∠犝犞犠＝６０°，求犞犜的长．　V
（第２题）

１５４第三十章直线与圆的位置关系
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３．如图，直线犃犅经过⊙犗上的点犆，并且犗犃＝犗犅，犆犃＝
犆犅．求证：直线犃犅是⊙犗的切线．
４．如图，在⊙犗中，犃犅为直径，犃犇为弦，过点犅的切线与
犃犇的延长线相交于点犆，且犃犇＝犇犆．求∠犃犅犇的度数．A
A

O
C
D

B
（第３题）

A
D
O
AD O C
C

B
B O
B

E C

P

（第４题）　（第５题）　（第６题）
５．如图，犃犅为⊙犗的直径，犘犇，犘犈分别与⊙犗相切于点犃，犆，∠犅犆犈＝
３５°．求∠犘的度数．
６．如图，在△犃犅犆中，犗为犃犆上一点，⊙犗过犅，犆两点，且与犃犆交于点
犇，∠犃＝３６°，∠犆＝２７°．求证：犃犅是⊙犗的切线．



７．如图，一个油桶靠在直立的墙边，量得犠犢＝０．６５ｍ，且犡犢⊥犠犢．这个油桶的
底面半径是多少？为什么？

A

EB

X Y

D

G

C

（第７题）　（第８题）
８．如图，犃犅，犅犆，犆犇分别与⊙犗相切于犈，犉，犌三点，且犃犅∥犆犇，犅犗＝６，
犆犗＝８．求犅犆的长．
９．如图，犃犅为⊙犗的直径，犆为⊙犗上一点，犃犇和过点犆的切线互相垂直，垂
足为犇．求证：犃犆平分∠犇犃犅．

（第９题）　（第１０题）
１０．如图，⊙犗的直径犃犅与弦犆犇相交，∠犅犃犆＝３８°．过点犇作⊙犗的切线，与
犃犅的延长线交于点犘，且犇犘∥犃犆．求∠犃犆犇的度数．
第三十章直线与圆的位置关系１５５
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用



１１．如图，在Ｒｔ△犃犅犆中，∠犆犃犅＝９０°，犇为犃犆的中点，以犃犅为直径的⊙犗
交犅犆于点犈．求证：犇犈是⊙犗的切线．

（第１１题）　（第１２题）
１２．如图，等圆⊙犗１和⊙犗２相交于犃，犅两点，⊙犗１经过⊙犗２的圆心犗２．求
∠犗１犃犅的度数．



圆与圆的位置关系
我们已经学习了点与圆、直线与圆的位置关系，下面来研究圆与圆的位置
关系．
在两张透明的纸上分别画两个半径不同的圆⊙犗１与⊙犗２，把两张纸叠放在
一起，固定其中一张，移动另一张，可以发现，⊙犗１与⊙犗２的位置可能出现以
下几种情况（图１）．

O1

O2

O1

O2

O1 O2







O1O2

O1O2

O1(O2)







图１

１５６第三十章直线与圆的位置关系
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如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，如图１中（１）（５）（６）
所示．其中（１）叫作外离，（５）（６）叫作内含，（６）中的同心圆是两圆内含的
一种特殊情况．如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，如图１中
（２）（４）所示．其中（２）叫作外切，（４）叫作内切．如果两个圆有两个公共点，
那么就说这两个圆相交，如图１中（３）所示．
类比研究点与圆、直线与圆的位置关系，也可以用两圆的半径和两圆的圆
心距（两圆圆心的距离）来刻画两圆的位置关系．如果两圆的半径分别为狉１和
狉２，圆心距为犱，请你利用犱与狉１和狉２之间的关系讨论两圆的位置关系，并完
成下表：
两圆的位置关系犱与狉１和狉２之间的关系
外离　犱＞狉１＋狉２
外切
相交
内切
内含
圆与圆的各种位置关系在生活中随处可见（图２），你还能再举出一些例子吗？

图２

第三十章直线与圆的位置关系１５７
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３０．２三角形的内切圆

