普通高中教科书

数学选择性必修

第一册

A版

普通高中教科书数学

选择性必修

第一册

人民教育出版社课程教材研究所
编著
中学数学课程教材研究开发中心

·北京· A版

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

主 编：章建跃李增沪
副主编：李勇李海东李龙才
本册主编：张劲松申铁

编写人员：王红权申铁刘长明李昌官李建明
吴明华俞求是薛彬

责任编辑：刘长明
美术编辑：王俊宏

封面设计：
版面设计：
插图绘制：

普通高中教科书数学选择性必修第一册
人民教育出版社课程教材研究所
编著
中学数学课程教材研究开发中心

出 版
（北京市海淀区中关村南大街17号院1号楼邮编：100081）
网 址http://www.pep.com.cn

版权所有·未经许可不得采用任何方式擅自复制或使用本产品任何部分·违者必究
如发现内容质量问题，请登录中小学教材意见反馈平台：jcyjfk.pep.com.cn

02高中物理必修第一册



本书根据《普通高中数学课程标准（２０１７年版）》编写，包括“空间向量与立体几
何”“直线和圆的方程”“圆锥曲线的方程”三章内容．
在必修（第二册）学习“平面向量及其应用”和“立体几何初步”的基础上，我们学
习“空间向量与立体几何”．在本章，我们将类比平面向量，学习空间向量的概念、线性
运算和数量积运算、空间向量基本定理及空间向量的坐标运算，从中体会平面向量与空间
向量的共性和差异；运用向量方法研究空间基本图形的平行、垂直等位置关系和距离、角
度等度量问题，从中体会向量方法与综合几何方法的共性和差异；通过运用向量方法解决
简单的数学问题和实际问题，感悟向量是研究几何问题的有效工具．
“直线和圆的方程”“圆锥曲线的方程”属于解析几何的内容．解析几何是数学发展过
程中的一个标志性成果，是微积分创立的基础．我们将在平面直角坐标系中探索确定直
线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等几何图形的几何要素，并利用几何要素建立它们的方
程；再通过方程，运用代数方法进一步认识直线、圆、圆锥曲线的性质以及它们之间的一
些位置关系；通过运用解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟解析几何中蕴
含的数学思想和方法．
本册的研究对象是几何图形，所用的研究方法主要是代数方法．通过学习，同学们将
逐步体会用代数方法解决几何问题的“三步曲”：
第一步：用向量或坐标或方程表示几何问题中的几何要素，如点、直线、平面、圆、
圆锥曲线等，把几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论．
祝愿同学们通过本册书的学习，不但学到更多的数学知识，而且在数学能力、数学核
心素养等方面都有较大的提高，并培养起更高的数学学习兴趣，形成对数学的更加全面的
认识．

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

第一章空间向量与立体几何…………………………１
１．１空间向量及其运算……………………………………２
１．２空间向量基本定理…………………………………１１
１．３空间向量及其运算的坐标表示……………………１６
阅读与思考向量概念的推广与应用……………２３
１．４空间向量的应用……………………………………２６
小结…………………………………………………………４５
复习参考题１………………………………………………４７
第二章直线和圆的方程………………………………５０
２．１直线的倾斜角与斜率………………………………５１
２．２直线的方程…………………………………………５９
探究与发现方向向量与直线的参数方程………６８
２．３直线的交点坐标与距离公式………………………７０
阅读与思考笛卡儿与解析几何…………………８０
２．４圆的方程……………………………………………８２
阅读与思考坐标法与数学机械化………………８９
２．５直线与圆、圆与圆的位置关系……………………９１
小结………………………………………………………１００
复习参考题２……………………………………………１０２
第三章圆锥曲线的方程………………………………１０４
３．１椭圆…………………………………………………１０５
信息技术应用用信息技术探究点的轨迹：椭圆…１１６
３．２双曲线………………………………………………２２１１８
探究与发现为什么狔＝±犫狓是双曲线狓２－狔２＝１
犪 犪犫
的渐近线……………………………１２８
３．３抛物线………………………………………………２ １３０
探究与发现为什么二次函数狔＝犪狓＋犫狓＋犮
的图象是抛物线……………………１３３
阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用……１４０
文献阅读与数学写作解析几何的形成与发展……１４２
小结………………………………………………………１４３
复习参考题３……………………………………………１４５
部分中英文词汇索引……………………………………………１４７

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

第一章
空间向量与立体几何

通过“平面向量及其应用”的学习，我们知道，平面内的
点、直线可以通过平面向量及其运算来表示，它们之间的平行、
垂直、夹角、距离等关系可以通过平面向量运算而得到，从而有
关平面图形的问题可以利用平面向量的方法解决．在“立体几何
初步”中，我们用综合几何方法研究了空间几何体的结构特征以
及空间点、直线、平面的位置关系．一个自然的想法是，能否把
平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量表示空间中点、直
线、平面等基本元素，通过空间向量运算解决立体几何问题．在
本章，我们就来研究这些问题．
在本章学习中，我们要注意利用类比的方法理解空间向量的
概念、运算、基本定理及其坐标表示，在此过程中体会平面向量
与空间向量的共性和差异；在运用向量的方法研究空间基本图形
的位置关系和度量关系的过程中，体会向量方法与综合几何方法
的共性和差异；通过用向量方法解决数学问题和实际问题，感悟
向量在研究几何问题中的作用．

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

１１空间向量及其运算

章前图展示的是一个做滑翔伞运动的场景．可以想象，
在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的
力，例如绳索的拉力、风力、重力等．显然，这些力不在同
一个平面内．联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把
平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动
呢？下面我们类比平面向量研究空间向量，先从空间向量的
概念和表示开始．

１１１!"#$%&'()*+
与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量
叫做空间向量（ｓｐａｃｅｖｅｃｔｏｒ），空间向量的大小叫做空间向?印刷用黑体犪，书写
量的长度或模（ｍｏｄｕｌｕｓ）．空间向量用字母犪?，犫，犮，…用犪→．
表示．空间中点的位移、物体运动的速度、物体受到的力等
都可以用空间向量表示．
与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，有向线　B
段的长度表示空间向量的模．如图１．１１，向量犪的起点是　a
犃，终点是犅，则向量犪也可以记作犃犅→，其模记为｜犪｜或　A
｜犃犅→｜．图１．１２所示的正方体中，过同一个顶点犗的三条棱图１．１１
上的三条有向线段表示的三个向量为犗犃→，犗犅→，犗犆→，它们是
不共面的向量，即它们是不同在任何一个平面内的三个向量．　A
与平面向量一样，我们规定，长度为０的向量叫做零向
量（ｚｅｒｏｖｅｃｔｏｒ），记为０．当有向线段的起点犃与终点犅　C
重合时，犃犅→＝０．模为１的向量叫做单位向量（ｕｎｉｔｖｅｃO　B
ｔｏｒ）．与向量犪长度相等而方向相反的向量，叫做犪的相反 图１．１２
向量，记为－犪．
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行
或重合，那么这些向量叫做共线向量（ｃｏｌｌｉｎｅａｒｖｅｃｔｏｒｓ）或 空间向量是平面向量
平行向量（ｐａｒａｌｌｅｌｖｅｃｔｏｒｓ）．我们规定：零向量与任意向量的推广，其表示方法以及一
平行，即对于任意向量犪，都有０∥犪．　些相关概念与平面向量一致．
２第一章空间向量与立体几何

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

方向相同且模相等的向量叫做相等向量（ｅｑｕａｌｖｅｃｔｏｒｓ）．因此，在空间，同向且等
长的有向线段表示同一向量或相等向量．空间向量是自由的，所以对于空间中的任意两个
非零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合．因为两条相交直线确定一个平面，所
以起点重合的两个不共线向量可以确定一个平面，也就是说，任意两个空间向量都可以平
移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量．如图１．１３，已知空间向量犪，犫，以任
意点犗为起点，作向量犗犃→＝犪，犗犅→＝犫，我们就可以把它们平移到同一个平面α内．
数学中，引进一种量后，一个很自然的问题就是要研究b
它们的运算．由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为a　A
同一平面内的向量，这样任意两个空间向量的运算就可以转a
化为平面向量的运算．由此，我们把平面向量的线性运算推αO bB
广到空间，定义空间向量的加法、减法（图１．１４）以及数 图１．１３
乘运算（图１．１５）：
（１）犪＋犫＝犗犃→＋犃犅→＝犗犅→；
（２）犪－犫＝犗犃→－犗犆→＝犆犃→；
（３）当λ＞０时，λ犪＝λ犗犃→＝犘犙→；
当λ＜０时，λ犪＝λ犗犃→＝犕犖→；
当λ＝０时，λ犪＝０．　想一想，向量线性运
C　a　B　M　算的结果，与向量起点的
-b　A　λa(λ0)λa(λ0) 选择有关系吗？

图１．１４　图１．１５
与平面向量一样，空间向量的线性运算满足以下运算律
（其中λ，μ∈犚）：　你能证明这些运算律
交换律：犪＋犫＝犫＋犪；　吗？证明结合律时，与证
结合律：（犪＋犫）＋犮＝犪＋（犫＋犮），λ（μ犪）＝（λμ）犪； 明平面向量的结合律有什
分配律：（λ＋μ）犪＝λ犪＋μ犪，λ（犪＋犫）＝λ犪＋λ犫． 么不同？



D

C

如图１．１６，在平行六面体犃犅犆犇犃′犅′犆′犇′中，分别标A

出犃犅→＋犃犇→＋犃犃→′，犃犅→＋犃犃→′＋犃犇→表示的向量．从中你能
体会向量加法运算的交换律和结合律吗？一般地，三个不共面D
的向量的和与这三个向量有什么关系？
图１．１６

B

C
A

B

第一章空间向量与立体几何３

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

可以发现，犃犅→＋犃犇→＋犃犃→′＝犃犅→＋犃犃→′＋犃犇→＝犃犆→′．一般地，对于三个不共面的向
量犪，犫，犮，以任意点犗为起点，犪，犫，犮为邻边作平行六面体，则犪，犫，犮的和等于
以犗为起点的平行六面体对角线所表示的向量．另外，利用向量加法的交换律和结合律，
还可以得到：有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变．



对任意两个空间向量犪与犫，如果犪＝λ犫（λ∈犚），犪与犫有什么位置关系？反
过来，犪与犫有什么位置关系时，犪＝λ犫？
类似于平面向量共线的充要条件，对任意两个空间向量犪，犫（犫≠０），犪∥犫的充要条
件是存在实数λ，使
犪＝λ犫．
如图１．１７，犗是直线犾上一点，在直线犾上取非零向 a　l
量犪，则对于直线犾上任意一点犘，由数乘向量的定义及向a　P
量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得　O
犗犘→＝λ犪．　图
１．１７
我们把与向量犪平行的非零向量称为直线犾的方向向量（ｄｉ
ｒｅｃｔｉｏｎｖｅｃｔｏｒ）．这样，直线犾上任意一点都可以由直线犾上
的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一
点和它的方向向量确定．
如图１．１８，如果表示向量犪的有向线段犗犃→所在的直
线犗犃与直线犾平行或重合，那么称向量犪平行于直线犾．　OaA
如果直线犗犃平行于平面α或在平面α内，那么称向量犪平　a　l
行于平面α．平行于同一个平面的向量，叫做共面向量
（ｃｏｐｌａｎａｒｖｅｃｔｏｒｓ）．　α　a
我们知道，任意两个空间向量总是共面的，但三个空间
向量既可能是共面的，也可能是不共面的．那么，什么情况图１．１８
下三个空间向量共面呢？



对平面内任意两个不共线向量犪，犫，由平面向量基本定理可知，这个平面内的
任意一个向量狆可以写成狆＝狓犪＋狔犫，其中（狓，狔）是唯一确定的有序实数对．对
两个不共线的空间向量犪，犫，如果狆＝狓犪＋狔犫，那么向量狆与向量犪，犫有什么位
置关系？反过来，向量狆与向量犪，犫有什么位置关系时，狆＝狓犪＋狔犫？

４第一章空间向量与立体几何

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

可以发现，如果两个向量犪，犫不共线，那么向量狆与向量犪，犫共面的充要条件是
存在唯一的有序实数对（狓，狔），使
狆＝狓犪＋狔犫．

例１如图１．１９，已知平行四边形犃犅犆犇，过平面犃犆
外一点犗作射线犗犃，犗犅，犗犆，犗犇，在四条射线上分别D　C
取点犈，犉，犌，犎，使犗犈＝犗犉＝犗犌＝犗犎＝犽．求证：　A　B
犗犃犗犅犗犆犗犇
犈，犉，犌，犎四点共面．　H　G
分析：欲证犈，犉，犌，犎四点共面，只需证明犈犎→， E　F
犈犉→，犈犌→共面．而由已知犃犇→，犃犅→，犃犆→共面，可以利用
向量运算由→，→，→共面的表达式推得→，→，　图１．１９
→ 犃犇犃犅犃犆　犈犎犈犉
犈犌共面的表达式．
证明：因为犗犈＝犗犉＝犗犌＝犗犎＝犽，所以
犗犃犗犅犗犆犗犇　选择恰当的向量表示
犗犈→＝犽犗犃→，犗犉→＝犽犗犅→，犗犌→＝犽犗犆→，犗犎→＝犽犗犇→．
问题中的几何元素，通过
因为四边形犃犅犆犇是平行四边形，所以　向量运算得出几何元素的
犃犆→＝犃犅→＋犃犇→．　关系，是解决立体几何问
因此犈犌→＝犗犌→－犗犈→＝犽犗犆→－犽犗犃→＝犽犃犆→　题的常用方法．
＝犽（犃犅→＋犃犇→）＝犽（犗犅→－犗犃→＋犗犇→－犗犃→）
＝犗犉→－犗犈→＋犗犎→－犗犈→＝犈犉→＋犈犎→．
由向量共面的充要条件可知，犈犎→，犈犉→，犈犌→共面，又犈犎→，犈犉→，犈犌→过同一点犈，
从而犈，犉，犌，犎四点共面．



１．举出一些表示三个不同在一个平面内的向量的实例．　D
　C

２．如图，犈，犉分别是长方体犃犅犆犇犃′犅′犆′犇′的棱犃犅，犆犇的中A
　B

点．化简下列表达式，并在图中标出化简结果：　D　C
（１）犃犃→′－犆犅→；　（２）犃犃→′＋犃犅→＋犅′犆→′；　F
（３）犃犅→－犃犇→＋犅′犇→′； （４）犃犅→＋犆犉→．　A　E　B
３．在图１．１６中，用犃犅→，犃犇→，犃犃′→表示犃′犆→，犅犇′→及犇犅′→．
（第２题）
４．如图，已知四面体犃犅犆犇，犈，犉分别是犅犆，犆犇的中点．化简下
列表达式，并在图中标出化简结果：

（１）犃犅→＋犅犆→＋犆犇→； （２）犃犅→＋１２（犅犇→＋犅犆→）；（３）犃犉→－１２（犃犅→＋犃犆→）．

第一章空间向量与立体几何５

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

５．如图，已知正方体犃犅犆犇犃′犅′犆′犇′，犈，犉分别是上底面犃′犆′和侧面犆犇′的中心．求下列各式中
狓，狔的值：
（１）犃犆→′＝狓（犃犅→＋犅犆→＋犆犆→′）；（２）犃犈→＝犃犃→′＋狓犃犅→＋狔犃犇→；（３）犃犉→＝犃犇→＋狓犃犅→＋狔犃犃→′．

A
E
B

D

A

C

F

D

B

E

C

B

C

（第４题）

（第５题）

１１２!"#$%&'%()*
由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向
量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义．
如图１．１１０，已知两个非零向量犪，犫，在空间任取一点犗，作犗犃→＝犪，犗犅→＝犫，则
∠犃犗犅叫做向量犪，犫的夹角，记作〈犪，犫〉．

a　a　a　a　通常规定，０≤〈犪，
b　O bB　b　O bB 犫〉≤π．这样，两个向量
的夹角是唯一确定的，且
图１．１１０　〈犪，犫〉＝〈犫，犪〉．
如果〈犪，犫〉＝π，那么向量犪，犫互相垂直，记作犪⊥犫．
２
已知两个非零向量犪，犫，则｜犪｜｜犫｜ｃｏｓ〈犪，犫〉叫做犪，犫的数量积（ｉｎｎｅｒｐｒｏｄｕｃｔ），
记作犪·犫．即
犪·犫＝｜犪｜｜犫｜ｃｏｓ〈犪，犫〉．
特别地，零向量与任意向量的数量积为０．
由向量的数量积定义，当犪≠０，犫≠０时，可以得到：
犪⊥犫犪·犫＝０；　犪·犪也记作犪２．
犪·犪＝｜犪｜｜犪｜ｃｏｓ〈犪，犪〉＝｜犪｜２．



在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影．类似地，在空间，向量犪向向
量犫的投影有什么意义？向量犪向直线犾的投影呢？向量犪向平面β的投影呢？
６第一章空间向量与立体几何

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

如图１．１１１（１），在空间，向量犪向向量犫投影，由于它们是自由向量，因此可以先
将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量犫共线的向量
犮，犮＝犪ｃｏｓ〈犪，犫〉犫，向量犮称为向量犪在向量犫上的投影向量．类似地，可以将向
犫
量犪向直线犾投影（图１．１１１（２））．

（１）　（２）　（３）
图１．１１１
如图１．１１１（３），向量犪向平面β投影，就是分别由向量犪的起点犃和终点犅作平
面β的垂线，垂足分别为犃′，犅′，得到向量犃′犅→′，向量犃′犅→′称为向量犪在平面β上的投
影向量．这时，向量犪，犃′犅→′的夹角就是向量犪所在直线与平面β所成的角．
空间向量的数量积满足如下的运算律：
（λ犪）·犫＝λ（犪·犫），λ∈犚；
犪·犫＝犫·犪（交换律）；
（犪＋犫）·犮＝犪·犮＋犫·犮（分配律）．



１．对于三个均不为０的数犪，犫，犮，若犪犫＝犪犮，则犫＝犮．对于向量犪，犫，犮，
由犪·犫＝犪·犮，你能得到犫＝犮吗？如果不能，请举出反例．
２．对于三个均不为０的数犪，犫，犮，若犪犫＝犮，则犪＝犮（或犫＝犮）．对于向量
犫犪
犪，犫，若犪·犫＝犽，能不能写成犪＝犽（或犫＝犽）的形式？
犫犪
３．对于三个均不为０的数犪，犫，犮，有（犪犫）犮＝犪（犫犮）．对于向量犪，犫，犮，
（犪·犫）犮＝犪（犫·犮）成立吗？为什么？

D

C

例２如图１．１１２，在平行六面体犃犅犆犇犃′犅′犆′犇′中， A

犃犅＝５，犃犇＝３，犃犃′＝７，∠犅犃犇＝６０°，∠犅犃犃′＝　B

∠犇犃犃′＝４５°．求：　D　C
（１）犃犅→·犃犇→；（２）犃犆′的长（精确到０．１）．
解：（１）犃犅→·犃犇→＝犃犅→犃犇→ｃｏｓ〈犃犅→，犃犇→〉　A　B
＝５×３×ｃｏｓ６０°＝７．５；　图１．１１２
第一章空间向量与立体几何７

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

（２）｜犃犆→′｜２＝（犃犅→＋犃犇→＋犃犃→′）２
＝｜犃犅→｜２＋｜犃犇→｜２＋｜犃犃→′｜２＋２（犃犅→·犃犇→＋犃犅→·犃犃→′＋犃犇→·犃犃→′）
＝５２＋３２＋７２＋２５×３×ｃ（ｏｓ６０°＋５×７×ｃｏｓ４５°＋３×７×ｃｏｓ４５°）
＝９８＋５６２槡，
所以犃犆′≈１３．３．

由于空间向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，空间图形的许多性质可
以由向量的线性运算及数量积运算表示出来，因此，立体几何中的许多问题可以用向量运
算的方法加以解决．

例３如图１．１１３，犿，狀是平面α内的两条相交直 l
线．如果犾⊥犿，犾⊥狀，求证：犾⊥α．　g l m
分析：要证明犾⊥α，就是要证明犾垂直于α内的任意一nm gn
条直线犵（直线与平面垂直的定义）．如果我们能在犵和犿， α
狀之间建立某种联系，并由犾⊥犿，犾⊥狀，得到犾⊥犵，那么 图１．１１３
就能解决此问题．
证明：在平面α内作任意一条直线犵，分别在直线犾，
犿，狀，犵上取非零向量犾，犿，狀，犵．
因为直线犿与狀相交，所以向量犿，狀不平行．由向量
共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对（狓，狔），使
犵＝狓犿＋狔狀．　例３即为直线与平面
将上式两边分别与向量犾作数量积运算，得　垂直的判定定理的证明过
程．尝试用综合几何方法
犾·犵＝狓犾·犿＋狔犾·狀．　证明这个定理，并比较两
因为犾·犿＝０，犾·狀＝０（为什么？），所以犾·犵＝０．种方法，你能从中体会到
所以犾⊥犵．　向量方法的优越性吗？
这就证明了直线犾垂直于平面α内的任意一条直线，所
以犾⊥α．



A1

C1

１．如图，在正三棱柱犃犅犆犃１犅１犆１中，若犃犅＝槡２犅犅１，则犃犅１与
犅犆１所成角的大小为（）．
（Ａ）６０°（Ｂ）９０°（Ｃ）１０５°（Ｄ）７５°
２．如图，正方体犃犅犆犇犃′犅′犆′犇′的棱长为１，设犃犅→＝犪，犃犇→＝犫，
犃犃→′＝犮，求：
８第一章空间向量与立体几何

B1
A
B
（第１题）

C

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

（１）犪·（犫＋犮）；（２）犪·（犪＋犫＋犮）；（３）（犪＋犫）·（犫＋犮）．
３．如图，在平行六面体犃犅犆犇犃′犅′犆′犇′中，犃犅＝４，犃犇＝３，犃犃′＝５，∠犅犃犇＝９０°，∠犅犃犃′＝
∠犇犃犃′＝６０°．求：
（１）犃犃→′·犃犅→；（２）犃犅′的长；（３）犃犆′的长．

D

D

A

C

C

B

A

B

C

c
D
C
b
Aa B
A

c
D
b
a B

C
A

D
B

α

（第２题）　（第３题）　（第４题）
４．如图，线段犃犅，犅犇在平面α内，犅犇⊥犃犅，犃犆⊥α，且犃犅＝犪，犅犇＝犫，犃犆＝犮．求犆，犇两
点间的距离．

习题１．１



１．如图，在长方体犃犅犆犇犃′犅′犆′犇′中，犈，犉分别为棱犃犃′，犃犅的中点．
（１）写出与向量犅犆→相等的向量；
（２）写出与向量犅犆→相反的向量；
（３）写出与向量犈犉→平行的向量．

D

C

D

C

A

A

B

B

A

F

B

A

B

（第１题）
２．如图，已知平行六面体犃犅犆犇犃′犅′犆′犇′，化简下列表达式，并在图中标出化简结果：
（１）犃犅→＋犅犆→；

（第２题）
（２）犃犅→＋犃犇→＋犆犆→′；

（３）犃犅→＋犃犇→＋１２犆犆→′； （４）１３（犃犅→＋犃犇→＋犃犃′→）．

A

３．证明：如果向量犪，犫共线，那么向量２犪＋犫与犪共线．
４．如图，已知四面体犃犅犆犇的所有棱长都等于犪，犈，犉，犌分别是B
棱犃犅，犃犇，犇犆的中点．求：
（１）犃犅→·犃犆→；（２）犃犇→·犇犅→；（３）犌犉→·犃犆→；
（４）犈犉→·犅犆→；（５）犉犌→·犅犃→；（６）犌犈→·犌犉→．
第一章空间向量与立体几何９

E
D
G
C
（第４题）

F

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用



５．如图，在平行六面体犃犅犆犇犃１犅１犆１犇１中，犃犆与犅犇的交点为犕．设犃１犅→１＝犪，犃１犇→１＝
犫，犃１→犃＝犮，则下列向量中与犅１犕→相等的向量是（）．

（Ａ）－１２犪＋１２犫＋犮
（Ｃ）１２犪－１２犫＋犮

（Ｂ）１２犪＋１２犫＋犮
（Ｄ）－１２犪－１２犫＋犮

A
D

D1
H
b
A1
E
D

C

C1
B

A

aB1

c
D
B
A
B

C
D
M
C

G
F
B

C
A

（第５题）　（第６题）　（第７题）
６．如图，已知犈，犉，犌，犎分别为四面体犃犅犆犇的棱犃犅，犅犆，犆犇，犇犃的中点，求证：犈，
犉，犌，犎四点共面．
７．如图，正方体犃犅犆犇犃′犅′犆′犇′的棱长为犪．
（１）求犃′犅和犅′犆的夹角；（２）求证：犃′犅⊥犃犆′．
８．用向量方法证明：在平面内的一条直线，如果与这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂
直，那么它也与这条斜线垂直（三垂线定理）．



９．如图，在四面体犗犃犅犆中，犗犃⊥犅犆，犗犅⊥犃犆．求证：犗犆⊥犃犅．

B

B

G

C

（第９题）　（第１０题）
１０．如图，在四面体犗犃犅犆中，犗犃＝犗犅，犆犃＝犆犅，犈，犉，犌，犎分别是犗犃，犗犅，犅犆，
犆犃的中点．求证：四边形犈犉犌犎是矩形．

１０第一章空间向量与立体几何

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

１２空间向量基本定理

我们知道，平面内的任意一个向量狆都可以用两个不共
线的向量犪，犫来表示（平面向量基本定理）．类似地，任意
一个空间向量能否用任意三个不共面的向量犪，犫，犮来表示呢？
我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情
况开始讨论．
如图１．２１，设犻，犼，犽是空间中三个两两垂直的向
量，且表示它们的有向线段有公共起点犗．对于任意一个空
间向量狆＝犗犘→，设犗犙→为犗犘→在犻，犼所确定的平面上的投 P
→→→ →　k p
影向量，则犗犘＝犗犙＋犙犘．又向量犙犘，犽共线，因此存 O j
在唯一的实数狕，使得犙犘→＝狕犽，从而　i
犗犘→＝犗犙→＋狕犽．
而在犻，犼所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存
在唯一的有序实数对（狓，狔），使得　图１．２１
犗犙→＝狓犻＋狔犼．
从而
犗犘→＝犗犙→＋狕犽＝狓犻＋狔犼＋狕犽．
因此，如果犻，犼，犽是空间三个两两垂直的向量，那
么对任意一个空间向量狆，存在唯一的有序实数组（狓，狔，
狕），使得
狆＝狓犻＋狔犼＋狕犽．　你能证明唯一性吗？
我们称狓犻，狔犼，狕犽分别为向量狆在犻，犼，犽上的分向量．



在空间中，如果用任意三个不共面的向量犪，犫，犮代替两两垂直的向量犻，犼，
犽，你能得出类似的结论吗？
类似平面向量基本定理，我们有空间向量基本定理．
定理如果三个向量犪，犫，犮不共面，那么对任意一请你自己给出空间向
个空间向量狆，存在唯一的有序实数组（狓，狔，狕），使得量基本定理的证明．
狆＝狓犪＋狔犫＋狕犮．
第一章空间向量与立体几何１１

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

由此可知，如果三个向量犪，犫，犮不共面，那么所有空间向量组成的集合就是｛狆｜狆＝
狓犪＋狔犫＋狕犮，狓，狔，狕∈犚｝．这个集合可看作由向量犪，犫，犮生成的，我们把｛犪，犫，
犮｝叫做空间的一个基底（ｂａｓｅ），犪，犫，犮都叫做基向量（ｂａｓｅｖｅｃｔｏｒｓ）．空间任意三个
不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为１，那么这个基
底叫做单位正交基底，常用｛犻，犼，犽｝表示．由空间向量基本定理可知，对空间中的任
意向量犪，均可以分解为三个向量狓犻，狔犼，狕犽，使犪＝狓犻＋狔犼＋狕犽．像这样，把一个空
间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
由空间向量基本定理可知，如果把三个不共面的向量作为空间的一个基底，那么所有
空间向量都可以用三个基向量表示出来．进一步地，所有空间向量间的运算都可以转化为
基向量间的运算，这为解决问题带来了方便．
例１如图１．２２，犕是四面体犗犃犅犆的棱犅犆的中点，点犖在线段犗犕上，点犘在

线段犃犖上，且犕犖＝１２犗犖，犃犘＝３４犃犖，用向量犗犃→，犗犅→，犗犆→表示犗犘→．

分析：犗犃→，犗犅→，犗犆→是三个不共面的向量，它们构成空间的一个基底｛犗犃→，犗犅→，
犗犆→｝，犗犘→可以用基底｛犗犃→，犗犅→，犗犆→｝表示出来．

解：犗犘→＝犗犃→＋犃犘→＝犗犃→＋３４犃犖→　O
＝犗犃→＋３４（犗犖→－犗犃→）

＝犗犃→＋３犗犖→－３犗犃→
４４
＝１犗犃→＋３１犗犅→＋１犗犆→

A
M
B

C

４→４（３→３→）

图１．２２

＝１４犗犃＋１４犗犅＋１４犗犆．



１．已知｛犪，犫，犮｝是空间的一个基底，从犪，犫，犮中选哪一个向量，一定可以与向量狆＝犪＋犫，
狇＝犪－犫构成空间的另一个基底？
２．已知犗，犃，犅，犆为空间的四个点，且向量犗犃→，犗犅→，犗犆→不构

O

B

C

成空间的一个基底，那么点犗，犃，犅，犆是否共面？
３．如图，已知平行六面体犗犃犅犆犗′犃′犅′犆′，点犌是侧面犅犅′犆′犆的 O
中心，且犗犃→＝犪，犗犆→＝犫，犗犗→′＝犮．

G
C

A

B

（１）｛犪，犫，犮｝是否构成空间的一个基底？ （第３题）
（２）如果｛犪，犫，犮｝构成空间的一个基底，那么用它表示下列向量：犗犅→′，犅犃→′，犆犃→′，犗犌→．

１２第一章空间向量与立体几何

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

例２如图１．２３，在平行六面体犃犅犆犇犃１犅１犆１犇１　D1 M NC1
中，犃犅＝４，犃犇＝４，犃犃１＝５，∠犇犃犅＝６０°，∠犅犃犃１＝　A1　B1
６０°，∠犇犃犃１＝６０°，犕，犖分别为犇１犆１，犆１犅１的中点．
求证犕犖⊥犃犆１．
分析：要证犕犖⊥犃犆１，只需证明犕犖→·犃犆→１＝０．由　D　C
已知，｛犃犅→，犃犇→，犃犃→１｝可构成空间的一个基底．把犕犖→ A　B
和犃犆→１分别用基底表示，然后计算犕犖→·犃犆→１即可．　图１．２３
证明：设犃犅→＝犪，犃犇→＝犫，犃犃→１＝犮，这三个向量不共
面，｛犪，犫，犮｝构成空间的一个基底，我们用它们表示
犕犖→，犃犆→１，则

犕犖→＝犕犆→１＋犆１犖→＝１２犪－１２犫，

犃犆→１＝犃犅→＋犅犆→＋犆犆→１＝犪＋犫＋犮，
所以

犕犖→·犃犆→１＝（１２犪－１２犫）·（犪＋犫＋犮）

＝１２犪·犪＋１２犪·犫＋１２犪·犮－１２犫·犪－１２犫·犫－１２犫·犮
＝１２×４２＋１２×４２×ｃｏｓ６０°＋１２×４×５×ｃｏｓ６０°－１２×４２×ｃｏｓ６０°－
１２×４２－１２×４×５×ｃｏｓ６０°

＝０．
所以犕犖⊥犃犆１．

例３如图１．２４，正方体犃犅犆犇犃′犅′犆′犇′的棱长为 D
E
１，犈，犉，犌分别为犆′犇′，犃′犇′，犇′犇的中点．

C

A
F

（１）求证：犈犉∥犃犆；　G
（２）求犆犈与犃犌所成角的余弦值．　D　C
分析：（１）要证明犈犉∥犃犆，只需证明犈犉→与犃犆→共线．
设犇犃→＝犻，犇犆→＝犼，犇犇→′＝犽，则｛犻，犼，犽｝构成空间的一A　B
个单位正交基底，把犈犉→和犃犆→分别用基向量表示，作相应 图１．２４
的运算证明它们共线即可．（２）要求犆犈与犃犌所成角的余
弦值，只需求犆犈→，犃犌→所成角的余弦值即可．

第一章空间向量与立体几何１３

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

（１）证明：设犇犃→＝犻，犇犆→＝犼，犇犇→′＝犽，则｛犻，犼，犽｝构成空间的一个单位正交基
底．所以

犈犉→＝犇′犉→－犇′犈→＝１２犻－１２犼＝１２（犻－犼），

犆犃→＝犇犃→－犇犆→＝犻－犼．

所以犈犉→＝１２犆犃→．

所以犈犉∥犃犆．
（２）解：因为

犆犈→＝犆犆→′＋犆′犈→＝－１２犼＋犽，
犃犌→＝犃犇→＋犇犌→＝－犻＋１２犽，

所以

ｃｏｓ〈犆犈→，犃犌→〉＝犆犈→→·犃犌→→＝（－１２犼＋犽）·（－犻＋１２犽）

｜犆犈｜｜犃犌｜ 槡２×５槡２５

＝２５．
所以犆犈与犃犌所成角的余弦值为２５．



１．已知四面体犗犃犅犆，犗犅＝犗犆，∠犃犗犅＝∠犃犗犆＝θ．求证：犗犃⊥犅犆．
２．如图，在平行六面体犃犅犆犇犃′犅′犆′犇′中，犃犅＝２，犃犇＝２，犃犃′＝３，∠犅犃犇＝∠犅犃犃′＝
∠犇犃犃′＝６０°．求犅犆′与犆犃′所成角的余弦值．

