数学

五年级

下册

义务教育教科书

数学

五年级

下册

人民教育出版社课程教材研究所

小学数学教材编委会

·北京·

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

绘  图：中央美术学院小学数学教材插图绘制团队
责任编辑：熊华
美术编辑：金葆

义务教育教科书数学五年级下册
人民教育出版社课程教材研究所
小学数学教材编委会

出 版
（北京市海淀区中关村南大街17号院1号楼邮编：100081）
网 址http://www.pep.com.cn

版权所有·未经许可不得采用任何方式擅自复制或使用本产品任何部分·违者必究

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

编者的话

新的学期开始了，你对数学有什么期待呢？
在前面的学习中，你已经初步认识了分数。本学期，你将进一步
理解分数的含义，体会分数与整数、小数的关联，掌握分数加、减法
的计算法则。你还会继续探索整数的奥秘，从因数和倍数的概念出发，
体会整数的特点。
生活中，你一定见过很多长方体、正方体的物品。本学期，你将从
数学的角度来探究长方体、正方体的特征，探索它们的表面积、体积的
计算公式，并运用这些知识解决实际问题。

此外，你还将通过观察物体、图形的运动进一步丰富空间想象力；
根据折线统计图展现的数据变化趋势进行合理的预测，感受数据的
作用和统计的价值；通过“找次品”活动感悟推理和数学模型的思想
方法……
和聪聪一起出发吧！用你的努力和智慧，去探索数学的奥秘！

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目 录

1 观察物体（三）

2

2 因数和倍数

5

3 长方体和正方体

18

探索图形

44

4 分数的意义和性质 45

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5 图形的运动（三） 83

6 分数的加法和减法 89

怎样通知最快

102

7 折线统计图

104

8 数学广角——找次品112

9 总复习

115

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1观察物体（三）

1按要求摆一摆。
（1）用4个同样的小正方体摆出从前面看是 的几何体。

小明这样摆：

小红这样摆：

你是怎样摆的？

（2）如果再增加1个同样的小正方体，要保证从前面看到的图形不变，

可以怎样摆？

小明这样摆：

小红这样摆：

你是怎样摆的？你有什么发现？

2下面是从三个方向观察同一个几何体看到的图形，你能摆出这个几何

体吗？

从前面看 从左面看 从上面看

先根据从前面看到
的图形摆出……

再根据从左面看到的图形接
着摆，可以有不同的摆法……

摆完后观察一下，说一说你有什么发现。

2
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练习一

1用5个同样的小正方体按要求摆几何体。

（1）从前面看是 。

（2）在第（1）题的基础上，从上面看是。

2下面两个小题分别是从不同方向观察同一个几何体所看到的图形，请分别
把被观察的几何体摆出来。

（1）

从前面看

从左面看

从上面看

（2）

从前面看

从左面看

从上面看

3下面是用同样的小正方体摆出的一些几何体。

①

②

③

④

⑤

⑥

⑦

⑧

⑨

⑩

（1）哪些从前面看是？哪些从左面看是 ？

（2）从前面观察一个几何体，看到的图形和从前面观察⑤所看到的一样。

这个几何体是用5个小正方体摆成的，它有多少种不同的摆法？

（3）同桌之间互相提一个问题并解答。

3
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4哪个几何体符合从前面看是　，从上面看是　的要求？
在括号里画“”。

（）

（）

（）

5从前面观察一个由同样的小正方体组成的
几何体，看到的图形如下图，这个几何体
可能是怎样摆的？

可能是由3个小

正方体摆成的。

（1）这个几何体如果是由4个小正方体组成的，可以怎样摆？
（2）这个几何体如果是由5个、6个、7个或更多的小正方体组成的，可

以怎样摆？

6用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的

图形如右图（每个正方形上面的数字表示在这个 31
位置上所用的小正方体的个数）。这个几何体，12

从前面看是

，从左面看是

。

①

②

③

④

本单元结束了，我的收获：
你想说些什么？
成长小档案 我的疑问：

4
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2因数和倍数

1.因数和倍数的认识

1在前面的学习中，我们知道两个整数相除，结果有下面两种情况。
第一12÷2=620÷10=2第二8÷3=2......29÷5=1......4
种30÷6=521÷21=1种÷......÷......
63÷9=7 197=25268=32
在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数为0），我们

就说除数是被除数的因数（也称约数），被除数是除数的倍数。

例如，12÷2=6，我们就说2是12的因数，12是2的倍数。
因为12÷6=2，　2×6=12，2和
所以也可以说　6是12的因数，
6是12的因数，12÷2=612是2和6的
12是6的倍数。 ÷　倍数。
126=2
2×6=12

说一说：上面第一种情况的每个算式中，谁是谁的因数？
谁是谁的倍数？
因数和倍数是相互依存的。

注意：为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所指的数是自然数（一

般不包括0）。

做一做

下面的4组数中，谁是谁的因数？谁是谁的倍数？
4和2426和1375和2581和9

5
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218的因数有哪些？
18÷1=18想18除以几
18÷2=9……　没有余数……

18的因数有1，2， ， ， ， 。
说一说：你是怎样找到18的因数的？
18的因数

一个数的因数也可以像右图这样表示。，， ，

30的因数有哪些？36呢？

12， ，

32的倍数有哪些？
找倍数用乘法　2×1=2
更方便……　2×2=4
2×3=6……
2的倍数有2，4，6，…。
说一说：你是怎样找到2的倍数的？
2的倍数

一个数的倍数也可以像右图这样表示。

的倍数有哪些？呢？
3

2，4， ，
5

， ，

，…

在上面找因数和倍数的过程中，你有什么发现？

1.一个数的最小因数是 ，最大因数是 ；
2.一个数的最小倍数是 ，　最大倍数；
3.一个数的因数的个数是有限的，一个数的倍数的个数是
无限的。

6
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练习二

1把符合条件的数填入相应的热气球里。

36的因数　60的因数
12345689
1012151618
2024303660

2（1）写出下面各数的因数。

1017283248
（2）写出下面各数的倍数（各写5个）。
4 7 106 9
3找出5的倍数，把相应的星星涂上黄色。
35　4855
5　1092　81

27608 12100

415的因数有哪些？15是哪些数的倍数？

5判断下面的说法是否正确，并说一说你的理由。

（1）1是1，2，3，…的因数。
（2）8的倍数只有16，24，32，40，48。
（3）因为36÷9=4，所以36是9的倍数。
（4）5.7是3的倍数。

7
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6填空。

（1）1的因数有 个，7的因数有 个，10的因数有 个。
（2）一个数的最大因数和最小倍数都是18，这个数是 。
（3）一个数的最小倍数是1，这个数是 。

7猜数游戏。

它是42的因数，
又是7的倍数。

它可能是7，14，21，
42中的一个。

它也是2和3的

我知道了，它

倍数。

是

。

8（1）14、21都是7的倍数，14与21的和是7的倍数吗？
（2）27、18都是9的倍数，27与18的差是9的倍数吗？

通过这两个小题，你有什么发现？你能再举几个例子验证你的发现吗？

你知道吗？
完全数

6的因数有1，2，3，6，这几个因数的关系是：1+2+3=6。像6这样，

等于除了它自身以外的全部因数之和的数，叫作完全数。

28也是完全数，而8则不是，因为1+2+4≠8。完全数非常稀少，
截至2021年，人们一共找出了51个完全数，其中较小的有6，28，
496，8128等。

完全数还有一个有趣的性质，它们都能写成连续自然数之和。不信你
可以试试看。

8
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2.2、5、3的倍数

10123456789
10111213141516171819
20212223242526272829
30313233343536373839
40414243444546474849
50515253545556575859
60616263646566676869
70717273747576777879
80818283848586878889
90919293949596979899
（1）把上表中5的倍数圈起来，看看5的倍数有什么特征。
（2）把上表中2的倍数框起来，看看2的倍数有什么特征。
5的倍数个位上　2的倍数个位上的数
的数是0或5。　是0，2，4，6或8。

一个数个位上是0或5，这个数就是5的倍数吗？一个数个位上
是0，2，4，6或8，这个数就是2的倍数吗？举例验证一下。
1.个位上是0，2，4，6或8的数，都是2的倍数；
2.个位上是0或5的数，都是5的倍数。
整数中，是2的倍数的数叫作偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数

叫作奇（jU）数。

做一做

下面哪些数是2的倍数？哪些数是5的倍数？哪些数既是2的倍数，又是
5的倍数？你发现了什么？
35679910660751305212806018

9
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20123456789
10111213141516171819
20212223242526272829
30313233343536373839
40414243444546474849
50515253545556575859
60616263646566676869
70717273747576777879
80818283848586878889
90919293949596979899
把上表中3的倍数圈起来，看看3的倍数有什么特征。
3的倍数个位上可以是斜着看，3的倍数
0~9中任何一个数。 各位上的数的和
都是3的倍数。

任意找几个3的倍数，把各位上

的数相加，看看有什么规律。

一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数吗？

举例验证一下。

一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

做一做

下面用数字卡片摆出的数中哪些是3的倍数？

24584796

在每个数后面增加一张数字卡片，使这个三位数成为3的倍数。

10
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练习三

1下面哪些数是奇数？哪些数是偶数？

33983550 123881
808910009885653678677

2按要求填写数字。

（1）　两个数位上的数相同，并且是5的倍数。
（2）35 既是2的倍数，又是5的倍数。
（3）　既是2的倍数，又是5的倍数的最小三位数。
3圈出3的倍数。
92753620665305177999999
11149165598865513122227203

4

你能说出3个是3的 你能说出3个是5的

倍数的偶数吗？

倍数的奇数吗？

5在 里填一个数字，使组成的每个数都是3的倍数。各有几种填法？
742 4465121

6（1）“一五，一十，十五，二十……”这样数数，数出来的数都是

的倍数，第12个数是 。
（2）100，98，96，94，…，8，6，4，2。这些数中的每个数都是
的倍数，其中第15个数是 。

11
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7妈妈在花店买了一些马蹄莲和郁金香，店员说妈妈应付87元。按照下面

的价格计算，店员说得对吗？

8判断下面的说法是否正确，并说一说你的理由。

（1）个位上是3，6，9的数，都是3的倍数。
（2）个位上是1，3，5，7，9的数，都是奇数。

（3）在全部整数里，不是奇数就是偶数。

9现在有22名学生分组玩游戏，至少再来几名学生就可以正好3人一组？

10从下面四张数字卡片中按要求取出三张，组成三位数。
奇数　偶数

432的倍数　5的倍数
053的倍数　既是2的倍数，又是3的倍数
11先圈出4的倍数，再回答下面的问题。
12345678910
11121314151617181920
21222324252627282930
31323334353637383940
41424344454647484950
（1）4的倍数都是2的倍数吗？
（2）只看个位，能否判断一个数是不是4的倍数？应该怎样判断？

12
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12（1）既是2和5的倍数，又是3的倍数的最小两位数是 。
（2）既是2的倍数，又是3的倍数的最小三位数是 ，最大三位数

是

。

生活中的数学

街道一边的门牌号是奇数， 34

43

另一边的是偶数。

公民身份号码中的第17位

数字可以分辨性别，奇数为男性，
偶数为女性。

你知道吗？

（1）判断一个数是不是2或5的倍数，为什么只用看个位数？

一个数可以根据数的组成进行改写，比如：

24=2×10+4×1
2485=2×1000+4×100+8×10+5×1
其中10，100，1000都是2或5的倍数，所以只要个位上的数
是2或5的倍数，这个数就是2或5的倍数。
（2）判断一个数是不是3的倍数，为什么要看各位上数的和？

可以按（1）的思路进行分析。

2485=2×1000+4×100+8×10+5×1
=2×（999+1）+4×（99+1）+8×（9+1）+5
=2×999+4×99+8×9+（2+4+8+5）
其中9，99，999都是3的倍数，括号中是这个数各个数位上的
数，所以只要这些数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
试一试：你能继续找到判断9的倍数的方法吗？

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3.质数和合数

找出1~20各数的因数，按要求填写下表。
只有一个因数的数只有1和它本身两个因数的数有两个以上因数的数

一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数（或素数）。
如2，3，5，7都是质数。
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数。如4，
6，15，49都是合数。
1既不是质数，也不是合数。
1找出100以内的质数，做一个质数表。
12345678910
11121314151617181920
21222324252627282930
31323334353637383940
41424344454647484950
51525354555657585960
61626364656667686970
71727374757677787980
81828384858687888990
919293949596979899100
可以逐一验证　先把2的倍数划去，
每个数，看哪　2除外，划掉的这些

些是质数。

数都不是质数。再

把3的倍数划去……

想一想：划到几的倍数就可以了？

14
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2奇数与偶数的和是奇数还是偶数？奇数与奇数的和是奇数还是偶数？