我们学过三角形的外接圆，知道这个圆经过三角形的三
个顶点．类似地，我们来研究是否存在与三角形的三条边都
相切的圆．

5

A

图３０．２１是一块三角形的铁皮，如何在它上面
截下一块圆形用料，并且所截的圆与三角形的三条边
都相切？　B　C
图３０．２１
假设符合条件的圆已经作出，那么这个圆的圆心到三角形三边的距离都等
于半径．如何确定这个圆的圆心和半径呢？
因为三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三条边的距离相等，
所以只需作出三角形两个内角的平分线，它们的交点即这个圆的圆心，圆心到
任意一边的距离即这个圆的半径．
这样，用直尺和圆规就可以作出与三角形三条边都相切的圆．
如图３０．２２，分别作∠犅，∠犆的平分线犅犕，　A
犆犖，设它们相交于点犐，那么点犐到犃犅，犅犆，犆犃　NIM
的距离都相等．过点犐作犅犆的垂线，垂足为犇．以点B　D C
犐为圆心，犐犇为半径作圆，则⊙犐与△犃犅犆的三条边图
都相切，⊙犐即所求作的圆．　３０．２２
与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三
条角平分线的交点，叫作三角形的内心，这个三角形叫作圆的外切三角形．
例如图３０．２３，△犃犅犆的内切圆⊙犗与犅犆，　A
犆犃，犃犅分别相切于点犇，犈，犉，且犃犅＝９，犅犆＝ F　E
１４，犆犃＝１３．求犃犉，犅犇，犆犈的长．　O
解：设犃犉＝狓，则犃犈＝狓．　B D　C
则犅犇＝犅犉＝犃犅－犃犉＝９－狓，　图３０．２３
１５８第三十章直线与圆的位置关系
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犆犇＝犆犈＝犃犆－犃犈＝１３－狓．
由犅犇＋犆犇＝犅犆，可得
（９－狓）＋（１３－狓）＝１４．
解得　狓＝４．
因此　犃犉＝４，犅犇＝５，犆犈＝９．



１．如图，四边形犃犅犆犇的各边与⊙犗分别相切于点犈，犉，犌，犎．求
证：犃犅＋犇犆＝犃犇A＋犅犆．

（第１题）　（第２题）
２．如图，在△犃犅犆中，∠犃犅犆＝５０°，∠犃犆犅＝７５°，点犗是△犃犅犆的
内心．求∠犅犗犆的度数．
３．△犃犅犆的内切圆半径为狉，△犃犅犆的周长为犾．求△犃犅犆的面积．（提
示：设△犃犅犆的内心为犗，连接犗犃，犗犅，犗犆．）





１．如图，在Ｒｔ△犃犅犆中，∠犃犆犅＝９０°，犐是内心，∠犅犐犆＝１２０°，犃犆＝２，求
犃犅的长．　A　A

F

E

B

C

B

D

C

（第１题）　（第２题）
２．如图，⊙犗是△犃犅犆的内切圆，切点为犇，犈，犉．若犃犈＝１，犆犇＝２，
犅犉＝３，求△犃犅犆的面积．
第三十章直线与圆的位置关系１５９
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３．如图，在△犃犅犆中，犗是外心，犐是内心，
∠犅犐犆＝１３０°，求∠犅犗犆的度数．

A
I

（第３题）



４．如图，在Ｒｔ△犃犅犆中，∠犆＝９０°，犃犅，犅犆， B
犆犃的长分别为犮，犪，犫，求△犃犅犆的内切圆
半径狉．　O

C

A

（第４题）

１６０第三十章直线与圆的位置关系
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３０．３正多边形与圆

我们知道，三角形有外接圆和内切圆，多边形是否有外
接圆和内切圆呢？对于一般的多边形，容易知道，不一定有
圆经过它的各个顶点，也不一定有圆与它的各边都相切．对
于特殊的多边形，例如正多边形，情况又怎样呢？
各边相等、各角也相等的多边形是正多边形．日常生活中，我们经常能看
到正多边形形状的物体，以及利用正多边形构造的美丽图案（图３０．３１）．你
还能举出一些这样的例子吗？



图３０．３１
正多边形和圆的关系非常密切．只要把一个圆分成相等的一些弧，以各分点
为顶点的多边形就是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接
圆；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形就是这个圆的外
切正多边形，这个圆就是这个正多边形的内切圆．例如，图３０．３２（１）中的多边
形是⊙犗的内接正九边形，图３０．３２（２）中的多边形是⊙犗的外切正六边形．