D

A

A

B

C

D

B

C

D

C

A

D

A

B

B

C

（第２题）　（第３题）
３．如图，已知正方体犃犅犆犇犃′犅′犆′犇′，犆犇′和犇犆′相交于点犗，连接犃犗，求证犃犗⊥犆犇′．

１４第一章空间向量与立体几何

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

习题１．２



１．如果向量犪，犫与任何向量都不能构成空间的一个基底，那么犪，犫间应有什么关系？
２．若｛犪，犫，犮｝构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）．
（Ａ）犫＋犮，犫，犫－犮 （Ｂ）犪，犪＋犫，犪－犫
（Ｃ）犪＋犫，犪－犫，犮 （Ｄ）犪＋犫，犪＋犫＋犮，犮
３．已知四面体犗犃犅犆，犕，犖分别是棱犗犃，犅犆的中点，且
犗犃→＝犪，犗犅→＝犫，犗犆→＝犮，用犪，犫，犮表示向量犕犖→．
４．如图，在空间平移△犃犅犆到△犃′犅′犆′，连接对应顶点．设
→→→
犃犃′＝犪，犃犅＝犫，犃犆＝犮，犕是犅犆′的中点，犖是犅′犆′（）
的中点，用基底｛犪，犫，犮｝表示向量犃犕→，犃犖→．

A

A
B
N
B
M
C
第４题

C



５．如图，在长方体犃犅犆犇犃１犅１犆１犇１中，犕是犃犆与犅犇的交点．若犇１犃１＝２，犇１犆１＝２，
犇１犇＝３，求犅１犕的长．

D
M
A

C
B

B1

A1

C1

D1

D1

C1

B

A

A1

B1

C

D

（第５题）　（第６题）
６．如图，平行六面体犃犅犆犇犃１犅１犆１犇１的底面犃犅犆犇是菱形，且∠犆１犆犅＝∠犆１犆犇＝∠犅犆犇＝
６０°，犆犇＝犆犆１，求证：犆犃１⊥平面犆１犅犇．



７．如图，在棱长为１的正方体犃犅犆犇犃１犅１犆１犇１中，犈，犉分别为 D1

C1

犇犇１，犅犇的中点，点犌在犆犇上，且犆犌＝１４犆犇．

A1E

B1

（１）求证：犈犉⊥犅１犆；
（２）求犈犉与犆１犌所成角的余弦值．　D　GC

A

F

８．已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证：这个四面
体相对的棱两两垂直．

B
（第７题）

第一章空间向量与立体几何１５

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

１３空间向量及其运算的坐标表示

学习了空间向量基本定理，建立了“空间基底”的概
念，我们就可以利用基底表示任意一个空间向量，进而把空
间向量的运算转化为基向量的运算．所以，基底概念的引入
为几何问题代数化奠定了基础．
在平面向量中，我们以平面直角坐标系中与狓轴、狔
轴方向相同的两个单位向量犻，犼为基底，建立了向量的坐
标与点的坐标的一一对应关系，从而把平面向量的运算化归
为数的运算．类似地，为了把空间向量的运算化归为数的运
算，能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建
立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐
标的一一对应呢？下面我们就来研究这个问题．

１３１!"#/0123
我们知道，平面直角坐标系由平面内两条互相垂直、原点重合y
的数轴组成．利用单位正交基底概念，我们还可以这样理解平面直
角坐标系：如图１．３１，在平面内选定一点犗和一个单位正交基底j
｛犻，犼｝，以犗为原点，分别以犻，犼的方向为正方向、以它们的长O i　x
为单位长度建立两条数轴：狓轴、狔轴，那么我们就建立了一个平
面直角坐标系．　图１．３１
类似地，在空间选定一点犗和一个单位正交基底｛犻，犼，犽｝
（图１．３２）．以点犗为原点，分别以犻，犼，犽的方向为正方向、以
它们的长为单位长度建立三条数轴：狓轴、狔轴、狕轴，它们都叫
做坐标轴．这时我们就建立了一个空间直角坐标系犗狓狔狕，犗叫做　z
原点，犻，犼，犽都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐
标平面，分别称为犗狓狔平面，犗狔狕平面，犗狕狓平面，它们把空间k j
分成八个部分．　iO　y
画空间直角坐标系犗狓狔狕时，一般使∠狓犗狔＝１３５°（或４５°），x
∠狔犗狕＝９０°．　图１．３２
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向狓轴的正方向，食指
１６第一章空间向量与立体几何

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

指向狔轴的正方向，如果中指指向狕轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
本书建立的坐标系都是右手直角坐标系．



在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可用一对有序实数（即它的坐标）表
示．对空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类似的表示呢？
在空间直角坐标系犗狓狔狕中（图１．３３），犻，犼，犽为坐标向量，对空间任意一点犃，
对应一个向量犗犃→，且点犃的位置由向量犗犃→唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一
的有序实数组（狓，狔，狕），使
犗犃→＝狓犻＋狔犼＋狕犽．
在单位正交基底｛犻，犼，犽｝下与向量犗犃→对应的有序实数组（狓，狔，狕），叫做点
犃在空间直角坐标系中的坐标，记作犃（狓，狔，狕），其中狓叫做点犃的横坐标，狔叫做
点犃的纵坐标，狕叫做点犃的竖坐标．

x

x

图１．３３　图１．３４
在空间直角坐标系犗狓狔狕中，给定向量犪，作犗犃→＝犪
（图１．３４）．由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组
（狓，狔，狕），使　符号（狓，狔，狕）具
犪＝狓犻＋狔犼＋狕犽．　有双重意义，它既可以表
有序实数组（狓，狔，狕）叫做犪在空间直角坐标系犗狓狔狕中示向量，也可以表示点，
的坐标，上式可简记作　在表述时要注意区分．
犪＝（狓，狔，狕）．
这样，在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三
个有序实数表示．



在空间直角坐标系犗狓狔狕中，对空间任意一点犃，或任意一个向量犗犃→，你能借
助几何直观确定它们的坐标（狓，狔，狕）吗？

第一章空间向量与立体几何１７

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

事实上，如图１．３５，过点犃分别作垂直于狓轴、狔轴
和狕轴的平面，依次交狓轴、狔轴和狕轴于点犅，犆和犇．你能给出证明吗？
可以证明犗犃→在狓轴、狔轴、狕轴上的投影向量分别为犗犅→，
犗犆→，犗犇→，且犗犃→＝犗犅→＋犗犆→＋犗犇→．设点犅，犆和犇在狓　z
轴、狔轴和狕轴上的坐标分别是狓，狔和狕，那么点犃（向　D
量犗犃→）的坐标为（狓，狔，狕）．　A

例１如图１．３６，在长方体犗犃犅犆犇′犃′犅′犆′中，犗犃＝　B i
３，犗犆＝４，犗犇′＝２，以１犗犃→，１犗犆→，１犗犇′→为单位正x

交基底，建立如图所示的空间直角坐标系｛３４犗狓狔狕．２｝

图１．３５

（１）写出犇′，犆，犃′，犅′四点的坐标；
（２）写出向量犃′犅→′，犅′犅→，犃′犆→′，犃犆→′的坐标．
解：（１）点犇′在狕轴上，且犗犇′＝２，所以犗犇→′＝０犻＋
０犼＋２犽．所以点犇′的坐标是（０，０，２）．

z
D

A

O

C

B
C
y

A

B

同理，点犆的坐标是（０，４，０）．　x
点犃′在狓轴、狔轴、狕轴上的射影分别为犃，犗，犇′，　图１．３６
它们在坐标轴上的坐标分别为３，０，２，所以点犃′的坐标
是（３，０，２）．
点犅′在狓轴、狔轴、狕轴上的射影分别为犃，犆，犇′，它们在坐标轴上的坐标分别为
３，４，２，所以点犅′的坐标是（３，４，２）．
（２）犃′犅→′＝犗犆→＝０犻＋４犼＋０犽＝（０，４，０）；
犅′犅→＝－犗犇→′＝０犻＋０犼－２犽＝（０，０，－２）；
犃′犆→′＝犃′犇→′＋犇′犆→′＝－３犻＋４犼＋０犽＝（－３，４，０）；
犃犆→′＝犃犗→＋犗犆→＋犆犆→′＝－３犻＋４犼＋２犽＝（－３，４，２）．



１．在空间直角坐标系中标出下列各点：
犃（０，２，４），犅（１，０，５），犆（０，２，０），犇（１，３，４）．
２．在空间直角坐标系犗狓狔狕中，
（１）哪个坐标平面与狓轴垂直？哪个坐标平面与狔轴垂直？哪个坐标A

平面与狕轴垂直？
（２）写出点犘（２，３，４）在三个坐标平面内的射影的坐标．
（３）写出点犘（１，３，５）关于原点成中心对称的点的坐标．
３．在长方体犗犃犅犆犇′犃′犅′犆′中，犗犃＝３，犗犆＝４，犗犇′＝３，犃′犆′与
犅′犇′相交于点犘，建立如图所示的空间直角坐标系犗狓狔狕．
１８第一章空间向量与立体几何

z
D

P B

C
O
xA
（第３题）

C

y
B

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

（１）写出点犆，犅′，犘的坐标；
（２）写出向量犅犅→′，犃′犆→′的坐标．
４．已知点犅是点犃（３，４，５）在坐标平面犗狓狔内的射影，求｜犗犅→｜．

１３２!"#$%)*&+,-.



有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的
坐标表示并给出证明吗？

设
犪＝（犪１，犪２，犪３），犫＝（犫１，犫２，犫３），
与平面向量运算的坐标表示一样，我们有：
犪＋犫＝（犪１＋犫１，犪２＋犫２，犪３＋犫３），
犪－犫＝（犪１－犫１，犪２－犫２，犪３－犫３），
λ犪＝（λ犪１，λ犪２，λ犪３），λ∈犚，
犪·犫＝犪１犫１＋犪２犫２＋犪３犫３．
下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示．
设｛犻，犼，犽｝为空间的一个单位正交基底，则
犪＝犪１犻＋犪２犼＋犪３犽，犫＝犫１犻＋犫２犼＋犫３犽，　其他运算的坐标表示
所以　可以类似证明，请同学们
犪·犫＝（犪１犻＋犪２犼＋犪３犽）·（犫１犻＋犫２犼＋犫３犽）． 自己完成．
利用向量数量积的分配律以及
犻·犻＝犼·犼＝犽·犽＝１，犻·犼＝犼·犽＝犽·犻＝０，
得
犪·犫＝犪１犫１＋犪２犫２＋犪３犫３．
由上述结论可知，空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致
的．例如，我们有：
一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．
类似平面向量运算的坐标表示，我们还可以得到：
当犫≠０时，犪∥犫犪＝λ犫犪１＝λ犫１，犪２＝λ犫２，犪３＝λ犫３（λ∈犚）；
当犪≠０，犫≠０时，犪⊥犫犪·犫＝０犪１犫１＋犪２犫２＋犪３犫３＝０；
｜犪｜＝槡犪·犪＝槡犪２１＋犪２２＋犪２３；

第一章空间向量与立体几何１９

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

ｃｏｓ〈犪，犫〉＝犪·犫＝犪１犫１＋犪２犫２＋犪３犫３．
｜犪｜｜犫｜槡犪２１＋犪２２＋犪２３槡犫２１＋犫２２＋犫２３



你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？
如图１．３７建立空间直角坐标系犗狓狔狕，设犘１（狓１，狔１，狕１），
犘２（狓２，狔２，狕２）是空间中任意两点，则
犘１犘→２＝犗犘→２－犗犘→１＝（狓２－狓１，狔２－狔１，狕２－狕１）．

z
P1
P2

于是

iOj

y

犘１犘→２＝槡犘１犘→２·犘１犘→２　x
＝槡（狓２－狓１）２＋（狔２－狔１）２＋（狕２－狕１）２．　图１．３７
所以
犘１犘２＝犘１犘→２＝槡（狓２－狓１）２＋（狔２－狔１）２＋（狕２－狕１）２．
这就是空间两点间的距离公式．
将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来，不仅可以解决夹角和距离的计算问
题，而且可以使一些问题的解决变得简单．
例２如图１．３８，在正方体犃犅犆犇犃１犅１犆１犇１中，　Dz1　C1
犈，犉分别是犅犅１，犇１犅１的中点．求证犈犉⊥犇犃１．　A1　F
→→　B1
分析：要证明犈犉⊥犇犃１，只要证明犈犉⊥犇犃１，即证
犈犉→·犇犃→１＝０．我们只要用坐标表示犈犉→，犇犃→１，并进行　D　E C

O

y

数量积运算即可．

A

B

证明：不妨设正方体的棱长为１，建立如图１．３８所示　图１．３８
的空间直角坐标系犗狓狔狕，则

犈（１，１，１２），犉（１２，１２，１），
所以犈犉→＝（－１２，－１２，１２）．　体会到根据问题的特点你能从本题的解答中，

又犃１（１，０，１），犇（０，０，０），
所以犇犃→１＝（１，０，１）．
所以→·→１ ，，１·（，，） 并通过向量及其坐标的运

建立适当的空间直角坐标
系，用向量表示相关元素，

犈犉→犇犃→＝（－１２－１２２）１０１＝０．算求解问题的基本思路吗？

所以犈犉⊥犇犃１，即犈犉⊥犇犃１．
２０第一章空间向量与立体几何

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

例３如图１．３９，在棱长为１的正方体犃犅犆犇Dz1F1
犃１犅１犆１犇１中，犕为犅犆１的中点，犈１，犉１分别在棱
犃１犅１，犆１犇１上，犅１犈１＝１犃１犅１，犇１犉１＝１犆１犇１．
４
（１）求犃犕的长．
（２）求犅犈１与犇犉１所成角的余弦值．
分析：（１）利用条件建立适当的空间直角坐标系，写
出点犃，犕的坐标，利用空间两点间的距离公式求出犃犕
的长．（２）犅犈１与犇犉１所成的角就是犅犈→１，犇犉→１所成的角或它的补角．因此，可以通过
犅犈→１，犇犉→１的坐标运算得到结果．
解：（１）建立如图１．３９所示的空间直角坐标系犗狓狔狕，则点犃的坐标为（１，０，

C1
A1
M
４
A
x
图１．３９

E1B1
DO
B

Cy

０），点犕的坐标为（１２，１，１２）．于是２

２

犃犕＝ ＋（１－０）２＋ ＝槡６．

（２）由已知，得槡（１２－１）（１２－０）２
犅（１，１，０），犈１（１，３４，１），犇（０，０，０），犉１（０，１４，１），
所以犅犈→１＝１（，３４，１）－（１，１，０）＝０（，－１４，１），
犇犉→１＝０（，１４，１）－（０，０，０）＝０（，１４，１），

｜犅犈→１｜＝槡１７，｜犇犉→１｜＝槡１７．
４　４
所以

犅犈→１·犇犉→１＝０×０＋（－１４×１４）＋１×１＝１５１６．

所以
→→犅犈→１·犇犉→１
ｃｏｓ〈犅犈１，犇犉１〉＝犅犈→１｜犇犉→１｜
１５

＝１６＝１１５７．
槡１７４×槡１７４

所以，犅犈１与犇犉１所成角的余弦值是１５．
１７
第一章空间向量与立体几何２１

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用



１．已知犪＝（－３，２，５），犫＝（１，５，－１），求：
（１）犪＋犫；（２）６犪；（３）３犪－犫；（４）犪·犫．
２．已知犪＝（２，－１，３），犫＝（－４，２，狓），且犪⊥犫．求狓的值．
３．在狕轴上求一点犕，使点犕到点犃（１，０，２）与点犅（１，－３，１）的距离相等．
４．如图，正方体犗犃犅犆犇′犃′犅′犆′的棱长为犪，点犖，犕分别在犃犆，犅犆′上，犃犖＝２犆犖，犅犕＝
２犕犆′，求犕犖的长．

D

C

D1

C1

A

M

B

B1

A1

（第４题）　（第５题）
５．如图，在正方体犃犅犆犇犃１犅１犆１犇１中，犕是犃犅的中点，求犇犅１与犆犕所成角的余弦值．

习题１．３



１．在空间直角坐标系犗狓狔狕中，三个非零向量犪，犫，犮分别平行于狓轴、狔轴、狕轴，它们的坐
标各有什么特点？
２．犕（狓，狔，狕）是空间直角坐标系犗狓狔狕中的一点，写出满足下列条件的点的坐标：
（１）与点犕关于狓轴对称的点；
（２）与点犕关于狔轴对称的点；
（３）与点犕关于狕轴对称的点；　z
（４）与点犕关于原点对称的点．　D
E C

３．如图，正方体犗犃犅犆犇′犃′犅′犆′的棱长为犪，犈，犉，犌，犎， A
F　B

犐，犑分别是棱犆′犇′，犇′犃′，犃′犃，犃犅，犅犆，犆犆′的中点，　J
写出正六边形犈犉犌犎犐犑各顶点的坐标．　G

O

C y

４．先在空间直角坐标系中标出犃，犅两点，再求它们之间的距离： A
（１）犃（２，３，５），犅（３，１，４）；
（２）犃（６，０，１），犅（３，５，７）．

I
x H B
（第３题）

２２第一章空间向量与立体几何

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

５．已知犪＝（２，－３，１），犫＝（２，０，３），犮＝（０，０，２）．求：
（１）犪·（犫＋犮）；（２）犪＋６犫－８犮．



６．求证：以犃（４，１，９），犅（１０，－１，６），犆（２，４，３）为顶点的三角形是等腰直角三角形．
７．已知犃（３，５，－７），犅（－２，４，３），求犃犅→，犅犃→，线段犃犅的中点坐标及线段犃犅的长．



D1

C1

８．如图，在正方体犃犅犆犇犃１犅１犆１犇１中，犕，犖分别为棱犃１犃A1
和犅１犅的中点，求犆犕和犇１犖所成角的余弦值．
９．｛犪，犫，犮｝是空间的一个单位正交基底，向量狆＝犪＋２犫＋３犮，M D
｛犪＋犫，犪－犫，犮｝是空间的另一个基底，用基底｛犪＋犫，犪－犫，
犮｝表示向量狆．
（第８题）

B1
N
C
A

B

 

向量概念的推广与应用
我们知道，在平面内取定单位正交基底建立坐标系后，任意一个平面向量，
都可以用二元有序实数对（犪１，犪２）表示．平面向量又称为二维向量．给定空间
一个单位正交基底，任意一个空间向量，都可用三元有序实数组（犪１，犪２，犪３）
表示．空间向量又称为三维向量．二维向量、三维向量统称为几何向量．
在实际问题中，经常会遇到一些需要用更多实数来表示的量．比如：期末进
行了五门学科的考试，每个学生的成绩可用顺序排列的五科成绩来表示；在汽车
生产线上，对装配好的汽车进行制动距离、最高车速、每１００千米油耗、滑行距
离、噪声、废气排放量等六项指标的测试，那么每辆新车质量可用六元有序实数
组（犪１，犪２，犪３，犪４，犪５，犪６）表示．
一般地，狀元有序实数组（犪１，犪２，…，犪狀）称为狀维向量，它是几何向量
的推广．狀维向量的全体构成的集合，赋予相应的结构后，叫做狀维向量空间．
它的每一个元素可看成狀维向量空间的一点．特别地，对狀维向量空间赋予数量
积运算，可以得到狀维欧氏空间．
类似二维向量，对于狀维向量，也可定义两个向量的加法运算、减法运算、
数乘运算、两个向量的数量积、向量的长度（模）、两点间的“距离”等：

第一章空间向量与立体几何２３

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

设犪＝（犪１，犪２，…，犪狀），犫＝（犫１，犫２，…，犫狀），则
犪±犫＝（犪１，犪２，…，犪狀）±（犫１，犫２，…，犫狀）
＝（犪１±犫１，犪２±犫２，…，犪狀±犫狀）；
λ犪＝λ（犪１，犪２，…，犪狀）＝（λ犪１，λ犪２，…，λ犪狀），λ∈犚；
犪·犫＝（犪１，犪２，…，犪狀）·（犫１，犫２，…，犫狀）＝犪１犫１＋犪２犫２＋…＋犪狀犫狀；
｜犪｜＝槡犪２１＋犪２２＋…＋犪狀２．
狀维向量空间中犃（犪１，犪２，…，犪狀），犅（犫１，犫２，…，犫狀）两点间的“距离”
犱犃犅＝槡（犫１－犪１）２＋（犫２－犪２）２＋…＋（犫狀－犪狀）２．
利用向量的运算可以解决许多实际问题．
例如，为了研究某种商品的销售量是否随季节的变化出现规律性的变化，采
集了５年内这种商品每月销售量的数据．每年此商品的销售量可用１２个月的销
售量所形成的１２维向量表示．不妨设５年的销售向量分别为
犪＝（犪１，犪２，…，犪１２），
犫＝（犫１，犫２，…，犫１２），
犮＝（犮１，犮２，…，犮１２），
犱＝（犱１，犱２，…，犱１２），
犲＝（犲１，犲２，…，犲１２）．
计算这５年的月平均销售向量
１（犪＋犫＋犮＋犱＋犲）．
５
观察这个向量的１２个分量，就可看出这５年内月平均销售量是否与季节的
变化有关．
上面是一个应用向量的加法与数乘运算的例子，下面我们再来看用“距离”
概念解决实际问题的例子．
依据“距离”来分类是一种常用的分类方法．计算每个向量与标准点的距
离，与哪个标准点的距离最近就归哪一类．请看下面的具体例子．
翱翔校服有限公司根据以往制作校服的经验，得出适用于本地区高一新生的
８种校服标准型号及相应的测量指标参数值，如表１所示．
表１
型号 身高／ｃｍ胸围／ｃｍ腰围／ｃｍ肩宽／ｃｍ
ＸＸＳ１５０７６ ６２ ３４
ＸＳ １５５８０ ６６ ３６

２４第一章空间向量与立体几何

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

续表
型号 身高／ｃｍ胸围／ｃｍ腰围／ｃｍ肩宽／ｃｍ
Ｓ　１６０８４ ７０ ３８
Ｍ　１６５８８ ７４ ４０
Ｌ　１７０９２ ７８ ４２
ＸＬ １７５９６ ８２ ４４
ＸＸＬ１８０１００８６ ４６
ＸＸＸＬ１８５１０４９０ ４８
为了给树人中学１０００名高一新生制作校服，翱翔公司测量了每名学生的身
高、胸围、腰围、肩宽等，得到１０００组（每组４个）数据，如何根据这些数据
得出８种标准型号的服装各应制作的套数呢？
我们把测量得到的数据按身高、胸围、腰围、肩宽的顺序排列，则每名学生
的身材可以用四维向量表示，并且可以把它看作四维向量空间中的一个点．这
样，上面的问题用数学语言来描述，就是如何将１０００个点分成８类．一种常用
的分类方法是依据“距离”来分类．８种标准型号为８个标准点，用两点间距离
的计算公式，计算每个学生的身材点与８个标准点的距离，与哪个标准点的距离
最近就归入哪一类．例如，某同学身高为１７２ｃｍ，胸围９５ｃｍ，腰围８０ｃｍ，肩
宽４３ｃｍ，则该同学的身材点可以表示为犘（１７２，９５，８０，４３）．设８种标准型
号分别为点犃（１５０，７６，６２，３４），犅（１５５，８０，６６，３６），犆（１６０，８４，７０，
３８），犇（１６５，８８，７４，４０），犈（１７０，９２，７８，４２），犉（１７５，９６，８２，４４），
犌（１８０，１００，８６，４６），犎（１８５，１０４，９０，４８），分别计算点犘与点犃，犅，
犆，犇，犈，犉，犌，犎的距离，可得犱犘犃≈３５．４，犱犘犅≈２７．５，犱犘犆≈１９．７，
犱犘犇≈１２．０，犱犘犈≈４．２，犱犘犉≈３．９，犱犘犌≈１１．６，犱犘犎≈１９．４．因为犱犘犉最小，
所以该同学的身材点应归类为ＸＬ号．
翱翔校服有限公司只要设计一个小程序，将测量所得的１０００组数据输入计
算机，就可以迅速计算出１０００名学生属于每一类的点数，进而得到８种标准型
号的服装各应制作的套数．
从以上两个例子可以看出，由有序实数组构成的向量，比几何向量的应用更
加广泛．在日常生活和科学研究中，有许多量都可由有序实数组构成的向量来表
示，并可用向量理论研究这些量的性质．

第一章空间向量与立体几何２５

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

１４空间向量的应用

我们已经把向量从平面推广到空间，并利用空间向量解
决了一些有关空间位置关系和度量的问题．我们发现，建立
空间向量与几何要素的对应关系是利用空间向量解决立体几
何问题的关键．本节我们进一步运用空间向量研究立体几何
中有关直线、平面的位置关系和度量问题．

１４１!6"#$%78/(9:;,<=>3
１空间中点、直线和平面的向量表示
我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几
何体的基本元素．因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的
点、直线和平面．



如何用向量表示空间中的一个点？

如图１．４１，在空间中，我们取一定点犗作为基点，那　P p
么空间中任意一点犘就可以用向量犗犘→来表示．我们把向
量犗犘→称为点犘的位置向量．　O
　图１．４１
我们知道，空间中给定一个点犃和一个方向就能唯一确定一条直线犾．如何用向
量表示直线犾？
用向量表示直线犾，就是要利用点犃和直线犾的方向向 a
量表示直线上的任意一点．　B P
如图１．４２，犪是直线犾的方向向量，在直线犾上取犃犅→＝　A
犪，设犘是直线犾上的任意一点，由向量共线的条件可知，　l
点犘在直线犾上的充要条件是存在实数狋，使得　图１．４２
犃犘→＝狋犪，即犃犘→＝狋犃犅→．
２６第一章空间向量与立体几何

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

进一步地，如图１．４３，取定空间中的任意一点犗，可
以得到点犘在直线犾上的充要条件是存在实数狋，使

a
B

P

→→，
犗犘＝犗犃＋狋犪
将犃犅→＝犪代入①式，得
→→→
犗犘＝犗犃＋狋犃犅．
①式和②式都称为空间直线的向量表示式．由此可知，
空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定． 你能证明这个结论吗？

l
①
O
图１．４３
②



一个定点和两个定方向能否确定一个平面？进一步地，一个定点和一个定方向能
否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？
我们知道，平面α可以由α内两条相交直线确定．如图１．４４，设两条直线相交于点
犗，它们的方向向量分别为犪和犫，犘为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，
存在唯一的有序实数对（狓，狔），使得
犗犘→＝狓犪＋狔犫．
这样，点犗与向量犪，犫不仅可以确定平面α，还可以具体表示出α内的任意一点．
这种表示在解决几何问题时有重要作用．

图１．４４　图１．４５
进一步地，如图１．４５，取定空间任意一点犗，可以得
到，空间一点犘位于平面犃犅犆内的充要条件是存在实数狓，
狔，使
犗犘→＝犗犃→＋狓犃犅→＋狔犃犆→．　③ 你能证明这个结论吗？
我们把③式称为空间平面犃犅犆的向量表示式．由此可
知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
我们知道，给定空间一点犃和一条直线犾，则过点犃
且垂直于直线犾的平面是唯一确定的．由此得到启发，我们
第一章空间向量与立体几何２７

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

可以利用点犃和直线犾的方向向量来确定平面．
如图１．４６，直线犾⊥α．取直线犾的方向向量犪，我们称向量犪为平面α的法向量
（ｎｏｒｍａｌｖｅｃｔｏｒ）．给定一个点犃和一个向量犪，那么过点犃，且以向量犪为法向量的平面
完全确定，可以表示为集合｛犘犪·犃犘→＝０｝．

a　如果另有一条直线
α　A P　犿⊥α，在直线犿上任取向
量犫，犫与犪有什么关系？
图１．４６

例１如图１．４７，在长方体犃犅犆犇犃１犅１犆１犇１中，
犃犅＝４，犅犆＝３，犆犆１＝２，犕是犃犅的中点．以犇为原点，

z
D1

C1

A1

B1

犇犃，犇犆，犇犇１所在直线分别为狓轴、狔轴、狕轴，建立如 D　Cy
图所示的空间直角坐标系．　A　M　B
（１）求平面犅犆犆１犅１的法向量；　x
（２）求平面犕犆犃１的法向量．　图１．４７
分析：（１）平面犅犆犆１犅１与狔轴垂直，其法向量可以直
接写出；（２）平面犕犆犃１可以看成由犕犆→，犕犃→１，犆犃→１中的两个向量所确定，运用法向
量与它们的垂直关系，可转化为数量积运算求得法向量．
解：（１）因为狔轴垂直于平面犅犆犆１犅１，所以狀１＝（０，１，０）是平面犅犆犆１犅１的一个
法向量．
（２）因为犃犅＝４，犅犆＝３，犆犆１＝２，犕是犃犅的中点，所以犕，犆，犃１的坐标分别
为（３，２，０），（０，４，０），（３，０，２）．因此
犕犆→＝（－３，２，０），犕犃→１＝（０，－２，２）．
设狀２＝（狓，狔，狕）是平面犕犆犃１的法向量，则
狀２⊥犕犆→，狀２⊥犕犃→１．
所以
烄狀２·犕犆→＝－３狓＋２狔＝０，
烅·→
烆狀２犕犃１＝－２狔＋２狕＝０．
所以　求平面的法向量，通

烄狓＝２狕，

常只需要求出平面的一个

烅３　法向量．求直线的方向向
烆狔＝狕．　量也是如此．
取狕＝３，则狓＝２，狔＝３．于是狀２＝（２，３，３）是平面
犕犆犃１的一个法向量．
２８第一章空间向量与立体几何

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用



１．判断下列命题是否正确，正确的在括号内打“√”，错误的打“×”．
（１）零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量；　（）
（２）若狏是直线犾的方向向量，则λ狏（λ∈犚）也是直线犾的方向向量；　（）
（３）在空间直角坐标系中，狀＝（０，０，１）是坐标平面犗狓狔的一个法向量．　（）
２．在平行六面体犃犅犆犇犃１犅１犆１犇１中，犃犅→＝犪，犃犇→＝犫，犃犃→１＝犮，犗是犅犇１与犅１犇的交点．以
｛犪，犫，犮｝为空间的一个基底，求直线犗犃的一个方向向量．
３．在长方体犃犅犆犇犃１犅１犆１犇１中，犃犅＝４，犅犆＝３，犆犆１＝２．以犇为原点，以犇犃→，１犇犆→，

１→　｛１３４
２犇犇１｝为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系犗狓狔狕，求平面犃犆犇１的一个法向量．

２空间中直线、平面的平行
我们知道，直线的方向向量和平面的法向量是确定空间中的直线和平面的关键量．那
么是否能用这些向量来刻画空间直线、平面的平行、垂直关系呢？首先来看平行的问题．



由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行关系，可以得到直线的方向向
量、平面的法向量间的什么关系？
如图１．４８，设狌１，狌２分别是直线犾１，犾２的方向向量．由方向向量的定义可知，如
果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平
行，那么这两条直线也平行．所以
犾１∥犾２狌１∥狌２λ∈犚，使得狌１＝λ狌２．

u
l1
l2
u
1

n2
l
n
n1

β

图１．４８　图１．４９　图１．４１０
类似地，如图１．４９，设狌是直线犾的方向向量，狀是平面α的法向量，犾α则
犾∥α狌⊥狀狌·狀＝０．
如图１．４１０，设狀１，狀２分别是平面α，β的法向量，则
α∥β狀１∥狀２λ∈犚，使得狀１＝λ狀２．
第一章空间向量与立体几何２９

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

例２证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个
平面平行，则这两个平面平行．
已知：如图１．４１１，犪β，犫β，犪∩犫＝犘，犪∥α，犫∥α．　b　au
求证：α∥β．　βvP
分析：设平面α的法向量为狀，直线犪，犫的方向向量分别n
为狌，狏，则由已知条件可得狀·狌＝狀·狏＝０，由此可以证明狀 α
与平面β内的任意一个向量垂直，即狀也是β的法向量．　图１．４１１
证明：如图１．４１１，取平面α的法向量狀，直线犪，犫的方向向量狌，狏．
因为犪∥α，犫∥α，所以狀·狌＝０，狀·狏＝０．
因为犪β，犫β，犪∩犫＝犘，
所以对任意点犙∈β，存在狓，狔∈犚，使得犘犙→＝狓狌＋狔狏．
从而狀·犘犙→＝狀·（狓狌＋狔狏）＝狓狀·狌＋狔狀·狏＝０．
所以，向量狀也是平面β的法向量．故α∥β．