偶数与偶数的和呢？

阅读与理解
题目让我们探究“奇数、偶数的和”的问题。可以这样表示：

奇数偶数？

+=　奇数
奇数+奇数=？

偶数

偶数+偶数=？

分析与解答
还可以用小方块摆一摆。

我先用几个奇数、
偶数试一试。　奇数：　……

偶数：

……

5+8=13，7+8=15……
5+7=12，7+9=16…… 奇数+偶数：
8+12=20，12+24=36……
+ =

奇数除以2余1，偶数除以
2没有余数，奇数加偶数的
和除以2还余1，所以……

奇数+偶数=奇数，奇数+奇数= ，偶数+偶数= 。

回顾与反思
得出的结论正确吗？可以再找一些大数试一试。

319+534=853所以，奇数+偶数=奇数。

还有其他方法吗？你觉得哪种方法好？

15
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练习四

1判断下面的说法是否正确，并说一说你的理由。
（1）所有的奇数都是质数。
（2）所有的偶数都是合数。

（3）在1，2，3，4，5，…中，除了质数以外都是合数。

（4）两个质数的和是偶数。

2将下面各数分别填入相应的框里。

2737415861738395
1114334757628799

质数

合数

奇数

偶数

3你知道下面的数各是多少吗？

我们两个的 我们两个的

我们两个的 我们两个的

和是10。积是21。 和是20。积是91。

质数

质数

质数

质数

我是最小的
质数。

我是最小的
合数。

4奇数与奇数的积是奇数还是偶数？奇数与偶数的积是奇数还是偶数？偶数
与偶数的积呢？

16
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530名学生要分成甲、乙两队。如果甲队人数为奇数，乙队人数为奇数还

是偶数？如果甲队人数为偶数呢？

6两人一组，一人说出大于2的偶数，另一人找出和为此数的两个质数。

3+7=10。

7探索6的倍数的特征，并记录你探索的过程和结果。

你知道吗？
哥德巴赫猜想

从上面第6题的游戏中我们可以看到：4=2+2，6=3+3，8=5+3，
10=7+3，12=7+5，14=11+3……那么，是不是所有大于2的偶数，

都可以表示为两个质数的和呢？
这个问题是德国数学家哥德巴赫最先提出的，所以被称作哥德巴赫猜
想。哥德巴赫猜想看似简单，但要证明却非常困难，因而成为数学中一个
著名的难题，被称为“数学皇冠上的明珠”。
世界各国的数学家都想攻克这一难题，但至今还未解决。我国数学家
陈景润在这一领域取得了举世瞩目的成果。

本单元结束了，我的收获：
你想说些什么？
成长小档案 我的疑问：

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3长方体和正方体

1.长方体和正方体的认识

生活中许多物体的形状都是长方体或正方体（正方体也叫立方体）。

国家游泳中心

联合国总部大楼

长方体

顶点：棱和棱的交点

面

棱：面和面相交的线段

1拿几个长方体的物品来观察，并将小组同学的发现填在下页的表中。

长方体有

有些面是完全相同的。

6个面。

18
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

（1）长方体有　个面。（4）长方体有　条棱。
（2）每个面是什么形状的？ （5）哪些棱长度相等？

（3）哪些面是完全相同的？ （6）长方体有

个顶点。

通过以上的观察和讨论可以知道：长方体一般是由6个长方形（特殊情

况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。在一个长方体中，相对的面
完全相同，相对的棱长度相等。

2用细木条和橡皮泥做一个长方体框架。

需要不同长度
的细木条。

根据制作过程，回答下面的问题。

（1）长方体的12条棱可以分成几组？
（2）相交于同一顶点的3条棱的长度相等吗？
相交于同一顶点的3条棱的长度分别叫作长方体 长

高
宽

的长、宽、高。

做一做

剪下本书附页中图1的图样，按要求做一做。

（1）把图样中完全相同的长方形涂上同样的颜色。
（2）用这个图样做一个长方体。
（3）量一量所做长方体的长、宽、高各是多少厘米。
（4）观察这个长方体，最多能看到几个面？

19
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正方体

3拿一个正方体的物品来观察，并将小组同学的发现填在下面。
（1）正方体的6个面
（2）正方体的12条棱

。
。

棱
棱

棱

通过观察可以知道：正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形，

所有的棱长度相等。

剪下本书附页中图2的图样做一个正方体，再量出它的棱长是多少厘米。

讨论一下：长方体和正方体有哪些相同点？有哪些不同点？

长方体和正方体都有

正方体的棱长度都相等，

6个面、8个顶点……

长方体相对的棱……

正方形是特殊的
长方形，所以……

正方体是长、宽、高都相等的长方体。我们
可以用右图表示长方体和正方体的关系。

长方体
正方体

做一做

用棱长1cm的小正方体搭一搭。

（1）搭一个稍大一些的正方体，至少需要多少个小正方体？动手试一试。

（2）用12个小正方体搭一个长方体，可以有几种不同的搭法？记录搭出

的长方体的长、宽、高。

（3）搭一个4个面都是正方形的长方体，你发现了什么？

20
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

练习五

1（1）这个纸巾盒的前面是什么形状？长和
宽各是多少？和它相同的面是哪个？　cm

（2）这个纸巾盒的右面是什么形状？长和

宽各是多少？和它相同的面是哪个？　cm
（3）哪几个面的长是24cm，宽是12cm？ 24cm12
2一个长、宽、高分别为40cm、30cm、20cm的小纸箱，在所有的棱

上粘上一圈胶带，至少需要多长的胶带？

3　（1）和a平行的棱有几条？
a （2）和a相交且垂直的棱是哪几条？
（3）和b平行的棱有几条？
c （4）你还能发现什么？
b

4（1）这个魔方是什么形状的？
（2）它的棱长是多少？
cm
（3）它有几个面的形状完全相同？　5.5

cm5.5cm

5为迎接“五一”国际劳动节，工人叔叔要在礼堂的四周装上彩灯（地面的

四边不装）。已知礼堂长90m，宽55m，高22m，工人叔叔至少需要多

长的彩灯线？

21
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

6左边的长方体是用棱长1cm的小正方体拼成的。右边的图形中哪一个是
这个长方体6个面中的一个？用“”标出来，并注明有几个这样的面。

cm

cm

cm

2

2

2

（2cm）个

（4）个cm

（3）个cm

cm
cm

cm
4

4

（3cm）个　（4）个cm　（3cm）个
7下图分别是长方体或正方体一个顶点处的3条棱。（单位：cm）
97 77 77
4　4　7
从以下图形中选择6个面（可重复选择），围出上面的长方体或正方体。
①　②　③4④4 ⑤4 ⑥
9 79 4 7　7
9 9　7
8正方体的6个面分别写着A、C、D、E、F、I。与A、E、I相对的面分别

是哪个面？

把正方体转一下

再转一下

A

F

C

你知道吗？
几何学和欧几里得

几何学是数学学科的一个重要分支，它源于土地测量等实际需要。
古希腊数学家欧几里得被称为“几何学之父”，他的著作《原本》在数学
发展史上有着深远的影响。

22
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2.长方体和正方体的表面积

一个长方体或正方体的纸盒展开后是什么形状的？

我展开了一个长方体的纸盒。
要沿着棱剪开！
正方体的纸盒可以
这样展开。

把长方体和正方体的6个面分别展开，如下图所示。

请在上面的展开图中，分别用“上、下、前、后、左、右”标明6个面。

观察长方体展开图，回答下面的问题。
（1）哪些面的面积相等？
（2）每个面的长和宽与长方体的长、宽、高有什么关系？

做一做

折叠后，下面哪些图形能围成左侧的正方体？在括号里画“”。

（）

（）

（）

23
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长方体或正方体6个面的面积之和，叫作它的表面积。

在日常生活和生产中，经常需要计算一些长方体或正方体的表面积。

1制作尺寸如下图所示的长方体和正方体保温箱，各需要多少平方分米
的泡沫板？（单位：dm）

5　5
455
6

想：求需要多少平方分米的泡沫板就是要求什么？

先观察长方体保温箱：
上、下每个面，长 ，宽 ，面积是
前、后每个面，长 ，宽 ，面积是
左、右每个面，长 ，宽 ，面积是

；
；
。

6个面的面积相加……长方体相对的面面积

相等，我先算……

6×5×2+6×4×2+5×4×2
=
想一想：正方体6个面都相同，表面积可以怎样计算？

（6×5+6×4+5×4）×2
=

做一做
一个长 m、宽m、高m的简易衣柜　0.5m
需要换布罩（如右图，没有底面）。至少需要用多少0.750.51.6

平方米布料？

1.6

0.75m
24
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练习六

1在展开图上找出相对的面，并用2将下面的展开图围成正方体后，
“上、下、前、后、左、右”标出，哪两个面分别相对？

再用a、b、c标出每条棱。

晨钟冬

夏

a
c
b

春对
秋暮鼓
春

秋对
暮鼓对

3

cm
cm
2 cm

cm
2 cm

2.5

3

3

cm

cm
4

cm
2

cm2
2

（1）计算各长方体中前面的面积。
（2）计算各长方体中右侧面的面积。
（3）计算各长方体中上面的面积。
（4）计算各长方体的表面积。

4做一个长5dm、宽4dm、高3dm的长方体布艺收纳盒，至少需要多少平

方分米的布？

5一个长方体的饼干盒，长10cm，宽6cm，高12cm。如果围着它贴一

圈商标纸（上、下面不贴），这张商标纸的面积至少有多少平方厘米？

6

把一个棱长46cm的正方体纸箱各面都贴上红

纸，作为捐款箱。
（1）至少需要多少平方厘米的红纸？（开口处忽
略不计。）

（2）如果只在棱上粘贴一圈胶带纸，一卷4.5m

长的胶带纸够用吗？

25
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7先根据给出的数据判断物体是正方体还是长方体，再计算表面积。

图形名称

长

宽

高

表面积

15cm15cm10cm
12m 12m 12m
13dm12dm10dm
8一个正方体玻璃鱼缸的棱长为3dm，制作这个鱼缸至

少需要多少平方分米的玻璃？（上面没有盖。）

9一个正方体礼品盒的棱长为1.2dm。如果包装这个礼品盒的用纸是其表
面积的1.5倍，至少要用多少平方分米的包装纸？
10一个新建的游泳池长50m，长是宽的2倍，深2.5m。现在要在游泳池

的四周和底面贴上瓷砖，一共需要贴多少平方米的瓷砖？

11学校要粉刷教室。已知教室的长是8m，宽是6m，高是3m，门窗的
面积是11.4m2。如果每平方米需要花6元涂料费，粉刷这个教室需要

多少涂料费？

12右面这个颁奖台是由3个长方体拼成的。

它的前后两面涂黄色油漆，其他露出来的10

面涂红色油漆。涂黄色油漆和红色油漆的面积各是多少？（单位：cm） 2165　40
404034040

13如何把右面这个长方体木块分成两个棱长为
cm

4cm的正方体？这两个正方体的表面积之和4
与原长方体的表面积相等吗？　8cm4cm

26
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3.长方体和正方体的体积

体积和体积单位

说一说：乌鸦是怎样喝到水的？

实验观察：
1.准备两个同样大小的空杯子，将其中一杯装满水；
2.取一块小石头放进空杯子里，将第一杯中的水倒进这个杯子里；

3.换一块大一点的石头再试一试。

你发现了什么？

石头占了一部分空 石头越大，剩下的
间，水就剩下了。 水就越多。

物体所占空间的大小叫作物体的体积。

上面的洗衣机、电饭锅和手机，哪个体积最大？哪个体积最小？

27
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怎样比较下面两个长方体体积的大小呢？

想一想：计量长度有统一的长度单位，计量面积有统一的面积单位，计量
体积是不是也应该有统一的体积单位呢？

计量体积要用体积单位，常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米，

可以分别写成cm3、dm3和m3。

棱长1cm的正方体， 棱长1dm的正方体， 棱长1m的正方体，
体积是1cm3。　体积是1dm3。　体积是1m3。

手指尖的体积
大约是1cm3。
做一做

粉笔盒的体积
接近于1dm3。

用3根1m长的木条
可围出1m3的空间。

1厘米、平方厘米、立方厘米分别是什么单位？它们有什么联系？

1cm　1cm2　1cm3
2下面是用棱长1cm的小正方体拼成的几何体，它们的体积各是多少？

28
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讨论一下：怎样计算长方体的体积？

求长方体的体积就
是看长方体有多少
个体积单位。

把长方体分成若干
单位体积的小正方
体，就可以……

实验：用体积为1cm3的小正方体摆成不同的长方体。说一说你是怎么

摆的。

（1）把小组内摆法不同的长方体的相关数据填入下表。

长

宽

高 小正方体的个数长方体的体积

（2）观察上表：摆出的长方体的体积与长、宽、高有什么关系？

长方体所含体积单位的

长方体的体积正好等

个数就是长方体的体积。

于长×宽×高的积。

长方体的体积=__________________________

29
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如果用字母V表示长方体的体积，用a、b、h分别表示长方体的长、

宽、高，那么长方体的体积计算公式可以写成：

h V=abh
a b

想一想：根据正方体和长方体的关系，正方体的体积应该怎样计算？

如果用字母V表示正方体的体积，用a表示正方体的棱长，那么正方体

的体积计算公式可以写成：

a　V=a.a.a
aa
a·a·a也可以写作a3，读作

“a的立方”，表示3个a相乘。

正方体的体积计算公式一般写成：

V=a3
1保温箱的尺寸如下图所示，计算它们的体积。（单位：dm）

4
5
6
V=abh
=6×5×4
=
=
30
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5
5
5
V=a3
=53
（dm3）
（dm3）