O

O

（１） 图　（２）
３０．３２
下面以圆的内接正五边形为例进行证明A
．　B　E
如图３０．３３，把⊙犗分成相等的５段弧，依次连接各O
分点得到五边形犃犅犆犇犈．　C　D
∵犃犅︵＝犅犆︵＝犆犇︵＝犇犈︵＝犈犃︵，
图３０．３３
第三十章直线与圆的位置关系１６１
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∴犃犅＝犅犆＝犆犇＝犇犈＝犈犃，犅犆犈︵＝３犃犅︵＝犆犇犃︵．
∴∠犃＝∠犅．
同理∠犅＝∠犆＝∠犇＝∠犈．
又五边形犃犅犆犇犈的顶点都在⊙犗上，
∴五边形犃犅犆犇犈是⊙犗的内接正五边形，⊙犗
是正五边形犃犅犆犇犈的外接圆．
我们把正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中O
心，外接圆的半径叫作正多边形的半径，正多边形每一边
所对的圆心角叫作正多边形的中心角，中心到正多边形的
一边的距离叫作正多边形的边心距（图３０．３４）．　图３０．３４

5

正狀边形的一个内角的度数是多少？外角呢？中心角呢？正多边形的
中心角与外角的大小有什么关系？
例延安宝塔是革命圣地延安的标志和象征，它是一个八角九层楼阁式砖
塔，其塔基的形状是半径为６ｍ的正八边形（图３０．３５）．求塔基的面积（结
果保留小数点后一位）．
解：如图３０．３５，连接犗犃，犗犅，作犃犘⊥
犗犅，垂足为犘．
∵八边形犃犅犆犇犈犉犌犎是半径为６ｍ的
正八边形，

∴犗犃＝犗犅＝６，∠犃犗犅＝３６８０°＝４５°．

又△犃犘犗为直角三角形，
∴∠犗犃犘＝∠犃犗犅．
∴犃犘＝犗犘．
在Ｒｔ△犃犘犗中，由勾股定理，得犃犘２＋犗犘２＝

F E
G
O

D

２

H

C

犗犃．
槡２
∴犃犘＝２犗犃＝３槡２．
１６２第三十章直线与圆的位置关系
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P
A
图３０．３５

B

因此，塔基的面积

犛＝８×１２×犗犅×犃犘＝８×１２×６×３槡２＝７２槡２≈１０１．８（ｍ２）．



１．各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？
如果是，说明理由；如果不是，举出反例．
２．分别求半径为犚的圆内接正三角形、正方形的边长、边心距和面积．

实际生活中，我们经常遇到画正多边形的问题，比如画一个六角螺帽的平
面图、画一个五角星等，这些问题都与等分圆周有关．要制造如图３０．３６中的
零件，也需要等分圆周．

图３０．３６
由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此
作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得到相应的利用这种方法，可
正多边形．例如，画一个边长为１．５ｃｍ的正六边形以画出任意的正狀边形．
时，可以以１．５ｃｍ为半径作一个⊙犗，用量角器画
一个３６０°＝６０°的圆心角，它对着一段弧，然后在圆
６　O
上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的６个等　60e
分点，再顺次连接各分点，即可得到正六边形图
（图３０．３７）．　３０．３７
对于一些特殊的正多边形，还可以用直尺和圆
第三十章直线与圆的位置关系１６３
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规来作图．例如，由于正六边形的边长等于半径，在半径为犚的圆上，从某一
点开始，依次以犚为半径画弧，就可以把圆六等分，顺次连接各分点就得到半
径为犚的正六边形（图３０．３８），进而可以作出正三角形、正十二边形．再如，
在上一章的数学活动中，我们已经用直尺和圆规四等分圆周，顺次连接各分
点，便可以得到正方形（图３０．３９），进而可以作出正八边形、正十六边形．

图３０．３８

图３０．３９



１．画一个半径为２ｃｍ的正五边形，再作出这个正五边形的各条对角线，
画出一个五角星．
２．用等分圆周的方法画出下列图案：

（第２题）





１．完成下表中有关正多边形的计算：
正多边形边数内角中心角半径边长边心距周长面积
３ ６０°
４
６

２槡３
槡２
槡３

１６４第三十章直线与圆的位置关系
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２．要用圆形铁片截出边长为犪的正方形铁片，所选圆形铁片的半径至少是多少？
３．正多边形都是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴在哪AJ
里？正多边形都是中心对称图形吗？如果是，它的对称BF　E
中心在哪里？　G　I
４．如图，犉，犌，犎，犐，犑分别是正五边形犃犅犆犇犈各边 CHD
的中点．求证：五边形犉犌犎犐犑是正五边形．　（第４题）