例３如图１．４１２，在长方体犃犅犆犇犃１犅１犆１犇１中，犃犅＝４，犅犆＝３，犆犆１＝２．线
段犅１犆上是否存在点犘，使得犃１犘∥平面犃犆犇１？
分析：根据条件建立适当的空间直角坐标系，那么问题中z
涉及的点、向量犅１犆→，犃１犘→，以及平面犃犆犇１的法向量狀等　D1　C1
都可以用坐标表示如果点存在，那么就有·１→，由A1　B1P
．犘　狀犃犘＝０　D　Cy
此通过向量的坐标运算可得结果．　A　B
解：以犇为原点，犇犃，犇犆，犇犇１所在直线分别为狓轴、x
狔轴、狕轴，建立如图１．４１２所示的空间直角坐标系．因为犃， 图１．４１２
犆，犇１的坐标分别为（３，０，０），（０，４，０），（０，０，２），所以
犃犆→＝（－３，４，０），犃犇→１＝（－３，０，２）．
设狀＝（狓，狔，狕）是平面犃犆犇１的法向量，则狀·犃犆→＝０，狀·犃犇→１＝０，即
烄烅－３狓＋４狔＝０，
烆－３狓＋２狕＝０．

烄狓＝２３狕，

所以　烅１
烆狔＝２狕．
取狕＝６，则狓＝４，狔＝３．所以，狀＝（４，３，６）是平面犃犆犇１的一个法向量．
由犃１，犆，犅１的坐标分别为（３，０，２），（０，４，０），（３，４，２），得犃１犅→１＝（０，
４，０），犅１犆→＝（－３，０，－２）．设点犘满足犅１犘→＝λ犅１犆→（０≤λ≤１），则犅１犘→＝（－３λ，
０，－２λ），所以犃１犘→＝犃１犅→１＋犅１犘→＝（－３λ，４，－２λ）．
３０第一章空间向量与立体几何

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

令狀·犃１犘→＝０，得－１２λ＋１２－１２λ＝０，解得λ＝１２，此时犃１犘平面犃犆犇１，这样
的点犘存在．所以，当犅１犘→＝１２犅１犆→，即犘为犅１犆的中点时，犃１犘∥平面犃犆犇１．



１．用向量方法证明“直线与平面平行的判定定理”：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则
该直线与此平面平行．
２．如图，在四面体犃犅犆犇中，犈是犅犆的中点．直线犃犇上是否存在点犉，使得犃犈∥犆犉？

B
E
C

D
A

DE
B

C

（第２题）　（第３题）
３．如图，在正方体犃犅犆犇犃１犅１犆１犇１中，犈，犉分别是面犃犅１，面犃１犆１的中心．求证：犈犉∥平
面犃犆犇１．

３空间中直线、平面的垂直



类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平
面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？
一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；直线与平面垂直，就是直线
的方向向量与平面的法向量平行；平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直．
如图１．４１３（１），设直线犾１，犾２的方向向量分别为狌１，狌２，则
犾１⊥犾２狌１⊥狌２狌１·狌２＝０．

u1
α

α
l1

α

（１）　（２）　（３）
图１．４１３
如图１．４１３（２），设直线犾的方向向量为狌，平面α的法向量为狀，则
第一章空间向量与立体几何３１

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

犾⊥α狌∥狀λ∈犚，使得狌＝λ狀．
如图１．４１３（３），设平面α，β的法向量分别为狀１， 我们随时随地看到向
狀２，则　量运算的作用，你同意“向
α⊥β狀１⊥狀２狀１·狀２＝０．　量是躯体，运算是灵魂”
“没有运算的向量只能起
路标的作用”的说法吗？
例４如图１．４１４，在平行六面体犃犅犆犇犃１犅１犆１犇１
中，犃犅＝犃犇＝犃犃１＝１，∠犃１犃犅＝∠犃１犃犇＝∠犅犃犇＝
６０°，求证：直线犃１犆⊥平面犅犇犇１犅１．　D1　C1
→→→　A1　B1
分析：根据条件，可以｛犃犅，犃犇，犃犃１｝为基底，并
用基向量表示犃１犆→和平面犅犇犇１犅１，再通过向量运算证明D　C
１→是平面１１的法向量即可　A　B
犃犆犅犇犇犅　．
证明：设犃犅→＝犪，犃犇→＝犫，犃犃→１＝犮，则｛犪，犫，犮｝为 图１．４１４
空间的一个基底，且
犃１犆→＝犪＋犫－犮，犅犇→＝犫－犪，犅犅→１＝犮．
因为犃犅＝犃犇＝犃犃１＝１，∠犃１犃犅＝∠犃１犃犇＝∠犅犃犇＝６０°，所以

犪２＝犫２＝犮２＝１，犪·犫＝犫·犮＝犮·犪＝１２．

在平面犅犇犇１犅１上，取犅犇→，犅犅→１为基向量，则对于平面犅犇犇１犅１上任意一点犘，
存在唯一的有序实数对（λ，μ），使得
犅犘→＝λ犅犇→＋μ犅犅→１．
所以，
犃１犆→·犅犘→＝λ犃１犆→·犅犇→＋μ犃１犆→·犅犅→１
＝λ（犪＋犫－犮）·（犫－犪）＋μ（犪＋犫－犮）·犮＝０．
所以犃１犆→是平面犅犇犇１犅１的法向量．
所以犃１犆⊥平面犅犇犇１犅１．

例５证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面ul
过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．
已知：如图１．４１５，犾⊥α，犾β，　α
求证：α⊥β．　图１．４１５
证明：取直线犾的方向向量狌，平面β的法向量狀．
因为犾⊥α，所以狌是平面α的法向量．
因为犾β，而狀是平面β的法向量，所以狌⊥狀．
所以α⊥β．

３２第一章空间向量与立体几何

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用



１．已知狌＝（３，犪＋犫，犪－犫）（犪，犫∈犚）是直线犾的方向向量，狀＝（１，２，３）是平面α的法向量．
（１）若犾∥α，求犪，犫的关系式；（２）若犾⊥α，求犪，犫的值．
２．已知正方体犃犅犆犇犃１犅１犆１犇１的棱长为１，以犇为原点，｛犇犃→，　D1　C1
→，→｝　：　A1　B1
犇犆犇犇１为单位正交基底建立空间直角坐标系．求证犃１犆
⊥犅犆１．　D E　C
３．如图，在长方体犃犅犆犇犃１犅１犆１犇１中，犃犅＝２，犅犆＝犆犆１＝１， A　BF
犈是犆犇的中点，犉是犅犆的中点．求证：平面犈犃犇１⊥平　（第３题）
面犈犉犇１．

１４２!6"#$%78?@9A0BC
我们知道，立体几何中的距离问题包括点到直线、点到平面、两条平行直线以及两个
平行平面的距离问题等．如何用空间向量解决这些距离问题呢？
下面我们先研究用向量方法求直线犾外一点犘到直线犾的距离．



已知直线犾的单位方向向量为狌，犃是直线犾上的定点，犘是直线犾外一点．如
何利用这些条件求点犘到直线犾的距离？
如图１．４１６，向量犃犘→在直线犾上的投影向量为犃犙→，则　u P
△犃犘犙是直角三角形．因为犃，犘都是定点，所以犃犘→，犃犘→与
狌的夹角∠犘犃犙都是确定的．于是可求犃犙→．再利用勾股定理，
可以求出点犘到直线犾的距离犘犙．　A　l
设犃犘→＝犪，则向量犃犘→在直线犾上的投影向量犃犙→＝（犪·狌）狌． 图１．４１６
在Ｒｔ△犃犘犙中，由勾股定理，得
犘犙＝槡犃犘→２－犃犙→２＝槡犪２－（犪·狌）２．



类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？

我们再来看平面α外一点犘到平面α的距离问题．
如图１．４１７，已知平面α的法向量为狀，犃是平面α内的定点，犘是平面α外一点．
过点犘作平面α的垂线犾，交平面α于点犙，则狀是直线犾的方向向量，且点犘到平面α
第一章空间向量与立体几何３３

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

的距离就是犃犘→在直线犾上的投影向量犙犘→的长度．因此
→狀犃犘→·狀犃犘→·狀
犘犙＝犃犘·狀＝狀＝狀．
类似地，请同学们研究如何求两个平行平面的距离．

l
n
α
A

P

例６如图１．４１８，在棱长为１的正方体犃犅犆犇图１．４１７
犃１犅１犆１犇１中，犈为线段犃１犅１的中点，犉为线段犃犅的中点．
（１）求点犅到直线犃犆１的距离；
（２）求直线犉犆到平面犃犈犆１的距离．
分析：根据条件建立空间直角坐标系，用坐标表示相关的z
点、直线的方向向量和平面的法向量，再利用有关公式，通过坐 D　C

标运算得出相应的距离．　F B
解：以犇１为原点，犇１犃１，犇１犆１，犇１犇所在直线分别为狓　D1　C1y
轴、狔轴、狕轴，建立如图１．４１８所示的空间直角坐标系，则 A1 E B1
犃（１，０，１），犅（１，１，１），犆（０，１，１），犆１（０，１，０），犈（１， x
１，），（，１，），所以　图１．４１８
２０犉１２１
犃犅→＝（０，１，０），犃犆→１＝（－１，１，－１），犃犈→＝（０，１，－１），
２
犈犆→１＝（－１，１，０），犉犆→＝（－１，１，０），犃犉→＝（０，１，０）．
２　２→　２
（１）取犪＝犃犅→＝（０，１，０），狌＝犃犆→１＝槡３（－１，１，－１），则犪２＝１，犪·狌＝槡３．
犃犆１３　３
所以，点犅到直线犃犆１的距离为

槡犪２－（犪·狌）２＝槡１－１３＝槡３６．

（２）因为犉犆→＝犈犆→１＝（－１，１，０），所以犉犆∥犈犆１，所以犉犆∥平面犃犈犆１．所以点
２
犉到平面犃犈犆１的距离即为直线犉犆到平面犃犈犆１的距离．
设平面犃犈犆１的法向量为狀＝（狓，狔，狕），则
烄狀·犃犈→＝０，
烅烆狀·犈犆→１＝０．
所以
烄１狔－狕＝０，
烅２
－狓＋１狔＝０．
烆２
３４第一章空间向量与立体几何

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

所以
烄烅狓＝狕，
烆狔＝２狕．
取狕＝１，则狓＝１，狔＝２．所以，狀＝（１，２，１）是平面犃犈犆１的一个法向量．
又因为犃犉→＝（０，１，０），所以点犉到平面犃犈犆１的距离为
２
→ （０，１，０）·（１，２，１）
犃犉·狀＝２　＝槡６．
狀　槡６　６
即直线犉犆到平面犃犈犆１的距离为槡６．
６
与用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”类似，我们可以得出用空间向量解决立
体几何问题的“三步曲”：
（１）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平
面，把立体几何问题转化为向量问题；
（２）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角
等问题；
（３）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论．



１．在棱长为１的正方体犃犅犆犇犃１犅１犆１犇１中，点犃到平面犅１犆的距离等于；直线犇犆到平
面犃犅１的距离等于；平面犇犃１到平面犆犅１的距离等于．
２．如图，在棱长为１的正方体犃犅犆犇犃１犅１犆１犇１中，犈为线段犇犇１的中点，犉为线段犅犅１的中点．
（１）求点犃１到直线犅１犈的距离；
（２）求直线犉犆１到直线犃犈的距离；
（３）求点犃１到平面犃犅１犈的距离；
（４）求直线犉犆１到平面犃犅１犈的距离．

D1

C1

D1

C1

A

B1

A

B1

1

1

A

B

A

B

（第２题）　（第３题）
３．如图，在棱长为１的正方体犃犅犆犇犃１犅１犆１犇１中，求平面犃１犇犅与平面犇１犆犅１的距离．
第一章空间向量与立体几何３５

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

与距离类似，角度是立体几何中另一个重要的度量．下面我们用向量方法研究直线与
直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角，先看下列问题．

例７如图１．４１９，在棱长为１的正四面体（四个面都是 A
正三角形）犃犅犆犇中，犕，犖分别为犅犆，犃犇的中点，求直　N
线犃犕和犆犖夹角的余弦值．
分析：求直线犃犕和犆犖夹角的余弦值，可以转化为求向B　D
量犕犃→与犆犖→夹角的余弦值．为此需要把向量犕犃→，犆犖→用适 M
当的基底表示出来，进而求得向量犕犃→，犆犖→夹角的余弦值．　C
解：　图１．４１９
化为向量问题
如图１．４１９，以｛犆犃→，犆犅→，犆犇→｝作为基底，则

犕犃→＝犆犃→－犆犕→＝犆犃→－１２犆犅→，犆犖→＝１２（犆犃→＋犆犇→）．

设向量犆犖→与犕犃→的夹角为θ，则直线犃犕和犆犖夹角的余弦值等于｜ｃｏｓθ｜．
进行向量运算

犆犖→·犕犃→＝１２（犆犃→＋犆犇→）·（犆犃→－１２犆犅→）
＝１２犆犃→２－１４犆犃→·犆犅→＋１２犆犇→·犆犃→－１４犆犇→·犆犅→
＝１２－１８＋１４－１８＝１２．

又△犃犅犆和△犃犆犇均为等边三角形，所以｜犕犃→｜＝｜犆犖→｜＝槡３．
２
→→１

所以ｃｏｓθ＝犆犖→·犕犃→＝２＝２．

｜犆犖｜｜犕犃｜槡３×槡３３
２２
回到图形问题

所以直线犃犕和犆犖夹角的余弦值为２３．



以上我们用向量方法解决了异面直线犃犕和犆犖所成角的问题，你能用向量方
法求直线犃犅与平面犅犆犇所成的角吗？
一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求
３６第一章空间向量与立体几何

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

得．也就是说，若异面直线犾１，犾２所成的角为θ，其方向向量分别是狌，狏，则
ｃｏｓθ＝ｃｏｓ〈狌，狏〉＝狌·狏＝狌·狏．
狌狏狌狏
类似地，直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角．
如图１．４２０，直线犃犅与平面α相交于点犅，设直线犃犅与平面α所成的角为θ，直线犃犅
的方向向量为狌，平面α的法向量为狀，则
ｓｉｎθ＝ｃｏｓ〈狌，狀〉＝狌·狀＝狌·狀．
狌狀狌狀

u

n

θ
B
α

β
C

图１．４２０　图１．４２１
如图１．４２１，平面α与平面β相交，形成四个二面角，
我们把这四个二面角中不大于９０°的二面角称为平面α与平
面β的夹角．　图１．４２１中有几个二
类似于两条异面直线所成的角，若平面α，β的法向量面角？两个平面的夹角与
分别是狀１和狀２，则平面α与平面β的夹角即向量狀１和狀２这两个平面形成的二面角
的夹角或其补角．设平面α与平面的夹角为θ，则　有什么关系？
β
ｃｏｓθ＝ｃｏｓ〈狀１，狀２〉＝狀１·狀２＝狀１·狀２．
狀１狀２狀１狀２
例８如图１．４２２，在直三棱柱犃犅犆犃１犅１犆１中，犃犆＝　z
犆犅＝２，犃犃１＝３，∠犃犆犅＝９０°，犘为犅犆的中点，点犙，　C P B
犚分别在棱犃犃１，犅犅１上，犃１犙＝２犃犙，犅犚＝２犚犅１．求　A
平面犘犙犚与平面犃１犅１犆１夹角的余弦值．　R
分析：因为平面犘犙犚与平面犃１犅１犆１的夹角可以转化
为平面犘犙犚与平面犃１犅１犆１的法向量的夹角，所以只需要　C1　B1y
求出这两个平面的法向量的夹角即可．　A1
解：　x
化为向量问题　图１．４２２
以犆１为原点，犆１犃１，犆１犅１，犆１犆所在直线为狓轴、狔轴、狕轴，建立如图１．４２２
所示的空间直角坐标系．设平面犃１犅１犆１的法向量为狀１，平面犘犙犚的法向量为狀２，则平
面犘犙犚与平面犃１犅１犆１的夹角就是狀１与狀２的夹角或其补角．
第一章空间向量与立体几何３７

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

进行向量运算
因为犆１犆⊥平面犃１犅１犆１，所以平面犃１犅１犆１的一个法向量为狀１＝（０，０，１）．
根据所建立的空间直角坐标系，可知犘（０，１，３），犙（２，０，２），犚（０，２，１）．所
以犘犙→＝（２，－１，－１），犘犚→＝（０，１，－２）．设狀２＝（狓，狔，狕），则
烄狀２·犘犙→＝０，
烅２·→，
烆狀犘犚＝０
所以　烄烅２狓－狔－狕＝０，
烆狔－２狕＝０．

所以

烄狓＝３２狕，

烅
烆狔＝２狕．
取狀２＝（３，４，２），则

ｃｏｓ〈狀１，狀２〉＝狀１１·狀２２＝（０，０，１）·（３，４，２）＝２槡２９．

｜狀｜｜狀｜ １×槡２９２９
回到图形问题
设平面犘犙犚与平面犃１犅１犆１的夹角为θ，则

ｃｏｓθ＝ｃｏｓ〈狀１，狀２〉＝２槡２９２９．

即平面犘犙犚与平面犃１犅１犆１的夹角的余弦值为２槡２９．
２９



１．在直三棱柱犃犅犆犃１犅１犆１中，∠犅犆犃＝９０°，犇１，犉１分别是犃１犅１，犃１犆１的中点，犅犆＝犆犃＝
犆犆１，则犅犇１与犃犉１所成角的余弦值是（）．
（Ａ）槡３０ （Ｂ）１ （Ｃ）槡３０ （Ｄ）槡１５
１０ ２ １５
２．犘犃，犘犅，犘犆是从点犘出发的三条射线，每两条射线的夹角均为
６０°，那么直线犘犆与平面犘犃犅所成角的余弦值是（）．
（Ａ）１ （Ｂ）槡２（Ｃ）槡３ （Ｄ）槡６
２
３．如图，正三棱柱犃犅犆犃１犅１犆１的所有棱长都为２，求平面犃犃１犅与
平面犃１犅犆１夹角的余弦值．
４．如图，△犃犅犆和△犇犅犆所在平面垂直，且犃犅＝犅犆＝犅犇，∠犆犅犃
＝∠犇犅犆＝１２０°．求：
（１）直线犃犇与直线犅犆所成角的大小；
（２）直线犃犇与平面犅犆犇所成角的大小；
（３）平面犃犅犇和平面犅犇犆的夹角的余弦值．

A
１０
C
B
２ ３
３
A
B
D
（第４题）

A1
C1
B1
３
C

（第题）

３８第一章空间向量与立体几何

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

例９图１．４２３为某种礼物降落伞的示意图，其中有８根绳
子和伞面连接，每根绳子和水平面的垂线的夹角均为３０°．已知
礼物的质量为１ｋｇ，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀
速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度犵取
９．８ｍ／ｓ２，精确到０．０１Ｎ）．
分析：因为降落伞匀速下落，所以降落伞８根绳子拉力的合
力的大小等于礼物重力的大小．８根绳子的拉力在水平面的垂线
上的投影向量的和向量与礼物的重力是一对相反向量．　图１．４２３
解：如图１．４２４，设水平面的单位法向量为狀，其中一根绳
子的拉力为犉．因为〈狀，犉〉＝３０°，所以犉在狀上的投影向量为23Fn　F

｜槡２３犉｜狀．所以８根绳子拉力的合力

n

犉合＝８×槡３犉狀＝４槡３犉狀．
２　图１．４２４
又因为降落伞匀速下落，所以
犉合＝犌礼物＝１×９．８＝９．８（Ｎ）．
所以
４槡３犉狀＝９．８．
所以
犉＝９．８≈１．４１（Ｎ）．
４槡３
例１０如图１．４２５，在四棱锥犘犃犅犆犇中，底面犃犅犆犇P
是正方形，侧棱犘犇⊥底面犃犅犆犇，犘犇＝犇犆，犈是犘犆的中　F E
点，作犈犉⊥犘犅交犘犅于点犉．
（１）求证：犘犃∥平面犈犇犅；　D　C
（２）求证：犘犅⊥平面犈犉犇；　A　B
（３）求平面犆犘犅与平面犘犅犇的夹角的大小．　图１．４２５
分析：本题涉及的问题包括：直线与平面平行和垂直的判定，计算两个平面的夹角．
这些问题都可以利用向量方法解决．由于四棱锥的底面是正方形，而且一条侧棱垂直于底
面，可以利用这些条件建立适当的空间直角坐标系，用向量及坐标表示问题中的几何元
素，进而解决问题．
解：以犇为原点，犇犃，犇犆，犇犘所在直线分别为狓轴、狔轴、狕轴，建立如
图１．４２６所示的空间直角坐标系，设犇犆＝１．
第一章空间向量与立体几何３９

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

（１）证明：连接犃犆，交犅犇于点犌，连接犈犌．

z

依题意得犃（１，０，０），犘（０，０，１），犈（０，１２，１２）．

F E

因为底面犃犅犆犇是正方形，所以点犌是它的中心，故点犌的 D

C

坐标为（１２，１２，０），且犘犃→＝（１，０，－１），犈犌→＝（１２，０，－１２）．A

G B y

所以犘犃→＝２犈犌→，即犘犃∥犈犌．　x
而 平面，且 平面，因此平 图１．４２６
犈犌犈犇犅犘犃犈犇犅犘犃∥
面犈犇犅．
（２）证明：依题意得
犅（１，１，０），犘犅→＝（１，１，－１）．
又犇犈→＝０，１，１，故

（２２）→·→

犘犅犇犈＝０＋１２－１２＝０．

所以犘犅⊥犇犈．
由已知犈犉⊥犘犅，且犈犉∩犇犈＝犈，
所以犘犅⊥平面犈犉犇．
（３）解：已知犘犅⊥犈犉，由（２）可知犘犅⊥犇犉，故∠犈犉犇是二面角犆犘犅犇的平
面角．
设点犉的坐标为（狓，狔，狕），则犘犉→＝（狓，狔，狕－１）．
因为犘犉→＝犽犘犅→，所以
（狓，狔，狕－１）＝犽（１，１，－１）＝（犽，犽，－犽），即狓＝犽，狔＝犽，狕＝１－犽．
由（２）可知犘犅→·犇犉→＝０，则
（１，１，－１）·（犽，犽，１－犽）＝犽＋犽－１＋犽＝３犽－１＝０．

所以犽＝１３，点犉的坐标为（１３，１３，２３）．
又点犈的坐标为（０，１２，１２），所以
犉犈→＝（－１３，１６，－１６）．
所以ｃｏｓ∠犈犉犇＝犉犈→→·犉犇→→＝（－１３，１６，－１６）·（－１３，－１３，－２３）＝１．

犉犈犉犇

槡６槡６

２

６×３

所以∠犈犉犇＝６０°，即平面犆犘犅与平面犘犅犇的夹角大小为６０°．

４０第一章空间向量与立体几何

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

通过本节的学习，你对立体几何中的向量法是否有了一定的认识？请结合例题就下面
的框图谈谈体会．
用空间向量表示立体进行空间向量的运 把运算结果“翻
图形中点、直线、平→算，研究点、直线、→译”成相应的几
面等元素　平面之间的关系何意义
解决立体几何中的问题，可用三种方法：综合法、向量法、坐标法．你能说出它们各
自的特点吗？
综合法以逻辑推理作为工具解决问题；向量法利用向量的概念及其运算解决问题，如
本节的例７、例９；坐标法利用数及其运算来解决问题，坐标法经常与向量法结合起来使
用，如本节的例６，例８，例１０．对于具体的问题，应根据它的条件和所求选择合适的
方法．



１．如图，二面角α犾β的棱上有两个点犃，犅，线段犅犇与犃犆分别在这个二面角的两个面内，并且都
垂直于棱犾．若犃犅＝４，犃犆＝６，犅犇＝８，犆犇＝２槡１７，求平面α与平面β的夹角．

B
l
N
β

D
AB
C
D

O
C

B

（第１题）　（第２题）　（第３题）
２．如图，在三棱锥犃犅犆犇中，犃犅＝犃犆＝犅犇＝犆犇＝３，犃犇＝犅犆＝２，犕，犖分别是犃犇，犅犆的中
点．求异面直线犃犖，犆犕所成角的余弦值．
３．如图，在三棱锥犗犃犅犆中，犗犃，犗犅，犗犆两两垂直，犗犃＝犗犆＝３，犗犅＝２．求直线犗犅与平面
犃犅犆所成角的正弦值．

习题１．４



１．如图，在三棱锥犃犅犆犇中，犈是犆犇的中点，点犉在犃犈上，且犈犉＝２犉犃．设犅犆→＝犪，
犅犇→＝犫，犅犃→＝犮，求直线犃犈，犅犉的方向向量．
２．如图，在直三棱柱犃犅犆犃１犅１犆１中，犃犅⊥犃犆，犃犅＝犃犆＝１，犃犃１＝２．以犃为原点，建立
如图所示空间直角坐标系．
第一章空间向量与立体几何４１

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

（１）求平面犅犆犆１犅１的法向量；（２）求平面犃１犅犆的法向量．

z
A1
A

C1
B1

B

D

A

C

E
C

B
x

y

（第１题）　（第２题）
３．如图，在平行六面体犃犅犆犇犃１犅１犆１犇１中，犈是犃犅的中点，犉是犆１犇１的中点．求证：
犃１犈∥犆犉．

D

C

B

D

A

E B

C

（第３题）　（第４题）
４．如图，在四面体犃犅犆犇中，犃犇⊥平面犅犆犇，犕是犃犇的中点，犘是犅犕的中点．点犙在线
段犃犆上，且犃犙＝３犙犆．求证：犘犙∥平面犅犆犇．

５．如图，在正方体犃犅犆犇犃１犅１犆１犇１中，点犈在犅犇上，且犅犈＝１３犅犇；点犉在犆犅１上，且
犆犉＝１３犆犅１．求证：（１）犈犉⊥犅犇；（２）犈犉⊥犆犅１．

D1

C1

D1

C1

A1

B1

A1

B1

F
D
C
E
A

DO
C
E
B

A

B

（第５题）　（第６题）
６．如图，在棱长为１的正方体犃犅犆犇犃１犅１犆１犇１中，犗为正方形犃１犃犅犅１的中心，犈为犅犆的
中点，求点犗到直线犃１犈的距离．
７．如图，四面体犗犃犅犆的所有棱长都是１，犇，犈分别是犗犃，犅犆的中点，连接犇犈．
（１）计算犇犈的长；
（２）求点犗到平面犃犅犆的距离．

４２第一章空间向量与立体几何

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

O

A

D
C

M
D

A

E

B

N

B

C

（第７题）　（第８题）
８．如图，四面体犃犅犆犇的每条棱长都等于犪，犕，犖分别是犃犅，犆犇的中点．求证：犕犖⊥
犃犅，犕犖⊥犆犇．
９．如图，犕，犖分别是正方体犃犅犆犇犃′犅′犆′犇′的棱犅犅′和犅′犆′的中点，求：
（１）犕犖和犆犇′所成角的大小；（２）犕犖和犃犇所成角的大小．

D

N
A

C

B

D1 H C1
A

B1G

A

B

A E B

（第９题）　（第１０题）
１０．如图，在正方体犃犅犆犇犃１犅１犆１犇１中，犈，犉，犌，犎，犓，犔分别是犃犅，犅犅１，犅１犆１，
犆１犇１，犇１犇，犇犃各棱的中点．
（１）求证：犃１犆⊥平面犈犉犌犎犓犔；
（２）求犇犅１与平面犈犉犌犎犓犔所成角的余弦值．



１１．如图，在长方体犃犅犆犇犃１犅１犆１犇１中，犃犅＝２，犅犆＝犆犆１＝１，犈是犆犇的中点．求证：
犅１犈⊥平面犃犈犇１．

D1
D1
A1
A1

C1
C1
B1

G
F

B1
P

E
D
E
A

C
R
B

D
A

C
B

（第１１题）　（第１２题）
１２．如图，在长方体犃犅犆犇犃１犅１犆１犇１中，点犈，犉，犌分别在棱犃１犃，犃１犅１，犃１犇１上，
犃１犈＝犃１犉＝犃１犌＝１；点犘，犙，犚分别在棱犆犆１，犆犇，犆犅上，犆犘＝犆犙＝犆犚＝１．求
证：平面犈犉犌∥平面犘犙犚．
第一章空间向量与立体几何４３

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

１３．如图，已知正方体犃犅犆犇犃１犅１犆１犇１的棱长为１，犈为犆犇的中点，求点犇１到平面犃犈犆１
的距离．

D1

C1

D1

C1

D1

C1

A1

B1

A1

B1

A

B1

O
D E
C

M D
C

D
P

C

A

B

A

B

A

B

（第１３题）　（第１４题）　（第１５题）
１４．如图，正方体犃犅犆犇犃１犅１犆１犇１的棱长为１，犕是棱犃犃１的中点，犗是犅犇１的中点．求
证：犗犕分别与异面直线犃犃１，犅犇１垂直，并求犗犕的长．
１５．如图，已知正方体犃犅犆犇犃１犅１犆１犇１的棱长为１，犙为犅１犆１的中点，点犘在棱犃犃１上，
犃犘∶犃犃１＝１∶３．求平面犃犅犆犇与平面犅犙犘夹角的余弦值．



１６．如图，在直三棱柱犃犅犆犃１犅１犆１中，∠犅犃犆＝９０°，犃犅＝犃犆＝２，C1　A1
犃犃１＝３．犕是犃犅的中点，犖是犅１犆１的中点，犘是犅犆１与犅１犆　N B1
的交点．在线段犃１犖上是否存在点犙，使得犘犙∥平面犃１犆犕？
１７．在空间直角坐标系中，已知向量狌＝（犪，犫，犮）（犪犫犮≠０），点　P
犘０（狓０，狔０，狕０），点犘（狓，狔，狕）．
（１）若直线犾经过点犘０，且以狌为方向向量，犘是直线犾上的任意C　MA
狓－狓０狔－狔０狕－狕０　B
一点，求证：犪＝犫＝犮；　（第１６题）
（２）若平面α经过点犘０，且以狌为法向量，犘是平面α内的任意一
点，求证：犪（狓－狓０）＋犫（狔－狔０）＋犮（狕－狕０）＝０．
１８．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架犃犅犆犇，犃犅犈犉的边长　C
都是１，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子犕，犖分别在正方
形对角线犃犆和犅犉上移动，且犆犕和犅犖的长度保持相等，记DM

B

E

犆犕＝犅犖＝犪（０＜犪＜槡２）．
（１）求犕犖的长；
（２）犪为何值时，犕犖的长最小？
（３）当犕犖的长最小时，求平面犕犖犃与平面犕犖犅夹角的余弦值．

N
A
（第１８题）

F

４４第一章空间向量与立体几何

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用



D9EFGHIJ


















? 