=5×5×5

长方体或正方体底面的面积叫作底面积。

底面

底面

长方体的体积=长×宽×高 正方体的体积=棱长×棱长×棱长

底面积　底面积
所以，长方体和正方体的体积计算公式也可以这样表示：

长方体（或正方体）的体积=底面积×高
如果用字母S表示底面积，上面的公式可以写成：
V=Sh
做一做

1一块长方体豆腐的尺寸如下图 2一根长方体木料，长5m，横
所示，它的体积是多少？　截面的面积是0.06m2。这根

cm

木料的体积是多少？

m

c

2

15cm7

0.06m

生活中的数学
乘飞机时免费行李的尺寸限制如下图。

40cm

20cm　100cm
55cm
随身行李 60cm　托运行李
40cm

你知道其他交通工具关于行李尺寸的规定吗？

31
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练习七

1下面哪堆物品的体积大？为什么？

2下面各图分别是用棱长1cm的小正方体拼成的，哪个图形体积最大？

哪个体积最小？在横线上标注出来。

3在横线上填写合适的体积单位。

集装箱的体积约

电饭锅的体积约

橡皮的体积约

是40

是25

是10

4说一说：你在生活中见过的体积最大的物体是什么？体积最小的物体是什

么？在生活中能找出哪些体积分别是1cm3、1dm3、1m3的物体？
5右图是由9个棱长1cm的小正方体拼成的。怎样把它

变成一个长方体？新组成的长方体的体积是多少？

6算一算。

43= 4×3= 4+4+4=
82= 8×2=　8+8=

32
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7计算下面各立体图形的体积。

m
10
5m
16m
8要在平地上挖一个长50m、宽30m、深50cm的长方体土坑，一共要

9dm 10cm
9dm
9dm

3cm
3cm

挖出多少方的土？

在工程上，土、沙、石等
的体积常用“方”作单

位，1方=1立方米。

9一块棱长30cm的正方体冰块，它的体积是多少立方厘米？

10把下表中长方体或正方体的相关数据补充完整。

底面积 32cm2 40cm2
高
体积 448cm3

54cm2
5dm 9m 7cm
729m3

11家具厂订购500根方木，每根方木横截面的面积是2.4dm2，长是3m。

这些方木一共是多少立方米？

12（1）估计一本数学书的体积是多少，再测量并计算。
（2）估计一件长方体家具的体积是多少，再测量并计算。
（3）说一说上面两个小题你是如何估计的。怎样估计更准？

33
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体积单位间的进率

我们知道了长度单位间、面积单位间的进率，体积单位间的进率是多少呢？

2下图是一个棱长为1dm的正方体，体积是1dm3。它的体积是多少

立方厘米呢？

1dm　10cm
如果把它的棱长看作 它的底面积是100cm2，
10cm，可以把它分 高是10cm，100×10，
成1000个1cm3的小 体积是1000cm3。

正方体。

10×10×10=1000（cm3）
1dm3=1000cm3
仿照上面的方法，你能推算出1m3等于多少立方分米吗？
1m3= dm3

下面是我们学过的计量单位，请把下表补充完整。

计量类型

单位名称

相邻两个单位间的进率

长度

米、分米、厘米

面积 平方米、平方分米、平方厘米

体积 立方米、立方分米、立方厘米

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3（1）3.8m3是多少立方分米？（2）2400cm3是多少立方分米？
想：1m3=1000dm3
3.8m3= dm3

想： cm3=1dm3
2400cm3= dm3

4右面这个牛奶包装箱的体积是多少？

箱上的尺寸表示的是这　cm
个长方体的长、宽、高。　40
×30×40
（cm）：50

30cm尺寸cm
V=abh　50
=50×30×40（cm3）
=3600003　3
60000cm= dm= m

做一做

13.5dm3= cm3700dm3= m30.25m3= cm3
2要砌一面长15m、厚24cm、高3m的砖墙，如果每立方米用砖525块，

至少要用砖多少块？

你知道吗？

人们很早就得出了长方体、圆柱等立体图形的体积计算公式。我国
古代数学名著《九章算术》中，集中而正确地给出了立体图形的体积计
算公式。书中在求底面是正方形的长方体体积时，是这样说的：“方自
乘，以高乘之即积尺。”就是说，先用边长乘边长得底面积，再乘高就
得到长方体的体积。

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练习八

11.02m3= dm3960dm3=　m36270cm2= dm2
36000cm3= m38.63m2= dm223dm3= cm3
2一个长方体包装盒，从里面量长28cm，宽20cm，里面的体积为11.76dm3。
用它装一件长25cm、宽16cm、高18cm的玻璃器皿，是否装得进去？说一

说你的理由。

3某小区新安装了50个混凝土凳子（如右图
所示）。凳面的长、宽、高分别是100cm、
45cm、4.5cm，凳腿的长、宽、高分别是
45cm、5cm、35cm。做这些凳子至少用

了多少方混凝土？

4“六一”儿童节前，小学生用棱长3cm的正方体塑料拼插积木在广场中央
搭起了一面长6m、高2.7m、厚6cm的心愿墙。这面墙一共用了多少块

积木？

5一个长方体的无盖玻璃水族箱，长是6m，宽是60cm，高是1.5m。制

作这个水族箱需要用多少平方米的玻璃？它的体积是多少？

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6将7.6m3的沙子铺在一个长5m、宽38dm的沙坑里，可以铺多厚？

7圈出每组中与其他数据不相等的那个数据。

（1）5.08m350800cm35080dm3 5080000cm3
（2）6039dm26.039m2 603900cm260.39m2
（3）1500cm1500dm15m 150dm

8修建长城所用的某块砖的尺寸如右图所示。这块长城砖体积是多少？

20cm
40cm10cm

9一个长方体和一个正方体的棱长总和相等。已知长方体的长、宽、高分别

是6cm、4cm、5cm，正方体的棱长是多少厘米？它们的体积相等吗？

cm

4cm
6cm

10茶厂工人要将长、宽均为20cm，高为10cm的长方体茶盒装入棱长为
30cm（从里面量）的正方体纸箱，一箱最多能装几盒？怎样才能装下？

10cm20cm　30cm
20cm
30cm30cm

求能装几盒，可 怎样装呢？纸箱棱

以用纸箱体积除 长30cm，放一个茶
以茶盒体积吗？ 盒后就剩10cm……

37
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容积和容积单位

像太空舱、粮仓、油桶、盒子等所能容纳物体的体积，通常叫作它们的容积。
计量容积一般用体积单位，有时也用容积单位升（L）和毫升（mL）。计
量液体（如水、油等）的体积常用容积单位。

液体的体积可以用
量筒或烧杯度量。

5L250mL

1升液体的体积就是1立方分米，1L=1dm3
1毫升液体的体积就是1立方厘米，1mL=1cm3
1L=1000mL

做一做

（1）说一说哪些物品上标有毫升、升。

（2）估计一下：一纸杯水大约有多少毫升？几纸杯水大约是1L？

长方体或正方体容器容积的计算方法跟体积的计算方法相同，但要从容器
里面量长、宽、高。

5一个长方体油箱，从里面量长5dm，宽4dm，高2dm。这个油箱可

以装多少升油？

5×4×2=40（dm3）
40dm3= L

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生活中还有很多像橡皮泥、土豆、石块等形状不规则的物体，怎样求它们
的体积呢？

6设法求出下面两种物体的体积。

橡皮泥

土豆

阅读与理解
要解决什么问题？这些物体分别有什么特点？

分析与解答
橡皮泥可以改变形状。

可以把橡皮泥捏压
成规则的长方体或
正方体形状，再……

土豆不能改变形状，怎么办呢？

500mL
400
300

500mL 可以像乌鸦喝水那
400样用“排水法”。
300上升的那部分水的

200

200

100

100体积就是……

水的体积是 水和土豆的体积土豆的体积：

mL。是 cm3。400-250=150（cm3）

答：

。

回顾与反思

用“排水法”求不规则物体的体积需要记录哪些数据？
可以利用上面的方法测量乒乓球、冰块的体积吗？为什么？

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练习九

1在横线上填写合适的容积单位。

一瓶墨水 一瓶洗手液一台冰箱容积“奋斗者”号载人潜水器

约50约500约229载人舱的容积约3
24L=mL82cm3= mL4800mL=L
2.4L= mL35dm3= mL500mL= L
8.04dm3= L= mL785mL=______cm3=______dm3
3一桶18L的矿泉水相当于瓶4一种微波炉，产品说明书上标明：
1500mL的矿泉水。　炉腔内部尺寸400×225×300（单

位：mm）。这个微波炉的容积是多

少升？

18L1500mL

5为解决海岛上淡水缺乏的问题，某驻岛部队和当地居民共同修建了一个

长22m、宽10m、深1.8m的淡水蓄水池。这个蓄水池最多可蓄水多

少立方米？

6一辆货车的车厢是长方体，从里面量长3m，宽2.5m，高2m。车厢的容

积是多少立方米？

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7下图中珊瑚石的体积是多少？

7cm

6cm

8cm8cm　cm8cm
8

8将一块假山石放入一个盛有水的、底面积为51dm2的长方体鱼缸中，完
全浸没后，水面上升了3cm。这块假山石的体积有多大？
9在一个长8m、宽5m、高2m的水池中注满水，然后把两条长3m、宽
2m、高4m的石柱立着放入池中，水池溢出的水的体积是多少？
10把两个棱长为1.5dm的正方体木块拼成一个长方体。这个长方体的体积、
表面积分别是多少？如果是用3个正方体木块拼呢？

11右图是新疆吐鲁番晾制葡萄
干的一种长方体晾房。其中
一间从里面测量的底面积是

24.6m2，高是3m。它的容

积是多少？

12“冰雪大世界”每年用的冰大约能融化成6万立方米的水，这相当于多少个
长50m、宽25m、深1.2m的水池的蓄水量？

13求下图中大圆球的体积。

12mL

24mL

41
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整理和复习

本单元学习了关于长方体和正方体的哪些知识？

你能在图中分别标出长度相等的棱、大小相等的面吗？

1对照上图，回答下面的问题。

（1） 用图表示长方体和正方体的关系，并说一说理由。
（2） 在上面的长方体中有一条红色标示的棱，分别指出与它平行的棱和与
它相交且垂直的棱，你能发现什么？
（3） 回忆计算表面积的方法以及探索体积公式的过程，说一说关键是要知
道什么。计算体积和容积有什么相同点和不同点？

2你能用尺子和长方体（或正方体）容器测出
右面物体的体积吗？如果用这种方法比较两
个物体体积的大小，你打算怎样做？　玻璃球 绿豆

下面的长方体都是用棱长1cm的小正方体摆成的，计算它

们的体积。

42
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练习十

1下面是同一个长方体的展开图，说一说每个图是怎样展开的。

找一些正方体纸盒将其展开，你能展开成多少种不同的形状？

2长方体的长、宽、高都变为原来的2倍，它的表面积和体积分别发生了什

么变化？你发现了什么规律？

长方体 长/cm宽/cm高/cm表面积/cm2 体积/cm3

① 2 1 3
② 4 2 6
③ 8 4 12
3一个长方体鱼塘长8m，宽4.5m，深2m。这个鱼塘的容积是多少？
4某古建筑景点定做了25个宫灯（如右图，　20

单位：cm）。宫灯外侧有一层外饰面（上、
下面除外）。如果外饰面每平方米元，这 6666

些宫灯的外饰面一共要花多少钱？18　80
4646

本单元结束了，我的收获：
你想说些什么？
成长小档案 我的疑问：

43
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探索图形

用棱长1cm的小正方体拼成如下的正方体后，把它们的表面分别涂上颜

色。①、②、③中，三面、两面、一面涂色以及没有涂色的小正方体各有多少
个？按这样的规律拼下去，第④、⑤个正方体的结果会是怎样的呢？

……

①　②　③
完成下表。看看每类小正方体都在什么位置。你能发现什么规律？

序号三面涂色的个数两面涂色的个数一面涂色的个数没有涂色的个数

① 8 0 0 0
② 8 12 6 1
③ 8 24

④
⑤

没有涂色的个数怎样填比较快？

（1）你能继续写出第⑥、⑦、⑧个正方体中四类小正方体的个数吗？
（2）如果摆成下面的几何体，你会数吗？

44
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4分数的意义和性质

1.分数的意义

分数的产生

剩下的不足   ，
古人在分物、测量时发明了分数。　怎么记？

？

把桌上的物品平均分给两个同学。

我能分到

我能分到

1个苹果。
2

月饼的1。
2

每人平均分到 个苹果，　个月饼，　包饼干。
在进行测量、分物或计算时，往往不能正好得到整数的结果，这时常用
分数来表示。

45
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分数的意义
你能举例说明1的含义吗？
4
14　14
14

1我们也可以把一些物体看作一个整体。

情 满 端 午

花好月圆

把一盒粽子看作一个整体，平均分把一盒月饼看作一个整体，平均

成份，每份就是这盒粽子的1。 分成份，份是这盒月饼的（（））。
4　4 43

一盒糖

平均分成份，每份是这盒糖的（）。

2

（）

平均分成份，份是这盒糖的（）。

32

（）

平均分成份，份是这盒糖的（）。

43

（）

平均分成份，份是这盒糖的（）。

65

（）

一个物体、一个计量单位或是一些物体等都可以看作一个整体。

一个整体可以用自然数1来表示，我们通常把它叫作单位“1”。
把单位“1”平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来
表示，表示其中一份的数叫作分数单位。例如，2的分数单位是1。
你能说出上面其他几个分数的分数单位吗？3 3