５．如图，要拧开一个边长犪＝１２ｍｍ的六角形螺帽，扳手张开的开口犫至少是多少？

（第５题）　（第６题）
６．如图，正方形的边长为４，剪去四个角后成为一个正八
边形，求这个正八边形的边长和面积．
７．如图，一个亭子底部基座的形状是半径为４ｍ的正六边
形，求底部基座的周长和面积（结果保留小数点后一位）．
８．用４８ｍ长的篱笆在空地上围成一个绿化场地，现有四
种方案：正三角形、正方形、正六边形、圆，哪种方案
所围场地的面积最大？　（第７题）



９．如图，⊙犗的半径是犚，分别求它的外切正三角形、外切正方形、外切正六
边形的边长．

D

O

F

BG
O
E

HC
O

O

（第９题）　（第１０题）
１０．如图，等边三角形犃犅犆和正方形犃犇犈犉内接于⊙犗，犇犈，犉犈分别与犅犆
相交于点犌，犎．若⊙犗的半径为犚，求犌犎的长．

第三十章直线与圆的位置关系１６５
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在古代，由于对数的认识有限，　刘徽创割圆术计
计算精度要求也不高，人们粗略地算圆周率，他在利用
认为圆周率是３．《九章算术》中就 圆的内接正１９２边形
有相关记载．　计算圆的面积时，得
到圆周率的近似值为
１５７＝３．１４，该值被
５０
称为徽率．
割圆术
祖冲之（４２９—５００）
是第一位将圆周率精确到
小数点后第７位的数学家，
早于西方１０００多年．他还
给出了圆周率的两个近似
图为汉代记里鼓车复原模型．车直行绘有祖冲之及祖率的值２２（约率）和３５５（密率），
一里路，敲鼓一下，这说明当时人们　７ １１３
就已经能计算圆周长并设计车轮大小．银币（１９８６） 后者被称为祖率．

阿基米德利用单位圆（半径为１
的圆）的内接和外切正多边形，求出
记载圆面积计　圆周率的下界和上界分别为２２３和２２，
算的古巴比伦　７１７
泥版　并取它们的平均值３．１４１８５１作为圆周
率的近似值．

古巴比伦人通常取圆的面积为绘有阿基米德计
半径平方的３倍，也就是说取圆周算圆周率场景的
率为３．　银币（２０１４）

１６６第三十章直线与圆的位置关系
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清代蒙古族数学家、天文学家明安图
（约１６９２—约１７６４）在《割圆密率捷法》 中国超级计算机：神威·太湖之光
一书中论证了圆周率的无穷级数表达式等
公式．为了纪念他的贡献，１９９９年发现的
一颗小行星被命名为“明安图星”．

１９４９年，世界首台通用计算机ＥＮＩＡＣ
计算出π的小数点后第２０３７位，标志着
π的计算进入了新时期．如今，借助超级
计算机，已经可以计算到π的小数点后上
明安图塑像　万亿位．

π

随着微积分的诞生，圆周率的计算进入
了分析法时期．欧拉用威廉·琼斯引进的符
号“π”表示圆周率，并证明了很多关于π
的无穷级数表达式，使π的计算更准确、
快速．

21111
++++...

612223242　关于圆周率的各种计算方法承载
着人类智慧的积淀，这使得圆周率成
为了数学中最有魅力的数字之一！于
是，从２０２０年开始，每年３月１４日被
定为国际数学日，也被称为“π日”．
欧拉和他的π的无穷
级数表达式
第三十章直线与圆的位置关系１６７
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"


34

平结是一种古老、实用的结索，以一线（或一物）为轴，将另一线的
两端绕轴穿梭而成，是中国结（图１）的基本结之一．“平”有高低相等、
不相上下之意，同时又有稳定的含义，给人以四平八稳之感．
利用纸条平结可以得到多种几何图形．例如，我们可以将一根足够长的矩
形纸条打一个简单的结，收紧并按压平整，就得到了一个五边形（图２）．

图１　图２
分别用刻度尺和量角器测量一下这个五边形的各边长和各内角度数，你
有什么发现？你能证明你的发现吗？

"