K9LMNOP

空间向量是研究空间图形的有力工具．本章我们在必修课程学习平面向
量的基础上，利用类比方法，学习空间向量的概念、运算（包括线性运算和
数量积）、基本定理，并运用空间向量研究空间基本图形的平行、垂直等位
置关系和距离、角度等度量问题．
向量是具有大小和方向的量，这一概念既适用于平面，也适用于空间．
平面内的向量都可以看作空间中的向量，因此空间向量的概念、表示和平面
向量是一致的．由于任意两个空间向量都可以平移到一个平面内，因此两个
空间向量的运算可以看作两个平面向量的运算，它们的加法、数乘、数量积
运算也是一致的．
空间向量为我们解决立体几何问题提供了新的工具．向量让几何量带上
了方向，并用统一的符号表示，因此向量运算既是几何的运算也是数的运
算．用空间向量解决立体几何问题，首先要用空间向量表示立体几何问题中
涉及的几何元素，将几何问题转化为向量问题；然后通过空间向量的运算，
研究空间图形之间的平行、垂直等位置关系以及距离、夹角等度量问题；最
后将运算结果“翻译”成相应的几何结论，得到相应立体几何问题的解决．
这个“三步曲”，是立体几何中向量方法的具体化．

第一章空间向量与立体几何４５

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

空间向量的加法、数乘、数量积等运算以及空间向量基本定理是用“向
量法”解决立体几何问题的基础．空间向量基本定理把空间任意一个向量表
示成三个不共面向量的线性运算，在用空间向量解决立体几何问题的过程
中，这种表示发挥了基础性的作用．由空间向量基本定理，我们还可以进一
步得到空间向量及其运算的坐标表示，从而将几何问题完全“代数化”，得
到用空间向量解决立体几何问题的“坐标法”．
请你带着下面的问题，复习一下全章内容吧！
１．空间向量由平面向量推广而来，空间向量与平面向量有许多共同性
质．如果我们把平面看成二维空间，把普通的空间看成三维空间，我们能不
能把向量的概念推广到四维（例如由“长”“宽”“高”“时间”四个维度构
成的空间）、五维等“空间”中去呢？它们是否也与平面向量、空间向量有
许多共同的性质？
２．因为向量可以用有向线段表示，所以我们用几何方式引入空间向量
的运算法则，如向量加法的平行四边形法则．在空间直角坐标系中，我们还
可以把这种由几何方式引入的向量运算转化成代数运算（实数运算）．对于
这样的做法给空间向量运算带来的方便，你有什么体会？
３．同学们对数及其运算比较熟悉，向量虽然与数量不同，但是它也构
成一个运算体系，我们要从“数、量与运算”发展的角度理解向量及其运
算．类比数的运算律，对于向量仍然成立的有哪些？不成立的有哪些？
４．如何理解空间向量可以由三个不共面向量唯一表示？你认为应如何
根据问题的条件选择空间的基底？
５．利用空间向量解决立体几何问题，首先要用空间向量表示空间中的
点、直线、平面这些基本几何元素．在这一过程中，直线的方向向量和平面
的法向量发挥了重要作用．我们是如何利用直线的方向向量和平面的法向量
表示直线和平面的？我们又是如何利用直线的方向向量和平面的法向量刻画
空间直线、平面的平行和垂直关系的？
６．距离和角度是立体几何中的基本度量．本章我们如何把点到直线、
点到平面、平行直线、平行平面间的距离转化为求投影向量长度？如何把直
线与平面、平面与平面所成角的问题转化为直线的方向向量或平面的法向量
之间的夹角？请结合具体实例谈谈你的体会．
７．回顾本章学习过程，你对学习数学新知识、应用数学知识解决问题
的思想方法有什么新认识？请结合下面的框图谈谈你的体会．

４６第一章空间向量与立体几何

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用


   


 



复习参考题１



１．如图，在四面体犗犃犅犆中，犗犃→＝犪，犗犅→＝犫，犗犆→＝犮．点犕在犗犃上，且犗犕＝２犕犃，犖为
犅犆中点，则犕犖→等于（）．

（Ａ）１２犪－２３犫＋１２犮（Ｂ）－２３犪＋１２犫＋１２犮（Ｃ）１２犪＋１２犫－１２犮（Ｄ）２３犪＋２３犫－１２犮

O
N
B

M

A

C

PM

D

A
N
B

C
B

A
C

D

（第１题）　（第２题）
２．如图，在平行六面体犃犅犆犇犃′犅′犆′犇′中，犃犅→＝犪，犃犇→＝犫，犃犃→′＝犮．犘，犕，犖分别是
犆犃′，犆犇′，犆′犇′的中点，点犙在犆犃′上，且犆犙∶犙犃′＝４∶１．用空间的一个基底｛犪，犫，
犮｝表示下列向量：
（１）犃犘→；（２）犃犕→；（３）犃犖→；（４）犃犙→．
３．如图，在直三棱柱犃犅犆犃１犅１犆１中，∠犃犅犆＝９０°，犆犅＝１，犆犃＝２，犃犃１＝槡６，犕是犆犆１
的中点．求证：犃犕⊥犅犃１．

B1
C1
A1

A1
B1

C1

M
B

C
A

C

A

B

（第３题）

（第４题）

第一章空间向量与立体几何４７

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

４．如图，正三棱柱犃犅犆犃１犅１犆１的底面边长为犪，侧棱长为槡２犪．
（１）试建立适当的空间直角坐标系，并写出点犃，犅，犃１，犆１的坐标；
（２）求犃犆１与侧面犃犅犅１犃１所成的角．
５．已知空间三点犃（０，２，３），犅（－２，１，６），犆（１，－１，５）．
（１）求以犃犅，犃犆为邻边的平行四边形的面积；
（２）若向量犪分别与犃犅→，犃犆→垂直，且｜犪｜＝槡３，求向量犪的坐标．
６．设空间两个单位向量犗犃→＝（犿，狀，０），犗犅→＝（０，狀，狆）与向量犗犆→＝（１，１，１）的夹角都
等于π，求ｃｏｓ∠犃犗犅的值．
４
７．正三棱柱犃犅犆犃１犅１犆１的侧棱长为２，底面边长为１，犕是犅犆的中点．在直线犆犆１上求一点
犖，使犕犖⊥犃犅１．
８．如图，在棱长为１的正方体犃犅犆犇犃１犅１犆１犇１中，犈，犉，犌分别是犇犇１，犅犇，犅犅１的中点．
（１）求证：犈犉⊥犆犉；
（２）求犈犉与犆犌所成角的余弦值；
（３）求犆犈的长．　C1

（第８题）　（第９题）
９．如图，在直三棱柱犃犅犆犃１犅１犆１中，犆犃＝犆犅＝１，∠犅犆犃＝９０°，犃犃１＝２，犕，犖分别是
犃１犅１，犃１犃的中点．
（１）求犅犖的长；
（２）求ｃｏｓ〈犅犃→１，犆犅→１〉的值；
（３）求证：犃１犅⊥犆１犕．



１０．如图，在平行六面体犃犅犆犇犃′犅′犆′犇′中，底面犃犅犆犇是边长为犪的正方形，侧棱犃犃′的长
为犫，且∠犃′犃犅＝∠犃′犃犇＝１２０°．求：（１）犃犆′的长；（２）直线犅犇′与犃犆所成角的余弦值．

D1
D

A1
A

E
F
D
C
A

C1
C

B1
B

B
C
C
B

S
D
A

B

A D

（第１０题）

（第１１题）

（第１２题）

４８第一章空间向量与立体几何

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

１１．如图，在长方体犃犅犆犇犃１犅１犆１犇１中，点犈，犉分别在犅犅１，犇犇１上，且犃犈⊥犃１犅，
犃犉⊥犃１犇．
（１）求证：犃１犆⊥平面犃犈犉；
（２）当犃犅＝４，犃犇＝３，犃犃１＝５时，求平面犃犈犉与平面犇１犅１犅犇的夹角的余弦值．
１２．如图，在四棱锥犛犃犅犆犇中，底面犃犅犆犇满足犃犅⊥犃犇，犃犅⊥犅犆，犛犃⊥底面犃犅犆犇，且
犛犃＝犃犅＝犅犆＝１，犃犇＝０．５．
（１）求四棱锥犛犃犅犆犇的体积；
（２）求平面犛犆犇与平面犛犃犅的夹角的余弦值．
１３．如图，把正方形纸片犃犅犆犇沿对角线犃犆折成直二面角，犈，　D
犉分别为犃犇，犅犆的中点，犗是原正方形犃犅犆犇的中心，求　E　C
折纸后∠犈犗犉的大小．　O F
１４．在正四棱锥犛犃犅犆犇中，犗为顶点犛在底面内的射影，犘为 A　B
侧棱犛犇的中点，且犛犗＝犗犇．求直线犅犆与平面犘犃犆所成 （第１３题）
的角．
１５．如图，在四面体犃犅犆犇中，犈，犉，犌，犎分别是犃犅，犅犆，　A
犆犇，犇犃的中点．　E　H
（１）求证：犈，犉，犌，犎四点共面；　B　M D
（２）求证：犅犇∥平面犈犉犌犎；　F　G
（３）设犕是犈犌和犉犎的交点，求证：对空间任意一点犗，　C

有犗犕→＝１４（犗犃→＋犗犅→＋犗犆→＋犗犇→）．

（第１５题）



１６．如图，在棱长为犪的正方体犗犃犅犆犗′犃′犅′犆′中，犈，犉分别是棱犃犅，犅犆上的动点，且
犃犈＝犅犉．
（１）求证：犃′犉⊥犆′犈；
（２）当三棱锥犅′犅犈犉的体积取得最大值时，求平面犅′犈犉与平面犅犈犉的夹角正切值．

C

B

l
C
F
n
O

B
E
A

A
F b

（第１６题）　（第１７题）
１７．如图，两条异面直线犪，犫所成的角为θ，在直线犪，犫上分别取点犃′，犈和点犃，犉，使
犃犃′⊥犪，且犃犃′⊥犫．已知犃′犈＝犿，犃犉＝狀，犈犉＝犾，求线段犃犃′的长．

第一章空间向量与立体几何４９

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

第二章
直线和圆的方程

在以往的几何学习中，我们常常通过直观感知、操作确认、
思辨论证、度量计算等方法研究几何图形的形状、大小和位置关
系，这种方法通常称为综合法．本章我们采用坐标法研究几何图
形的性质．坐标法是解析几何中最基本的研究方法．
解析几何是１７世纪法国数学家笛卡儿和费马创立的，它的
基本内涵和方法是：通过坐标系，把几何的基本元素———点和代
数的基本对象———数（有序数对或数组）对应起来，在此基础上
建立曲线（点的轨迹）的方程，从而把几何问题转化为代数问
题，再通过代数方法研究几何图形的性质．解析几何的创立是数
学发展史上的一个里程碑，数学从此进入变量数学时期，它为微
积分的创建奠定了基础．
本章我们将在平面直角坐标系中，探索确定直线位置的几何
要素，建立直线的方程，并通过直线的方程研究两条直线的位置
关系、交点坐标以及点到直线的距离等．类似地，通过确定圆的
几何要素，建立圆的方程，再通过圆的方程研究与圆相关的问
题；最后应用直线和圆的方程解决一些实际问题．

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

２１直线的倾斜角与斜率

我们知道，点是构成直线的基本元素．在平面直角坐标
系中，可以用坐标表示点，那么，如何用坐标表示直线呢？
为了用代数方法研究直线的有关问题，本节我们首先在平面
直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素，然后用代数方
法把这些几何要素表示出来．
２１１!"#$%#&



确定一条直线的几何要素是什么？对于平面直角坐标系中的O　x
一条直线犾（图２．１１），如何利用坐标系确定它的位置？
图２．１１
我们知道，两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线．设犃，犅为
直线上的两点，则犃犅→就是这条直线的方向向量．所以，两点确定一条直线可以归结为一
点和一个方向确定一条直线．在平面直角坐标系中，经过一点y　3

l

l2

犘可以作无数条直线犾１，犾２，犾３，…，它们组成一个直线束l

（图２．１２），这些直线的区别是什么？
在平面直角坐标系中，我们规定水平直线的方向向右，
其他直线向上的方向为这条直线的方向．因此，这些直线的 P α1

α
α3
α2
x

l1

区别是它们的方向不同．如何表示这些直线的方向？
我们看到，这些直线相对于狓轴的倾斜程度不同，也
就是它们与狓轴所成的角不同．因此，我们可以利用这样图２．１２
的角来表示这些直线的方向．
当直线犾与狓轴相交时，我们以狓轴为基准，狓轴正向与直线犾向上的方向之间所成
的角α叫做直线犾的倾斜角（ａｎｇｌｅｏｆｉｎｃｌｉｎａｔｉｏｎ）．图２．１２中直线犾１的倾斜角α１为锐角，
直线犾′的倾斜角α′为钝角．当直线犾与狓轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为０°．因
此，直线的倾斜角α的取值范围为
０°≤α＜１８０°．
第二章直线和圆的方程５１

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

这样，在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，
其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等．因此，
我们可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向．
下面我们进一步研究刻画直线倾斜程度的方法．
设犘１（狓１，狔１），犘２（狓２，狔２）（其中狓１≠狓２）是直线犾上的两点．由两点确定一条
直线可知，直线犾由点犘１，犘２唯一确定．所以，可以推断，直线犾的倾斜角一定与犘１，
犘２两点的坐标有内在联系．



在平面直角坐标系中，设直线犾的倾斜角为α．
（１）已知直线犾经过犗（０，０），犘（槡３，１），α与犗，犘的坐标有什么关系？
（２）类似地，如果直线犾经过犘１（－１，１），犘２（槡２，０），α与犘１，犘２的坐标又
有什么关系？
（３）一般地，如果直线犾经过两点犘１（狓１，狔１），犘２（狓２，狔２），狓１≠狓２，那么α
与犘１，犘２的坐标有怎样的关系？
下面我们利用向量法探究上述问题．
对于问题（１），如图２．１３（１），向量犗犘→＝（槡３，１），且直线犗犘的倾斜角为α．由
正切函数的定义，有
ｔａｎα＝１槡３．

槡３＝３y

α

α

α

1

2

图２．１３
对于问题（２），如图２．１３（２），犘２犘→１＝（－１－槡２，１－０）＝（－１－槡２，１）．平
移向量犘２犘→１到犗犘→，则点犘的坐标为（－１－槡２，１），且直线犗犘的倾斜角也是α．由正
切函数的定义，有
ｔａｎα＝１＝１－槡２．
→－１－槡２ →
一般地，如图２．１４，当向量犘１犘２的方向向上时，犘１犘２＝（狓２－狓１，狔２－狔１）．平移
向量犘１犘→２到犗犘→，则点犘的坐标为（狓２－狓１，狔２－狔１），且直线犗犘的倾斜角也是α，由正
５２第二章直线和圆的方程

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

切函数的定义，有
ｔａｎα＝狔２－狔１．
狓２－狓１

y

y

P2

P2

P
P1
α α
O

P
P1
α α
x

O

x

图２．１４
同样，当向量犘２犘→１的方向向上时，如图２．１５，犘２犘→１＝（狓１－狓２，狔１－狔２），也有
ｔａｎα＝狔１－狔２＝狔２－狔１．
狓１－狓２狓２－狓１

y

y

P1

P1

P
P2
α α
O

P
P2
α α
x

O

x

图２．１５



当直线犘１犘２与狓轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？

综上可知，直线犾的倾斜角α与直线犾上的两点犘１（狓１，狔１），犘２（狓２，狔２）（狓１≠狓２）
的坐标有如下关系：
ｔａｎα＝狔２－狔１．　① 日常生活中常用“坡
狓２－狓１　度”表示倾斜面的倾斜程
我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜度：坡度铅直高度当直
率（ｓｌｏｐｅ）．斜率常用小写字母犽表示，即　＝水平宽度．
线的倾斜角为锐角时，直线
犽＝ｔａｎα．　②的斜率与坡度是类似的．
倾斜角是９０°的直线没有斜率，倾斜角不是９０°的直线都
有斜率．例如，倾斜角α＝３０°时，这条直线的斜率
槡３；　当直线的倾斜角由０°
犽＝ｔａｎ３０°＝３　逐渐增大到１８０°时，其斜
倾斜角α＝１２０°时，这条直线的斜率　率如何变化？为什么？
第二章直线和圆的方程５３

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

犽＝ｔａｎ１２０°＝－ｔａｎ６０°＝－槡３．
由正切函数的单调性，倾斜角不同的直线，其斜率也不同．因此，我们可以用斜率表
示倾斜角不等于９０°的直线相对于狓轴的倾斜程度，进而表示直线的方向．
如果直线经过两点犘１（狓１，狔１），犘２（狓２，狔２）（狓１≠狓２），那么由①②可得如下的斜
率公式：
犽＝狔２－狔１．
狓２－狓１
我们发现，在平面直角坐标系中，倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相
对于狓轴的倾斜程度．



（１）已知直线上的两点犃（犪１，犪２），犅（犫１，犫２），运用上述公式计算直线犃犅的
斜率时，与犃，犅两点的顺序有关吗？
（２）当直线平行于狔轴，或与狔轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？
我们知道，直线犘１犘２上的向量犘１犘→２以及与它平行的非零向量都是直线的方向向
量．直线犘１犘２的方向向量犘１犘→２的坐标为
（狓２－狓１，狔２－狔１）．
当直线犘１犘２与狓轴不垂直时，狓１≠狓２．此时向量１犘１犘→２也是直线犘１犘２的方向向
狓２－狓１
量，且它的坐标为１（狓２－狓１，狔２－狔１），即（１，狔２－狔１）＝（１，犽），其中犽是直线
狓２－狓１　狓２－狓１
犘１犘２的斜率．因此，若直线犾的斜率为犽，它的一个方向向量的坐标为（狓，狔），
则犽＝狔．
狓
例１如图２．１６，已知犃（３，２），犅（－４，１），犆（０，－１），求直线犃犅，犅犆，犆犃
的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．

解：直线犃犅的斜率犽犃犅＝－４－３１－２＝１７；

3y

直线的斜率犅犆－１－１－２；

B

2

A

犅犆犽＝０－（－４）＝４＝－１２

1

（－１）

-4-3-2-1-1OC123x

直线犆犃的斜率犽犆犃＝２－３－０＝３３＝１．

由犽犃犅＞０及犽犆犃＞０可知，直线犃犅与犆犃的倾斜角图２．１６
均为锐角；由犽犅犆＜０可知，直线犅犆的倾斜角为钝角．
５４第二章直线和圆的方程

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用



１．已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率：

（１）α＝３０°； （２）α＝４５°； （３）α＝２３π； （４）α＝３４π．

２．已知下列直线的斜率，求直线的倾斜角：
（１）犽＝０；　（２）犽＝槡３； （３）犽＝－槡３； （４）犽＝－槡３．
３
３．求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角：
（１）犆（１８，８），犇（４，－４）；　（２）犘（０，０），犙（－１，３）．
４．已知犪，犫，犮是两两不等的实数，求经过下列两点的直线的倾斜角：
（１）犃（犪，犮），犅（犫，犮）；
（２）犆（犪，犫），犇（犪，犮）；
（３）犘（犫，犫＋犮），犙（犪，犮＋犪）．
５．经过犃（０，２），犅（－１，０）两点的直线的方向向量为（１，犽），求犽的值．

２１２!'()*+,-.)/01
为了在平面直角坐标系中用代数方法表示直线，我们从确定直线位置的几何要素出
发，引入直线的倾斜角，再利用倾斜角与直线上点的坐标关系引入直线的斜率，从数的角
度刻画了直线相对于狓轴的倾斜程度，并导出了用直线上任意两点的坐标计算斜率的公式，
从而把几何问题转化为代数问题．下面，我们通过直线的斜率判断两条直线的位置关系．



我们知道，平面中两条直线有两种位置关系：相　若没有特别说明，说
交、平行．当两条直线犾１与直线犾２平行时，它们的“两条直线犾１，犾２”时，指
斜率犽１与犽２满足什么关系？　两条不重合的直线!
如图２．１７，若犾１∥犾２，则犾１与犾２的倾斜角α１与α２相　y
等，由α１＝α２，可得ｔａｎα１＝ｔａｎα２，即犽１＝犽２．因此，　l1　l2
若犾１∥犾２，则犽１＝犽２．
反之，当犽１＝犽２时，ｔａｎα１＝ｔａｎα２，由倾斜角的取值范α1 α2
围及正切函数的单调性可知，α１＝α２，因此犾１∥犾２．　O　x
于是，对于斜率分别为犽１，犽２的两条直线犾１，犾２，有
图２．１７
犾１∥犾２犽１＝犽２．

第二章直线和圆的方程５５

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

显然，当α１＝α２＝９０°时，直线的斜率不存在，此时犾１∥犾２．
若直线犾１，犾２重合，此时仍然有犽１＝犽２．用斜率证明三点共线时，常常用到这个结论．

例２已知犃（２，３），犅（－４，０），犘（－３，１），犙（－１，２），试判断直线犃犅与犘犙
的位置关系，并证明你的结论．
解：如图２．１８，由已知可得　4y

直线犅犃的斜率犽犅犃＝３－０＝１，
２－（－４）２

Q3
P

2

直线犘犙的斜率犽犘犙＝２－１＝１

-4B-3-2-1O 12 x

－１－（－３）２．

-1

因为犽犅犃＝犽犘犙，所以直线犃犅∥犘犙．　图
２．１８
例３已知四边形犃犅犆犇的四个顶点分别为犃（０，０），犅（２，－１），犆（４，２），犇（２，３），
试判断四边形犃犅犆犇的形状，并给出证明．
解：如图２．１９，由已知可得　y

犃犅边所在直线的斜率犽犃犅＝－１２，

32 D

C

犆犇边所在直线的斜率犽犆犇＝－１，
２
犅犆边所在直线的斜率犽犅犆＝３，
２

A1
-1O12345x
B
图２．１９

犇犃边所在直线的斜率犽犇犃＝３２．

因为犽犃犅＝犽犆犇，犽犅犆＝犽犇犃，所以犃犅∥犆犇，犅犆∥犇犃．
因此四边形犃犅犆犇是平行四边形．

显然，当两条直线相交时，它们的斜率不相等；反之，当两条直线的斜率不相等时，
它们相交．在相交的位置关系中，垂直是最特殊的情形．当直线犾１，犾２垂直时，它们的
斜率除了不相等外，是否还有特殊的数量关系？
设两条直线犾１，犾２的斜率分别为犽１，犽２，则直线犾１，犾２的方向向量分别是犪＝（１，
犽１），犫＝（１，犽２），于是
犾１⊥犾２犪⊥犫犪·犫＝０１×１＋犽１犽２＝０，即犽１犽２＝－１．
也就是说，犾１⊥犾２犽１犽２＝－１．
当直线犾１或犾２的倾斜角为９０°时，若犾１⊥犾２，则另一条直线的倾斜角为０°；反之
亦然．
由上我们得到，如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于
５６第二章直线和圆的方程

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

－１；反之，如果两条直线的斜率之积等于－１，那么它们互相垂直．即
犾１⊥犾２犽１犽２＝－１．

例４已知犃（－６，０），犅（３，６），犘（０，３），犙（６，－６），试判断直线犃犅与犘犙的
位置关系．

解：直线犃犅的斜率犽犃犅＝２３，
直线犘犙的斜率犽犘犙＝－３２．

因为犽犃犅犽犘犙＝２３×（）－３２＝－１，所以直线犃犅⊥犘犙．

例５已知犃（５，－１），犅（１，１），犆（２，３）三点，试判断△犃犅犆的形状．
分析：如图２．１１０，猜想犃犅⊥犅犆，△犃犅犆!"#$#%&y

解：边犃犅所在直线的斜率犽犃犅＝－１，边犅犆所在直线的3 C
２　2
斜率犽犅犆＝２．　1B
由犽犃犅犽犅犆＝－１，得犃犅⊥犅犆，即∠犃犅犆＝９０°．-1O12345x
所以犃犅犆是直角三角形．　A
△　图
２．１１０



１．判断下列各对直线是否平行或垂直：
（１）经过犃（２，３），犅（－１，０）两点的直线犾１，与经过点犘（１，０）且斜率为１的直线犾２；
（２）经过犆（３，１），犇（－２，０）两点的直线犾３，与经过点犕（１，－４）且斜率为－５的直线犾４．
２．试确定犿的值，使过犃（犿，１），犅（－１，犿）两点的直线与过犘（１，２），犙（－５，０）两点的直线：
（１）平行；（２）垂直．

习题２．１



１．已知直线斜率的绝对值等于１，求直线的倾斜角．
２．已知四边形犃犅犆犇的四个顶点是犃（２，３），犅（１，－１），犆（－１，－２），犇（－２，２），求四边
形犃犅犆犇的四条边所在直线的斜率．

第二章直线和圆的方程５７

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

３．犿为何值时，（１）经过犃（－犿，６），犅（１，３犿）两点的直线的斜率是１２？
（２）经过犃（犿，２），犅（－犿，－２犿－１）两点的直线的倾斜角是６０°？
４．已知犃（１，２），犅（－１，０），犆（３，４）三点，这三点是否在同一条直线上？为什么？
５．判断下列不同的直线犾１与犾２是否平行：
（１）犾１的斜率为２，犾２经过犃（１，２），犅（４，８）两点；
（２）犾１经过犘（３，３），犙（－５，３）两点，犾２平行于狓轴，但不经过犘，犙两点；
（３）犾１经过犕（－１，０），犖（－５，－２）两点，犾２经过犚（－４，３），犛（０，５）两点．
６．判断下列直线犾１与犾２是否垂直：

（１）犾１的斜率为－２３，犾２经过点犃（１，１），犅（０，－１２）；

（２）犾１的倾斜角为４５°，犾２经过犘（－２，－１），犙（３，－６）两点；
（３）犾１经过犕（１，０），犖（４，－５）两点，犾２经过犚（－６，０），犛（－１，３）两点．



７．过犃（犿２＋２，犿２－３），犅（３－犿－犿２，２犿）两点的直线犾的倾斜角为４５°，求犿的值．
８．经过点犘（０，－１）作直线犾，若直线犾与连接犃（１，－２），犅（２，１）两点的线段总有公共点，
求直线犾的倾斜角α与斜率犽的取值范围，并说明理由．
９．已知点犕（２，２）和犖（５，－２），点犘在狓轴上，且∠犕犘犖为直角，求点犘的坐标．



１０．已知四边形犃犅犆犇的四个顶点是犃（２，２＋２２槡），犅（－２，２），犆（０，２－２２槡），犇（４，２），
求证：四边形犃犅犆犇为矩形．

５８第二章直线和圆的方程

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

２２直线的方程

我们知道，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直
线．这样，在平面直角坐标系中，给定一个点犘０（狓０，狔０）
和斜率犽（或倾斜角），就能唯一确定一条直线．也就是说，
这条直线上任意一点的坐标（狓，狔）与点犘０的坐标（狓０，
狔０）和斜率犽之间的关系是完全确定的!那么，这一关系如
何表示呢？下面我们就来研究这个问题．

２２１!)*/2#345

y

如图２．２１，直线犾经过点犘０（狓０，狔０），且斜率为犽．设　P
犘（狓，狔）是直线犾上不同于点犘０的任意一点，因为直线犾　P0
的斜率为犽，由斜率公式得　O　x
犽＝狔－狔０，
狓－狓０　图２．２１
即
狔－狔０＝犽（狓－狓０）．　点犘０的坐标（狓０，
由上述推导过程可知：　狔０）满足关系式狔－狔０＝
（１）直线犾上每一个点的坐标（狓，狔）都满足关系式犽（狓－狓０）吗？
狔－狔０＝犽（狓－狓０）；反过来，我们还可以验证
（２）坐标满足关系式狔－狔０＝犽（狓－狓０）的每一个点都
在直线犾上．
事实上，若点犘１（狓１，狔１）的坐标狓１，狔１满足关系
式狔－狔０＝犽（狓－狓０），则
狔１－狔０＝犽（狓１－狓０）．
当狓１＝狓０时，狔１＝狔０，这时点犘１与犘０重合，显然有建立直线的方程，就
点犘１在直线犾上；　是利用确定直线位置的几
狔１－狔０　何要素，建立直线上任意
当狓１≠狓０时，有犽＝狓１－狓０，这表明过点犘１，犘０的一点的横坐标狓，纵坐标
直线犾１的斜率为犽．因为直线犾，犾１的斜率都为犽，且都过狔所满足的关系式．
第二章直线和圆的方程５９

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

点犘０，所以它们重合．所以，点犘１在直线犾上．
由（１）（２）可得：坐标满足关系式狔－狔０＝犽（狓－狓０）的点一定在直线犾上；直线犾
上任意一点的坐标一定满足关系式狔－狔０＝犽（狓－狓０）．我们把方程
狔－狔０＝犽（狓－狓０）
称为过点犘０（狓０，狔０），斜率为犽的直线犾的方程．
方程狔－狔０＝犽（狓－狓０）由直线上一个定点（狓０，狔０）及该直线的斜率犽确定，我们
把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式（ｐｏｉｎｔｓｌｏｐｅｆｏｒｍ）．



（１）当直线犾的倾斜角为０°时，直线犾的方程是什么？为什么？
（２）当直线犾的倾斜角为９０°时，直线犾的方程如何表示？为什么？
当直线犾的倾斜角为０°时（图２．２２），ｔａｎ０°＝０，即犽＝０，这时直线犾与狓轴平行
或重合，直线犾的方程是
狔－狔０＝０，即狔＝狔０．

P0 l
O
O

x
x

图２．２２　图２．２３
当直线犾的倾斜角为９０°时（图２．２３），由于ｔａｎ９０°无意义，直线没有斜率，这时直
线犾与狔轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示．又因为这时直线犾上每一点的横坐
标都等于狓０，所以它的方程是
狓－狓０＝０，即狓＝狓０．
例１直线犾经过点犘０（－２，３），且倾斜角α＝４５°，求直线　y

犾的点斜式方程，并画出直线犾．

P13

解：直线犾经过点犘０（－２，３），斜率犽＝ｔａｎ４５°＝１，代入点　2
斜式方程得　1
狔－３＝狓＋２．　-2-1-1O 1x
画图时，只需再找出直线犾上的另一点犘１（狓１，狔１），例如，
取狓１＝－１，则狔１＝４，得点犘１的坐标为（－１，４），过犘０，犘１ 图２．２４
两点的直线即为所求，如图２．２４所示．

６０第二章直线和圆的方程

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

下面我们看点斜式的一种特殊情形：如果斜率为犽的直线犾过点犘０（０，犫），这时犘０
是直线犾与狔轴的交点，代入直线的点斜式方程，得
狔－犫＝犽（狓－０），
即
狔＝犽狓＋犫．
我们把直线犾与狔轴的交点（０，犫）的纵坐标犫叫做直
线犾在狔轴上的截距（ｉｎｔｅｒｃｅｐｔ）．这样，方程狔＝犽狓＋犫由
直线的斜率犽与它在狔轴上的截距犫确定，我们把方程狔＝ 截距是距离吗？
犽狓＋犫叫做直线的斜截式方程，简称斜截式（ｓｌｏｐｅｉｎｔｅｒ
ｃｅｐｔｆｏｒｍ）．其中，犽和犫均有明显的几何意义：犽是直线
的斜率，犫是直线在狔轴上的截距．



方程狔＝犽狓＋犫与我们学过的一次函数表达式类似．我们知道，一次函数的图象
是一条直线，你如何从直线方程的角度认识一次函数狔＝犽狓＋犫？你能说出一次函数
狔＝２狓－１，狔＝３狓及狔＝－狓＋３图象的特点吗？
例２已知直线犾１：狔＝犽１狓＋犫１，犾２：狔＝犽２狓＋犫２，试讨论：（１）犾１∥犾２的条件是什
么？（２）犾１⊥犾２的条件是什么？
分析：回顾前面用斜率判断两条直线平行、垂直的结论，可以发现犾１∥犾２或犾１⊥犾２
时，犽１，犽２与犫１，犫２应满足的关系．
解：（１）若犾１∥犾２，则犽１＝犽２，此时犾１，犾２与狔轴的交点不同，即犫１≠犫２；反之，
若犽１＝犽２，且犫１≠犫２，则犾１∥犾２．
（２）若犾１⊥犾２，则犽１犽２＝－１；反之，若犽１犽２＝－１，则犾１⊥犾２．

由例２我们得到，对于直线犾１：狔＝犽１狓＋犫１，犾２：狔＝犽２狓＋犫２，
犾１∥犾２犽１＝犽２，且犫１≠犫２；
犾１⊥犾２犽１犽２＝－１．



１．写出下列直线的点斜式方程：
（１）经过点犃（３，－１），斜率是槡２；
（２）经过点犅（－槡２，２），倾斜角是３０°；
（３）经过点犆（０，３），倾斜角是０°；
第二章直线和圆的方程６１

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

（４）经过点犇（－４，－２），倾斜角是２π．
３
２．填空题．
（１）已知直线的点斜式方程是狔－２＝狓－１，那么此直线的斜率是，倾斜角是；
（２）已知直线的点斜式方程是狔＋２＝槡３（狓＋１），那么此直线的斜率是，倾斜角是．
３．写出下列直线的斜截式方程：
（１）斜率是槡３，在狔轴上的截距是－２；
２
（２）斜率是－２，在狔轴上的截距是４．
４．判断下列各对直线是否平行或垂直：

（１）犾１：狔＝１２狓＋３，犾２：狔＝１２狓－２；（２）犾１：狔＝５３狓，犾２：狔＝－３５狓．

２２２!)*/'2345



已知直线犾经过两点犘１（狓１，狔１），犘２（狓２，狔２）（其中狓１≠狓２，狔１≠狔２），因为两
点确定一条直线，所以直线犾是唯一确定的．也就是说，对于直线犾上的任意一点
犘（狓，狔），它的坐标与点犘１，犘２的坐标之间具有唯一确定的关系．这一关系是什么呢？
由经过两点犘１，犘２的直线的斜率公式可以求出直线犾的斜率，因此我们可以利用直
线的点斜式方程来解决问题．
当狓１≠狓２时，经过两点犘１（狓１，狔１），犘２（狓２，狔２）的直线的斜率犽＝狔２－狔１．任取
狓２－狓１
犘１，犘２中的一点，例如，取点犘１（狓１，狔１），由直线的点斜式方程，得
狔－狔１＝狔２－狔１（狓－狓１），
狓２－狓１
当狔２≠狔１时，上式可写为　不利用点斜式方程，
你能求出两点式方程吗？
狔－狔１＝狓－狓１．
狔２－狔１狓２－狓１
这就是经过两点犘１（狓１，狔１），犘２（狓２，狔２）（其中狓１≠狓２，狔１≠狔２）的直线的方程，
我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式（ｔｗｏｐｏｉｎｔｆｏｒｍ）．
在犘１（狓１，狔１），犘２（狓２，狔２）中，如果狓１＝狓２或狔１＝狔２，则直线犘１犘２没有两点
式方程．当狓１＝狓２时，直线犘１犘２垂直于狓轴，直线方程为狓－狓１＝０，即狓＝狓１；当
狔１＝狔２时，直线犘１犘２垂直于狔轴，直线方程为狔－狔１＝０，即狔＝狔１．
６２第二章直线和圆的方程

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

例３如图２．２５，已知直线犾与狓轴的交点为犃（犪，０），y
与狔轴的交点为犅（０，犫），其中犪≠０，犫≠０．求直线犾的方程．lB
解：将两点犃（犪，０），犅（０，犫）的坐标代入两点式，得
狔－０＝狓－犪，　A
犫－００－犪　O　x
即
图２．２５
狓＋狔＝１．
犪犫