46
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做一做

1把下面每个图形都看作单位“1”，用分数表示各图中涂色部分的大小。

2

每个福娃是这排福娃的（）。

2个冰墩墩是这排冰墩墩的（）。

（）

（）

3

10mL
每个茶杯是　每种颜色的跳棋是　一小杯液体是
这套茶杯的（）。　这盒跳棋的（）。　这瓶液体的（）。
（）　（）　（）
4下面的分数墙上有哪些分数单位？仔细观察，你有什么发现？
12　12
13　13　13
14　14　14　14
15　15　15　15　15
16　16　16　16　16　16
17 17 17 17 17 17 17
18 18 18 18 18 18 18 18
19 19 19 19 19 19 19 19 19
101101101101101101101101101101
111111111111111111111111111111111
121121121121121121121121121121121121

（1）5个1组成（），3由（）个1组成。
（6） 4 4
（2）8个（）组成1，1里面有12个（1）。

47
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练习十一

1按要求涂色。

1涂上红色，其余（）
涂上你喜欢的颜色。3

1涂上绿色，其余（）
（）

涂上你喜欢的颜色。2

（）

一包饼干平均分给人，每人分得（）包。如果一包有块，平均每人

2

3

（）

12

分得（）块。

3读出下面的分数，并写出每个分数的分数单位及分数单位的个数。

分

数：162715411181007

分数单位：（） （） （） （） （）
（） （） （） （） （）
分数单位的个数：（） （） （） （） （）

4用直线上的点表示下面各个分数。

（1）121434 0
（2）132356 0

1
1

上面两条直线中，每条直线上的最小刻度用分数表示分别是多少？它们分
别是哪些分数的分数单位？

5从下面的分数中任选一个，在右面的框里画图表示出来。

12131416121
6和同桌说一说在生活中见过的分数，并说出它的单位“1”和分数单位。

48
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分数与除法

2把1个月饼平均分给4人，

每人分得多少个？

想：求每人分得多少个，

要算1÷4得多少。

1÷4=1（个）
4
3把3个月饼平均分给4人，每人分得多少个？
想：求每人分得多少个，要算3÷4得多少。
÷（）（个）
34=（）
每次分1个，每 3个一起分，每人
人分得3个1个。 分得3个的1。
4　4

分数与除法有什么关系？你能用字母表示出分数与除法的关系吗？

被除数÷除数 被除数
=除数
…………a
a÷b=b（b≠0）
想：为什么b≠0？

49
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4小新家养鹅7只，养鸭10只，养鸡20只。鸡的只数是鸭的多少倍？

鹅的只数是鸭的多少倍？

阅读与理解
知道了……
要解决的问题是……

分析与解答
求“谁是谁的几倍”的问题，可以用除法计算。

20÷10=2鸡的只数是鸭的2倍。
7÷10= 鹅的只数是鸭的倍。
把10只看作一个　根据分数与除

整体，7只就是

法的关系，商

这个整体的7。
10

应该是7。
10

鹅 鸭

鹅
鸭

÷7
710=10

回顾与反思　第二个问题求出的倍数是
分数，一般省略“倍”字，
这两个问题有什么不同？ 直接用几分之几表示。

答：

。

你还能提出其他数学问题并解答吗？

做一做

1在括号里填上适当的数。

÷（（）） 5=（）÷（）
713=8
2动物园里有大象9头，金丝猴4只。金丝猴的数量是大象的几分之几？

（）÷7=4
7

50
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练习十二

11kg葡萄干平均装在2个袋子里，每袋装多少千克？平均装在3个袋子

里呢？（用分数表示。）

2一个3m2的花坛，种4种花，每种花平均占地多少平方米？种5种呢？

（用分数表示。）

3用分数表示下面各题的商。

24÷25=16÷49=2÷9=11÷12=

4在括号里填上适当的数。

9cm=   （（））dm30cm=   （（））m133dm3=   （（））m3

dm（）m cm2（）dm2 mL（）L

7=   （） 56=   （） 53=   （）

kg（）t

秒（）分

公顷（）平方千米

23=   （） 13=   （） 48=   （）
581个月球和1个地球的质量相等。月球质量是地球质量的几分之几？
6一棵纺锤树最粗部分的直径为5m，一纺锤树的根系发达，树干
张桌子的宽为1m。桌子的宽度是这棵里可以贮存很多水分。

纺锤树最粗部分直径的几分之几？

7某农场有50头大牛和25头小牛，还有16只羊。

（1）大牛的头数是小牛的多少倍？
（2）小牛的头数是大牛的几分之几？
（3）你还能提出其他数学问题并解答吗？

51
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8老师买了5m的红绸带，平均分给表演节目的6名女生。每人分得几米？

（用分数表示。）

9小明15分钟走了1km路，平均每分钟走多少千米？（用分数表示。）
104月23日是世界读书日。这一天，标价11元一本的《快乐数学》售价9元。

（1）这本书的售价是标价的几分之几？
（2）你还能提出其他数学问题并解答吗？

11五（1）班共有17幅书法作品参加学校的书法 两个小题中的单位
比赛，其中4幅作品从全校255幅参赛作品中 “1”分别是什么？

脱颖而出获奖。

（1）五（1）班获奖作品占全班参赛作品的几分之几？
（2）五（1）班参赛作品占全校参赛作品的几分之几？

12分别选择一个分数，并在图中涂色表示出来。

（）
（）

（）
（）

说一说每个分数的分数单位。你认为分数单位与什么有关？

13填空。

（1）  1年有（）个月，3年有（）个月。
（2）一年中，大月的月份占   2　4（），小月的月份占   （）。

（）　（）
（3）一个星期中，周六、周日两天占一周的   （）。
（）

52
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2.真分数和假分数

1分别涂色表示下面各个分数，并说一说把什么看作单位“1”。

这些分数的分数单位分别
是多少？它们各有几个相

1 3 5　应的分数单位？
3 4 6
比较每个分数中分子和分母的大小，再看看这些分数比1
大还是比1小。分子比分母小的分数叫作真分数，真分数小于1。

2把一个圆看作单位“1”。
（1）4个1是几分之几？在右图中涂色表示。
（2）分别涂色表示下面各个分数，并比较每个分3

数中分子和分母的大小。　（）
（）

3　7　11
3　4　5
这些分数比1大还是比1小？
分子大于或等于分母的分数叫作假分数，假分数大于或等于1。
由涂色结果可以看出，  11可以看作由  10（就是2）和  1合成的数，写
作  1，读作“二又五分之一”。像  51、   53这样由整数和真分数合成的5
25　2514

数叫作带分数。
从例题中可以看出：有些假分数的分子恰好是分母的倍数，它们实际上是
整数；有些假分数的分子不是分母的倍数，这样的假分数可以写成带分数。

53
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有时可以根据需要，把假分数化成整数或带分数。

3（1）把  3、  8化成整数。
34　根据分数的意义，

关系，3=3÷=1。　3个1是1。
33　3
3=3÷3=1
3

8
4
（2）把7、6化成带分数。
35

8=8÷4=2还可以怎样想？
4
73是63（就是2）和13
合成的数，等于213。

77=7÷3=217÷3=2……1
33 3
6=　你能发现什么？
讨论一下：假分数是怎样化成整数或带分数的？5

做一做

1下面的分数中哪些是真分数？哪些是假分数？在直线上表示出来。

133353165676136
0　1　2

表示真分数和表示假分数的点分别在直线的哪一段上？

2把下面的假分数化成整数或带分数。

1528217509431269203015
5

54
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练习十三

1把一个图形看作单位“1”，用分数表示各图中的涂色部分，再读一读。

（）

（）

2判断下面的说法是否正确，并说一说你的理由。

（1）我吃了一个西瓜的  5。
（2）爷爷把一块菜地的34种了西红柿，2种了茄子，1种了辣椒。
5 5 5
（3）一块巧克力，我吃了5，表哥吃了1。
6 6
3有3杯水。　（）
（1）3个人平均分，每人分（）杯，也就是______杯。
（2）2个人平均分，每人分______杯。
4一板药共10粒，每天早、中、晚各吃1粒。这板药能吃多少天？（用带分

数表示。）

5在直线上面的里填上适当的假分数，直线下面的里填上适当的带

分数。 5 10
5 5
0 1 2 3 4

20
5

6把一个图形看作单位“1”，用分数表示各图中的涂色部分。

（）

（）

55
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7熊的冬眠时间约是睡鼠的几分之几？睡鼠的冬眠时间约是熊的几分之几？

熊冬眠约5个月　睡鼠冬眠约7个月
8（1）写出分母是7的所有真分数。
（2）写出分子是7的所有假分数。

9在 里填上“>”“<”或“=”。

79173251752546124892749
9
10指出下面的分数中哪些是真分数，哪些是假分数。把等于1的假分数涂上

颜色，看看你有什么发现。

12345678910……
2222222222
12345678910……
3333333333
12345678910……
4444444444
12345678910……
5555555555

分解质因数

你知道吗？

每个合数都可以由几个质数相乘得到。例如：4=2×2，15=3×5，
30=2×3×5……
30=2×3×5230这种方法叫
215315作短除法。
35　5

其中每个质数都是这个合数的因数，叫作这个合数的质因数。

56
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3.分数的基本性质

1拿出三张同样大小的正方形纸，按照下图把它们平均分，并涂上颜

色。用分数表示涂色部分的大小。

（）
（）

（）
（）

（）
（）

你发现了什么？

12=24=48

讨论一下：它们的分子、分母各是按照什么规律变化的？

×2×
12=24=48 48=24=21
×2×

÷2÷
÷2÷

你还能举出几个这样的例子吗？根据上面的例子，可以得出什么规律？

分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的

大小不变。

这叫作分数的基本性质。
根据分数与除法的关系，以及整数除法中商不变的规律，你能说明分数的
基本性质吗？
你能根据分数的基本性质把一个分数化成分母不同而大小相同的分数吗？

2把23和1024化成分母是12而大小不变的分数。
22×　10=10
3=3×4=12 2424=12

57
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练习十四

1先涂色表示下面的分数，再比较它们的大小。

1
5

2
8

123

2下面每组中两个分数是否相等？相等的在括号里画“”，不相等的画“×”。

3和6（）9和1（）7和21（）5和1（）
510189 1236155
3同桌互相说出相等的分数。2　6
3　9

4五（1）班2的同学参加了舞蹈小组，4的同学参加了书法小组。参加
哪个小组的人数多？5　10

5下列分数中哪些在直线上能用同一个点表示？把它们在直线上表示出来。

126108123 54 36 14
0　1　2

6在括号里填上适当的数。

1（） 10（） 15 12（）
3=6 15=3 4=（） 28=7
7把下面的分数化成分母是10而大小不变的分数。
3 1 6 2415
2 5 203050

58
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

8涂色表示与给定分数相等的分数。

1
（3）

1
（4）

（）

（）

9在括号里填上适当的数。

3（）9 714（） 42（）12
4=8=（） 10=（）=3035=5=（）
5（）1582（） 81（）
9=18=（） 24=（）=3 （）=6=54
10如果一堂课40分钟，五（1）班做了10分钟的练习，五（2）班做练习
的时间占整堂课的1。哪个班做练习用的时间长？
4

11布置板报。

“科学园地”占4版，“历
“知识海洋”占1版，
“生活乐园”占42版。
8

史足迹”占216版，其余1
168
版为“开心一刻”。

哪些栏目的版面一样大？

122021年世界500强企业排行榜中，中国上榜企业数量达145家。中国上榜

（  ）

企业数量占世界500强的145，也就是 。
500100
13一个分数的分母不变，分子乘3，这个分数的大小有什么变化？如果分子
不变，分母除以5呢？

59
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

4.约分

最大公因数

18和12公有的因数是哪几个？公有的最大因数是多少？
先分别找出8 8的因数 12的因数
和12的因数：　，，， 1，2，3，4，
1248 6，12
8和12公有的因数是1，2，4。
还可以这样表示： 8的因数12的因数
81，2，3，6，
412
8和12公有的因数
  1，2，4是8和12公有的因数，叫作它们的公因数。其中，4是最大的

公因数，叫作它们的最大公因数。

2怎样求18和27的最大公因数？
我从18和27的因数：
的因数中圈出 181，2，3，6，9，18
公因数…… 27的因数：1，3，9，27

我是看18的因
数中哪些是27　18的因数：1，2，3，6，9，18

的因数……

还有其他方法吗？
讨论一下：两个数的公因数和它们的最大公因数之间有什么关系？

60
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做一做

1把16和24的因数、公因数分别填入相应的位置，再圈出它们的最大公

因数。

16的因数 24的因数 16的因数24的因数

16和24的公因数
2下面哪些数是12的因数而不是18的因数？哪些数是18的因数而不是
12的因数？哪些数是12和18的公因数？
1234691218

3找出下面每组数的最大公因数。你发现了什么？

4和812和361和78和95和1112和35

你知道吗？

利用分解质因数的方法，可以比较简便地求出两个数的最大公因
数。例如：

24=2×2×2×3 22436…用公有的质因数2除
36=2×2×3×3 21218…用公有的质因数2除
24和36的最大公因数：369…用公有的质因数3除
2×2×3=1223…除到两个商只有公因
为了简便，通常写成　数1为止
右侧的形式。　24和36的最大公因数：
2×2×3=12
可记作：（24，36）=12