*0@@

许多图案设计都和圆有关．图３是北京大兴国际机场一种地砖的图
案，形如展翅的凤凰．图４是一些利用等分圆周设计出的图案．

图３　图４
如图５，利用等分圆周得到的正多边形，也可以设计出一些图案．

图５
你能画出其中的一些图案吗？请你再利用圆或正多边形设计一些图
案，并与同学交流．
１６８第三十章直线与圆的位置关系
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在本章中，我们研究了直线与圆的三种位置关系，重点研究了圆的
切线的性质和判定，由此得到圆的切线的尺规作图方法，探索并证明了
切线长定理．在此基础上，学习了三角形内切圆的相关概念与尺规作图方
法、圆与正多边形的关系以及圆在图案设计等方面的应用．
在学习本章的过程中，我们通过类比点与圆的位置关系，从位置和
数量两个方面刻画直线与圆的位置关系；通过直观想象、操作确认、逻
辑推理，得到直线与圆相切时过切点的半径与切线垂直的位置关系；通
过测量计算、尺规作图得到了作圆的内接正多边形的方法，从而进一步
认识了几种基本几何图形之间的联系．这些内容的学习，进一步提升了我
们的推理能力，帮助我们养成用数学的思维思考问题的习惯．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．直线与圆有怎样的位置关系？你能举出这些位置关系的一些实例
吗？你能用哪些方法刻画这些位置关系？
２．直线与圆相切时，具有哪些性质？怎样判定直线与圆相切？
３．怎样用直尺和圆规过圆上或圆外一点作圆的切线？你能说明这样
作图的道理吗？
第三十章直线与圆的位置关系１６９
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４．过圆外一点作圆的两条切线，你能由此得到什么性质？
５．怎样用直尺和圆规作出一个三角形的内切圆？你能说出内切圆的
圆心和半径是如何确定的吗？
６．正多边形与圆有什么关系？





１．选择题．
（１）如图，犃犅是⊙犗的直径，过⊙犗上一点犆作⊙犗的切线，所作切线与犅犃
的延长线交于点犘，∠犅＝２０°，则∠犘＝（）．
（Ａ）２０°（Ｂ）２５°（Ｃ）４０°A（Ｄ）５０°

C
P
PA O B

C
O

（１） （第题）　（２）
１
（２）如图，犘犃，犘犅分别与⊙犗相切于犃，犅两点，∠犘＝７０°，则∠犆＝（）．
（Ａ）７０°（Ｂ）５５°（Ｃ）１１０°（Ｄ）１４０°
（３）尝试以半径为１的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作
三角形，则（）．
（Ａ）不能作出三角形（Ｂ）能作出等腰三角形
（Ｃ）能作出直角三角形（Ｄ）能作出钝角三角形
２．如图，犃犅与⊙A犗相切于点C犆B，犗犃＝犗犅，⊙犗的直径为８，犃犅＝１０，求犗犃的长．

O

A

C

D

B

（第２题）　（第３题）
３．如图，菱形犗犃犅犆的顶点犃，犅，犆在⊙犗上，过点犅作⊙犗的切线，此切线
与犗犃的延长线相交于点犇，⊙犗的半径为２，求犅犇的长．

１７０第三十章直线与圆的位置关系
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４．如图，犃犅是⊙犗的直径，犆是⊙犗上一点，∠犆犃犅的平分线与⊙犗交于点犇，
过点犇作犇犈⊥犃犆，垂足为犈．求证：犇犈是⊙犗的切线．

E
D
C
A
A
O
B

y
F E
D
B
C

O

x

（第４题）　（第５题）
５．如图，正六边形犃犅犆犇犈犉的中心为原点，顶点犃，犇在狓轴上，半径为２，求
其各个顶点的坐标．



６．如图，利用刻度尺和三角尺可以测量圆形工件的直径，说明其中的道理．

（第６题）　（第７题）
７．如图，点犈是△犃犅犆的内心，犃犈的延长线和△犃犅犆的外接圆相交于点犇．求
证犇犈＝犇犅．
８．如图，犃犅是⊙犗的直径，犅犆是⊙犗的切线，切点为犅，犗犆平行于弦犃犇．求
证：犇犆是⊙犗的切线．

A
O

B
OEB D

A

（第８题）　（第９题）
９．如图，犃犅是⊙犗的直径，犆为⊙犗上一点，过点犆作⊙犗的切线，此切线与
犃犅的延长线相交于点犇，犆犈⊥犃犅，垂足为犈．求证：犆犅平分∠犇犆犈．