我们把直线犾与狓轴的交点（犪，０）的横坐标犪叫做直线犾在狓轴上的截距，此时直
线犾在狔轴上的截距是犫．方程狓＋狔＝１由直线犾在两条坐标轴上的截距犪与犫确定，我
犪犫
们把方程狓＋狔＝１叫做直线的截距式方程，简称截距式（ｉｎｔｅｒｃｅｐｔｆｏｒｍ）．
犪犫
例４已知△犃犅犆的三个顶点犃（－５，０），犅（３，－３），犆（０，２），求边犅犆所在直
线的方程，以及这条边上的中线犃犕所在直线的方程．
解：如图２．２６，过犅（３，－３），犆（０，２）的直线的两　y4
点式方程为　32C
狔－２＝狓－０，　A　O1123
－３－２３－０　-5-4-3-2-1-1 M x
整理得　-2-3

５狓＋３狔－６＝０．　-4
这就是边犅犆所在直线的方程．　图２．２６
边犅犆上的中线是顶点犃与边犅犆中点犕所连线段，
由中点坐标公式，可得点犕的坐标为
３＋０，－３＋２，

（２２）
即（３２，－１２）．
过犃（－５，０），犕（３２，－１２）两点的直线方程为

狔－０＝狓＋５，

整理可得

－１２－０３２＋５

第二章直线和圆的方程６３

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

狓＋１３狔＋５＝０．
这就是边犅犆上中线犃犕所在直线的方程．
直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都有明确的几何意义，都涉及确定直线
位置的两个基本要素：两个点或一点和斜率．这些直线的方程，形式不同但本质一致，都
是对直线的定量刻画．在对直线的定量刻画中，斜率处于核心地位．点斜式方程是其他所
有形式的方程的基础，其他所有形式的方程都是点斜式方程在一定条件下的变式．
另外，利用直线的斜率、两点式等，我们可以进一步理解平面几何中“两点确定一条
直线”的含义．事实上，对于直线犾上的四个不同点犘犻（狓犻，狔犻），犻＝１，２，３，４，由
犘１，犘２确定的直线方程与由犘３，犘４确定的直线方程是同一个方程，你能给出证明吗？



１．求经过下列两点的直线的两点式方程：
（１）犘１（２，１），犘２（０，－３）； （２）犃（０，５），犅（５，０）．
２．根据下列条件求直线的截距式方程，并画出图形：
（１）在狓轴、狔轴上的截距分别是２，３；
（２）在狓轴、狔轴上的截距分别是－５，６．
３．根据下列条件，求直线的方程：
（１）过点（０，５），且在两坐标轴上的截距之和为２；
（２）过点（５，０），且在两坐标轴上的截距之差为２．

２２３!)*/67345
观察直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，我们发现，它们都是关于狓，狔
的二元一次方程．直线与二元一次方程是否都有这种关系呢？下面我们探讨这个问题．



（１）平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于狓，狔的二元一次方程
表示吗？
（２）任意一个关于狓，狔的二元一次方程都表示一条直线吗？
先看问题（１）．任意一条直线犾，在其上任取一点
犘０（狓０，狔０），当直线犾的斜率为犽时（此时直线的倾斜角分类讨论时，常按
α≠９０°），其方程为　α≠９０°和α＝９０°分类，这
狔－狔０＝犽（狓－狓０），　样可以做到不重不漏．
这是关于狓，狔的二元一次方程．
６４第二章直线和圆的方程

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

当直线犾的斜率不存在，即直线犾的倾斜角α＝９０°时，直线的方程为
狓－狓０＝０，
上述方程可以认为是关于狓，狔的二元一次方程，因为此时方程中狔的系数为０．
方程狔－狔０＝犽（狓－狓０）和狓－狓０＝０都是二元一次方程，因此平面直角坐标系中的
任意一条直线都可以用一个关于狓，狔的二元一次方程表示．
反之，对于任意一个二元一次方程
犃狓＋犅狔＋犆＝０（犃，犅不同时为０），
如果能把它化为直线方程的某种形式，那么我们就可以断定它表示一条直线．
当犅≠０时，方程犃狓＋犅狔＋犆＝０可变形为
狔＝－犃狓－犆，
犅犅
它表示过点０，－犆，斜率为－犃的直线．

当犅＝０（时，犃犅≠）０，方程犃狓犅＋犅狔＋犆＝０可变形为

狓＝－犆，
犃
它表示过点－犆，０，且垂直于狓轴的直线．

由上可知（，犃关于）狓，狔的二元一次方程都表示一条直线．

我们把关于狓，狔的二元一次方程
犃狓＋犅狔＋犆＝０
（其中犃，犅不同时为０）叫做直线的一般式方程，简称一般式（ｇｅｎｅｒａｌｆｏｒｍ）．



在方程犃狓＋犅狔＋犆＝０中，犃，犅，犆为何值时，方程表示的直线：
①平行于狓轴？②平行于狔轴？③与狓轴重合？④与狔轴重合？

例５已知直线经过点犃（６，－４），斜率为－４３，求直线的点斜式和一般式方程．
解：经过点犃（６，－４），斜率为－４３的直线的点斜式方程是
狔＋４＝－４３（狓－６），

化为一般式，得
４狓＋３狔－１２＝０．

第二章直线和圆的方程６５

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

例６把直线犾的一般式方程狓－２狔＋６＝０化为斜截式，求出直线犾的斜率以及它在
狓轴与狔轴上的截距，并画出图形．
分析：求直线犾在狓轴上的截距，即求直线犾与狓轴交点的横坐标，只要在直线犾的
方程中令狔＝０即可得狓的值．
解：把直线犾的一般式方程化为斜截式　y

狔＝１２狓＋３．

42B l

因此，直线的斜率１，它在轴上的截距是-6A-4-2O　x
犾犽＝２狔　３．
在直线犾的方程狓－２狔＋６＝０中，令狔＝０，得
狓＝－６，　图２．２７
即直线犾在狓轴上的截距是－６．
由上面可得直线犾与狓轴、狔轴的交点分别为
犃（－６，０），犅（０，３），　在直角坐标系中画直
过犃，犅两点作直线，就得直线犾（图２．２７）．　线时，通常找出直线与两
条坐标轴的交点，然后连
结合例６，我们可以从几何角度看一个二元一次方程，接这两个点．
即一个二元一次方程表示一条直线．
在代数中，我们研究了二元一次方程的解．因为二元一次方程的每一组解都可以看成
平面直角坐标系中一个点的坐标，所以这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元
一次方程的全体点的集合，这些点的集合组成一条直线．
平面直角坐标系是把二元一次方程和直线联系起来的桥梁，这是笛卡儿的伟大贡献．
在平面直角坐标系中，任意一个二元一次方程是直角坐标平面上一条确定的直线；反之，
直角坐标平面上的任意一条直线可以用一个确定的二元一次方程表示．



１．根据下列条件，写出直线的方程，并把它化为一般式：

（１）经过点犃（８，－２），斜率是－１２； （２）经过点犅（４，２），平行于狓轴；

（３）经过点犘１（３，－２），犘２（５，－４）；（４）在狓轴、狔轴上的截距分别是３，－３．
２
２．求下列直线的斜率以及在狔轴上的截距，并画出图形：

（１）３狓＋狔－５＝０；（２）狓４－狔５＝１；（３）狓＋２狔＝０；（４）７狓－６狔＋４＝０．
３．已知直线犾的方程是犃狓＋犅狔＋犆＝０．
（１）当犅≠０时，直线犾的斜率是多少？当犅＝０时呢？
（２）系数犃，犅，犆取什么值时，方程犃狓＋犅狔＋犆＝０表示经过原点的直线？
６６第二章直线和圆的方程

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

习题２．２



１．写出满足下列条件的直线的方程：
（１）经过点犃（８，－２），斜率是槡３；
３
（２）经过点犅（－２，０），且与狓轴垂直；
（３）斜率是－４，在狔轴上的截距是７；
（４）经过犃（－１，８），犅（４，－２）两点；
（５）在狔轴上的截距是２，且与狓轴平行；
（６）在狓轴、狔轴上的截距分别是４，－３．
２．判断犃（１，３），犅（５，７），犆（１０，１２）三点是否共线，并说明理由．
３．已知两点犃（７，－４），犅（－５，６），求线段犃犅的垂直平分线的方程．
４．已知△犃犅犆的三个顶点犃（８，５），犅（４，－２），犆（－６，３），求经过两边犃犅和犃犆的中点的
直线的方程．
５．一根弹簧，挂４Ｎ的物体时，长２０ｃｍ．在弹性限度内，所挂物体的重量每增加１Ｎ，弹簧就伸
长１．５ｃｍ．试写出弹簧的长度犾（单位：ｃｍ）与所挂物体重量犌（单位：Ｎ）之间关系的方程．
６．菱形的两条对角线分别位于狓轴和狔轴上，其长度分别为８和６，求菱形各边所在直线的方程．
７．求经过点犘（２，３），并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程．
８．求满足下列条件的直线的方程：
（１）经过点犃（３，２），且与直线４狓＋狔－２＝０平行；
（２）经过点犆（２，－３），且平行于过犕（１，２）和犖（－１，－５）两点的直线；
（３）经过点犅（３，０），且与直线２狓＋狔－５＝０垂直．



９．△犃犅犆的三个顶点是犃（４，０），犅（６，７），犆（０，３），求：
（１）边犅犆上的中线所在直线的方程；
（２）边犅犆上的高所在直线的方程；
（３）边犅犆的垂直平分线的方程．
１０．求直线犃狓＋犅狔＋犆＝０（犃，犅不同时为０）的系数犃，犅，犆分别满足什么关系时，这条直
线有以下性质：
（１）与两条坐标轴都相交；（２）只与狓轴相交；
（３）只与狔轴相交； （４）是狓轴所在的直线；
（５）是狔轴所在的直线．
１１．设点犘０（狓０，狔０）在直线犃狓＋犅狔＋犆＝０上，求证：这条直线的方程还可以写成
犃（狓－狓０）＋犅（狔－狔０）＝０．

第二章直线和圆的方程６７

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

１２．若直线犾沿狓轴向左平移３个单位长度，再沿狔轴向上平移１个单位长度后，回到原来的位
置．试求直线犾的斜率．
１３．一条光线从点犘（６，４）射出，与狓轴相交于点犙（２，０），经狓轴反射，求入射光线和反射
光线所在直线的方程．



１４．已知直线犾１，犾２的方程分别是犾１：犃１狓＋犅１狔＋犆１＝０（犃１，犅１不同时为０），犾２：犃２狓＋
犅２狔＋犆２＝０（犃２，犅２不同时为０），且犃１犃２＋犅１犅２＝０，求证：犾１⊥犾２．
１５．画出直线犾：２狓－狔＋３＝０，并在直线犾外取若干点，将这些点的坐标代入２狓－狔＋３，求它
的值；观察有什么规律，并把这个规律表示出来．



方向向量与直线的参数方程
除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程，还有一种形式
的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确
定，与直线的点斜式方程本质上是一致的．
如图１，设直线犾经过点犘０（狓０，狔０），狏＝（犿，　y　M
狀）是它的一个方向向量，犘（狓，狔）是直线犾上的　v
任意一点，则向量犘０犘→与狏共线．根据向量共线的充　P(x,y)
要条件，存在唯一的实数狋，使犘０犘→＝狋狏，即（狓－　O P(x,y)　x

狓０，狔－狔０）＝狋（犿，狀），所以　N
烄烅狓＝狓０＋犿狋，　图
烆狔＝狔０＋狀狋．　①　１
在①中，实数狋是对应点犘的参变数，简称参数．由上可知，对于直线犾上的任
意一点犘（狓，狔），存在唯一实数狋使①成立；反之，对于参数狋的每一个确定的
值，由①可以确定直线犾上的一个点犘（狓，狔）．我们把①称为直线的参数方程．
从运动学角度看，犘０犘→＝狋狏（狋＞０）可以看成质点犘从点犘０出发，以速度
狏＝（犿，狀）做匀速直线运动，经过时间狋后的位移，因此，质点犘的运动轨迹
是射线犘０犕．类似地，你能刻画射线犘０犖吗？由以上讨论，你能说说方程①的
运动学意义吗？

６８第二章直线和圆的方程

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

如果直线犾与坐标轴不垂直，那么犿狀≠０，由①可得
狓－狓０＝狋，狔－狔０＝狋，
犿 狀
消去参数狋，得
狓－狓０＝狔－狔０，
犿狀
即
狔－狔０＝狀（狓－狓０），
犿
这样就得到直线犾的点斜式方程．
从另外一个角度思考，因为直线犾经过点犘０（狓０，狔０），且它的一个方向向量
为狏＝（犿，狀），所以直线犾的斜率犽＝狀，所以直线犾的方程为
犿
狔－狔０＝狀（狓－狓０）．
犿
想一想，直线的参数方程烄烅狓＝狓０＋犿狋，中，（犿，狀）的几何意义是什么？
烆狔＝狔０＋狀狋

第二章直线和圆的方程６９

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

２３直线的交点坐标与距离公式

在平面几何中，我们对直线作了定性研究．引入平面直
角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就
是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式．这样，我
们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进
行定量研究，例如求两条直线的交点坐标，平面内与点、直
线相关的距离问题等．

２３１!'()*/829:



已知两条直线
犾１：犃１狓＋犅１狔＋犆１＝０，
犾２：犃２狓＋犅２狔＋犆２＝０
相交，它们的交点坐标与直线犾１，犾２的方程有什么关系？你能由此得到求两条相交
直线交点坐标的方法吗？
设这两条直线的交点为犘，则点犘既在直线犾１上，也在直线犾２上．所以点犘的坐标
既满足直线犾１的方程犃１狓＋犅１狔＋犆１＝０，也满足直线犾２的方程犃２狓＋犅２狔＋犆２＝０，即
点犘的坐标是方程组
烄烅犃１狓＋犅１狔＋犆１＝０，
烆犃２狓＋犅２狔＋犆２＝０
的解．解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标．

例１求下列两条直线的交点坐标，并画出图形：
犾１：３狓＋４狔－２＝０，
犾２：２狓＋狔＋２＝０．
解：解方程组
烄烅３狓＋４狔－２＝０，
烆２狓＋狔＋２＝０，
７０第二章直线和圆的方程

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

得　l2　y
烄狓＝－２，　l1 M 2
烅烆狔＝２．　1
所以，犾１与犾２的交点是犕（－２，２）（图２．３１）．　-2-1O 1x
例２判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交　-1
点的坐标：　-2
（１）犾１：狓－狔＝０， 犾２：３狓＋３狔－１０＝０；　图２．３１
（２）犾１：３狓－狔＋４＝０，犾２：６狓－２狔－１＝０；
（３）犾１：３狓＋４狔－５＝０，犾２：６狓＋８狔－１０＝０．
分析：解直线犾１，犾２的方程组成的方程组，若方程组有唯一解，则犾１与犾２相交，此
解就是交点的坐标；若方程组无解，则犾１∥犾２；若方程组中的两个方程可化成同一个方
程，则犾１与犾２重合．
解：（１）解方程组
烄烅狓－狔＝０，
烆３狓＋３狔－１０＝０，
得

烄狓＝５３，

烅５

烆狔＝３．

所以，犾１与犾２相交，交点是犕（５３，５３）．

（２）解方程组
烄烅３狓－狔＋４＝０，　①
烆６狓－２狔－１＝０，　②
①×２－②得９＝０，矛盾，这个方程组无解，所以犾１与犾２无公共点，犾１∥犾２．
（３）解方程组
烄烅３狓＋４狔－５＝０，　①
烆６狓＋８狔－１０＝０，　②
①×２得６狓＋８狔－１０＝０．
①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，犾１与犾２重合．



你能用直线的斜率判断上述各对直线的位置关系吗？比较用斜率判断和解方程组
这两种方法，你有什么体会？
第二章直线和圆的方程７１

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用



１．求下列两条直线的交点坐标，并画出图形：
（１）犾１：２狓＋３狔＝１２，犾２：狓－２狔＝４；
（２）犾１：狓＝２， 犾２：３狓＋２狔－１２＝０．
２．判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标：
（１）犾１：２狓－３狔＝７，犾２：４狓＋２狔＝１；

（２）犾１：２狓－６狔＋４＝０，犾２：狔＝狓３＋２３；

（３）犾１：（槡２－１）狓＋狔＝３，犾２：狓＋（槡２＋１）狔＝２．
３．直线犾经过原点，且经过直线２狓－２狔－１＝０与直线６狓－４狔＋１＝０的交点，求直线犾的方程．

２３２!'2;/<=>3
我们知道，在各种几何量中，直线段的长度是最基本的．因此，在解析几何中，最基
本的公式自然是用平面内两点的坐标表示这两点间距离的公式．



如图２．３２，已知平面内两点犘１（狓１，１），犘２（狓２，２），　P2
狔 狔
如何求犘１，犘２间的距离｜犘１犘２｜？

图２．３２
我们用平面向量的知识来解决．如图２．３３，由点犘１（狓１，狔１），犘２（狓２，狔２），得
犘１犘→２＝（狓２－狓１，狔２－狔１）．于是，
→　２　２　y

｜犘１犘２｜＝槡（狓２－狓１）＋（狔２－狔１）．
由此得到犘１（狓１，狔１），犘２（狓２，狔２）两点间的距离公式
｜犘１犘２｜＝槡（狓２－狓１）２＋（狔２－狔１）２．

P2
O

x

特别地，原点犗（０，０）与任一点犘（狓，狔）间的距离 图２．３３
｜犗犘｜＝槡狓２＋狔２．

７２第二章直线和圆的方程

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用



你能利用犘１（狓１，狔１），犘２（狓２，狔２）构造直角三角形，再用勾股定理推导两点
间距离公式吗？与向量法比较，你有什么体会？

例３已知点犃（－１，２），犅（２，槡７），在狓轴上求一点犘，使｜犘犃｜＝｜犘犅｜，并求
｜犘犃｜的值．
解：设所求点为犘（狓，０），则
｜犘犃｜＝槡（狓＋１）２＋（０－２）２＝槡狓２＋２狓＋５，
｜犘犅｜＝槡（狓－２）２＋（０－槡７）２＝槡狓２－４狓＋１１．
由｜犘犃｜＝｜犘犅｜，得
狓２＋２狓＋５＝狓２－４狓＋１１．
解得狓＝１．
所以，所求点为犘（１，０），且
｜犘犃｜＝槡（１＋１）２＋（０－２）２＝２槡２．

例４用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方D(b,c)C(a+b,c)
和等于两条邻边的平方和的两倍．
分析：首先要建立适当的平面直角坐标系，用坐标表
示有关的量，然后进行代数运算，最后把代数运算的结果OA(0,0)B(a,0)x
“翻译”成几何关系．　图２．３４
证明：如图２．３４，四边形犃犅犆犇是平行四边形．以
顶点犃为原点，边犃犅所在直线为狓轴，建立如图所示的
平面直角坐标系．　如何由平行四边形的
在犃犅犆犇中，点犃的坐标是（０，０），设点犅的坐性质，得到点犆的坐标为
标为（犪，０），点犇的坐标为（犫，犮），由平行四边形的性（犪＋犫，犮）？
质，得点犆的坐标为（犪＋犫，犮）．
由两点间的距离公式，得
｜犃犆｜２＝（犪＋犫）２＋犮２，｜犅犇｜２＝（犫－犪）２＋犮２，｜犃犅｜２＝犪２，｜犃犇｜２＝犫２＋犮２．
所以
｜犃犆｜２＋｜犅犇｜２＝２（犪２＋犫２＋犮２），
｜犃犅｜２＋｜犃犇｜２＝犪２＋犫２＋犮２．
所以
｜犃犆｜２＋｜犅犇｜２＝２（｜犃犅｜２＋｜犃犇｜２），
即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍．
第二章直线和圆的方程７３

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用



在“平面向量及其应用”的学习中，我们用“向量法”证明过这个命题．你能回
忆一下证明过程吗？比较“坐标法”和“向量法”，你有什么体会？
上述利用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤可以概括为


 

 






 
op



根据例４的条件，你是否还有其他建立坐标系的方法？你能说说建立适当坐标系
对证明的重要性吗？



１．求下列两点间的距离：
（１）犃（６，０），犅（－２，０）； （２）犆（０，－４），犇（０，－１）；
（３）犘（６，０），犙（０，－２）； （４）犕（２，１），犖（５，－１）．
２．已知犃（犪，－５）与犅（０，１０）两点间的距离是１７，求犪的值．
３．用坐标法证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等．

２３３!2?)*/<=>3



如图２．３５，已知点犘（狓０，狔０），直线犾：犃狓＋犅狔＋犆＝０，　P　l
如何求点犘到直线犾的距离？

O

x

图２．３５

点犘到直线犾的距离，就是从点犘到直线犾的垂线段犘犙的长度，其中犙是垂足
（图２．３５）．因此，求出垂足犙的坐标，利用两点间的距离公式求出｜犘犙｜，就可以得到
７４第二章直线和圆的方程

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

点犘到直线犾的距离．
设犃≠０，犅≠０．由犘犙⊥犾，以及直线犾的斜率为－犃，可得犾的垂线犘犙的斜率为
犅
犅，因此，垂线犘犙的方程为狔－狔０＝犅（狓－狓０），即犅狓－犃狔＝犅狓０－犃狔０．
犃　犃
解方程组
烄烅犃狓＋犅狔＋犆＝０，　①
烆犅狓－犃狔＝犅狓０－犃狔０，
得直线犾与犘犙的交点坐标，即垂足犙的坐标为
犅２狓０－犃犅狔０－犃犆－犃犅狓０＋犃２狔０－犅犆

于是（犃２＋犅２，犃２＋犅２）．

犅２狓０－犃犅狔０－犃犆２－犃犅狓０＋犃２狔０－犅犆２

｜犘犙｜＝槡（犃２＋犅２２－狓０）＋（犃２＋犅２ －狔０）

＝（犃狓０＋２犅狔０２＋犆）＝｜犃狓０＋犅狔０＋犆｜．

槡犃＋犅 槡犃２＋犅２

因此，点犘（狓０，狔０）到直线犾：犃狓＋犅狔＋犆＝０的距离
犱＝｜犃狓０＋犅狔０＋犆｜．
槡犃２＋犅２
可以验证，当犃＝０，或犅＝０时，上述公式仍然成立．



上述方法中，我们根据点到直线距离的定义，将点到直线的距离转化为两点之间
的距离，思路自然但运算量较大．反思求解过程，你发现引起复杂运算的原因了吗？
由此能否给出简化运算的方法？
在上述方法中，若设垂足犙的坐标为（狓，狔），则
｜犘犙｜＝槡（狓－狓０）２＋（狔－狔０）２．　②
对于②式，你能给出它的几何意义吗？结合方程组①，能否直接求出（狓－狓０）２＋
（狔－狔０）２，进而求出｜犘犙｜呢？请你试一试！



我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具．能否用向量方法求点到直线
的距离？

第二章直线和圆的方程７５

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

如图２．３６，点犘到直线犾的距离，就是向量犘犙→
的模．

y
P(x0,y0) l

n

M(x,y)

设犕（狓，狔）是直线犾上的任意一点，狀是与直线犾的　P2
方向向量垂直的单位向量，则犘犙→是犘犕→在狀上的投影向OP1　x
量，｜犘犙→｜＝｜犘犕→·狀｜．
图２．３６



如何利用直线犾的方程得到与犾的方向向量垂直的单位向量狀？
设犘１（狓１，狔１），犘２（狓２，狔２）是直线犾：犃狓＋犅狔＋犆＝０上的任意两点，则犘１犘→２＝
（狓２－狓１，狔２－狔１）是直线犾的方向向量．把犃狓１＋犅狔１＋犆＝０，犃狓２＋犅狔２＋犆＝０两式
相减，得犃（狓２－狓１）＋犅（狔２－狔１）＝０．由平面向量的数量积运算可知，向量（犃，犅）
与向量（狓２－狓１，狔２－狔１）垂直．向量２１２（犃，犅）就是与直线犾的方向向量垂直
槡犃＋犅
的一个单位向量．我们取狀＝２１２（犃，犅），从而
槡犃＋犅
犘犕→·狀＝（狓－狓０，狔－狔０）·２１２（犃，犅）
槡犃＋犅
＝２１２［犃（狓－狓０）＋犅（狔－狔０）］
槡犃＋犅
＝２１２（犃狓＋犅狔－犃狓０－犅狔０）．
槡犃＋犅
因为点犕（狓，狔）在直线犾上，所以犃狓＋犅狔＋犆＝０．所以犃狓＋犅狔＝－犆．代入
上式，得
犘犕→·狀＝２１２（－犃狓０－犅狔０－犆）．
槡犃＋犅
因此
｜犘犙｜＝｜犘犙→｜＝｜犘犕→·狀｜＝｜犃狓０＋２犅狔０＋２犆｜．
槡犃＋犅



比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点间的距离，通
过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利用向量投影，通过向量运算求出结
果，简化了运算．除了上述两种方法，你还有其他推导方法吗？

７６第二章直线和圆的方程

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

例５求点犘（－１，２）到直线犾：３狓＝２的距离．
分析：将直线犾的方程写成３狓－２＝０，再用点到直线
的距离公式求解．　直线犾有什么特性？由
解：点犘（－１，２）到直线犾：３狓－２＝０的距离 此你能给出简便解法吗？

犱＝｜３×（２－１）２－２｜＝５．
槡３＋０３
例６已知△犃犅犆的三个顶点分别是犃（１，３），犅（３，　y A
１），犆（－１，０），求△犃犅犆的面积．　3
分析：由三角形面积公式可知，只要利用距离公式求出2

边犃犅的长和边犃犅上的高即可．
解：如图２．３７，设边犃犅上的高为犺，则

C1
-1O 123x

B

犛△犃犅犆＝１２｜犃犅｜犺．

图２．３７

｜犃犅｜＝槡（３－１）２＋（１－３）２＝２槡２．
边犃犅上的高犺就是点犆到直线犃犅的距离．
边犃犅所在直线犾的方程为
狔－３＝狓－１，
１－３３－１
即狓＋狔－４＝０．
点犆（－１，０）到直线犾：狓＋狔－４＝０的距离

犺＝｜－１＋０－４２２｜＝５．　你还有其他解法吗？
槡１＋１槡２

因此，犛△犃犅犆＝１２×２槡２×５槡２＝５．



１．求原点到下列直线的距离：
（１）犾：３狓＋２狔－２６＝０；（２）犾：狓＝狔．
２．求下列点到直线的距离：
（１）犃（－２，３），犾：３狓＋４狔＋３＝０；
（２）犅（１，０），犾：槡３狓＋狔－槡３＝０；
（３）犆（１，－２），犾：４狓＋３狔＝０．
３．已知点犘（－１，２）到直线犾：４狓－３狔＋犆＝０的距离为１，求犆的值．

第二章直线和圆的方程７７

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

２３４!"#$%&'()*+
前面我们已经得到了两点间的距离公式、点到直线的距离公式．关于平面上的距离问
题，两条平行直线间的距离也是值得研究的．
两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长．



已知两条平行直线犾１，犾２的方程，如何求犾１与犾２间的距离？
根据两条平行直线间距离的含义，在直线犾１上任取一点犘（狓０，狔０），点犘（狓０，狔０）
到直线犾２的距离就是直线犾１与直线犾２间的距离．这样，求两条平行直线间的距离就转化
为求点到直线的距离．

例７已知两条平行直线犾１：２狓－７狔－８＝０，犾２：６狓－２１狔－１＝０，求犾１与犾２间的距离．
分析：在犾１上选取一点，如犾１与坐标轴的交点，用点到直线的距离公式求这点到犾２
的距离，即犾１与犾２间的距离．
解：先求犾１与狓轴的交点犃的坐标．容易知道，点犃的坐标为（４，０）．
点犃到直线犾２的距离

犱＝｜６×４－２２１×０－１２｜＝２３＝２３１５９槡５３，　如何取点，可使计算
槡６＋２１３槡５３
所以１与２间的距离为２３　简单？
犾犾 １５９槡５３．

例８求证：两条平行直线犃狓＋犅狔＋犆１＝０与犃狓＋犅狔＋犆２＝０间的距离为
犱＝｜犆１－犆２｜．
槡犃２＋犅２
分析：两条平行直线间的距离即为这两条平行直线中的一条直线上的一点到另一条直
线的距离．
证明：在直线犃狓＋犅狔＋犆１＝０上任取一点犘（狓０，狔０），点犘（狓０，狔０）到直线
犃狓＋犅狔＋犆２＝０的距离就是这两条平行直线间的距离，即
犱＝｜犃狓０＋犅狔０＋犆２｜．
槡犃２＋犅２
因为点犘（狓０，狔０）在直线犃狓＋犅狔＋犆１＝０上，所以犃狓０＋犅狔０＋犆１＝０，即犃狓０＋
犅狔０＝－犆１，因此
犱＝｜犃狓０＋犅狔０＋犆２｜＝｜－犆１＋犆２｜＝｜犆１－犆２｜．
槡犃２＋犅２ 槡犃２＋犅２槡犃２＋犅２

７８第二章直线和圆的方程

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用



１．求下列两条平行直线间的距离：
（１）犾１：２狓＋３狔－８＝０，犾２：２狓＋３狔＋１８＝０；
（２）犾１：３狓＋４狔＝１０，犾２：３狓＋４狔＝０．
２．已知两条平行直线犾１：３狓－４狔＋６＝０与犾２：３狓－４狔＋犆＝０间的
距离为３，求犆的值．
３．如图，已知直线犾１：狓－２狔＋１＝０与直线犾２：狓－２狔＋４＝０，在犾１ l1
上任取一点犃，在犾２上任取一点犅，连接犃犅，取犃犅的靠近点犃 （第３题）
的三等分点犆，过点犆作犾１的平行线犾３．求犾１与犾３间的距离．

y
B
l2
CA
l3
O

x

习题２．３



１．判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标：
（１）犾１：２狓－狔＋７＝０，犾２：狓＋狔＝１；
（２）犾１：狓－３狔－１０＝０，犾２：狔＝狓＋５；
３
（３）犾１：３狓－５狔＋１０＝０，犾２：９狓－１５狔＋３０＝０．
２．求满足下列条件的直线犾的方程：
（１）经过两条直线２狓－３狔＋１０＝０和３狓＋４狔－２＝０的交点，且垂直于直线３狓－２狔＋４＝０；
（２）经过两条直线２狓＋狔－８＝０和狓－２狔＋１＝０的交点，且平行于直线４狓－３狔－７＝０．
３．已知犃（１，２），犅（２，０），犕（１，０），犖（－４，０），犘（０，３），犙（－１，１）六个点，线段犃犅，
犕犖，犘犙能围成一个三角形吗？为什么？
４．已知犘（犪，２），犙（－２，－３），犕（１，１）三点，且｜犘犙｜＝｜犘犕｜，求犪的值．
５．（１）求在狓轴上与点犃（５，１２）的距离为１３的点的坐标；
（２）已知点犘的横坐标是７，点犘与点犖（－１，５）间的距离等于１０，求点犘的纵坐标．
６．求点犘（－５，７）到直线１２狓＋５狔－３＝０的距离．
７．求两条平行直线３狓－２狔－１＝０与３狓－２狔＋１＝０间的距离．
８．犃犅犆犇的一组对边犃犅和犆犇所在直线的方程分别是６狓＋８狔－３＝０与６狓＋８狔＋５＝０，过
犃犅犆犇的两条对角线的交点作与犃犅所在直线平行的直线犾，求犾与犆犇所在直线的距离．



９．三条直线犪狓＋２狔＋８＝０，４狓＋３狔＝１０与２狓－狔＝１０相交于一点，求犪的值．
１０．已知△犃犅犆的顶点犃（５，１），边犃犅上的中线犆犕所在直线方程为２狓－狔－５＝０，边犃犆上
的高犅犎所在直线方程为狓－２狔－５＝０．求：（１）顶点犆的坐标；（２）直线犅犆的方程．
１１．在狓轴上求一点犘，使以犃（１，２），犅（３，４）和犘为顶点的三角形的面积为１０．
第二章直线和圆的方程７９

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

１２．已知犃犗是△犃犅犆边犅犆的中线，用坐标法证明｜犃犅｜２＋｜犃犆｜２＝２（｜犃犗｜２＋｜犗犆｜２）．
１３．已知点犃（犪，６）到直线３狓－４狔＝２的距离犱分别为下列各值：（１）犱＝４；（２）犱＞４，求犪
的取值范围．
１４．已知犃（－３，－４），犅（６，３）两点到直线犾：犪狓＋狔＋１＝０的距离相等，求犪的值．
１５．犃犅犆犇的四条边所在直线的方程分别是犾１：狓－４狔＋５＝０，犾２：２狓＋狔－８＝０，犾３：狓－４狔
＋１４＝０，犾４：２狓＋狔＋１＝０，求犃犅犆犇的面积．



１６．已知λ为任意实数，当λ变化时，方程
３狓＋４狔－２＋λ（２狓＋狔＋２）＝０
表示什么图形？图形有何特点？
１７．已知０＜狓＜１，０＜狔＜１．
（１）求证：槡狓２＋狔２＋槡狓２＋（１－狔）２＋槡（１－狓）２＋狔２＋槡（１－狓）２＋（１－狔）２≥２２槡，并求
使等式成立的条件．
（２）说明上述不等式的几何意义．