61
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

3小亮家储藏室的长方形地面长16dm，宽12dm。如果用一种边长是

整分米数的正方形地砖将储藏室的地面铺满（用的地砖必须都是整块
的），可以选择边长是几分米的地砖？边长最大是几分米？

阅读与理解
知道了……
要解决的问题是……

分析与解答

画图试一试：边长是1dm的正方形地砖能铺满整个储藏室地面吗？边
长是2dm、3dm……的呢？

16dm
2dm

16dm
3dm

dm
12

dm
12

1dm

想一想：为什么边长是1dm、2dm的正方形地砖能铺满储藏室地面，
而边长是3dm的正方形地砖不能呢？
因为1、2是12和　要使所用的地砖都
16的公因数，而3　是整块的，地砖的
是12的因数，不是　边长必须是 和
16的因数……　的公因数。12
16
12和16的公因数有1，2，4。最大公因数是4。
所以，可以选边长是1dm、2dm、4dm的地砖，边长最大是4dm。

回顾与反思
像上面这样的问题可以用公因数的知识来解决。

62
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

练习十五

1填空。

（1）10和15的公因数有
（2）14和49的公因数有

。
。

2找出下面每组数的最大公因数。

6和915和1242和5430和4599和36
5和934和1716和4815和1613和78

3先在第一列各数对应的因数下面画“”，再填空。

1234567891011121314151617181920
8
16
20
（1）8和16的公因数有　，最大公因数是　。
（2）8和20的公因数有　，最大公因数是　。
（3）16和20的公因数有　，最大公因数是　。
（4）8、16和20的公因数有　，最大公因数是　。

4在括号里写出各个分数中分子和分母的最大公因数。

7（）8（）18（）9（）21（）11（）
9 3672154966
5有一张长方形纸，长70cm，宽50cm。如果要

剪成若干张同样大小的正方形而没有剩余，剪出
的正方形的边长最大是多少厘米？

6男生48人、女生36人分别站成若干排。要使每排的人数相同，每排最多

有多少人？这时男、女生分别有几排？

63
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7写出相邻两个数的最大公因数。

49101518243672
8按要求写出两个数，使它们的最大公因数是1。

（1）两个数都是质数：
（2）两个数都是合数：
（3）一个质数、一个合数：

和
和
和

。
。
。

9把正确答案的序号填在括号里。

（1）9和16的最大公因数是（）。
A.1 B.3 C.4 D.9
（2）48和60的最大公因数是（）。
A.4 B.6 C.12 D.36

（3）甲数是乙数的倍数，甲、乙两数的最大公因数是（）。

A.1 B.甲数 C.乙数 D.甲、乙两数的积
10写出1，2，3，…，20各数与5的最大公因数。你能发现什么规律？
1234567891011121314151617181920
与5的最

大公因数

11要把右面这些木棒截成同样长的 12cm
若干段，不能有剩余，每段最长
是多少厘米？

16cm
44cm

你知道吗？

公因数只有1的两个数，叫作互质数。例如，5和7是互质数，
也可以说5和7互质。

想一想：互质的两个数必须都是质数吗？

64
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

约分

4把2430化成分子和分母比较小且分数大小不变的分数。
可以用分子和分母的公因数（1除外）去除。
24=24÷2=1212=12÷3=4
3030÷2151515÷35

想一想：有没有更简便的方法？

2424（）（）
30=30（）=（）

像这样，把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫作
约分。约分时也可以这样写：

124　4
24=4或者24=4
30155 3055
说一说：每一步中都是用分子、分母的哪个公因数去除的？5
4的分子和分母只有公因数1，像这样的分数叫作最简分数。
约分时，通常要约成最简分数。5

做一做

1下列分数中哪些是最简分数？把不是最简分数的化成最简分数。

151017203146129
162130459118114815

2把上下两行相等的两个分数用线连起来。

46 37 25 68 39

219 34 13 23 1025

65
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

练习十六

1右面两个圆的大小相同，蓝色部分
和红色部分哪个大？为什么？

2观察下列分数的分子和分母，哪些有公因数2？哪些有公因数5？哪些有
公因数3？
4 915304084
81220456096

3下列分数中哪些没有化成最简分数？请把它们化成最简分数。

16=415=528=1415=378=26
246361242214598729
4兰兰拍了80张艺术照，其中有35张是她喜欢的。请你用最简分数表示出

兰兰喜欢的照片和其他的照片分别占照片总数的几分之几。

5把下列分数填入相应的圈里。

14251075151133
5675302820454499

等于1
4

等于1
3

6下列分数中哪些在直线上能用同一个点表示？把它们在直线上表示出来。

3 6 7 4 3
122414166
0　1
7将48本练习本和64支铅笔平均分给若干名同学。如果练习本和铅笔都没有

剩余，且保证分到练习本和铅笔的同学人数相同，最多能分给多少名同学？

66
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

8小明的生活非常有规律，下面是他睡觉和起床的时间。

第一天晚上　第二天早上
小明睡觉的时间占全天的几分之几？

9先约分，再化成带分数。

1520777090150
121221328060

10先约分，再比较各组分数的大小。

12和9 4和5 4和970和90
1612122014213540

11　（1）以分米作单位，用分数分别表示长方形的长和宽。
cm（2）长方形的长是宽的几分之几？宽是长的几分之几？

cm （3）涂出长方形面积的1，可以怎样涂？
8　2
12已知a=2×3×3×5，b=2×2×3×3×5，求a和b的公因数与最大公因数。
13化简一个分数时，用2约了两次，用3约了一次，得3。求原来的分数。
8

你知道吗？

我国古代数学名著《九章算术》介绍了“约分术”：“可半者半之；
不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等

数约之。”意思是说：如果分子、分母全是偶数，就先除以2；否则用

较大的数减去较小的数，把所得的差与上一步中的减数比较，再用大数
减去小数，如此重复进行下去，当差与减数相等即出现“等数”时，用
这个等数约分。

67
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

5.通分

最小公倍数

14和6公有的倍数有哪些？公有的最小倍数是多少？
4的倍数有：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40，…
6的倍数有：6，12，18，24，30，36，42，…
4和6公有的倍数有：12，24，36，…
其中公有的最小倍数是12。

还可以这样表示：

4的倍数 6的倍数
4，8，16，12，24，6，18，
20，28，32，36，…30，42，…
40，…
4和6公有的倍数
  12，24，36，…是4和6公有的倍数，叫作它们的公倍数。其中，12是

最小的公倍数，叫作它们的最小公倍数。

想一想：两个数有没有最大的公倍数？

做一做

把3和4的倍数、公倍数分别填入相应的位置，再圈出它们的最小公倍数。
3的倍数 4的倍数

3和4的公倍数

68
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

2怎样求6和8的公倍数及最小公倍数？
小亮从6和8的倍数中圈出公倍数：
6的倍数：6，12，18，24，30，36，42，48，…
8的倍数：8，16，24，32，40，48，…
小红在8的倍数中圈出6的倍数：

8的倍数：8，16，24，32，40，48，…

你是怎样求的？
讨论一下：两个数的公倍数和它们的最小公倍数之间有什么关系？

48÷24=2，两个数的公倍数

都是最小公倍数的倍数。
再找其他的数验证一下。

做一做

找出下列每组数的最小公倍数。你发现了什么？

3和62和85和64和93和95和10

你知道吗？

我们也可以利用分解质因数的方法，比较简便地求出两个数的最
小公倍数。例如：

60=2×2×3×5 26042…用公有的质因数2除
42=2×3×7　33021…用公有的质因数3除
60和42的最小公倍数： 107…除到两个商只有公因
  2×3×2×5×7=420　数1为止
为了简便，通常写成 60和42的最小公倍数：
右侧的形式。　2×3×10×7=420
可记作：［60，42］=420

69
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

3一种长方形地砖长3dm，宽2dm。如果用这种地砖铺一个正方形

（用的地砖必须都是整块的），正方形的边长可以是多少分米？最小是
多少分米？

阅读与理解
知道了……
要解决的问题是……

分析与解答

2dm
铺成的正方形
可能有很多种。

3dm
长必须既是3

正方形的边

？dm

的倍数，又

？dm　是2的倍数。
只要找出2和3的公倍数和最小公倍数，就能知道所铺的正方形的……
2和3的公倍数：3，6，9，12，15，18，…

回顾与反思

在边长6dm的正方形

解决这个问题的关键

上画一画，看找得对
是把铺砖的问题转化
不对。
成求公倍数的问题。

答：

。

做一做

参加跳绳比赛的学生分组进行计数，可以6人一组，也可以9人一组，都
正好分完。如果这些学生的总人数在40人以内，可能是多少人？

70
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

练习十七

1按照从小到大的顺序，在100以内的数中找出6的倍数和10的倍数，再

找出它们的公倍数和最小公倍数。

2找出下列每组数的最小公倍数。

8和106和156和94和151和74和10
3下列每组数的公倍数中有没有36？有没有48？有没有84？
6和1821和1412和8 9和24

4判断下面的说法是否正确，并说一说你的理由。
（1）两个数的最小公倍数一定比这两个数都大。
（2）两个数的积一定是这两个数的公倍数。

5每只蝴蝶只能落在是自己编号的倍数的花朵上。哪朵花上两只蝴蝶都能
停留，就将这朵花涂上颜色。

12162430485664726
8

6李阿姨家的月季每4天浇一次水，君子兰每6天浇一次水。李阿姨5月1日
给月季和君子兰同时浇了水，下一次再给这两种花同时浇水应是5月几日？

1 2 3 4 5 6

5147 158 169 1017111812191320

五月 21222324252627

28293031

7在括号里写出每组分数的两个分母的最小公倍数。

1和7（） 3和2（） 7和5（）
126　83　96

71
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

8下列每组数有没有公因数2？有没有公因数3？有没有公因数5？
6和9 10和1815和3020和8

9

3路：每6分钟发一次车
5路：每8分钟发一次车
3路和5路公共汽车的起点站相同。这两路

公共汽车同时发车后，过多少分钟两路车
第二次同时发车？

10爸爸、妈妈带着小红和弟弟一起跑步。爸爸每跑一圈用时3分钟，妈妈每
跑一圈用时4分钟，小红每跑一圈用时6分钟。

（1）如果爸爸、妈妈在起点同时起跑，至少多少分钟后两人在起点再次相
遇？此时爸爸、妈妈分别跑了多少圈？
（2）你还能提出其他数学问题并解答吗？

1136可能是哪两个数的最小公倍数？你能找出几组？

一个最简分数，如果分子加1，分数就等于1；如果分母
加1，分数就等于2。原分数是多少？
3

72
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

通分

4地球上的陆地面积约占总面积的3，海洋面积约占总面积的7。
地球上的陆地面积大还是海洋面积大？10　10
37
1010

平均分成 份，陆
地只占10份，海洋
占了份。3
7

3是3个1，
107是个101。
10710

再比较一下：

34 24 52 523
131377 99 6868
33 5512121919
8116817199473

讨论一下：分母相同的两个分数怎样比较大小？分子相同的两个分数呢？

做一做

在 里填上“>”“<”或“=”。

53 7111113199
77 161621212525
33 44 10101515
54 95 19131722

73
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

5豆类食品的蛋白质含量较高，经常食用有益于人体健康。黄豆的蛋白
质含量大约占2，蚕豆的蛋白质含量大约占1。黄豆和蚕豆哪个蛋
白质含量比较高？5　4
21
54

这两个分数的分子、
分母都不相同，怎
样比较呢？
分母相同的分数。

我们会比较两个同
分母分数的大小，
可以把它们先化成

可以用两个分母的公倍数作公分母。

2=2××4=8 1=1××5=5
5542044520

像这样，把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫作
通分。

做一做

1在 里填上“>”“<”或“=”。

37 55 23 42
131368 35 3015

说一说：怎样比较分数的大小？

2把下面每组中的两个分数通分。

2和1 3和5 5和8 4和6
35 48 615711
5和7 3和2 4和7 3和5
68 79 91889

74
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

练习十八

1比较每组中两个分数的大小。

31 111755 1212
88 25257172319

2比较每组中两个分数的大小，再和同学交流一下你的方法。

85 13 23 57
96 37 510810

3把下列分数填入相应的圈里。

1133312234
25168103971313

大于1　小于1
4　4
4张叔叔和李叔叔参加工厂的技能比赛。张叔叔加工完所有零件的1时，
李叔叔加工完所有零件的3。在这段时间里，谁的比赛成绩更好一些？2
5

5把下面每组中的两个分数通分。

（1）4=4×（（））=（（））　（2）9=9×（（））=（（））
55×　1010×
6=6×（（））=（（））　3=3×（（））=（（））
77×　44×
6亚洲陆地面积约占全球陆地面积的3，非洲和南美洲的陆地面积分别约
10
占全球陆地面积的1和3。亚洲、非洲和南美洲这三个洲中，哪个洲
的陆地面积最大？哪个最小？525