第三十章直线与圆的位置关系１７１
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１０．如图，⊙犗的直径犃犅＝１２，犃犕和犅犖是⊙犗的两条切线．在以点犃，犅为端
点的⊙犗的右半圆弧上，有一个动点犈，过点犈作⊙犗的切线犾与犃犕，犅犖
分别交于点犇，犆．设犃犇＝狓，犅犆＝狔，求狔关于狓的函数解析式，并画出它
的图象．

（第１０题）　（第１１题）
１１．如图，等腰三角形犃犅犆的顶角∠犃＝３６°．⊙犗和底边犅犆相切于犅犆的中点
犇，并与两腰犃犆，犃犅分别相交于犈，犉，犌，犎四点，其中犌，犉分别是两
腰犃犅，犃犆的中点．求证：五边形犇犈犉犌犎是正五边形．

１７２第三十章直线与圆的位置关系
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综合与实践
生活中的优化问题

现实生活中，我们经常会遇到距离最短、角度最大、用料最省、成本最
小、利润最大等问题．从数学角度看，它们均涉及数量的大小，这类求最大
（小）值的问题常常被称为优化问题．在二次函数的学习中，我们已经学习过一
些求最大（小）值的问题．接下来，我们结合一些案例，进一步研究生活中的
优化问题．



会用数学的眼光发现生活中的优化问题；会用数学知识、思想、方法描述
优化问题，把优化问题转化为数学问题；会通过数学运算、逻辑推理等解决数
学问题；会用数学问题的结果解释优化问题，获得优化问题的答案．



回忆过去学习的知识内容并查阅资料，列举生活中涉及最大（小）值的优
化问题．



分析快递货车上标准包裹箱的数量
随着我国经济、社会的快速发展，快递业务实现了跨越式发展，物品寄送
变得方便、快捷、安全，成为人们日常生活的重要组成部分，几乎与每个人的
生活息息相关．
一辆快递货车穿行在Ａ城、Ｂ城之间，中间有若干集散点．在货车从Ａ城
驶往Ｂ城的过程中，每停靠一个集散点，要卸下前面各集散点发给该集散点的
标准包裹箱各１个，同时又要装上该集散点发往以后各集散点的标准包裹箱各
１个．
任务１若Ａ城、Ｂ城之间有１０个集散点（包括Ａ城、Ｂ城），快递货车
最多可装１６个标准包裹箱，这辆货车能完成这次快递任务吗？
综合与实践生活中的优化问题１７３
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任务２把任务１中的问题一般化，假设Ａ城、Ｂ城之间有狀个集散点
（包括犃城、犅城），货车经过各集散点时，其装载的标准包裹箱数量如何变
化？货车上至少有多少个标准包裹箱的空间才能完成快递任务？离开哪个集散
点时，货车上标准包裹箱的数量最多？为什么？
寻找最大射门角度
足球场上，球员进行直线带球过程中的射门
训练，射门时球员与球门两端会形成一个角度，
什么时候这个射门角度最大？
我们把这个问题简化，只考虑足球沿草坪直
线运动的情况．射门角度最大的问题可以简化为“直线上的点在什么位置时，
其与线段两个端点的连线形成的角度最大？”的问题．
任务１如图１，当球员带球行进的路线犾与球门（线段犃犅）所在的直线
平行时，直线犾上是否存在点犆，使∠犃犆犅最大？为什么？如果存在这样的点
犆，如何确定点犆的位置？