 

笛卡儿与解析几何
解析几何的创立适应了１７世纪科学技术发展的迫切
需要．法国数学家笛卡儿（Ｄｅｓｃａｒｔｅｓ，１５９６—１６５０）是
解析几何的创始人之一．他对当时的几何方法和代数方
法进行比较，分析了它们各自的优缺点．他认为，没有
任何东西比几何图形更容易印入人脑，用图形表达事物
非常有益．但他对欧几里得几何中许多定理的证明需要
某种奇巧的想法深感不安，他还批评古希腊人的几何过笛卡儿
多地依赖图形．他看到了代数的力量，认为代数在提供广泛的方法论方面高于欧
几里得的几何学．他认为，代数具有一般性，例如用字母代替数时，可以代表各
种数：正数、负数和０；代数中的公式可以使解题过程机械化；代数具有作为一
门普遍的科学方法的潜力．
笛卡儿的中心思想是使代数和几何结合起来．他说：“我决心放弃那个仅仅
是抽象的几何，这就是说，不再去考虑那些仅仅是用来练习思想的问题．我这样
做，是为了研究另一种几何，即目的在于解释自然现象的几何．”

８０第二章直线和圆的方程

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

笛卡儿曾计划写一本书《思想的指导法则》，在书中他大胆地提出了一个解
决一切问题的方案：把一切问题归结为数学问题，把一切数学问题归结为代数问
题，把一切代数问题归结为方程，最后得到关于一个未知数的方程．可能不久他
自己就发现这个设想过于大胆，根本无法实现，这本书没有写完就搁下了（在他
去世后人们将它出版）．他的这个方案虽然失败了，但确有很多问题可以用列方
程的方法来解．
１６３７年笛卡儿发表了《更好地指导推理和寻找科学真理的方法论》，这是
一本哲学的经典著作，包含了三个附录，《几何学》就是其中之一．《几何学》
是笛卡儿所写的唯一一本数学书．笛卡儿在《几何学》中引入了坐标方法和用
方程表示曲线的思想．于是后人就把这本《几何学》的发表作为解析几何创立
的标志．
笛卡儿最初所使用的坐标系中，两条坐标轴的夹角不要求一定是直角，而且
狔轴并没有明显地出现．至于“坐标”“坐标系”“横坐标”“纵坐标”等名词，
也都是后来人们逐渐使用的．虽然笛卡儿当初的坐标系还不够完善，但是笛卡儿
当初迈出的第一步具有决定意义，所以人们仍然把后来的直角坐标系，叫做笛卡
儿直角坐标系．
差不多与笛卡儿同时，另一位法国数学家费马（Ｆｅｒ
ｍａｔ，１６０１—１６６５）在自己的研究中也独立地形成了用方
程表示曲线的思想．因此，费马和笛卡儿同为解析几何的
创始人．
解析几何的创立在数学发展史上具有划时代的意义，
是数学发展史上的一个里程碑!它促进了微积分的创立，
从此数学进入了变量数学的新时期．正如恩格斯在《自然 费马
辩证法》一书中所指出的：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动
进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成
为必要的了．”
解析几何的创立提供了研究几何问题的一种新方法，借助于坐标系，把几何
问题转化为代数问题来研究．这种方法具有一般性，它沟通了数学内部数与形、
代数与几何两大学科之间的联系．从此代数和几何互相汲取新鲜的活力，得到迅
速的发展．

第二章直线和圆的方程８１

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

２４圆的方程

多边形和圆是平面几何中的两类基本图形．建立直线的
方程后，我们可以运用它研究多边形这些“直线形”，解决
边所在直线的平行或垂直、边与边的交点以及点到线段所在
直线的距离等问题．类似地，为了研究圆的有关性质，解决
与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程．

２４１!@/:A45
类似于直线方程的建立过程，为建立圆的方程，我们首先考虑确定一个圆的几何要素．



在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？

我们知道，圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合．在平面直角坐标系中，如
果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了．由此，我们可以建立圆上点的坐标
应满足的关系式，进而得到圆的方程．
如图２．４１，在平面直角坐标系中，⊙犃的圆心犃的坐标为（犪，犫），半径为狉，
犕（狓，狔）为圆上任意一点，⊙犃就是以下点的集合 y
犘＝｛犕｜｜犕犃｜＝狉｝．
根据两点间的距离公式，点犕的坐标（狓，狔）满足的 OA　x
条件可以表示为　r

槡（狓－犪）２＋（狔－犫）２＝狉，
两边平方，得　图２．４１
（狓－犪）２＋（狔－犫）２＝狉２． （１）
由上述过程可知，若点犕（狓，狔）在⊙犃上，点犕的
坐标就满足方程（１）；反过来，若点犕的坐标（狓，狔）满 圆心在坐标原点，半
足方程（１），就说明点犕与圆心犃间的距离为狉，点犕就径为狉的圆的标准方程是
在⊙犃上．这时，我们把方程（１）称为圆心为犃（犪，犫），半什么？
径为狉的圆的标准方程（ｓｔａｎｄａｒｄｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｃｉｒｃｌｅ）．
８２第二章直线和圆的方程

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

例１求圆心为犃（２，－３），半径为５的圆的标准方程，并判断点犕１（５，－７），
犕２（－２，－１）是否在这个圆上．
分析：根据点的坐标与圆的方程的关系，只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程，
就可以得到这个点是否在圆上．
解：圆心为犃（２，－３），半径为５的圆的标准方程是y
（狓－２）２＋（狔＋３）２＝２５．
把点犕１（５，－７）的坐标代入方程（狓－２）２＋（狔＋３）２＝２５O　x
的左边，得（５－２）２＋（－７＋３）２＝２５，左右两边相等，点　M2 A
犕１的坐标满足圆的方程，所以点犕１在这个圆上．　M
把点犕２（－２，－１）的坐标代入方程（狓－２）２＋（狔＋３）２＝２５　1
的左边，得（－２－２）２＋（－１＋３）２＝２０，左右两边不相等， 图２．４２
点犕２的坐标不满足圆的方程，所以点犕２不在这个圆上（图
２．４２）．



点犕０（狓０，狔０）在圆狓２＋狔２＝狉２内的条件是什么？在圆狓２＋狔２＝狉２外的条件
又是什么？

例２△犃犅犆的三个顶点分别是犃（５，１），犅（７，－３），
犆（２，－８），求△犃犅犆的外接圆的标准方程．
分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三 △犃犅犆的外接圆的圆
角形有唯一的外接圆．显然已知的三个点不在同一条直线心是△犃犅犆的外心，即
上．只要确定了犪，犫，狉，圆的标准方程就确定了． △犃犅犆三边垂直平分线的
交点．
解：设所求的方程是
（狓－犪）２＋（狔－犫）２＝狉２．　①
因为犃（５，１），犅（７，－３），犆（２，－８）三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方
程①．于是
烄（５－犪）２＋（１－犫）２＝狉２，
烅（７－犪）２＋（－３－犫）２＝狉２，
烆（２－犪）２＋（－８－犫）２＝狉２，
即
烄犪２＋犫２－１０犪－２犫＋２６＝狉２，
烅犪２＋犫２－１４犪＋６犫＋５８＝狉２，
烆犪２＋犫２－４犪＋１６犫＋６８＝狉２．
第二章直线和圆的方程８３

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

观察上面的式子，我们发现，三式两两相减，可以消去犪２，犫２，狉２，得到关于犪，犫
的二元一次方程组
烄烅犪－２犫＝８，
烆犪＋犫＝－１．
解此方程组，得
烄烅犪＝２，
烆犫＝－３，
代入（５－犪）２＋（１－犫）２＝狉２，得狉２＝２５．
所以，△犃犅犆的外接圆的标准方程是
（狓－２）２＋（狔＋３）２＝２５．

例３已知圆心为犆的圆经过犃（１，１），犅（２，－２）两点，且圆心犆在直线犾：狓－
狔＋１＝０上，求此圆的标准方程．
分析：设圆心犆的坐标为（犪，犫）．由已知条件可知，｜犆犃｜＝｜犆犅｜，且犪－犫＋１＝０．
由此可求出圆心坐标和半径．
另外，因为线段犃犅是圆的一条弦，根据平面几何知识，犃犅的中点与圆心犆的连线
垂直于犃犅，由此可得到另一种解法．
解法１：设圆心犆的坐标为（犪，犫）．因为圆心犆在直线犾：狓－狔＋１＝０上，所以
犪－犫＋１＝０．　①
因为犃，犅是圆上两点，所以｜犆犃｜＝｜犆犅｜．
根据两点间距离公式，有
槡（犪－１）２＋（犫－１）２＝槡（犪－２）２＋（犫＋２）２，　y
即　l

犪－３犫－３＝０．②　OD　x
由①②可得犪＝－３，犫＝－２．所以圆心犆的坐标是　C　B
（－３，－２）．
圆的半径
狉＝｜犃犆｜＝槡（１＋３）２＋（１＋２）２＝５．　图２．４３
所以，所求圆的标准方程是
（狓＋３）２＋（狔＋２）２＝２５．
解法２：如图２．４３，设线段犃犅的中点为犇．由犃，犅两点的坐标为（１，１），（２，

－２），可得点犇的坐标为（３２，－１２），直线犃犅的斜率为犽犃犅＝－２－１２－１＝－３．
因此，线段犃犅的垂直平分线犾′的方程是狔＋１２＝１３（狓－３２），即

８４第二章直线和圆的方程

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

狓－３狔－３＝０．
由垂径定理可知，圆心犆也在线段犃犅的垂直平分线上，所以它的坐标是方程组
烄烅狓－３狔－３＝０，
烆狓－狔＋１＝０
的解．
解这个方程组，得
烄烅狓＝－３，
烆狔＝－２．
所以圆心犆的坐标是（－３，－２）．
圆的半径
狉＝｜犃犆｜＝槡（１＋３）２＋（１＋２）２＝５．
所以，所求圆的标准方程是
（狓＋３）２＋（狔＋２）２＝２５．



１．写出下列圆的标准方程：
（１）圆心为犆（－３，４），半径是槡５；
（２）圆心为犆（－８，３），且经过点犕（－５，－１）．
２．已知圆的标准方程是（狓－３）２＋（狔＋２）２＝１６，借助计算工具计算，判断下列各点在圆上、圆外，
还是在圆内．
（１）犕１（４．３０，－５．７２）；（２）犕２（５．７０，１．０８）；（３）犕３（３，－６）．
３．已知犘１（４，９），犘２（６，３）两点，求以线段犘１犘２为直径的圆的标准方程，并判断点犕（６，９），
犖（３，３），犙（５，３）在圆上、圆内，还是在圆外．
４．已知△犃犗犅的三个顶点分别是点犃（４，０），犗（０，０），犅（０，３），求△犃犗犅的外接圆的标准方程．

２４２!@/6745



我们知道，方程（狓－１）２＋（狔＋２）２＝４表示以（１，－２）为圆心，２为半径的
圆．可以将此方程变形为狓２＋狔２－２狓＋４狔＋１＝０．
一般地，圆的标准方程（狓－犪）２＋（狔－犫）２＝狉２可以变形为
狓２＋狔２＋犇狓＋犈狔＋犉＝０　（２）
的形式．反过来，形如（２）的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗？
第二章直线和圆的方程８５

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

例如，对于方程狓２＋狔２－２狓－４狔＋６＝０，对其进行配方，得（狓－１）２＋（狔－２）２＝－１，
因为任意一个点的坐标（狓，狔）都不满足这个方程，所以这个方程不表示任何图形．所
以，形如（２）的方程不一定能通过恒等变形变为圆的标准方程．这表明，形如（２）的方程不
一定是圆的方程．



方程狓２＋狔２＋犇狓＋犈狔＋犉＝０中的犇，犈，犉满足什么条件时，这个方程表
示圆？
将方程（２）的左边配方，并把常数项移到右边，得
犇２犈２犇２＋犈２－４犉

（）当２２（狓＋时２，）比较方程＋（狔＋２）和圆的标准方程＝４．，可以看出方程（）表示以①

１犇＋犈－４犉＞０

①

２

（－犇２，－犈２）为圆心，１２槡犇２＋犈２－４犉为半径的圆；

（２）当犇２＋犈２－４犉＝０时，方程（２）只有实数解狓＝－犇，狔＝－犈，它表示一个
２ ２
点－犇，－犈；

（（３２）当犇２２）＋犈２－４犉＜０时，方程（２）没有实数解，它不表示任何图形．

因此，当犇２＋犈２－４犉＞０时，方程（２）表示一个圆．我们把方程（２）叫做圆的一般方
程（ｇｅｎｅｒａｌｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｃｉｒｃｌｅ）．



圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？
例４求过三点犗（０，０），犕１（１，１），犕２（４，２）的圆的方程，并求这个圆的圆心坐
标和半径．
分析：将点犗，犕１，犕２的坐标分别代入圆的一般方程，可得一个三元一次方程组，
解方程组即可求出圆的方程．
解：设圆的方程是
狓２＋狔２＋犇狓＋犈狔＋犉＝０．　①
因为犗，犕１，犕２三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解．把它们的坐标
依次代入方程①，得到关于犇，犈，犉的一个三元一次方程组
烄犉＝０，
烅犇＋犈＋犉＋２＝０，
烆４犇＋２犈＋犉＋２０＝０．
８６第二章直线和圆的方程

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

解这个方程组，得
烄犇＝－８，
烅犈＝６，
烆犉＝０．
所以，所求圆的方程是
狓２＋狔２－８狓＋６狔＝０．
由前面的讨论可知，所求圆的圆心坐标是（４，－３），与例２的方法比较，
１２２　你有什么体会？
半径狉＝２槡犇＋犈－４犉＝５．

求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤是：
（１）根据题意，选择标准方程或一般方程；
（２）根据条件列出关于犪，犫，狉或犇，犈，犉的方程组；
（３）解出犪，犫，狉或犇，犈，犉，得到标准方程或一般方程．

例５已知线段犃犅的端点犅的坐标是（４，３），端点犃在圆（狓＋１）２＋狔２＝４上运
动，求线段犃犅的中点犕的轨迹方程．
分析：如图２．４４，点犃运动引起点犕运动，而点犃　y　B
在已知圆上运动，点犃的坐标满足方程（狓＋１）２＋狔２＝４．　M
建立点犕与点犃坐标之间的关系，就可以利用点犃的坐　A
标所满足的关系式得到点犕的坐标满足的关系式，求出点　O　x
犕的轨迹方程．
解：设点犕的坐标是（狓，狔），点犃的坐标是（狓０， 图２．４４
狔０）．由于点犅的坐标是（４，３），且犕是线段犃犅的中
点，所以
狓＝狓０＋４，狔＝狔０＋３．
２ ２
于是有
狓０＝２狓－４，狔０＝２狔－３． ① 点犕的轨迹方程是
因为点犃在圆（狓＋１）２＋狔２＝４上运动，所以点犃的指点犕的坐标（狓，狔）满
坐标满足圆的方程，即　足的关系式．轨迹是指点
（狓０＋１）２＋狔２０＝４． ②在运动变化过程中形成的
图形．在解析几何中，我
把①代入②，得　们常常把图形看作点的轨
（２狓－４＋１）２＋（２狔－３）２＝４，　迹（集合）．
整理，得
第二章直线和圆的方程８７

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

２

２

（狓－３２）＋（狔－３２）＝１．
这就是点犕的轨迹方程，它表示以（３２，３２）为圆心，半径为１的圆．



１．求下列各圆的圆心坐标和半径：
（１）狓２＋狔２－６狓＝０； （２）狓２＋狔２＋２犫狔＝０；　y
（３）狓２＋狔２－２犪狓－２３槡犪狔＋３犪２＝０．　D　C
２．判断下列方程分别表示什么图形，并说明理由：　E
（１）狓２＋狔２＝０；　（２）狓２＋狔２－２狓＋４狔－６＝０；　A O　Bx
（３）狓２＋狔２＋２犪狓－犫２＝０．
３．如图，在四边形犃犅犆犇中，犃犅＝６，犆犇＝３，且犃犅∥犆犇，犃犇＝犅犆， （第３题）
犃犅与犆犇间的距离为３，犈为犃犅的中点．以点犈为原点建立如图所
示的平面直角坐标系，求等腰梯形犃犅犆犇的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．

习题２．４



１．求下列各圆的圆心坐标和半径，并画出它们的图形：
（１）狓２＋狔２－２狓－５＝０； （２）狓２＋狔２＋２狓－４狔－４＝０；
（３）狓２＋狔２＋２犪狓＝０； （４）狓２＋狔２－２犫狔－２犫２＝０．
２．求下列各圆的方程，并画出图形：
（１）圆心为点犆（８，－３），且过点犃（５，１）；
（２）过犃（－１，５），犅（５，５），犆（６，－２）三点．
３．已知圆犆经过原点和点犃（２，１），并且圆心在直线犾：狓－２狔－１＝０上，求圆犆的标准方程．
４．圆犆的圆心在狓轴上，并且过犃（－１，１）和犅（１，３）两点，求圆犆的方程．



５．已知圆的一条直径的端点分别是犃（狓１，狔１），犅（狓２，狔２），求证此圆的方程是
（狓－狓１）（狓－狓２）＋（狔－狔１）（狔－狔２）＝０．
６．平面直角坐标系中有犃（０，１），犅（２，１），犆（３，４），犇（－１，２）四点，这四点是否在同一个
圆上？为什么？
７．已知等腰三角形犃犅犆的一个顶点为犃（４，２），底边的一个端点为犅（３，５），求底边的另一个
端点犆的轨迹方程，并说明它是什么图形．
８８第二章直线和圆的方程

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

８．长为２犪的线段犃犅的两个端点犃和犅分别在狓轴和狔轴上滑动，求线段犃犅的中点的轨迹方
程，并说明轨迹的形状．



９．已知动点犕与两个定点犗（０，０），犃（３，０）的距离的比为１２，求动点犕的轨迹方程，并说

明轨迹的形状．
１０．在平面直角坐标系中，如果点犘的坐标（狓，狔）满足
狓＝犪＋狉ｃｏｓθ，

其中θ为参数，狉＞０．证明：点犘的轨迹是圆心为｛狔＝犫＋狉ｓｉｎθ（犪，，犫），半径为狉的圆．

 

坐标法与数学机械化
笛卡儿开创了解析几何思想方法的先河．解析几何坐标法的形成、发展和完
善，使几何问题的求解或求证能通过坐标转化为代数方程求解．同时坐标法使计
算机应用到几何定理的证明中成为可能．
明确提出机器可以成为推理工具的思想，要追溯到１７世纪德国数学家莱布
尼茨（Ｌｅｉｂｎｉｚ，１６４６—１７１６，微积分创始人之一）．他受笛卡儿思想的启发，认
为笛卡儿创立的解析几何，目的是将几何推理转化为计算．遗憾的是，由于当时
的条件限制，计算仅仅是手工操作（手摇计算机），无法进行大量复杂的计算，
所以用机器实现几何定理证明的想法无法实现．
２０世纪以后，计算机迅速发展．计算机的发明使一些数学家又开始探讨几何
定理证明机械化的可能性．１９５０年，波兰数学家塔斯基得到一个引人注目的结
论：一切初等几何范畴中的命题都可以用机械方法判定．由于他的判定方法太复
杂，在实践中没有太大的进展．１９５９年，美籍华裔数学家王浩（１９２１—１９９５）在
这方面做出了鼓舞人心的工作，他在计算机上只用了９分钟就证明了《数学原
理》（罗素和怀特海著）中的３５０多个命题，并第一次明确提出了“走向数学的
机械化”的口号．
２０世纪７０年代以后，我国著名数学家吴文俊在几何定理机器证明上作出了
重大贡献，并创立了“吴方法”．吴文俊是我国最具国际影响的数学家之一．他
在拓扑学、自动推理、机器证明、代数几何、中国数学史、对策论等研究领域均

第二章直线和圆的方程８９

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

有杰出的贡献．曾获得首届国家最高科学技术奖
（２０００年）、首届国家自然科学一等奖（１９５６年）、
首届求是杰出科学家奖（１９９４年）、邵逸夫数学奖
（２００６年）、国际自动推理最高奖———埃尔布朗自动
推理杰出成就奖（１９９７年）等．“文华逾九章，拓扑
公式彪史册．俊杰胜十书，机器证明誉寰球．”是对
他一生工作的高度概括．
吴文俊机器证明的思想，主要是从笛卡儿的坐吴文俊（１９１９－２０１７），中国
标法和中国古代解方程的计算方法而来的．他认为，科学院院士，中国科学院数学
欧氏几何体系的特点是纯粹在空间形式间推理，或与系统科学研究院研究员
说在图形之间，或者是把数量关系归之于空间形式，
或者干脆排除数量关系．另一个体系刚好与之相反，是把空间形式转化成数量关
系来处理．这种考虑方式就是中国的传统，早在１１世纪左右就已产生，当时引
进的概念叫天元、地元等，用现在的符号就相当于引进了狓，狔等．用天元、地
元表示某一个几何事实，那么几何对象之间的相互关系就表示成天元、地元之间的
一种方程（即狓，狔之间的一种方程）．
吴文俊认为，欧氏几何体系是非机械化的，把空间形式数量化是机械化的．
吴文俊说：“我从事几何定理证明时，首先取适当的坐标，于是几何定理的假设
与终结通常都成为多项式方程，称之为假设方程与终结方程．满足定理假设的几
何图象，就相当于假设方程组的一个解答或零点．要证明定理成立，就是要证明
假设方程的零点也使终结多项式为零．”由于计算机的发展与众多数学家（特别
是以吴文俊为首的一批中国数学家）的努力，在１９７６年与１９７７年之交，几何定
理机器证明的梦想终于实现了．提出用计算机证明几何定理的“吴方法”，被认为
是自动推理领域的先驱性工作．进入２０世纪８０年代以后，吴文俊和他的同行把
几何定理机器证明的方法发展成为数学机械化方法．
请你查阅有关资料，进一步了解吴文俊的事迹，了解我国数学家在数学机械
化方面的卓越贡献．

９０第二章直线和圆的方程

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

２５直线与圆、圆与圆的位置关系

在平面几何中，我们研究过直线与圆这两类图形的位置
关系．前面我们学习了直线的方程、圆的方程，以及用方程
研究两条直线的位置关系．下面我们类比用方程研究两条直
线位置关系的方法，利用直线和圆的方程，通过定量计算研
究直线与圆、圆与圆的位置关系．

２５１!)*%@/BCDE
我们知道，直线与圆有三种位置关系：
（１）直线与圆相交，有两个公共点；
（２）直线与圆相切，只有一个公共点；
（３）直线与圆相离，没有公共点．



在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？根据上述定义，如何利用直线和圆
的方程判断它们之间的位置关系？
下面，我们通过具体例子进行研究．

例１已知直线犾：３狓＋狔－６＝０和圆心为犆的圆狓２＋狔２－２狔－４＝０，判断直线犾与
圆犆的位置关系；如果相交，求直线犾被圆犆所截得的弦长．
分析：思路１：将判断直线犾与圆犆的位置关系转化为判断由它们的方程组成的方程
组有无实数解、有几个实数解；若相交，可以由方程组解得两交点的坐标，利用两点间的
距离公式求得弦长．
思路２：依据圆心到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆的位置关系；若相交，
则可利用勾股定理求得弦长．
解法１：联立直线犾与圆犆的方程，得
烄烅３狓＋狔－６＝０，　①
烆狓２＋狔２－２狔－４＝０．　②
消去狔，得狓２－３狓＋２＝０，解得狓１＝２，狓２＝１．
第二章直线和圆的方程９１

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

所以，直线犾与圆犆相交，有两个公共点．
把狓１＝２，狓２＝１分别代入方程①，得狔１＝０，狔２＝３．
所以，直线犾与圆犆的两个交点是犃（２，０），犅（１，３）．
因此｜犃犅｜＝槡（１－２）２＋（３－０）２＝槡１０．
解法２：圆犆的方程狓２＋狔２－２狔－４＝０可化为狓２＋（狔－１）２＝５，因此圆心犆的坐
标为（０，１），半径为槡５，圆心犆（０，１）到直线犾的距离
｜３×０＋１－６｜５　y
犱＝槡３２＋１２＝槡１０＜槡５．　B
所以，直线犾与圆犆相交，有两个公共点．　r
如图２．５１，由垂径定理，得｜犃犅｜＝２槡狉２－犱２＝槡１０．　Cd

O

A x

通过上述解法我们发现，在平面直角坐标系中，要判断
直线犾：犃狓＋犅狔＋犆＝０与圆犆：（狓－犪）２＋（狔－犫）２＝狉２的 图２．５１
位置关系，可以联立它们的方程，通过判定方程组
烄烅犃狓＋犅狔＋犆＝０，
烆（狓－犪）２＋（狔－犫）２＝狉２
的解的个数，得出直线与圆的公共点的个数，进而判断直线
与圆的位置关系．若相交，可以由方程组解得两交点坐标， 适当地利用已知图形
利用两点间的距离公式求得弦长．　的几何性质，有助于简化
我们还可以根据圆的方程求得圆心坐标与半径狉，从而计算．
求得圆心到直线的距离犱，通过比较犱与狉的大小，判断直
线与圆的位置关系．若相交，则可利用勾股定理求得弦长．



与初中的方法比较，你认为用方程判断直线与圆的位置关系有什么优点？例１中
两种解法的差异是什么？
例２过点犘（２，１）作圆犗：狓２＋狔２＝１的切线犾，求　y
切线犾的方程．　P
分析：如图２．５２，容易知道，点犘（２，１）位于圆犗：
狓２＋狔２＝１外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切．我　x
们设切线方程为（），为斜率由直线与圆相O
狔－１＝犽狓－２犽．
切可求出犽的值．
解法１：设切线犾的斜率为犽，则切线犾的方程为狔－１＝图２．５２
犽（狓－２），即犽狓－狔＋１－２犽＝０．
９２第二章直线和圆的方程

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

由圆心（０，０）到切线犾的距离等于圆的半径１，得
｜１－２２犽｜＝１，
槡犽＋１

解得犽＝０或４３．

因此，所求切线犾的方程为狔＝１，或４狓－３狔－５＝０．
解法２：设切线犾的斜率为犽，则切线犾的方程为狔－１＝犽（狓－２）．
因为直线犾与圆相切，所以方程组
烄烅狔－１＝犽（狓－２），
烆狓２＋狔２＝１
只有一组解．
消元，得
（犽２＋１）狓２＋（２犽－４犽２）狓＋４犽２－４犽＝０．　①
因为方程①只有一个解，所以
Δ＝４犽２（１－２犽）２－１６犽（犽２＋１）（犽－１）＝０，

解得犽＝０或４３．

所以，所求切线犾的方程为狔＝１，或４狓－３狔－５＝０．



１．判断下列各组直线犾与圆犆的位置关系：
（１）犾：狓－狔＋１＝０，圆犆：狓２＋狔２＝３；
（２）犾：３狓＋４狔＋２＝０，圆犆：狓２＋狔２－２狓＝０；
（３）犾：狓＋狔＋３＝０，圆犆：狓２＋狔２＋２狔＝０．
２．已知直线４狓＋３狔－３５＝０与圆心在原点的圆犆相切，求圆犆的方程．
３．判断直线２狓－狔＋２＝０与圆（狓－１）２＋（狔－２）２＝４的位置关系；如果相交，求直线被圆截得的
弦长．

例３图２．５３是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度犃犅＝２０ｍ，拱高犗犘＝４ｍ，
建造时每间隔４ｍ需要用一根支柱支撑，求支柱犃２犘２的高度（精确到０．０１ｍ）．

P2P

P2P

图２．５３　图２．５４
第二章直线和圆的方程９３

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

分析：建立如图２．５４所示的直角坐标系，要得到支柱犃２犘２的高度，只需求出点
犘２的纵坐标．
解：建立如图２．５４所示的直角坐标系，使线段犃犅所
在直线为狓轴，犗为坐标原点，圆心在狔轴上．由题意，点
犘，犅的坐标分别为（０，４），（１０，０）．设圆心坐标是（０，犫），点犗是圆拱所在圆的
圆的半径是狉，那么圆的方程是　圆心吗？
狓２＋（狔－犫）２＝狉２．
下面确定犫和狉的值．
因为犘，犅两点都在圆上，所以它们的坐标（０，４），（１０，０）都满足方程狓２＋（狔－
犫）２＝狉２．于是，得到方程组
烄０２＋（４－犫）２＝狉２，
烅烆１０２＋（０－犫）２＝狉２．
解得
犫＝－１０．５，狉２＝１４．５２．
所以，圆的方程是
狓２＋（狔＋１０．５）２＝１４．５２．
把点犘２的横坐标狓＝－２代入圆的方程，得
（－２）２＋（狔＋１０．５）２＝１４．５２，
即狔＋１０．５＝槡１４．５２－（－２）２（犘２的纵坐标狔＞０，平方根取正值）．所以
狔＝槡１４．５２－（－２）２－１０．５≈１４．３６－１０．５＝３．８６（ｍ）．
答：支柱犃２犘２的高度约为３．８６ｍ．



如果不建立平面直角坐标系，你能解决这个问题吗？由此比较综合法和坐标法的
特点．
例４一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为２０ｋｍ的
圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西４０ｋｍ处，港口位于小岛中心正北３０ｋｍ处．如
果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？y
分析：先画出示意图，了解小岛中心、轮船、港口的　
方位和距离．如图２．５５，根据题意，建立适当的平面直
角坐标系，求出暗礁所在区域的边缘圆的方程，以及轮船 O　 x
返港直线的方程，利用方程判断直线与圆的位置关系，进
而确定轮船是否有触礁危险．
解：以小岛的中心为原点犗，东西方向为狓轴，建立 图２．５５
９４第二章直线和圆的方程

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

如图２．５５所示的直角坐标系．为了运算的简便，我们取１０ｋｍ为单位长度，则港口所在
位置的坐标为（０，３），轮船所在位置的坐标为（４，０）．
这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为
狓２＋狔２＝４；
轮船航线所在直线犾的方程为
狓＋狔＝１，即３狓＋４狔－１２＝０．
４３
联立直线犾与圆犗的方程，得
烄烅３狓＋４狔－１２＝０，
烆狓２＋狔２＝４．
消去狔，得
２５狓２－７２狓＋８０＝０．
由Δ＝（－７２）２－４×２５×８０＜０，可知方程组无解．
所以直线犾与圆犗相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险．



你还能用其他方法解决上述问题吗？
用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将
几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几
何含义，得到几何问题的结论．这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表
示问题中的几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转
化为代数问题；　比较坐标法与向量法，
第二步：通过代数运算，解决代数问题；　它们在解决几何问题时，有
第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论． 什么异同点？



１．赵州桥的跨度是３７．４ｍ，圆拱高约为７．２ｍ．求这座圆拱桥的拱
圆的方程．
２．某圆拱桥的水面跨度２０ｍ，拱高４ｍ．现有一船，宽１０ｍ，水面
以上高３ｍ，这条船能否从桥下通过？
３．在一个平面上，机器人从与点犆（５，－３）的距离为９的地方绕点（第１题）
犆顺时针而行，在行进过程中保持与点犆的距离不变．它在行进
过程中到过点犃（－１０，０）与犅（０，１２）的直线的最近距离和最远距离分别是多少？

第二章直线和圆的方程９５

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

２５２!@%@/BCDE
前面我们运用直线的方程、圆的方程，研究了直线与圆的位置关系．现在我们类比上
述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系．
我们知道，两个圆之间存在以下三种位置关系：
（１）两圆相交，有两个公共点；
（２）两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点；
（３）两圆相离，包括外离与内含，没有公共点．



类比运用直线和圆的方程，研究直线与圆的位置关系的方法，如何利用圆的方
程，判断它们之间的位置关系？
例５已知圆犆１：狓２＋狔２＋２狓＋８狔－８＝０，圆犆２：狓２＋狔２－４狓－４狔－２＝０，试判
断圆犆１与圆犆２的位置关系．
分析：思路１：圆犆１与圆犆２的位置关系由它们有几个公共点确定，而它们有几个公
共点又由它们的方程所组成的方程组有几组实数解确定；
思路２：借助图形，可以依据圆心距与两半径的和狉１＋狉２或两半径的差的绝对值
｜狉１－狉２｜的大小关系，判断两圆的位置关系．
解法１：将圆犆１与圆犆２的方程联立，得到方程组
烄狓２＋狔２＋２狓＋８狔－８＝０，　①
烅烆狓２＋狔２－４狓－４狔－２＝０．② 画出圆犆１与圆犆２以
①－②，得　及方程③表示的直线，你
狓＋２狔－１＝０，　③发现了什么？你能说明为
由，得　什么吗？
③

狔＝１－２狓．

把上式代入①，并整理，得
狓２－２狓－３＝０． ④
方程④的根的判别式
Δ＝（－２）２－４×１×（－３）＝１６＞０，　本题只要判断圆
犆１
所以，方程④有两个不相等的实数根狓１，狓２．把狓１，狓２分与圆犆２是否有公共点，
别代入方程③，得到狔１，狔２．　并不需求出公共点的坐
因此圆犆１与圆犆２有两个公共点犃（狓１，狔１），犅（狓２，标，因此不必解方程④，
狔２），这两个圆相交．　具体求出两个实数根．
９６第二章直线和圆的方程