75
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

7五（1）班要为图书角选购一批新书，班长决定先作一个意向调查。下面
是调查结果（每人只选一种）。

课外读物种类

科普类

童话类

历史类

喜欢的人数占全班总人数的几分之几 7 1 1
12 6 4

应该怎样选购图书？说一说你的理由。

8在 里填上“>”“<”或“=”。

25 551914133
36 12112015162

9把下列分数按从小到大的顺序排列起来。

41112541071
5　63　2

10按要求填写下表，看看你有什么发现。

10和208和129和217和11

最大公因数

最小公倍数

最大公因数和
最小公倍数的积

两个数的积

你能再举例验证自己的发现吗？

11你能写出一个比1大又比1小的分数吗？你是怎样找到这个分数的？
还能再找到两个这样的分数吗？65

76
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

6.分数和小数的互化

1把一条3m长的绳子平均分成10段，每段长多少米？如果平均分成5

段呢？

3÷10=0.3（m）3÷10=3（m）÷=3（m）
3÷5=0.6（m）　10355
所以，0.3=3，0.6=3。
想一想：怎样能较快地把小数化成分数？105

10，100，1000，…的分数，再化简。
3　6633
0.3=100.6=10=10=5
5

把小数化成分数需要注意什么？自己试一试：

=7　=24=（）　=（  ）
0.07（） 0.24（）（） 0.123（  ）

2把7、39、3、9、2、5化成小数（除不尽的保留两位小数）。
10100440914
7=0.73=3÷4=0.752=2÷90.22
10 4　9
39=0.399=9÷40=0.2255=5÷140.36
10040　14

当分子除以分母除不尽时，要根据需要按“四舍五入”法取近似数。

做一做

把0.7、9、0.25、43、7、13按从小到大的顺序排列起来。
101002547

77
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

练习十九

1分别用小数和分数表示下面各图中涂色部分的大小。

（）（）

（）（）

（）（）

=（）

=（）

=（）

2（1）里面有个（）分之一，表示（）分之（），化成分数是   （）。

0.88　（）　（）
（2）0.05里面有5个（）分之一，化成分数是   （）。

（3） 里面有个（）分之一，化成分数是   （）。

0.0077　（）
（4）0.36里面有36个（）分之一，化成分数是   （）。

（）

3把相等的小数和分数用线连起来。

0.60.030.453.250.18

133 3 9　9
4 1005 20 50

4

20米/秒

31米/秒

猎豹的速度是小汽车速度的多少倍？小汽车的速度是猎豹速度的几分
之几？

5把下面的分数化成小数（除不尽的保留两位小数）。

312 7 451123
1002530965020

78
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

6在 里填上适当的小数，在里填上适当的分数。

0.250.3
01
8

0.8
153
284

1

7在括号里填上适当的数。

用小数表示

用分数表示

40cm
150g
125cm2
3680dm3

（）m
（）kg
（）dm2
（）m3

（）m
（）kg
（）dm2
（）m3

8把下列各数按从大到小的顺序排列起来。

242.3513112.035
7　616
9李阿姨平均每秒打0.9个字，王叔叔平均每秒打5个字。谁打字快些？
6
10小林从学校走回家要花25分钟，小东从学校走回家要花1小时。如果他
们两人的行走速度相同，谁家离学校远些？ 4

你知道吗？

你知道什么样的最简分数能化成有限小数吗？你想了解这个规律吗？
其实，只要把分数的分母分解质因数，就能判断这个分数能否化成

有限小数。如果分母中除了2和5以外，不含有其他质因数，这个分数
就能化成有限小数。例如，207的分母20=2×2×5，它就能化成有限小数。
如果分母中含有2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。
例如，307的分母30=2×3×5，它就不能化成有限小数。

想一想：这是为什么？

79
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

整理和复习

本单元主要学习了哪些知识？把学习的主要知识点写下来。

分数单位
真分数
分数假分数

分数的基本性质
约分通分

1把下列分数填入相应的框里，并回答下面的问题。

318134525542
86915753103

真分数

假分数

（1）3和5的分数单位相同吗？如果不同，怎样把它们化成分数单位相
同的分数？87

（2）为什么要对两个或多个分数进行通分？将上面的分数按从小到大的顺
序排列起来。
（3）为什么要对一个分数进行约分？将上面需要约分的分数进行约分。

找出8和10的公倍数，

2解决问题。

就知道……

一块正方形布料，既可以裁成若干条边长是8cm的方巾，
也可以裁成若干条边长是10cm的方巾，且都没有剩余。

这块正方形布料的边长至少是多少厘米？

80
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

练习二十

（）

1把一根2m长的木条锯成同样长的4段，每段是这根木条的（），每段

（）

长（）÷（）=（）m=（）m。

2判断下面的说法是否正确，并说一说你的理由。
（1）分数的分母越大，它的分数单位就越小。
（2）分数都比整数小。
（3）假分数的分子都比分母小。

（4）如果b是a的2倍（a、b为非零自然数），那么a、b的最大公因数

是a，最小公倍数是b。

（5）分子和分母的公因数只有1的分数是最简分数。

3你听过“冰山一角”的说法
吗？冰山露在水面上的只是它
的一小部分，大部分隐藏在水
面下。假设一座冰山的体积是

1000m3，它露在水面上的体
积是100m3。冰山露在水面上

（）
的体积占总体积的 ，水
（）
（）
面下的体积占总体积的 。
（）

4在横线上填写适当的分数。

25cm= m36dm2= m2600g= kg
750mL= L0.28dm= dm258cm3=dm3
5五、六年级学生参加学校大扫除，五年级来了48人，六年级来了54人。

如果把两个年级的学生分别分成若干小组，要使两个年级每个小组的人数
相同，每组最多多少人？

81
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

6在 里填上“>”“<”或“=”。

58 55 47 21
131371158 96
7某学校五年级学生一共有150人，体质健康测试优良的为60人。其中
五（1）班有38人，体质健康测试优良的为19人。五（1）班同学体质

健康测试优良情况和五年级的总体情况相比怎么样？

8一座喷泉由内外两层构成。外层每

10分钟喷水一次，内层每6分钟喷
水一次。12：45同时喷过一次水后，

下次同时喷水是几时几分？

9文文的纸飞机飞了5m，小刚的飞了4m，兰兰的飞了3m。

（1）兰兰的纸飞机飞的距离是文文的几分之几？
（2）你还能提出其他数学问题并解答吗？

10果农准备将一批石榴进行分装。如果每8个装一盒，会剩下3个；如果每9
个装一盒，也会剩下3个。这批石榴至少有多少个？

11可以怎样填？

1＞   （）＞14＞   （）＞7
4（）55（）10

本单元结束了，我的收获：__________________________________
你想说些什么？___________________________________________
成长小档案 我的疑问：__________________________________
___________________________________________

82
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

5图形的运动（三）

你还记得这是什么运动吗？

1

11121

11121

11121

10

2

10

2

10

2

9o

3

9o

3

9o

3

8
765

4
765

8
765

4

8

4

从“12”到“1”，指针绕点O按顺时针方向旋转了30°；
从“1”到“”，指针绕点O按顺时针方向旋转了60°；
从“3”到“6”，指针绕点O按顺时针方向旋转了；
从“6”到“12”，指针绕点O按顺时针方向旋转了。

做一做

O1O2

O1O2

左侧有车通过，车杆要绕点O1按顺时针方向旋转90°；

右侧有车通过，车杆要绕点按

方向旋转 。

83
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

2

4

5

6

O
O

2 mc1
4

0
3

如图，将三角尺像这样在方格纸上每次按顺时针方向旋转90°，观察

三角尺的位置是如何变化的。

我发现旋转时点O
的位置不变。

三角尺的每条直角
边都绕点O按顺时

针方向旋转了90°。

你有什么发现？

做一做

换另一把三角尺，在方格纸上按逆时针方向像上面那样转一圈，并说一
说你的发现。

3画出三角形AOB绕点O按顺时针方向旋转90°后的图形。

绕点O旋转，点O的位
置应该不变。只要找出

A
OA，点A′与点O的距

先画点A′，OA′垂直于

点A和点B按顺时针方向
旋转90°后的位置……

离还应该是点 4格。再画
B′，OB′垂直于……

O BA′

做一做

在例3的方格纸上画出三角形AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后的图形。

84
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

练习二十一

1下面的图案分别是由哪个图形旋转而成的？

2
O　O

钟摆绕点O（）时针旋转。

钟摆绕点O（）时针旋转。

3

O

O

O

风车绕点O

风车绕点O

（）时针旋转 。 （）时针旋转 。

4
B
AC

B
AC

O　3O1
2

（1）图形OABC绕点O顺时针旋转90°，在右图中标出点A的对应点A′。
（2）图形OABC绕点O（）时针旋转 ，得到图2。
（3）图形OABC绕点O（）时针旋转 ，得到图3。

85
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

5按要求画图。

（1）把图1绕点O逆时针旋转90°，得到图2。
1　（2）把图1绕点O顺时针旋转90°，得到图3。
（3）把图2绕点O逆时针旋转90°，得到图4。
O　（4）把图1、图2、图3、图4都涂上红色，

这个图形像什么？

6如图，长方形的两条对称轴相交于点O。绕点O旋转长方形，你能发现

什么？

O

旋转90°

O
O

O
旋转360°

旋转180°

将下列图形按上面的方法试一试，你能发现什么？

你知道吗？
数学与艺术
设计师们利用几何学中的平移、对称和旋转，设计出了许多美丽
的图案。

86
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

4下面右边的图案是左边的4张卡片通过平移或旋转拼成的，说一说每

张卡片的运动过程。

阅读与理解
知道了……
要解决的问题是……

分析与解答
先在右图中找出对应的卡片，标上序号。

①号卡片要先绕右下角
的顶点顺时针旋转90°，　①　②　④　③
再向右……

③

④

①

②

②号卡片不用旋转，只要向右平移 格，
再……
③号卡片要……
④号卡片要……

回顾与反思

旋转可以改变卡片
的方向，平移可以
改变卡片的位置。
旋转。

既改变方向又改
变位置的卡片，
也可以先平移再

87
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

练习二十二

1观察下面三组图形，说一说你的发现，并回答后面的问题。

（1）怎样通过平移或旋转使每组图形变成一个正方形？
（2）通过平移或旋转，你还能把每组图形分别变成什么图形？

2利用图中的七巧板，通过平移或旋转设计一个图案。

67
2345
1
3下面右边的大熊猫头像是左边的4张卡片通过平移或旋转拼成的，说一说

每张卡片的运动过程。

本单元结束了，我的收获：__________________________________
你想说些什么？___________________________________________
成长小档案 我的疑问：__________________________________
___________________________________________

88
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

6分数的加法和减法

1.同分母分数加、减法

1爸爸吃3张饼，妈妈吃1张饼。
8 8　我吃块饼。
我吃块饼。　3
1

（1）爸爸和妈妈一共吃多少张饼？

3+1=
3和1的分数单位 88
相同，都是881。
8
8

可以把个1和
381
个1直接加起来。

313+1141
8+8=8=8=2
2

计算的结果，能约分的要约成最简分数。

89
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

（2）爸爸比妈妈多吃多少张饼？

3-1=
88
想一想：3和1可以直接相减吗？为什么？
88 （）（）（）
3-1=（-）=（）
88

结合上面的问题，再想想整数加、减法的含义，你能说出分数加、减法的
含义吗？
你能概括同分母分数加、减法的计算法则吗？

同分母分数相加、减，分母不变，只把分子相加、减。

做一做

1列式并计算。

？
7
22
55

6
2
7

？

2计算。

29+59= 27+57= 58+18= 4+41=
56-16=107-101= 79-29=1-1130=

90
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

练习二十三

1计算。

125+121=37+47=76+76=259+256=
38+38=103+101=1033+331=1516+169=

2计算。

37-37=1415-154=109-107=1114-145=
58-18=76-16=1718-185=1920-207=

3填空。

1+7=（）　5-2=（） 7+8=（）
1313　77　1717
（）-1=117+（）=13 7-（）=3
12125 5 5 5

4通过口算把算式填在右面的方框里。

14+1478-38165+163

127+12189-291415-154　=12 =23
187+1851712-1211

5某小学各年级学生人数分布情况如右表。

（1）六年级学生人数占全校学
一 二 三 四 五 六
生人数的几分之几？

（2）一、二年级学生人数共占全22233（）
1515151515（）

校学生人数的几分之几？
（3）你还能提出其他数学问题并解答吗？

91
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

6计算。

19+59+29= 116+113+111= 14+14+34=

107-101-103= 116-76-16= 1-23-13=
7某小学图书馆中各类图书情况如右图。　3
（1）历史、科学和文学类图书共占图 2历史类11
书总量的几分之几？　科学类11 其他
（2）其他图书占图书总量的几分之几？　文学类5
11

8在 里填上“>”“<”或“=”。

4-29-75-33-11-3-43+8
551010884414142020
3+51+33+44+72+5+23+1
1212667711113333

9用分母相同的分数组成算式并计算。

1345945252949151979167656
4

10算式接龙：每一次的得数是下一个算式的第一个数。

等于7，等于1。
62　等于4。43。 7　等于3。31。
7-7。　77+7 4-1。　44-4
44

……

11有红、黄、蓝三条丝带。红丝带比黄丝带长7m，蓝丝带比黄丝带短
3m，蓝丝带与红丝带相差多少米？20
20

92
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

2.异分母分数加、减法

1某小区生活垃圾分类统计情况如右图。　有害垃圾可回收物
（1）有害垃圾和其他垃圾在生活垃圾中 13
820其他垃圾
共占几分之几？　厨余垃圾 1
194
1+1=　40
84