图１　图２
任务２如图２，当球员带球行进的路线犿与球门所在的直线垂直时，直
线犿上是否存在点犆，使∠犃犆犅最大？为什么？如果存在这样的点犆，如何
确定点犆的位置？
提示：要考虑直线犿与线段犃犅相交、与线段犃犅的延长线相交两种情形．
任务３如图３，当球员带球行进的路线狀与球门A　B　D
所在的直线相交但不垂直时，直线狀上是否存在点犆，　n
使∠犃犆犅最大？为什么？如果存在这样的点犆，如何　C
确定点犆的位置？　图３
提示：与任务２类似，仍然考虑直线狀与线段犃犅相交、与线段犃犅的延
长线相交两种情形．
任务４你还能提出类似上述问题的其他现实问题吗？
１７４综合与实践生活中的优化问题
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产品包装箱的设计
生活中，我们会见到各种各样的产品包装箱．产品包装箱的纸张浪费和垃
圾等问题，开始成为社会治理的新问题．如何用更少的包装纸来包装更多的商
品，对于环境保护和商家的利益来讲都是非常重要的．接下来，我们以圆柱体
和长方体形状产品的包装箱为例，从数学的角度探究产品包装箱用料最小
问题．
任务１当圆柱体产品单层排列时，研究使长方体包装箱表面积最小的排
列方式．
提示：要确定圆柱体产品的长方体包装箱的表面积，在知道圆柱体的底面
半径和高的情况下，主要要考虑产品的排列方式，排列方式有齐排列和错排列
两种（图４是１２个圆柱体产品按２×６的方式齐排列和错排列的底面示意图）．

齐排列　错排列
图４
（１）当圆柱体产品底面半径狉＝６０ｍｍ，高犺＝１２３ｍｍ，规格为１２个／箱
时，有几种齐排列方案？分别计算它们的包装箱表面积，哪种方案的包装箱表
面积最小？
（２）对于（１）中的圆柱体产品，按照错排列的方式，有几种方案？分别计
算它们的包装箱表面积，哪种方案的包装箱表面积最小？
（３）综合比较齐排列与错排列的方式，找出最省料的包装方式．
任务２当圆柱体产品多层排列时，研究使长方体包装箱表面积最小的排
列方式．
当圆柱体产品底面半径狉＝６０ｍｍ，高犺＝１２３ｍｍ，规格为１２个／箱时，
有几种齐排列方案？分别计算它们的包装箱的表面积，哪种方案的包装箱表面
积最小？
任务３类比上述解决圆柱体产品包装箱表面积最小问题的方法，研究长
方体产品的包装箱表面积最小的问题．（选做．）

综合与实践生活中的优化问题１７５
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

提出问题并解决
你还能发现并提出生活中的其他优化问题，并给予解决吗？



１组建合作团队
本次综合与实践活动需要团队协作．在班级中组成５～８人一组的研究小
组，每位同学参加其中一个小组，每个小组确定一名负责人．
２方案构思
小组成员进行充分的讨论与交流，集思广益，形成解决上述任务的方案．
３方案实施
按照小组设计的方案进行任务分工，使每位成员都有明确的任务．根据规
划的研究步骤实施，完成活动任务，形成研究报告．
４展示交流
制作向全班汇报的演示文稿，选出代表向全班同学展示本组的研究成果，
分享实践过程中的活动经验、遇到的困难及其解决方法，反思活动中的不足．



通过成果展示与交流，基于各组完成的研究报告，根据情况选择任务完成
表、表现评分表、自我反思表等进行评价．与老师和全班同学一起，通过质
疑、辩论、评价，总结成果，分享体会，分析不足，开展自我评价、同学评价
和教师评价，完成本次综合与实践活动．

１７６综合与实践生活中的优化问题
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

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本套教科书（七～九年级）由人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材
研究开发中心依据教育部《义务教育数学课程标准（２０２２年版）》编写．
本套教科书集中反映了基础教育课程改革的最新成果，总结了上一版《义务教育
教科书数学》的编写经验，凝聚了教育专家、学科专家、教材编写人员、教研人员
及一线教师的集体智慧．参加本套教科书统稿的还有薛彬、王光明，参加本册教科书
统稿的还有刘金英，参加本册教科书编写讨论的还有王立东、曹自由．本套教科书封
面设计由中央美术学院设计团队完成，人民教育出版社设计部制作．本册教科书版式
设计为王俊宏，封面插图绘制为康鲁雷，内文插图绘制为王俊宏、张婷婷、康鲁雷．
我们感谢所有对教科书的编写、审读、试教、出版等提供过帮助与支持的同仁和社会
各界朋友．
本册教科书出版之前，我们通过多种渠道与教科书选用作品的作者进行了联系，
得到了他们的大力支持．视觉中国、ＩＣｐｈｏｔｏ等为本册教科书提供了图片素材．对此，
我们表示衷心的感谢！
我们真诚地希望广大教师、学生及家长在使用本册教科书的过程中提出宝贵的意
见和建议．我们将本着精益求精的态度，集思广益，不断修订，努力使教科书日趋
完善．

联系方式
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