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

解法２：把圆犆１的方程化成标准方程，得
（狓＋１）２＋（狔＋４）２＝２５，
圆犆１的圆心是（－１，－４），半径狉１＝５．　y
把圆犆２的方程化成标准方程，得　A　C2
（狓－２）２＋（狔－２）２＝１０，

O

x

圆犆２的圆心是（２，２），半径狉２＝槡１０．　B
圆犆１与圆犆２的圆心距为　C1
槡（－１－２）２＋（－４－２）２＝３槡５．
圆犆１与圆犆２的两半径之和狉１＋狉２＝５＋槡１０，两半径 图２．５６
长之差狉１－狉２＝５－槡１０．
因为５－槡１０＜３槡５＜５＋槡１０，即狉１－狉２＜３槡５＜狉１＋狉２，所以圆犆１与圆犆２相交
（图２．５６），它们有两个公共点犃，犅．



在解法１中，如果两圆方程联立消元后得到的方程的Δ＝０，它说明什么？你能
据此确定两圆是内切还是外切吗？如何判断两圆是内切还是外切呢？
当Δ＜０时，两圆是什么位置关系？
例６已知圆犗的直径犃犅＝４，动点犕与点犃的距离是它与点犅的距离的槡２倍．
试探究点犕的轨迹，并判断该轨迹与圆犗的位置关系． y　M
分析：我们可以通过建立适当的平面直角坐标
系，求得满足条件的动点犕的轨迹方程，从而得到　P
点犕的轨迹；通过研究它的轨迹方程与圆犗方程的AOB　x
关系，判断这个轨迹与圆犗的位置关系．
解：如图２．５７，以线段犃犅的中点犗为原点，犃犅
所在直线为狓轴，线段犃犅的垂直平分线为狔轴，建立　图２．５７
平面直角坐标系．由犃犅＝４，得犃（－２，０），犅（２，０）．
设点犕的坐标为（狓，狔），由｜犕犃｜＝槡２｜犕犅｜，得
槡（狓＋２）２＋狔２＝槡２×槡（狓－２）２＋狔２，　如果把本例中的“槡２
化简，得狓２－１２狓＋狔２＋４＝０，即（狓－６）２＋狔２＝３２．倍”改为“犽（犽＞０）倍”，
你能分析并解决这个问
所以点犕的轨迹是以犘（６，０）为圆心，半径为４槡２题吗？
的一个圆（图２．５７）．
因为两圆的圆心距为｜犘犗｜＝６，两圆的半径分别为狉１＝２，狉２＝４槡２，又狉２－狉１＜
｜犘犗｜＜狉２＋狉１，所以点犕的轨迹与圆犗相交．
第二章直线和圆的方程９７

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用



１．已知圆犆１：狓２＋狔２＝４，圆犆２：狓２＋狔２－８狓－６狔＋１６＝０，判断圆犆１与圆犆２的位置关系．
２．已知圆犆１：狓２＋狔２＋２狓＋３狔＋１＝０，圆犆２：狓２＋狔２＋４狓＋３狔＋２＝０，证明圆犆１与圆犆２相交，
并求圆犆１与圆犆２的公共弦所在直线的方程．

习题２．５



１．判断直线４狓－３狔＝５０与圆狓２＋狔２＝１００的位置关系．如果有公共点，求出公共点的坐标．
２．求下列条件确定的圆的方程，并画出它们的图形：
（１）圆心为犕（３，－５），且与直线狓－７狔＋２＝０相切；
（２）圆心在直线狔＝狓上，半径为２，且与直线狔＝６相切；
（３）半径为槡１３，且与直线２狓－３狔＋６＝０相切于点（３，４）．
３．求直线犾：３狓－狔－６＝０被圆犆：狓２＋狔２－２狓－４狔＝０截得的弦犃犅的长．
４．求圆心在直线３狓－狔＝０上，与狓轴相切，且被直线狓－狔＝０截得的弦长为２７槡的圆的方程．
５．求与圆犆：狓２＋狔２－狓＋２狔＝０关于直线犾：狓－狔＋１＝０对称的圆的方程．
６．正方形犃犅犆犇的边长为犪，在边犅犆上取线段犅犈＝犪，在边犇犆的延长线上取犆犉＝犪试证

３

２．

明：直线犃犈与犅犉的交点犕位于正方形犃犅犆犇的外接圆上．
７．求经过点犕（２，－２）以及圆狓２＋狔２－６狓＝０与狓２＋狔２＝４交点的圆的方程．



８．求圆心在直线狓－狔－４＝０上，并且经过圆狓２＋狔２＋６狓－４＝０与圆狓２＋狔２＋６狔－２８＝０的交
点的圆的方程．
９．求圆狓２＋狔２－４＝０与圆狓２＋狔２－４狓＋４狔－１２＝０的公共弦的长．
１０．求经过点犕（３，－１），且与圆犆：狓２＋狔２＋２狓－６狔＋５＝０相切　C
于点犖（１，２）的圆的方程．
１１．如图，某台机器的三个齿轮，犃与犅啮合，犆与犅也啮合．若犃　A
轮的直径为２００ｃｍ，犅轮的直径为１２０ｃｍ，犆轮的直径为２５０ｃｍ，　B
且∠犃＝４５°．试建立适当的坐标系，用坐标法求出犃，犆两齿轮的
中心距离（精确到１ｃｍ）．　（第１１题）
１２．已知犃（－２，－２），犅（－２，６），犆（４，－２）三点，点犘在圆狓２＋狔２＝４上运动，求｜犘犃｜２＋
｜犘犅｜２＋｜犘犆｜２的最大值和最小值．

９８第二章直线和圆的方程

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用



１３．已知圆狓２＋狔２＝４，直线犾：狔＝狓＋犫．犫为何值时，圆上恰有三个点到直线犾的距离都等于１？
１４．如图，圆狓２＋狔２＝８内有一点犘０（－１，２），犃犅为过点犘０且　y
倾斜角为α的弦．　A
（１）当α＝１３５°时，求犃犅的长．　P0
（２）是否存在弦犃犅被点犘０平分？若存在，写出直线犃犅的　O　x
方程；若不存在，请说明理由．　B
１５．已知点犘（－２，－３）和以点犙为圆心的圆（狓－４）２＋（狔－２）２＝９．
（１）画出以犘犙为直径，点犙′为圆心的圆，再求出圆犙′的方程； （第１４题）
（２）设圆犙与圆犙′相交于犃，犅两点，直线犘犃，犘犅是圆
犙的切线吗？为什么？
（３）求直线犃犅的方程．

第二章直线和圆的方程９９

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用



6FGHIJKL













 







MFNO%PQ

本章在平面直角坐标系中探究确定直线、圆的几何要素，并利用坐标表
示这些几何要素，进而得到直线、圆上的点的坐标所满足的关系式，建立直
线的方程、圆的方程；通过它们的方程，用代数方法研究有关几何问题，包
括两条直线的位置关系，特别是两条直线的平行与垂直，两条直线的交点坐
标，各种距离问题，以及直线与圆、圆与圆的位置关系等．在研究和解决这
些问题的过程中，我们可以不断体会解析几何的基本思想方法———坐标法．
坐标法是研究和解决几何问题的重要方法，它建立了几何与代数间的联
系，体现了数形结合的思想方法．用坐标法解决平面几何问题的“三步
曲”是：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何
要素，把平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论．
坐标法、综合法、向量法都是研究平面图形的重要方法．这些方法可以
推广到空间中．

１００第二章直线和圆的方程

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

 


 
 






请你带着下面的问题，复习一下全章内容吧！
１．在直角坐标系中，我们是如何探索确定直线位置的几何要素的？它
与平面几何中确定直线位置的几何要素有什么差异？
２．直线的倾斜程度、倾斜角、斜率三者之间有什么关系？如何用直线
上两点的坐标表示这条直线的斜率？直线的方向向量在刻画直线的倾斜角、
斜率方面有什么作用？
３．你能叙述直线点斜式方程的建立过程吗？
４．写出直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，并指出这些方
程中字母系数的几何意义．有人说，直线方程的其他形式都是点斜式方程的
“推论”，对此你有什么看法？
５．你能写出两点间距离公式、点到直线的距离公式吗？比较用坐标法
和向量法推导点到直线的距离公式的过程，你有何体会？
６．圆的方程有哪几种形式？你能说出它们各自的特点吗？
７．位置关系是图形间的一种重要关系．直线与直线、直线与圆、圆与圆
各有哪些位置关系？我们是如何通过方程来研究这些位置关系的？你能说说
用方程研究图形位置关系的基本思路与具体步骤吗？
８．坐标法是研究和解决平面几何问题的重要方法．你能举例说明用坐标
法解决平面几何问题“三步曲”中的第一步、第二步和第三步的具体含义吗？
９．数形结合是重要的数学思想方法．坐标系把图形性质与代数运算有机
结合起来，由此产生了解析几何这门学科．我们常说，两点间的距离公式是
勾股定理的坐标表示．用“数”表示“形”，用“形”解释“数”，在解析几
何的学习中经常遇到，你还能举出这方面的一些例子吗？

第二章直线和圆的方程１０１

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

复习参考题２



１．选择题．
（１）直线３狓＋２狔－１＝０的一个方向向量是（）．
（Ａ）（２，－３）（Ｂ）（２，３）（Ｃ）（－３，２）（Ｄ）（３，２）
（２）设直线犾的方程为狓－狔ｓｉｎθ＋２＝０，则直线犾的倾斜角α的范围是（）．
（Ａ）［０，π］（Ｂ）［π，π］（Ｃ）［π，３π］（Ｄ）［π，π）∪（π，３π）
４２ ４４ ４２２４
（３）与直线３狓－４狔＋５＝０关于狓轴对称的直线的方程为（）．
（Ａ）３狓＋４狔－５＝０（Ｂ）３狓＋４狔＋５＝０
（Ｃ）３狓－４狔＋５＝０（Ｄ）３狓－４狔－５＝０
２．已知下列各组中的两个方程表示的直线平行，求犪的值：
（１）２狓＋３狔＝犪，　４狓＋６狔－３＝０；
（２）狓＋２犪狔－１＝０， （３犪－１）狓－犪狔－１＝０；
（３）狓＋（１＋犪）狔＝２－犪，２犪狓＋４狔＝－１６．
３．已知下列各组中的两个方程表示的直线垂直，求犪的值：
（１）４犪狓＋狔＝１，（１－犪）狓＋狔＝－１；
（２）２狓＋犪狔＝２，犪狓＋２狔＝１；
（３）（３犪＋２）狓＋（１－４犪）狔＋８＝０，（５犪－２）狓＋（犪＋４）狔－７＝０．
４．求平行于直线狓－狔－２＝０，且与它的距离为２２槡的直线的方程．
５．已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别是狓＋狔－１＝０，３狓－狔＋４＝０，且它的对角线
的交点是犕（３，３），求这个平行四边形其他两边所在直线的方程．
６．求下列各圆的方程：
（１）圆心为犕（－５，３），且过点犃（－８，－１）；
（２）过犃（－２，４），犅（－１，３），犆（２，６）三点；
（３）圆心在直线３狓＋狔－５＝０上，且经过原点和点（３，－１）．
７．犿为何值时，方程狓２＋狔２－４狓＋２犿狔＋２犿２－２犿＋１＝０表示圆？并求半径最大时圆的方程．
８．判断圆狓２＋狔２－６狓＋４狔＋１２＝０与圆狓２＋狔２－１４狓－２狔＋１４＝０是否相切．



９．若函数狔＝犳（狓）在狓＝犪及狓＝犫之间的一段图象可以近似地看作线段，且犪≤犮≤犫，求证：
犳（犮）≈犳（犪）＋犮－犪［犳（犫）－犳（犪）］．
犫－犪
１０．求点犘（－２，－１）到直线犾：（１＋３λ）狓＋（１＋λ）狔－２－４λ＝０（λ为任意实数）的距离的最大值．
１１．过点犘（３，０）有一条直线犾，它夹在两条直线犾１：２狓－狔－２＝０与犾２：狓＋狔＋３＝０之间的
线段恰被点犘平分，求直线犾的方程．
１０２第二章直线和圆的方程

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

１２．已知直线犾：狓－２狔－８＝０和犃（－２，０），犅（２，４）两点，若直线犾上存在点犘使得
｜犘犃｜＋｜犘犅｜最小，求点犘的坐标．
１３．求圆狓２＋狔２－１０狓－１０狔＝０与圆狓２＋狔２－６狓＋２狔－４０＝０的公共弦长．
１４．已知圆狓２＋狔２＝４与圆狓２＋狔２＋４狓－４狔＋４＝０关于直线犾对称，求直线犾的方程．
１５．求与圆犆：（狓＋２）２＋（狔－６）２＝１关于直线３狓－４狔＋５＝０对称的圆的方程．
１６．求圆心在直线狔＝－２狓上，并且经过点犃（２，－１），与直线狓＋狔＝１相切的圆的方程．



１７．如果四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，那么它的对角线具有什么关系？为
什么？
１８．求由曲线狓２＋狔２＝｜狓｜＋｜狔｜围成的图形的面积．
１９．一条光线从点犃（－２，３）射出，经狓轴反射后，与圆犆：（狓－３）２＋（狔－２）２＝１相切，求反
射后光线所在直线的方程．
２０．已知圆犆：（狓－１）２＋（狔－２）２＝２５，直线犾：（２犿＋１）狓＋（犿＋１）狔－７犿－４＝０．
（１）求证：直线犾恒过定点．
（２）直线犾被圆犆截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时犿的值以及最短
弦长．

第二章直线和圆的方程１０３

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

第三章
圆锥曲线的方程

我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线
（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆．如果改变圆锥的轴与截平
面所成的角，那么会得到怎样的曲线呢？
如图，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴
与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是
椭圆、抛物线和双曲线．我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称
为圆锥曲线（ｃｏｎｉｃｓｅｃｔｉｏｎｓ）．
圆锥曲线与科研、生产以及人类生活有着紧密的关系．如行
星绕太阳运行的轨道是椭圆，发电厂冷却塔的外形线是双曲线，
探照灯反射镜面、卫星接收天线是抛物线绕其对称轴旋转所成的
抛物面……为什么圆锥曲线有如此广泛的应用呢？我们可以从它
们的几何特征及其性质中找到答案．
圆锥曲线的发现与研究始于古希腊．当时人们用纯几何的方
法研究这些与圆密切相关的曲线，它们的几何性质是圆的几何性
质的自然推广．１７世纪，笛卡儿发明了坐标系，人们开始借助
坐标系，运用代数方法研究圆锥曲线．
本章我们继续采用坐标法，在探究圆锥曲线几何特征的基础
上，建立它们的方程，通过方程研究它们的性质，并解决与圆锥
曲线有关的几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的思想方
法，体会坐标法的魅力与威力．

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

３１椭圆

椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科
研、生产和人类生活中具有广泛的应用．那么，椭圆到底有
怎样的几何特征？我们该如何利用这些特征建立椭圆的方
程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础？

３１１!"#$%&'()



取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的
同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖
（动点）画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉M
开一段距离，分别固定在图板的两点犉１，犉２（图　F1　F2
３．１１），套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨
迹是什么曲线？　图３．１１
在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何
条件是什么？
把细绳的两端拉开一段距离，笔尖移动的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两
个定点的距离的和等于常数．
我们把平面内与两个定点犉１，犉２的距离的和等于常数（大于犉１犉２）的点的轨迹
叫做椭圆（ｅｌｌｉｐｓｅ）．这两个定点叫做椭圆的焦点（ｆｏｃｕｓ），两焦点间的距离叫做椭圆的焦
距（ｆｏｃｕｓｄｉｓｔａｎｃｅ），焦距的一半称为半焦距．
由椭圆的定义可知，上述移动的笔尖（动点）画出的轨迹是椭圆．
下面我们根据椭圆的几何特征，选择适当的坐标系，建立椭圆的方程．



观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？
观察我们画出的图形，可以发现椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称
第三章圆锥曲线的方程１０５

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

轴，所以我们以经过椭圆两焦点犉１，犉２的直线为狓轴，线段　y
犉１犉２的垂直平分线为狔轴，建立平面直角坐标系犗狓狔，如图　M
３．１２所示．　F1 O　F2 x
设犕（狓，狔）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为２犮（犮＞０），
那么焦点犉１，犉２的坐标分别为（－犮，０），（犮，０）．根据椭圆
的定义，设点犕与焦点犉１，犉２的距离的和等于２犪．　图３．１２
由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集
犘＝｛犕｜犕犉１＋犕犉２＝２犪｝．　设为２犪能为问题的
因为　研究带来方便．
犕犉１＝槡（狓＋犮）２＋狔２，犕犉２＝槡（狓－犮）２＋狔２，
所以
槡（狓＋犮）２＋狔２＋槡（狓－犮）２＋狔２＝２犪．　①
为了化简方程①，我们将其左边的一个根式移到右边，得
槡（狓＋犮）２＋狔２＝２犪－槡（狓－犮）２＋狔２．　②
对方程②两边平方，得
（狓＋犮）２＋狔２＝４犪２－４犪槡（狓－犮）２＋狔２＋（狓－犮）２＋狔２．
整理，得
犪２－犮狓＝犪槡（狓－犮）２＋狔２．　③
对方程③两边平方，得
犪４－２犪２犮狓＋犮２狓２＝犪２狓２－２犪２犮狓＋犪２犮２＋犪２狔２．
整理，得
（犪２－犮２）狓２＋犪２狔２＝犪２（犪２－犮２）．　④
将方程④两边同除以犪２（犪２－犮２），得
狓２狔２
犪２＋犪２－犮２＝１．　⑤
由椭圆的定义可知，２犪＞２犮＞０，即犪＞犮＞０，所以犪２－犮２＞０．



观察图３．１３，你能从中找出表示犪，犮，槡犪２－犮２的线　yP
段吗？

F1 O

F2 x

图３．１３

１０６第三章圆锥曲线的方程

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

由图３．１３可知，狘犘犉１狘＝狘犘犉２狘＝犪，狘犗犉１狘＝狘犗犉２狘＝犮，狘犘犗狘＝槡犪２－犮２．令
犫＝狘犘犗狘＝槡犪２－犮２，那么方程⑤就是
狓２狔２
犪２＋犫２＝１（犪＞犫＞０）．　⑥
由于方程②③的两边都是非负实数，因此方程①到方程⑥的变形都是同解变形．这
样，椭圆上任意一点的坐标（狓，狔）都满足方程⑥；反之，以方程⑥的解为坐标的点
（狓，狔）与椭圆的两个焦点（犮，０），（－犮，０）的距离之和为２犪，即以方程⑥的解为坐
标的点都在椭圆上．我们称方程⑥是椭圆的方程，这个方程叫做椭圆的标准方程．它表示
焦点在狓轴上，两个焦点分别是犉１（－犮，０），犉２（犮，０）的椭圆，这里犮２＝犪２－犫２．



如图３．１４，如果焦点犉１，犉２在轴上，且犉１，犉２的坐标分y
狔
别为（０，－犮），（０，犮），犪，犫的意义同上，那么椭圆的方程是F2
什么？　M

O

x

图３．１４
容易知道，此时椭圆的方程是
狔２狓２
犪２＋犫２＝１（犪＞犫＞０），
这个方程也是椭圆的标准方程．

例１已知椭圆的两个焦点坐标分别是（－２，０），（２，０），并且经过点５，－３，

求它的标准方程．

（２２）

狓２狔２
解：由于椭圆的焦点在狓轴上，所以设它的标准方程为犪２＋犫２＝１（犪＞犫＞０）．
由椭圆的定义知犮＝２，

２

２

２

２

所以犪＝槡１０．２犪＝槡（５２＋２）＋（－３２）＋槡（５２－２）＋（－３２）＝２槡１０，

所以犫２＝犪２－犮２＝１０－４＝６．
所以，所求椭圆的标准方程为　你还能用其他方法求
２２　它的标准方程吗？试比较
狓＋狔＝１．　不同方法的特点．
１０６
第三章圆锥曲线的方程１０７

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

例２如图３．１５，在圆狓２＋狔２＝４上任取一点犘，过点犘作狓
轴的垂线段犘犇，犇为垂足．当点犘在圆上运动时，线段犘犇的中
点犕的轨迹是什么？为什么？（当点犘经过圆与狓轴的交点时，规
定点犕与点犘重合．）
分析：点犘在圆狓２＋狔２＝４上运动，点犘的运动引起点犕运
动．我们可以由犕为线段犘犇的中点得到点犕与点犘坐标之间的
关系式，并由点犘的坐标满足圆的方程得到点犕的坐标所满足的方图３．１５
程．
解：设点犕的坐标为（狓，狔），点犘的坐标为（狓０，狔０），则点犇的坐标为（狓０，０）．
由点犕是线段犘犇的中点，得
狓＝狓０，狔＝狔０．
２２２
因为点犘（狓０，狔０）在圆狓＋狔＝４上，所以
狓０２＋狔０２＝４．
把狓０＝狓，狔０＝２狔代入方程①，得
狓２＋４狔２＝４，
即
２
狓＋狔２＝１．
４
所以点犕的轨迹是椭圆．

yP
M
O
D
寻求点犕的坐标（狓，
狔）中狓，狔与狓０，狔０之
①间的关系，然后消去狓０，
狔０，得到点犕的轨迹方
程．这是解析几何中求点
的轨迹方程常用的方法．
利用信息技术，可以
更方便地探究点犕的轨迹
的形状．

x



由例２我们发现，可以由圆通过“压缩”得到椭圆．你能由圆通过“拉伸”得到
椭圆吗？如何“拉伸”？由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗？
例３如图３．１６，设犃，犅两点的坐标分别为（－５，０）， y

（５，０）．直线犃犕，犅犕相交于点犕，且它们的斜率之积是－４９，

求点犕的轨迹方程．　A　O　B x
分析：设点犕的坐标为（狓，狔），那么直线犃犕，犅犕的斜
率就可用含狓，狔的关系式分别表示．由直线犃犕，犅犕的斜率图３．１６

之积是－４９，可得出狓，狔之间的关系式，进而得到点犕的轨迹

方程．
解：设点犕的坐标为（狓，狔），因为点犃的坐标是（－５，０），所以直线犃犕的斜率

１０８第三章圆锥曲线的方程

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

犽犃犕＝狔（狓≠－５）．
狓＋５
同理，直线犅犕的斜率
犽犅犕＝狔（狓≠５）．
狓－５
由已知，有

狓狔＋５×狓狔－５＝－４９（狓≠±５），

化简，得点犕的轨迹方程为　运用信息技术，可以
２ ２　探究点犕的轨迹形状．
狓＋狔＝１（狓≠±５）．
２５１００
９
点犕的轨迹是除去（－５，０），（５，０）两点的椭圆．



狓２狔２

１．如果椭圆１００＋３６＝１上一点犘与焦点犉１的距离等于６，那么点犘与另一个焦点犉２的距离是．

２．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（１）犪＝４，犫＝１，焦点在狓轴上；
（２）犪＝４，犮＝槡１５，焦点在狔轴上；
（３）犪＋犫＝１０，犮＝２５．槡
狓２狔２

３．经过椭圆２５＋１６＝１的右焦点犉２作垂直于狓轴的直线犃犅，交椭圆于犃，犅两点，犉１是椭圆的左

焦点．
（１）求△犃犉１犅的周长；
（２）如果犃犅不垂直于狓轴，△犃犉１犅的周长有变化吗？为什么？
４．已知犃，犅两点的坐标分别是（－１，０），（１，０），直线犃犕，犅犕相交于点犕，且直线犃犕的斜率与
直线犅犕的斜率的商是２，点犕的轨迹是什么？为什么？

３１２!"#*+,-./0

通过对曲线的范围、
与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，对称性及特殊点的讨论，
我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆的可以从整体上把握曲线的
范围、形状、大小、对称性和特殊点等．　形状、大小和位置．所以，
狓２狔２　本章对几种圆锥曲线都是
下面，我们用椭圆方程犪２＋犫２＝１（犪＞犫＞０）来研究椭从范围、对称性、顶点及
圆的几何性质．　其他特性等方面研究它们
的几何性质．

第三章圆锥曲线的方程１０９

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用



狓２狔２
观察椭圆犪２＋犫２＝１（犪＞犫＞０）的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎
样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？

１范围



观察图３．１７，容易看出椭圆上的点都在一个特定的矩形内，你能利用方程（代数
方法）确定出它的具体边界吗？
狓２狔２　y
由方程犪２＋犫２＝１（犪＞犫＞０），可知　B2

２ ２

A

b a A

狔２＝１－狓２≥０，　1F1 OcF2 2x
犫犪
所以，椭圆上点的横坐标都适合不等式　B1
狓２　图３．１７
犪２≤１，
即　－犪≤狓≤犪．
狔２
同理有 犫２≤１，　用代数方法研究曲线
即　－犫≤狔≤犫．　的范围，就是利用方程确
这说明椭圆位于直线狓＝±犪和＝±犫围成的矩形框里定曲线上点的横、纵坐标
狔　的取值范围．
（图３．１７）．

２对称性



观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．如何利用
方程说明椭圆的对称性？

狓２狔２
在椭圆的标准方程犪２＋犫２＝１（犪＞犫＞０）中，以－狔代狔，方程不变．这说明当点
犘（狓，狔）在椭圆上时，它关于狓轴的对称点犘１（狓，－狔）也在椭圆上，所以椭圆关于狓轴
对称．同理，以－狓代狓，方程也不变，这说明如果点犘（狓，狔）在椭圆上，那么它关于狔
轴的对称点犘２（－狓，狔）也在椭圆上，所以椭圆关于狔轴对称．以－狓代狓，以－狔代狔，
１１０第三章圆锥曲线的方程

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

方程也不变，这说明当点犘（狓，狔）在椭圆上时，它关于原点的对称点犘３（－狓，－狔）也在
椭圆上，所以椭圆关于原点对称．
综上，椭圆关于狓轴、狔轴都是对称的．这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆
的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．

３顶点
研究曲线上某些特殊点的位置，可以确定曲线的位置．



狓２狔２
你认为椭圆犪２＋犫２＝１（犪＞犫＞０）上哪些点比较特殊？为什么？如何得到这些点
的坐标？
狓２狔２　yB2
在椭圆的标准方程犪２＋犫２＝１（犪＞犫＞０）中，令狓＝０，得
狔＝±犫．因此犅１（０，－犫），犅２（０，犫）是椭圆与狔轴的两个交点．A1　O　A2x
同理，令狔＝０，得狓＝±犪．因此犃１（－犪，０），犃２（犪，０）是椭圆与 B1
狓轴的两个交点．因为狓轴、狔轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它图３．１８
的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点（图３．１８）．
线段犃１犃２，犅１犅２分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分
别等于２犪和２犫，犪和犫分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．

４离心率



观察图３．１９，我们发现，不同形状的椭
圆的扁平程度不同，相同形状的椭圆的扁平程
度相同．扁平程度是椭圆的重要形状特征，你
能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？
图３．１９
狓２狔２　c=1.2　y
如图３．１１０，椭圆犪２＋犫２＝１（犪＞犫＞０）的长半轴长为a=1.81

犪，半焦距为犮．利用信息技术，保持长半轴长犪不变，改变c=1.5a　O　x
椭圆的半焦距犮，可以发现，犮越接近犪，椭圆越扁平．类似a=1.81
地，保持犮不变，改变犪的大小，则犪越接近犮，椭圆越扁ac=0.83
平；而当犪，犮扩大或缩小相同倍数时，椭圆的形状不变．　图３．１１０
这样，利用犮和犪这两个量，可以刻画椭圆的扁平程度．
第三章圆锥曲线的方程１１１

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

我们把椭圆的焦距与长轴长的比犮称为椭圆的离心率①，
犪
用犲表示，即犲＝犮．　你能运用三角函数的
犪　知识解释，为什么犲＝犮越
因为犪＞犮＞０，所以０＜犲＜１．犲越接近１，犮越接近犪，　犪
２２就越小，因此椭圆越扁平；反之，越接近，大，椭圆越扁平？犲＝犮越
犫＝槡犪－犮　犲 ０小，椭圆越接近于圆吗犪？
犮越接近０，犫越接近犪，这时椭圆就越接近于圆．
当且仅当犪＝犫时，犮＝０，这时两个焦点重合，图形变
为圆，它的方程为
狓２＋狔２＝犪２．
例４求椭圆１６狓２＋２５狔２＝４００的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．
解：把原方程化成标准方程，得
狓２狔２
５２＋４２＝１，
于是犪＝５，犫＝４，犮＝槡２５－１６＝３．

因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是２犪＝１０和２犫＝８，离心率犲＝犪犮＝３５，两个焦点

坐标分别是犉１（－３，０）和犉２（３，０），四个顶点坐标分别是犃１（－５，０），犃２（５，０），
犅１（０，－４）和犅２（０，４）．



１．你能用圆规作出图中椭圆焦点的位置吗？你的依据是什么？yB2
２．求下列椭圆的焦点坐标：　A　A

２２

1

2

（１）狓狔；

（２）２狓２＋狔２＝８．

O

x

１００＋３６＝１

B1

３．求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（１）焦点在狓轴上，犪＝６，犲＝１３；（２）焦点在狔轴上，犮＝３，犲＝３５． （第１题）

４．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（１）经过犘（－３，０），犙（０，－２）两点；（２）长轴长等于２０，离心率等于３．
５
５．比较下列每组中椭圆的形状，哪一个更接近于圆？为什么？

２２

２２

（１）９狓２＋狔２＝３６与狓１６＋狔１２＝１；

（２）狓２＋９狔２＝３６与狓６＋狔１０＝１．

①随着学习的深入你将体会到，虽然犫也能刻画椭圆的扁平程度，但犮中犪，犮是确定圆锥曲线的
犪　犪
基本量，不仅能有效刻画两个焦点离开中心的程度，而且还蕴含着圆锥曲线几何特征的统一性．
１１２第三章圆锥曲线的方程

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

例５如图３．１１１，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭y
圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过 B
对称轴的截口犅犃犆是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点E
犉１上，片门位于另一个焦点犉２上．由椭圆一个焦点犉１发出的A F1O　F2　x
光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点犉２．已知犅犆⊥　C D
犉１犉２，犉１犅＝２．８ｃｍ，犉１犉２＝４．５ｃｍ．试建立适当的平面
直角坐标系，求截口犅犃犆所在椭圆的方程（精确到０．１ｃｍ）．　图３．１１１
解：建立如图３．１１１所示的平面直角坐标系，设所求椭
圆方程为
狓２狔２
犪２＋犫２＝１（犪＞犫＞０）．
在Ｒｔ△犅犉１犉２中，
犉２犅＝槡犉１犅２＋犉１犉２２＝槡２．８２＋４．５２．
由椭圆的性质知，犉１犅＋犉２犅＝２犪，所以

犪＝１２（犉１犅＋犉２犅）＝１２（２．８＋槡２．８２＋４．５２）≈４．１；

犫＝槡犪２－犮２＝槡４．１２－２．２５２≈３．４．
所以，所求的椭圆方程为
狓２狔２
４．１２＋３．４２＝１．

例６动点犕（狓，狔）与定点犉（４，０）的距离和犕到定直

H

线犾：狓＝２４５的距离的比是常数４５，求动点犕的轨迹．　O F　x
解：如图３．１１２，设犱是点犕到直线犾：狓＝２４５的距离，

根据题意，动点犕的轨迹就是集合　图３．１１２
犘＝犕犕犉＝４．

由此得｛犱５｝

槡（狓－４）２＋狔２＝４．

２５－狓５
４
将上式两边平方，并化简，得２ ２
９狓＋２５狔＝２２５，
即　２２
狓＋狔＝１．
２５９
第三章圆锥曲线的方程１１３

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

所以，点犕的轨迹是长轴、短轴长分别为１０，６的椭圆．

例７如图３．１１３，已知直线犾：４狓－５狔＋犿＝０和椭圆

y

２２

犆：狓２５＋狔９＝１．犿为何值时，直线犾与椭圆犆：（１）有两个 l

公共点？（２）有且只有一个公共点？（３）没有公共点？ F1O F2　x
分析：直线犾与椭圆犆的公共点的个数与方程组
烄４狓－５狔＋犿＝０，
烅狓２狔２　图３．１１３

烆２５＋９＝１

解的个数相对应．所以，我们可以通过判断上述方程组解的情况得到问题的解答．
解：由方程组
烄４狓－５狔＋犿＝０，
烅狓２狔２

烆２５＋９＝１

消去狔，得
２５狓２＋８犿狓＋犿２－２２５＝０． ①
方程①的根的判别式
Δ＝６４犿２－４×２５×（犿２－２２５）＝３６×（２５２－犿２）．
由Δ＞０，得－２５＜犿＜２５．此时方程①有两个不相等的实数根，直线犾与椭圆犆有两
个不同的公共点．
由Δ＝０，得犿１＝２５，犿２＝－２５．此时方程①有两个相等的实数根，直线犾与椭圆犆
有且只有一个公共点．
由Δ＜０，得犿＜－２５，或犿＞２５．此时方程①没有实数根，直线犾与椭圆犆没有公
共点．