1和1的分母不同，也就
是分数单位不同，不能直84

我们可以把它们通
分，转化为同分母

接相加。怎么办呢？

分数再相加。

分母不同的分数，要先通分才能相加。

+　1+1=
84

+ = 18+28=38

试一试：1+3=
820

做一做

计算。

58+13= 14+38= 34+17= 15+18=

93
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

（2）可回收物多还是厨余垃圾多？它们的差占生活垃圾总量的几分之几？

厨余垃圾多，应该是19-3。
4020

19-3=（）-（）=（）
4020（）（）（）

讨论一下：异分母分数加、减法怎样计算？

异分母分数相加、减，先　，再按照同分母分数
加、减法进行计算。

做一做

1先计算，再任选两题进行验算。

1+3
28
1
12
1
24

5-1
124
9
10
5
7

分数加、减法的验算方法与整数
加、减法的验算方法相同。

2妈妈用玉米面和黄豆面做面饼。玉米面用了4kg，黄豆面用了3kg，
用的玉米面比黄豆面多多少千克？玉米面和黄豆面一共用了多少千克？5　4

94
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

练习二十四

1计算。

78-56= 29+12= 67-23= 103+14=
37+19= 13-15= 16+14= 57-15=

2在 里填上适当的运算符号。

5818=3416241024=14105102101=45

9512=1812314=11125613=12
3春天到了，农民伯伯给果树浇水。第一天上午浇了所有果树的1，下午
浇了3，第二天上午浇了3，一共浇了所有果树的几分之几？还有几4
分之几没浇？8　10

4解下列方程。

x+3=3 x-5=3 x-5=1 5+x=3
74 128 6 95

5下面的计算对吗？把不对的在横线上改正过来。

2-4=2（）
399
7-3=4（）
1055

3+4=7（）
5712
1+3=13（）
2714

6先计算，再想一想怎样算比较快。

1-1= 1+1= 1-1= 1+1=
34 25 67 56
1-1= 1+1= 1-1= 1+1=
78 89 23 910

95
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

7妈妈买了一些毛线，给爸爸织毛衣用去了7，给小红织手套用去了1。
你能提出什么数学问题并解答吗？10　20

8同桌互相出题，算一算。

18+14=？　得数是3。
8

9有趣的“三角形”。1=1
4 4
14+14=12
14+24+14=
14+34+34+14=
++++ =
+++++ =
你发现了什么？如果从1开始，结果会怎样？
8

10调查班里同学出生月份的情况，填写下表。

季度

人数

占总人数的几分之几

第一季度（1、2、3月）

第二季度（4、5、6月）

第三季度（7、8、9月）

第四季度（10、11、12月）

（1）用条形统计图呈现你调查的数据。
（2）用分数解释你调查的结果。
（3）你还能提出其他数学问题并解答吗？

96
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

3.分数加减混合运算

1（1）某森林公园植被情况如右表。植被类型占公园面积的几分之几
森林部分比草地部分多占公乔木林
园面积的几分之几？
灌木林
1+3-1=
2105

1
2
3
10
草地

15

想一想：异分母分数混合运算，怎样通分好呢？

小红这样算：

小亮这样算：

1+3-1
2105
=5+3-1
104105
8-1
=105
5
=3
5

1+3-1
2105
=5+3-2
101010
=8-2
1010
363
=10=5
5

你是怎样计算的？你喜欢哪种方法？

（2）森林和裸露地面的降水转化情况如下表。

类型 储存为地下水地表水其他

森林 7 12
2045
裸露地面 （） 112
（） 205

裸露地面储存的地下水占降水的几分之几？

97
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

小红这样算：

小亮这样算：

1-1120-25
=2020-1120-208
=209-208
=201

1-（2011+25）
=1-（1120+208）
=1-2019
=201

他们的方法有什么不同？

2我们已经学过整数加法的运算律，这些运算律在分数运算中还适用吗？

计算下面每组的两个算式，看看它们之间有什么关系。

37+2525+37（23+14）+3423+（14+34）

根据以上计算可以发现，整数加法的交换律、结合律对于分数加法同样适
用。应用运算律可以使一些分数计算变得简便。试着计算下面两题。

5+1+7 1+2+1+2
61212 3753

做一做

1计算。

56-12+1378-125+1612+14-1694-14+15
5-（1+1）7-（5+1）1+（1-1）9-（1+1）
6238126246445

2用简便方法计算下面各题。

2+1+3 1+1+1+2 9+1+3+5
535 4343 7887

98
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

3一杯纯果汁，小乐喝了半杯后，觉得有些甜，就兑满了水。他又喝了

半杯，就出去玩了。小乐一共喝了多少杯纯果汁？多少杯水？

阅读与理解
第一次：一杯纯果汁，喝了　杯。
第二次：兑满水，又喝了　杯。
问题：一共喝了多少杯纯果汁？多少杯水？

分析与解答

第一次喝了1杯纯果汁，
第二次喝了多少杯纯果2

画图试一
试吧。

汁呢？

第一次喝了1杯兑满水，水是1杯，又喝了1杯。这1杯
纯果汁。2　2 里，一半是纯果汁，一22
纯果汁还是1杯。 半是水。
2
1杯的一半是 杯。
2

第二次喝的纯果汁是杯，水是 杯。

一共喝的纯果汁：1+=　水：
2

回顾与反思
可以怎样检验？解决这道题的关键是什么？
答：　。

99
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

练习二十五

1计算。

43-（25+103） 57+14-149 34+36-58
59+（34-12） 101+38-25 35-（152+13）
2小明用一根1m长的铁丝围成一个三角形，量得三角形的两条边长分别为
14m、38m，第三条边长多少米？这是一个什么三角形？
3五（1）班同学去井冈山参观学习，共
用去10小时。其中路上用去的时间占
1，吃午饭与休息时间共占3，剩下
的是参观学习时间。参观学习时间占5　10

几分之几？

4在 里填上适当的运算符号。

23=3+2　12+47+37=12+（4737）
314143

5填数。

8+1 -1
99 3
13
18
157

6一杯纯果汁，小明喝了1杯后，兑满水又喝了一半。小明一共喝了多少
杯纯果汁？多少杯水？3

100
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

7在括号里填上适当的数，使等式成立。

11=（）1 119=1（1（））
2+4（）+2 6+10+106+10+（）
（1）（5）=（1（））（（）（））

12+14+12+3412+（）+（）+（）

8-111-1（）1-1（）1-1（）
12=223=（）34=（）45=（）

你能发现什么？用你的发现计算下面这道题。

1+1+1+1
261220

9在右图中的 里填上适当的
数，使每个正方形四个角上的

数加起来都等于1。　1031415
1
20

右图是七巧板拼成的正方形。每个57
图形的面积占正方形的几分之几？图形 4
7和4共占几分之几？图形3、4、5共136
占几分之几？　2

本单元结束了，我的收获：__________________________________
你想说些什么？___________________________________________
成长小档案 我的疑问：__________________________________
___________________________________________

101
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

怎样通知最快

一个应急小队接到紧急任务，队长需要尽快将任务通知到15名队员。任
务必须一对一进行传达，每分钟通知1人，请你帮助队长设计一个最快的通知

方案。
请你提取这个实际问题的关键信息，写在下面。
要通知的人数：
通知的方式及用时：

队长一个一个地通知需要15分钟，怎样设计方案能尽快通知完？
分组通知会快些。我分3

组，需要（）分钟……

队长

组1

组2

组3

我分5组需要

（）分钟……

102
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

想一想：是不是分的组越多，用的时间越少？还有更快的方法吗？

如果每个队员接到通知
后都继续往下通知……

这样每个人都不空闲，
应该是最快的……

用图示的方法试一试。

—队长

—队员 圈里的数—第几分钟

1 12 123……
2　23
3
3

填写下表，看看你能发现什么规律。

第几分钟 12345 …
新接到通知的队员数124
接到通知的队员总数137

（1）多长时间能通知到全体队员？

（2）按上面的方式，5分钟最多可以通知多少人？
（3）如果一个应急小队有50名队员，按上面的方式，最少花多长时间能

通知到每个人？

讨论一下：回顾整个过程，你用到了哪些方法？
你制订的方案在实施中还需要做什么准备？

103
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

7折线统计图

1下面是1998—2021年全国总人口数统计情况。

年份199819992000200120022003200420052006200720082009

总人口数/

万人124761125786126743127627128453129227129988130756131448132129132802133450
年份201020112012201320142015201620172018201920202021

总人口数/

万人134091134916135922136726ÿᎡ͚పϧऐ᪝㐌䃎ఫ137646138326139232140011140541141008141212141260

ϧऐ᪝̴ϧ 1998—2021年全国总人口数统计图














ᎡЪ


我们还可以绘制出下面的折线统计图。ÿᎡ͚పϧऐ᪝㐌䃎ఫ

ϧऐ᪝̴ϧ 1998—2021年全国总人口数统计图














ᎡЪ


104
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

观察折线统计图，回答下面的问题。
（1）折线统计图的点、线分别表示什么？
（2）我国总人口数是怎样变化的？
（3）折线统计图和条形统计图有什么不同？

折线统计图用高低不同的点来表示数据的
多少，通过点与点的连线能看出变化……

从折线看，我国总人口数是逐年上升
的，但是上升的幅度越来越小……

条形统计图可以直观地呈现数据的多少，折线统计图能清楚地看到数据的
变化趋势。
观察总人口数变化的趋势，你有什么想法？

做一做

1

2009—2021年我国高铁营业里程统计图

ᖹˊ᧗ሮkm

50000
45000
40000
35000
30000
25000
20000
15000
10000
5000
02009201020112012201320142015201620172018201920202021ࣲ͋

（1）2009—2021年我国高铁营业里程是怎样变化的？
（2）哪一年比前一年的高铁营业里程增加的最多？
（3）从统计图中还能发现什么？

105
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

2

2012—2021年某地青少年机器人大赛参赛队伍数统计表
年份2012201320142015201620172018201920202021
参赛队伍/支128123137168175190212203247264

根据统计表中的数据绘制折线统计图，并回答下面的问题。

2012—2021年某地青少年机器人大赛参赛队伍数统计图

300
250
200
150
100
50
02012201320142015201620172018201920202021ࣲ͋

（1）哪一年参赛队伍最多？哪一年参赛队伍比上一年增加的最多？
（2）2012—2021年该地青少年机器人大赛参赛队伍的数量是怎样变化
的？你有什么感想？

106
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

2下面是1998—2021年全国出生人口数和死亡人口数的变化情况。

年份 199819992000200120022003200420052006200720082009
出生人口/万人193318261764170216471599159316171584159416081615
死亡人口/万人803805811818821825832849892913935943
年份 201020112012201320142015201620172018201920202021
出生人口/万人157416041635164016671655178617231523146512001062
死亡人口/万人9679609669729779759779869939989961014
̡԰஝ʺ̡ 1998—2021年全国出生人口数统计图

2000
1500
1000
500

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

01991992002002002002002002002002002002012012012012012012012012012012022021ࣲ͋
̡԰஝ʺ̡ 1998—2021年全国死亡人口数统计图
2000
1500
1000
500
0199819992000200120022003200420052006200720082009201020112012201320142015201620172018201920202021ࣲ͋

从图中可以看出，出生
人口数呈下降趋势，而
死亡人口数……

制成复式折线统计图
进行对比，看看能不
能有更多的发现。

107
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

下面是绘制好的复式折线统计图。

1998—2021年全国出生人口数和死亡人口数统计图

̡԰஝ʺ̡　ѣၷ̡԰
൫̡̒԰

2000
1500
1000
500
0199819992000200120022003200420052006200720082009201020112012201320142015201620172018201920202021ࣲ͋

观察复式折线统计图，你又有什么发现？

随着时间变化，上下两个点越来按照这个趋势……
越靠近了……也就是出生人口数
和死亡人口数的差越来越小。

出生人口数减去死亡人口数
的差是人口自然增长数。

讨论一下：数据统计和统计图对我们有什么帮助？

做一做
2013—2021年北京市空气优良和重污染天数统计图

ܹ஝

͖ᓢ

᧘්ಀ

300　276288
240　226227240
176172186198
180
12058
60 4746392315
408
0201320142015201620172018201920202021ࣲ͋

（1）2013—2021年北京市空气优良天数是怎样变化的？重污染天数呢？
（2）观察复式折线统计图，你还有什么发现？

108
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

练习二十六

1

2012—2021年我国国内生产总值（GDP）统计图

1200000　986515211436697
10000006888582832035910135670
80000059296329192811
60000064356317463951
4000005385800
200000
0　ࣲ͋

国内生产总值是衡量经济规模和发展水平的重要指标。

（1）哪一年我国国内生产总值突破了100万亿元？
（2）2012—2021年我国国内生产总值是怎样变化的？

（3）观察折线统计图，你还获得了哪些信息？

2下表是小东0~10岁的身高情况，根据表中的数据绘制折线统计图。
年龄012345678910
身高/cm50768897104111118124130135141
ᢶᰴcm　小东0~10岁身高情况统计图
150140
130120
110100
9080
7060
500　ࣲᴔ
012345678910

（1）小东哪一年长得最快？这一年长高了多少厘米？
（2）收集、整理你自己的身高数据，利用方格纸绘制折线统计图，说一说
你发现了什么。

109
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

3

甲、乙两地月平均气温统计图

ඡພ°C
ႁڡ

33
3027
24
21181718 213 233
1512
96
30 35
123456789101112థ͋

281288282
249274 268248
22 257284277218187
161
10
54

˳ڡ
175
111

（1）根据统计图，你能说一说两地一年中气温变化的趋势吗？

（2）有一种树莓的生长期为5个月，适宜的生长温度为7~10°C，这种

植物适合在哪个地方种植？
（3）小明住在乙地，他们一家要在“十一”黄金周去甲地旅游，你认为他
们应该做哪些准备？

4下面是某地区7~15岁男生、女生平均身高统计表。
年龄 789101112131415
男生身高/cm125132136140145152160166170
女生身高/cm123128135141147153156158160

请你根据表中的数据，绘制复式折线统计图。

某地区7~15岁男生、女生平均身高统计图

ᢶᰴcm　ႄၷ
ݙၷ

170165
160155
150145
140135
130125
1200
789101112131415ࣲᴔ

（1）比较男生和女生的身高变化，你能得出什么结论？
（2）把你的身高与对应的平均值作比较，你有什么想法？

110
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

5小组讨论：下面两组数据分别用条形统计图还是折线统计图表示更合适？
（1）某学校五年级学生“五一”度假方式统计如下。

度假方式 探亲访友 在家休息 旅游

其他

男生人数 150157163167
女生人数 152156157158

（2）2014—2021年全国生活用水量统计如下。（单位：亿立方米）

年份20142015201620172018201920202021
用水量767794822838860872863909

6在报纸、杂志或者图书上找出一些折线统计图（包括复式的），贴在下面。

（1）说一说统计图表达的意思。
（2）可以用其他形式的统计图呈现这些数据吗？为什么？

7小组合作调查一项你们感兴趣的事例，用统计表、统计图将统计的结果呈
现出来，并说一说你能从数据中发现什么。

本单元结束了，我的收获：__________________________________
你想说些什么？___________________________________________
成长小档案 我的疑问：__________________________________
___________________________________________

111
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

8数学广角—找次品

1有3瓶钙片，其中1瓶少了3片，看作次品。

钙片

钙片

钙片

你能设法把它找出来吗？

我用手掂了掂，
掂不出来。

可以用天平
称一称。

钙片

钙片

如果天平平衡，剩下的一瓶就是次品。如果天平不平衡，哪瓶是次品？
不实际称，你能想办法把用天平找次品的过程清楚地表示出来吗？

用 代表钙片，可以这样记录。

123

12 平衡，3是次品。

不平衡，轻的是次品。

想一想：如果用天平称，需要称几次才能找到次品？

28个零件里有1个是次品（次品重一些）。假如用天平称，至少称几次

能保证找出次品？

“至少称几次能保证找出次品”是
指保证能找出次品的最少次数。

你打算怎样表示找次品的过程？

112
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

用 表示零件。

可以这样记录。

1234
5678
将探索的情况填入下表。

12 34 平衡，再各放……
不平衡，重的……

分成的份数

每份的数量

至少要称的次数

4

（2，2，2，2） 3

（1）表中哪种方法需要称的次数最少？

（2）如果9个零件中有1个次品（次品重一些），至少称几次能保证找

出次品？你是怎么称的？

（3）你能发现什么？用你发现的方法找出10个、11个零件中的1个次

品（次品重一些），看看是不是保证找出次品的次数也是最少的。

你知道吗？

用天平找次品时，所测物品数目与保证能找出次品至少需要称的

次数有以下关系。（只含1个次品，已知次品比正品重或轻。）

要辨别的物品数目保证能找出次品至少需要称的次数

2~~3
104~927
28~~81
82……243

1
23
4
……5

从表中你能发现什么规律？为什么？

113
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练习二十七

15瓶钙片中有1瓶是次品（轻一些），完成下面找次品的过程。
12平衡。　34平衡，次品是。

不平衡，轻的是次品。

不平衡，轻的是次品。

至少要称次。

2有28瓶水，其中27瓶质量相同，另有1瓶是盐水，比其他的水略重一

些。假如用天平称，至少称几次能保证找出这瓶盐水？

3有15盒饼干，其中14盒质量相同，另有1盒少了几块。假如用天平称，

至少称几次能保证找出这盒饼干？

41箱糖果有12袋，其中11袋质量相同，另有1袋质量轻一些。假如用天

平称，至少称几次能保证找出这袋糖果？

平衡

平均分成3份
（4，4，4）

不平衡

5有3袋白糖，其中2袋每袋500g，另1袋不是500g，但不知道比500g

重还是轻。你能用天平找出来吗？

本单元结束了，我的收获：__________________________________
你想说些什么？___________________________________________
成长小档案 我的疑问：__________________________________
___________________________________________

114
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9总复习

成长小档案
这学期学习有什么收获？
请你用自己的方法整理一下。

分数单位是认识分数、进行分数
加减法计算的基础。

探究得出了长方体、正方体表面积
和体积的计算方法。

3里面有3个1。
8÷1185527
116=6=169+9=9
34-23=129-128=121

hVabh
ab=
aVa3
aa=

描述旋转时要说清所绕的点、旋

会判断一个数是不是2、5、3的

转的方向和角度。

倍数。

从下列各数中找出3的倍数。
219512329

学习中最有收获的事情是什么？

很多整数的知识也适用 实验、操作的方
于分数，数学知识之间 法在数学学习中
真是有很多联系啊！　也很有用！

500mL
400
300

3+5+1=（3+1）+5

200100

464446

115
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1（1）“因数和倍数”单元最基本的概念是什么？请写在下面的框里，并举
例说明。
（2）你能从基本概念出发，把有关联的知识整理成一个图吗？

2下面3个几何体都是用棱长1cm的小正方体摆成的。

①

②

③

（1）下面的图形分别是哪个几何体从上面看到的？将序号填在括号里。

（）

（）

（）

（2）①、②、③的体积分别是多少？①的体积是③的体积的几分之几？
（3）如果要把①、②、③分别继续补搭成一个大正方体，每个几何体至少
还需要多少个小正方体？说一说你的思路。
（4）你还能提出其他数学问题并解答吗？

116
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3　（1）说一说图①可以通过怎样的运动得
到图②、图③、图④。
①　（2）图中绿色部分占整个图案的几分之
④②
③　几？红色部分占整个图案的几分之
几？红色部分比绿色部分多占整个
图案的几分之几？

4

2012—2021年全国快递业务量统计图

ঌ᤬̣͈

1100　108300
1000900　83360
800700　63523
600　50710
500400　3128340056
300 1395920666
20010056859187
02012201320142015201620172018201920202021ࣲ͋
某家电商场A、B两种品牌电视机2021年月销售量统计图

ႃ᜽఻Լ　Aֶྡ
Bֶྡ

907580
80　62
70　53　52
60　45434646425043
50
40 40384245423839
3030　35323730
20
10
0123456789101112థ͋

（1）观察这两个折线统计图所呈现的数据，说一说折线统计图适合呈现数
据的什么情况。

（2）2012—2021年我国快递业务数量是怎样变化的？

（3）如果你是商场经理，你能从上面的复式折线统计图中得到哪些信息？
这些信息对你有什么帮助？

117
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练习二十八

1下面哪些数是2的倍数？哪些是3的倍数？哪些是5的倍数？哪些是质

数？哪些是合数？哪些是奇数？哪些是偶数？说一说你是怎样判断的。

567987195204630223157657883

2判断下面的说法是否正确，并说一说你的理由。
（1）两个合数相乘，积还是合数。

（2）两个不同质数的公因数只有1。

（3）一个数的因数一定比它的倍数小。
（4）两个数的最小公倍数是这两个数最大公因数的倍数。

（5）最小的质数是1。

3找出下面每组数的最大公因数和最小公倍数，以其中一组为例，说一说你
是怎样找到的。

4和5   6和16   15和20   10和8   3和9
4食品店有70多个松花蛋。如果把它们装进4个一排的蛋托中，正好装
完；如果把它们装进6个一排的蛋托中，也正好装完。一共有多少个松

花蛋？

5（1）把4m长的绳子平均剪成5段，每段长 m，每段绳子是全长

的

。

（2）1985年第二次大熊猫调查结果
显示，全国共有1114只野生大
熊猫。2015年第四次大熊猫调
查结果显示，全国共有1864只
野生大熊猫，其中1387只生活

在四川。第二次调查到的野生大
熊猫数量是第四次调查数量的 ；根据第四次调查，生活在四
川的野生大熊猫占所有野生大熊猫数量的。

118
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6用直线上的点表示下面各数，哪个数最接近2？
11.5542353.71732.813
3　85 10
0　1　2　3　4

7先填空，再把各数按从小到大的顺序排列起来。

2=（）9=3 ÷=（）=（） =（）
72112（）53（）1（）2（）

8下列分数中哪些是最简分数？把不是最简分数的化成最简分数，并说一说
化简的依据。

68163610213045251257726

9计算。

3+75-14-11+1+1
10106673652
78-3423+797-536-（34-25）

10中国煤炭资源的种类较多，具体构成如右图。　烟煤
褐煤

（1）褐煤占煤炭总量的几分之几？　煤3
（2）你还能提出其他数学问题并解答吗？ 无烟4
3
11填写下表。　25

名称

图形及条件

表面积

体积

长方体

hS=

V=

ab
正方体　a S　V
aa =　=
12（1）举例说明1cm3、1dm3、1m3各有多大，1L、1mL的水大约有多少。
（2）1m3= dm3700dm3= m381cm3= mL
1L=dm32.3dm3= cm3560mL=L

119
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13一块长方形铁皮（如右图），从四个角各切掉

一个边长5cm的正方形，然后做成无盖盒子。cm

这个盒子用了多少铁皮？它的容积有多大？25

14一个长方体的玻璃缸，从里面量长8dm， 30cm
宽6dm，高4dm，水深2.8dm。如果竖
直放入一块棱长为4dm的正方体铁块，缸

里的水会溢出多少升？

15用4个 摆一摆。
（1）如果从左面看到的图形是，这4个小正方体可能是怎样摆放的？
（2）请你再给出从另一个方向看到的图形，让同桌猜一猜4个小正方体是

怎样摆放的。

16

（1）画出“风筝”绕点A旋转90°

后的图形（只画出轮廓线）。
（2）说一说你是怎样旋转并画出图

A

形的。

17北京2022年冬奥会和冬残奥会上，国家游泳中心“水立方”完美化身为

“冰立方”，成为世界首座完成“水冰转换”的奥运场馆。作为冰壶比赛

的场馆，“冰立方”改造出4条达到国际最高标准的冰壶赛道，每条赛道
长44.5m，宽4.32m。由于冰壶比赛对冰面的要求非常高，所以必须经
过多次细致的洒水，赛道上厚度约为80mm的冰层才能完美地呈现出来。
你知道大约需要洒多少升水吗？（0.9L水可以转化为1L的冰。用计算器

计算。）

120
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18

2014—2021年全国新能源汽车销售量统计图

䨭ਜ਼䛼̴䒳

400
350　3521
300
250
200
150　125612061367
100　735
50　331507
0 74
20142015201620172018201920202021ᎡЪ

（1）2014—2021年全国新能源汽车销售量是怎样变化的？

（2）请你预测下一年全国新能源汽车的销售量。
（3）观察折线统计图，你还能获得哪些信息？

19

某地区1990—2020年年人均支出和年人均食品支出统计图

ࣲ̡کஃѣ
᧛ᮩЋ
ࣲ̡کᮼֶஃѣ

22000　21000
20000
18000　15000
16000
14000
12000　9500
10000
8000　4800
6000　4000　6000
40008002000　4500
2000400900160023002800
0 1990199520002005201020152020ࣲ͋

（1）1990—2020年该地区年人均支出和年人均食品支出是怎样变化的？

（2）观察复式折线统计图，你还能发现什么？

121
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

自我

同学们，这学期要结束了，给
自己的表现画上小红花吧！

评
价

学习表现

喜欢学习数学

愿意参加数学活动

上课专心听讲

积极思考
老师提出的问题

主动举手发言

发现并提出数学问题

愿意和同学讨论
学习中的问题

敢于把自己的想法
讲给同学听

认真完成作业

你觉得自己还应该在哪些方面更努力些？

122
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

附页

图1

图2

123
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仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

后记

本册教材是在依据《义务教育数学课程标准（2011年版）》编写的《义务
教育教科书数学五年级下册》（2014年版）基础上修订的，修订重点是对文字
和插图进行了优化组合，对插图进行了重绘，2022年经国家教材委员会专家
委员会审核通过。
在此，对中央美术学院小学数学教材插图绘制团队和其他对插图重绘工作
提供过帮助与支持的社会各界朋友，表示深深的敬意和诚挚的谢意！感谢新华
社、视觉中国等单位为本册教材提供照片。
我们真诚地希望广大教师、学生和家长对教材提出意见和建议，以便不断
提高教材质量。
联系方式：
电 话010-58758313
电子邮件jcfk@pep.com.cn
中小学教材意见反馈平台jcyjfk.pep.com.cn

人民教育出版社课程教材研究所
小学数学教材编委会

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