１．求下列直线与椭圆的交点坐标：
狓２狔２　狓２狔２

（１）３狓＋１０狔－２５＝０，２５＋４＝１；（２）３狓－狔＋２＝０，１６＋４＝１．

２

２．经过椭圆狓＋狔２＝１的左焦点犉１作倾斜角为６０°的直线犾，直线犾与椭圆相交于犃，犅两点，求线
２
段犃犅的长．

１１４第三章圆锥曲线的方程

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

习题３．１



１．如果点犕（狓，狔）在运动过程中，总满足关系式
槡狓２＋（狔－３）２＋槡狓２＋（狔＋３）２＝１０，
那么点犕的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程．
２．写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
（１）焦点坐标分别为（０，－４），（０，４），犪＝５；
（２）犪＋犮＝１０，犪－犮＝４．
３．求下列椭圆的长轴和短轴长、离心率、焦点坐标、顶点坐标，并画出图形：
（１）狓２＋４狔２＝１６；（２）９狓２＋狔２＝８１．
４．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（１）经过犘（－２２槡，０），犙（０，槡５）两点；
（２）长轴长是短轴长的３倍，且经过点犘（３，０）；
（３）焦距是８，离心率等于０．８．
狓２狔２

５．已知犘是椭圆５＋４＝１上的一点，且以点犘及焦点犉１，犉２为顶点的三角形的面积等于１，

求点犘的坐标．
６．如图，圆犗的半径为定长狉，犃是圆犗内一个定点，犘是圆犗上任意一 P　l
点．线段犃犘的垂直平分线犾和半径犗犘相交于点犙，当点犘在圆上运动
时，点犙的轨迹是什么？为什么？　A
７．彗星“紫金山一号”是南京紫金山天文台发现的，它的运行轨道是以太阳O
为一个焦点的椭圆．测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心
１．４８６天文单位，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心５．５６３天文单（第６题）
位（１天文单位是太阳到地球的平均距离，约１．５×１０８ｋｍ），且近日点、
远日点及太阳中心在同一条直线上，求轨道的方程．
８．点犕与定点犉（２，０）的距离和它到定直线狓＝８的距离的比是１∶２，求点犕的轨迹方程，并
说明轨迹是什么图形．


y

９．如图，犇犘⊥狓轴，垂足为犇，点犕在犇犘的延长线上，且犇犕
犇犘

M
P

＝３２．当点犘在圆狓２＋狔２＝４上运动时，求点犕的轨迹方程，并说

O D x

明轨迹的形状．
１０．一动圆与圆狓２＋狔２＋６狓＋５＝０外切，同时与圆狓２＋狔２－６狓－９１＝０
内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线．　（第９题）
第三章圆锥曲线的方程１１５

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

１１．如图，矩形犃犅犆犇中，犃犅＝２犪，犅犆＝２犫（犪＞犫＞０）．犈，犉，犌，犎分别是矩
形四条边的中点，犚，犛，犜是线段犗犉的四等分点，犚′，犛′，犜′是线段犆犉的四等分点．
狓２狔２
证明直线犈犚与犌犚′、犈犛与犌犛′、犈犜与犌犜′的交点犔，犕，犖都在椭圆犪２＋犫２＝１（犪＞
犫＞０）上．

A

E

B

（第１１题）
１２．已知地球运行的轨道是长半轴长犪＝１．５０×１０８ｋｍ，离心率犲＝０．０１９２的椭圆，且太阳
在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离．



狓２狔２

１３．已知椭圆２５＋９＝１，直线犾：４狓－５狔＋４０＝０．椭圆上是否存在一点，使得：

（１）它到直线犾的距离最小？最小距离是多少？
（２）它到直线犾的距离最大？最大距离是多少？
狓２狔２

１４．已知椭圆４＋９＝１，一组平行直线的斜率是３２．

（１）这组直线何时与椭圆有两个公共点？
（２）当它们与椭圆有两个公共点时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直
线上．





用信息技术探究点的轨迹：椭圆
如图１，犉是定点，犾是不经过点犉的定直线，动点犕与定点犉的距离和犕
到定直线犾的距离的比犲是小于１的常数．用信息技术软件（如《ＧｅｏＧｅｂｒａ》）画
出动点犕的轨迹，观察这个轨迹，可以发现它是一个椭圆．
在０＜犲＜１的范围内，改变犲的大小，或改变点犉与直线犾的相对位置，可
以发现动点犕的轨迹仍然是一个椭圆．

１１６第三章圆锥曲线的方程

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

y
l

M
MF=1.80cmH

l
M
H

图１　图２
在平面直角坐标系中，我们可以把上述问题叙述为：
若点犕（狓，狔）与定点犉（犮，０）（或犉′（－犮，０））的距离和它到定直线犾：
犪２　犪２　犮

狓＝犮（或犾′：狓＝－犮）的距离的比是常数犪（０＜犮＜犪），则点犕的轨迹是一个

椭圆（图２），这是从另一个角度给出了椭圆的定义．这里定点犉（犮，０）是椭圆
犪２
的一个焦点，直线犾：狓＝犮称为相应于焦点犉的准线；定点犉′（－犮，０）是椭圆
犪２
的另一个焦点，直线犾′：狓＝－犮称为相应于焦点犉′的准线．
在推导椭圆标准方程时，我们曾得到
犪２－犮狓＝犪槡（狓－犮）２＋狔２．　①
如果把①式变形为
槡（狓－犮）２＋狔２犮，
犪２ ＝犪　②
犮－狓
则②式的几何意义就是动点犕（狓，狔）与定点犉（犮，０）的距离和动点犕到定直
犪２　犮
线犾：狓＝犮的距离的比是常数犪．
思考：在推导椭圆标准方程时作怎样的变形就可以得到点犕（狓，狔）与定点
犪２　犮
犉（－犮，０）的距离和动点犕到定直线犾′：狓＝－犮的距离的比是常数犪？
对上述过程你有什么体会？

第三章圆锥曲线的方程１１７

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

３２双曲线

双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷
却塔的外形、通过声音时差测定位等都要用到双曲线的性质．
本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题．

３２１!"#$%&'()*
我们知道，平面内与两个定点犉１，犉２的距离的和等于常数（大于犉１犉２）的点的
轨迹是椭圆．一个自然的问题是：平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什
么？下面我们先用信息技术探究一下．



如图３．２１，在直线犾上取两个定点犃，犅，犘是直线犾上的动点．在平面内，取定点
犉１，犉２，以点犉１为圆心、线段犘犃为半径作圆，再以犉２为圆心、线段犘犅为半径作圆．
我们知道，当点犘在线段犃犅上运动时，如果｜犘犃｜－｜犘犅｜≤犉１犉２＜犃犅，
那么两圆交点的轨迹是椭圆．

l

A

PB

l

A

BP

||
PA=3.92MF1=3.92
||
PB=0.93MF2=0.93
||||
PA+PB=4.85
F1 F2
|MF1|+|MF2|=4.85

||
||
M
|PA|-|PB|=4.85
F1
|MF1|-|MF2|=4.85
M

|PA|=5.97|MF1|=5.97
|PB|=1.12|MF2|=1.12
M
F2
M

图３．２１　图３．２２
如图３．２２，在犃犅＜｜犉１犉２｜≤｜犘犃｜＋｜犘犅｜的条件下，让点犘在线段犃犅外
运动，这时动点犕满足什么几何条件？两圆交点的轨迹是什么形状？
我们发现，在犃犅＜｜犉１犉２｜≤｜犘犃｜＋｜犘犅｜的条件下，点犘在线段犃犅外运动时，
当点犕靠近定点犉１时，犕犉２－犕犉１＝犃犅；当点犕靠近定点犉２时，犕犉１－
犕犉２＝犃犅．总之，点犕与两个定点犉１，犉２距离的差的绝对值犃犅是一个常数
（犃犅＜犉１犉２）．这时，两圆交点的轨迹是不同于椭圆的曲线，它分左右两支．
１１８第三章圆锥曲线的方程

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

一般地，我们把平面内与两个定点犉１，犉２的距离的差的绝对值等于非零常数（小于
犉１犉２）的点的轨迹叫做双曲线（ｈｙｐｅｒｂｏｌａ）．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点
间的距离叫做双曲线的焦距．



类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程？
观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线y
犉１犉２是它的一条对称轴，所以我们取经过两焦点犉１和犉２的直线　M
为狓轴，线段犉１犉２的垂直平分线为狔轴，建立如图３．２３所示的F1O F2 x
平面直角坐标系犗狓狔．设犕（狓，狔）是双曲线上任意一点，双曲线
的焦距为２犮（犮＞０），那么，焦点犉１，犉２的坐标分别是（－犮，０），
（犮，０），又设犕犉１－犕犉２＝２犪（犪为大于０的常数，犪＜犮）．图
由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合：　３．２３
犘＝｛犕犕犉１－犕犉２＝２犪，０＜２犪＜犉１犉２｝．
因为
犕犉１＝槡（狓＋犮）２＋狔２，
犕犉２＝槡（狓－犮）２＋狔２，
所以
槡（狓＋犮）２＋狔２－槡（狓－犮）２＋狔２＝±２犪．　①
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得
（犮２－犪２）狓２－犪２狔２＝犪２（犮２－犪２），
两边同除以犪２（犮２－犪２），得
狓２狔２
犪２－犮２－犪２＝１．
由双曲线的定义知，２犮＞２犪，即犮＞犪，所以犮２－犪２＞０．你能在狔轴上找一点
２２２ 犅，使得犗犅＝犫吗？
类比椭圆标准方程的建立过程，令犫＝犮－犪，其中
犫＞０，代入上式，得
狓２狔２
犪２－犫２＝１（犪＞０，犫＞０）． ②
从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标（狓，狔）都是方程②的解；以方程
②的解为坐标的点（狓，狔）与双曲线的两个焦点犉１（－犮，０），犉２（犮，０）的距离之差
的绝对值都为２犪，即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上．我们称方程②是双曲线的
方程，这个方程叫做双曲线的标准方程．它表示焦点在狓轴上，焦点分别是犉１（－犮，
０），犉２（犮，０）的双曲线，这里犮２＝犪２＋犫２．
第三章圆锥曲线的方程１１９

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用



类比焦点在狔轴上的椭圆标准方程，焦点在狔轴上的双曲线的标准方程是什么？
如图３．２４，双曲线的焦距为２犮，焦点分别是犉１（０，－犮）， y
犉２（０，犮），犪，犫的意义同上，这时双曲线的方程是M　F2
狔２狓２
犪２－犫２＝１（犪＞０，犫＞０），

O

x

这个方程也是双曲线的标准方程．

例１已知双曲线的两个焦点分别为犉１（－５，０），犉２（５，０），双曲
线上一点犘与犉１，犉２的距离差的绝对值等于６，求双曲线的标准方程．图３．２４
解：因为双曲线的焦点在狓轴上，所以设它的标准方程为
狓２狔２
犪２－犫２＝１（犪＞０，犫＞０）．
由２犮＝１０，２犪＝６，得犮＝５，又犪＝３，因此犫２＝５２－３２＝１６．
所以，双曲线的标准方程为
狓２狔２
９－１６＝１．
例２已知犃，犅两地相距８００ｍ，在犃地听到炮弹爆炸声比在犅地晚２ｓ，且声速
为３４０ｍ／ｓ，求炮弹爆炸点的轨迹方程．
分析：先根据题意判断轨迹的形状．由声速及犃，犅两处听到炮弹爆炸声的时间差，
可知犃，犅两处与爆炸点的距离的差为定值，所以爆炸点在以犃，犅为焦点的双曲线上．
因为爆炸点离犃处比离犅处远，所以爆炸点应在靠近犅处的双曲线的一支上．
解：如图３．２５，建立平面直角坐标系犗狓狔，使犃，犅两点在 y
狓轴上，并且原点犗与线段犃犅的中点重合．　P
设炮弹爆炸点犘的坐标为（狓，狔），则　AO　B x
犘犃－犘犅＝３４０×２＝６８０，
即２犪＝６８０，犪＝３４０．
又犃犅＝８００，所以２犮＝８００，犮＝４００，犫２＝犮２－犪２＝４４４００．
因为犘犃－犘犅＝６８０＞０，所以点犘的轨迹是双曲线的右图３．２５
支，因此狓≥３４０．
所以，炮弹爆炸点的轨迹方程为
狓２狔２
１１５６００－４４４００＝１（狓≥３４０）．
１２０第三章圆锥曲线的方程

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

利用两个不同的观测点犃，犅测得同一点犘发出信号的时间差，可以确定点犘所在
双曲线的方程．如果再增设一个观测点犆，利用犅，犆（或犃，犆）两处测得的点犘发出
信号的时间差，就可以确定点犘所在另一双曲线的方程．解这两个方程组成的方程组，
就能确定点犘的准确位置，这是双曲线的一个重要应用．



如图３．２６，点犃，犅的坐标分别是（－５，０），（５，
０），直线犃犕，犅犕相交于点犕，且它们的斜率之积是
４，试求点犕的轨迹方程，并由点犕的轨迹方程判断A O
９
轨迹的形状，与３．１例３比较，你有什么发现？

y
B x
图３．２６

M



１．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（１）焦点在狓轴上，犪＝４，犫＝３；
（２）焦点在狓轴上，经过点（－槡２，－槡３），槡１５，槡２；

（３）焦点为（０，－６），（０，６），且经过点（２，（３－５）．）

２２

２．求证：双曲线狓２－１５狔２＝１５与椭圆狓２５＋狔９＝１的焦点相同．

狓２狔２
３．已知方程２＋犿－犿＋１＝１表示双曲线，求犿的取值范围．
狓２狔２

４．双曲线犪２－１２＝１（犪＞０）的两个焦点分别是犉１与犉２，焦距为８；犕是双曲线上的一点，且

犕犉１＝５，求犕犉２的值．

３２２!123*+,-./0



类比对椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线
狓２狔２
犪２－犫２＝１（犪＞０，犫＞０）　①
的哪些几何性质？如何研究这些性质？

第三章圆锥曲线的方程１２１

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

１范围
类比研究椭圆范围的方法，观察双曲线，我们发现双曲线上点yx=a
的横坐标的范围是狓≤－犪，或狓≥犪，纵坐标的范围是狔∈犚（图
３．２７）．　O　x
下面利用双曲线的方程求出它的范围．　F1　F2
由方程①可得
狓２狔２　x=-a
犪２＝１＋犫２≥１，
２　图３．２７
于是，双曲线上点的坐标（狓，狔）都适合不等式狓２≥１，狔∈犚，即
２２犪
狓≥犪，狔∈犚．
所以狓≤－犪，或狓≥犪；狔∈犚．
这说明双曲线位于直线狓＝－犪及其左侧和直线狓＝犪及其右侧的区域．

２对称性
狓２狔２　狓２狔２
类比研究椭圆犪２＋犫２＝１（犪＞犫＞０）对称性的方法，容易得到，双曲线犪２－犫２＝１
（犪＞０，犫＞０）关于狓轴、狔轴和原点都是对称的．这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原
点是双曲线的对称中心．双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．

３顶点
类比求椭圆顶点的方法，在方程①中，令狔＝０，得狓＝±犪，　y
因此双曲线和狓轴有两个交点犃１（－犪，０），犃２（犪，０）．因为狓　B2
轴是双曲线的对称轴，所以双曲线和它的对称轴有两个交点，它　A1bA2
们叫做双曲线的顶点．　F1OaF2 x
令狓＝０，得狔２＝－犫２，这个方程没有实数解，说明双曲线 B1
和狔轴没有公共点，但我们也把犅１（０，－犫），犅２（０，犫）两点画
在狔轴上（图３．２８）．　图３．２８
线段犃１犃２叫做双曲线的实轴，它的长等于２犪，犪叫做双曲线的
实半轴长；线段犅１犅２叫做双曲线的虚轴，它的长等于２犫，犫叫做双曲线的虚半轴长．

４渐近线



狓２狔２

狓狔

利用信息技术画出双曲线９－４＝１和两条直线３±２＝０（图３．２９）．在双曲线

１２２第三章圆锥曲线的方程

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

狓２狔２
９－４＝１的右支上取一点犕，测量点犕
狓狔

y
B2

dM

的横坐标狓犕以及它到直线３－２＝０的距离

犱．沿曲线向右上方拖动点犕，观察狓犕与犱
的大小关系，你发现了什么？

F1A1 O
B1

A2F2x

图３．２９

可以发现，点犕的横坐标狓犕越来越大，犱越来越小，但是犱始终不等于０．
实际上，经过两点犃１，犃２作狔轴的平行线狓＝±３，经过两点犅１，犅２作狓轴的平
行线狔＝±２，四条直线围成一个矩形（图３．２９），矩形的两条对角线所在直线的方程是
狓狔　狓２狔２　狓狔
３±２＝０．可以发现，双曲线９－４＝１的两支向外延伸时，与两条直线３±２＝０逐渐
接近，但永远不相交．
狓２狔２　狓狔
一般地，双曲线犪２－犫２＝１（犪＞０，犫＞０）的两支向外延伸时，与两条直线犪±犫＝０
逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线．实际上，双曲线与它的渐近线无限接
近，但永远不相交．

２２

在双曲线方程狓２－狔２＝１（犪＞０，犫＞０）中，如果犪＝犫，那么方程变为狓２－狔２＝
２　犪犫
犪，此时双曲线的实轴和虚轴的长都等于２犪．这时，四条直线狓＝±犪，狔＝±犪围成正
方形，渐近线方程为狔＝±狓，它们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角．
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．

５离心率
与椭圆类似，双曲线的焦距与实轴长的比犮，叫做双曲线的离心率．因为犮＞犪＞０，
犪
所以双曲线的离心率犲＝犮＞１．
犪　用双曲线渐近线的斜
　率能刻画双曲线的“张
椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离口”大小吗？它与用离心
心率刻画双曲线的什么几何特征？　率刻画“张口”大小有什
么联系和区别？

第三章圆锥曲线的方程１２３

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小．

例３求双曲线９狔２－１６狓２＝１４４的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近
线方程．
解：把双曲线的方程９狔２－１６狓２＝１４４化为标准方程
狔２狓２
４２－３２＝１．
由此可知，实半轴长犪＝４，虚半轴长犫＝３；犮＝槡犪２＋犫２＝槡４２＋３２＝５，焦点坐标是
（０，－５），（０，５）；离心率犲＝犪犮＝５４；渐近线方程为狔＝±４３狓．



１．求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点和焦点的坐标以及离心率：
（１）狓２－８狔２＝３２；（２）９狓２－狔２＝８１；

２２

（３）狓２－狔２＝－４；（４）狓４９－狔２５＝－１．

２．求符合下列条件的双曲线的标准方程：

（１）顶点在狓轴上，两顶点间的距离是８，犲＝５４；
（２）焦点在狔轴上，焦距是１６，犲＝４３．

３．对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点是犉１（－６，０），求双曲线的标准方程和渐近线方程．
４．双曲线的渐近线方程是狔＝±２狓，虚轴长为４，求双曲线的标准方程．

例４双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（图３．２１０
（１））．它的最小半径为１２ｍ，上口半径为１３ｍ，下口半径为２５ｍ，高为５５ｍ．试建立适
当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到１ｍ）．

(1)

(2)

图３．２１０
解：根据双曲线的对称性，在冷却塔的轴截面所在平面建立如图３．２１０（２）所示的
直角坐标系犗狓狔，使小圆的直径犃犃′在狓轴上，圆心与原点重合．这时，上、下口的直
１２４第三章圆锥曲线的方程

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

径犆犆′，犅犅′都平行于狓轴，且犆犆′＝１３×２，犅犅′＝２５×２．
狓２狔２
设双曲线的方程为犪２－犫２＝１（犪＞０，犫＞０），点犆的坐标为（１３，狔），则点犅的坐
标为（２５，狔－５５）．
因为直径犃犃′是实轴，所以犪＝１２．又犅，犆两点都在双曲线上，所以
烄２５２（狔－５５）２
１２２－犫２＝１，　①
烅１３２狔２
烆１２２－犫２＝１．　②

由方程②，得狔＝５１犫２（负值舍去）．代入方程①，得

５犫２

２５１２２２－（１２犫－５２５）＝１．

化简得　２
１９犫＋２７５犫－１８１５０＝０．③
解方程③，得
犫≈２５（负值舍去）．
因此所求双曲线的方程为２ ２
狓－狔＝１．
１４４６２５

例５动点犕（狓，狔）与定点犉（４，０）的距离和它到定直线犾：狓＝９４的距离的比是
常数４３，求动点犕的轨迹．

解：设犱是点犕到直线犾的距离，根据题意，动点犕的轨迹就是点的集合
犘＝犕犕犉＝４，

（狓｛－４）２犱＋狔２３４｝

yHldM

由此得 槡９＝３．
狓－４　O　F x
将上式两边平方，并化简，得
７狓２－９狔２＝６３，
即　图３．２１１
狓２狔２
９－７＝１．
所以，点犕的轨迹是焦点在狓轴上，实轴长为６、虚轴长为２槡７的双曲线（图３．２１１）．
第三章圆锥曲线的方程１２５

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用



将例５与椭圆一节中的例６比较，你有什么发现？
狓２狔２　y
例６如图３．２１２，过双曲线３－６＝１的右焦点犉２，
倾斜角为３０°的直线交双曲线于犃，犅两点，求犃犅．
解：由双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点分别为F1OBF2　x
犉１（－３，０），犉２（３，０）．　A
因为直线犃犅的倾斜角是３０°，且经过右焦点犉２，所以直
线犃犅的方程为　图３．２１２
狔＝槡３（狓－３）．　①
３
烄＝槡３（狓－３），
狔３
由烅２２ 消去狔，得
狓－狔＝１
烆３６　２
５狓＋６狓－２７＝０．
解方程，得

狓１＝－３，狓２＝９５．

将狓１，狓２的值分别代入①，得

狔１＝－２槡３，狔２＝－２槡５３．

于是，犃，犅两点的坐标分别为（－３，－２槡３），（９５，－２槡５３）．

所以
狘犃犅狘＝槡（狓１－狓２）２＋（狔１－狔２）２
９２　２槡３２

＝槡（－３－５）＋（－２槡３＋５）

＝１６槡３．
５



１．已知犃，犅两点的坐标分别是（－６，０），（６，０），直线犃犕，犅犕相交于点犕，且它们的斜率之积

是２９．求点犕的轨迹方程，并判断轨迹的形状．

１２６第三章圆锥曲线的方程

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

２．求下列直线和双曲线的交点坐标：
狓２狔２　狓２狔２

（１）２狓－狔－１０＝０，２０－５＝１； （２）４狓－３狔－１６＝０，２５－１６＝１．

狓２狔２

３．直线狔＝２３狓与双曲线犪２－８＝１（犪＞０）相交于犃，犅两点，且犃，犅两点的横坐标之积为－９，

求离心率犲．

习题３．２



１．双曲线４狓２－狔２＋６４＝０上一点犘与它的一个焦点的距离等于１，那么点犘与另一个焦点的距
离等于．
２．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（１）焦点在狓轴上，犪＝２５槡，经过点犃（－５，２）；
（２）经过犃（－７，－６２槡），犅（２７槡，３）两点．
３．已知下列双曲线的方程，求它的焦点坐标、离心率和渐近线方程：
（１）１６狓２－９狔２＝１４４；　（２）１６狓２－９狔２＝－１４４． P
求适合下列条件的双曲线的标准方程：　l
４．
（１）焦点在狓轴上，实轴长是１０，虚轴长是８；　O
（２）焦点在狔轴上，焦距是１０，虚轴长是８；　A
（３）离心率犲＝槡２，经过点犕（－５，３）．
５．如图，圆犗的半径为定长狉，犃是圆犗外一个定点，犘是圆犗上任意
一点．线段犃犘的垂直平分线犾与直线犗犘相交于点犙，当点犘在圆犗 （第５题）
上运动时，点犙的轨迹是什么？为什么？
６．求经过点犃（３，－１），并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程．



狓２狔２
７．犿，狀为何值时，方程犿＋狀＝１表示下列曲线：
（１）圆；（２）椭圆；（３）双曲线？
狓２狔２

８．求与椭圆４９＋２４＝１有公共焦点，且离心率犲＝５４的双曲线的方程．

９．相距１４００ｍ的犃，犅两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差３ｓ，已知声速是３４０ｍ／ｓ，问炮
弹爆炸点在怎样的曲线上，并求出曲线的方程．
犪２

１０．设动点犕与定点犉（犮，０）（犮＞０）的距离和犕到定直线犾：狓＝犮的距离的比是犮犪（犪＜犮），

求动点犕的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
第三章圆锥曲线的方程１２７

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

１１．犕是一个动点，犕犃与直线狔＝狓垂直，垂足犃位于第一象限，犕犅与直线狔＝－狓垂直，垂
足犅位于第四象限．若四边形犗犃犕犅（犗为原点）的面积为３，求动点犕的轨迹方程．
狓２狔２　狓２狔２
１２．设椭圆犪２＋犫２＝１（犪＞犫＞０）与双曲线犪２－犫２＝１的离心率分别为犲１，犲２，双曲线的渐近线
的斜率小于２５槡，求犲１和犲２的取值范围．
５



２

１３．已知双曲线狓２－狔＝１，过点犘（１，１）的直线犾与双曲线相交于犃，犅两点，犘能否是线段
２
犃犅的中点？为什么？
狓２狔２

１４．已知双曲线４－１６＝１与直线犾：狔＝犽狓＋犿（犽≠±２）有唯一的公共点犕，过点犕且与犾

垂直的直线分别交狓轴、狔轴于犃（狓，０），犅（０，狔）两点．当点犕运动时，求点犘（狓，狔）
的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．如果推广到一般双曲线，能得到什么相应的结论？



犫 狓２狔２

为什么狔＝±犪狓是双曲线犪２－犫２＝１的渐近线

犫 狓２狔２
前面我们利用信息技术，直观地得到了直线狔＝±犪狓是双曲线犪２－犫２＝１的
渐近线，下面我们给出证明．
狓２狔２
如图１，在第一象限内，双曲线犪２－犫２＝１（犪＞０，犫＞０）的方程可写为
狔＝犫槡狓２－犪２（狓＞犪）．设犕（狓，狔）是其图象上的点，犖（狓，犢）是直线狔＝
犪
犫狓上的点，且与犕（狓，）有相同的横坐标，则犢＝犫狓．　y
犪　狔　犪　N

２

M

因为狔＝犫槡狓２－犪２＝犫狓１－犪＜犫狓＝犢，

B2

所以犪犫（犪槡２２（）狓）犪

F1AO1bAa2F2 x

犕犖＝犢－狔＝犪狓－槡狓－犪
犫（狓－槡狓２－犪２）（狓＋槡狓２－犪２）　B1
＝犪·　２２
狓＋槡狓－犪

图１

１２８第三章圆锥曲线的方程

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

＝犪犫２２．
狓＋槡狓－犪
设犕犙是点犕到直线狔＝犫狓的距离，则犕犙＜犕犖．
犪
当狓逐渐增大时，犕犖逐渐减小，狓无限增大时，犕犖无限接近于０，
犕犙也无限接近于０．也就是说，双曲线在第一象限向右上方延伸时，是从射
线犗犖（犗为原点）的下方逐渐接近于射线犗犖，但与射线犗犖永远不相交．
根据双曲线的对称性，在其他象限内，也有类似的结论．
另外，我们也可直接计算犕犙，证明当狓无限增大时，犕犙无限接近
于０．

第三章圆锥曲线的方程１２９

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

３３抛物线

通过前面的学习可以发现，如果动点犕与定点犉的距离
和它到定直线犾（不过点犉）的距离之比为犽，当０＜犽＜１时，
点犕的轨迹为椭圆；当犽＞１时，点犕的轨迹为双曲线．
一个自然的问题是：当犽＝１时，即动点犕与定点犉的距
离和它到定直线犾的距离相等时，点犕的轨迹会是什么形
状？下面我们就来研究这个问题．
３３１!"#$%&'()*



利用信息技术作图．如图３．３１，犉是定点，犾
是不经过点犉的定直线，犎是直线犾上任意一点，过　H E M
点犎作犕犎⊥犾，线段犉犎的垂直平分线犿交犕犎　m
于点犕．拖动点犎，点犕随之运动，你能发现点犕　F
满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？　l
图３．３１
可以发现，在点犕随着点犎运动的过程中，始终有犕犉＝犕犎，即点犕与定点
犉的距离等于它到定直线犾的距离，点犕的轨迹形状与二次函数的图象相似．
我们把平面内与一个定点犉和一条定直线犾（犾不经过点犉）的距离相等的点的轨迹
叫做抛物线（ｐａｒａｂｏｌａ）．点犉叫做抛物线的焦点，直线犾叫做抛物线的准线．



比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛
物线的方程形式简单？
根据抛物线的几何特征，如图３．３２，我们取经过点犉且垂直于直线犾的直线为狓
轴，垂足为犓，并使原点与线段犓犉的中点重合，建立平面直角坐标系犗狓狔．设犓犉＝
狆（狆＞０），那么焦点犉的坐标为狆，０，准线犾的方程为狓＝－狆．

设犕（狓，狔）是抛物线上任意一点（２），点犕到准线犾的距离为２犱．由抛物线的定义，

１３０第三章圆锥曲线的方程

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

抛物线是点的集合

ly

d

M

犘＝｛犕犕犉＝犱｝．　H
狆２２， 狆，

因为犕犉＝槡（狓－２）＋狔犱＝狓＋２

x

所以　KOF
狆２２ 狆

将上式两边平方并化简槡（狓－２），＋得狔＝狓＋２．

２　图３．３２
狔＝２狆狓（狆＞０）．　①
从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标（狓，狔）都是方程①的解，以方程
①的解为坐标的点（狓，狔）与抛物线的焦点犉狆，０的距离和它到准线狓＝－狆的距离

相等，即以方程①的解为坐标的点都在抛物线上（２．我们把方程）①叫做抛物线的标准方程２．

它表示焦点在狓轴正半轴上，焦点是犉狆，０，准线是狓＝－狆的抛物线．

（２） ２



在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标
准方程．抛物线的标准方程有哪些不同的形式？请探究之后填写下表．
图形　标准方程 焦点坐标 准线方程

OF x 狔２＝２狆狓（狆＞０） 狆，０

狓＝－狆

（２）

２

第三章圆锥曲线的方程１３１

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用



你能说明二次函数狔＝犪狓２（犪≠０）的图象为什么是抛物线吗？指出它的焦点坐
标、准线方程．
例１（１）已知抛物线的标准方程是狔２＝６狓，求它的焦点坐标和准线方程；
（２）已知抛物线的焦点是犉（０，－２），求它的标准方程．
解：（１）因为狆＝３，抛物线的焦点在狓轴正半轴上，所以它的焦点坐标是３，０，

准线方程是

（２）

狓＝－３２．

（２）因为抛物线的焦点在狔轴负半轴上，且狆２＝２，狆＝４，所以抛物线的标准方程是

狓２＝－８狔．
例２一种卫星接收天线如图３．３３左图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在
轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，
如图３．３３（１）．已知接收天线的口径（直径）为４．８ｍ，深度为１ｍ．试建立适当的坐
标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．

O

Fx

(1)

(2)

图３．３３
解：如图３．３３（２），在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线
的顶点与原点重合，焦点在狓轴上．
设抛物线的标准方程是狔２＝２狆狓（狆＞０）．由已知条件得，点犃的坐标是（１，
２．４），代入方程，得
２．４２＝２狆×１，
即狆＝２．８８．
所以，所求抛物线的标准方程是狔２＝５．７６狓，焦点坐标是（１．４４，０）．

１３２第三章圆锥曲线的方程

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用



１．根据下列条件写出抛物线的标准方程：

（１）焦点是犉（３，０）；（２）准线方程是狓＝－１４；（３）焦点到准线的距离是２．

２．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：

（１）狔２＝２０狓；（２）狓２＝１２狔；（３）２狔２＋５狓＝０；（４）狓２＋８狔＝０．

３．填空．
（１）抛物线狔２＝２狆狓（狆＞０）上一点犕与焦点间的距离是犪犪＞狆，则点犕到准线的距离是

，点犕的横坐标是； （２）

（２）抛物线狔２＝１２狓上与焦点的距离等于９的点的坐标是．



为什么二次函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮的图象是抛物线
我们知道，二次函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮的图象是抛物线．经过本节的学习我们
知道，抛物线是平面内与一个定点犉和一条定直线犾（犾不经过点犉）的距离相等
的点的轨迹．因此，只要能说明二次函数的图象符合抛物线的几何特征，就解决
了为什么二次函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮的图象是抛物线的问题．由抛物线与其方程之
间的关系可知，如果能用适当的方式将狔＝犪狓２＋犫狓＋犮转化为抛物线标准方程的
形式，那么就可以说明二次函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮的图象是抛物线．
按照这种思路，我们对狔＝犪狓２＋犫狓＋犮的右边配方，得

２

２

狔＝犪狓＋犫＋４犪犮－犫．

y

y=ax2+bx+c

由函数图象平移的性质可以知道（２犪）４犪，沿向量y=ax2

２

２

b4ac-b2

犿＝犫，－４犪犮－犫平移函数狔＝犪狓＋犫＋

m PU



















U2a,4a

４犪犮－（２犫犪２的图象４犪（图）），除了位置外，（函数图象不２犪）O

x

４犪　１　图
发生任何变化平移后的图象对应的函数解析式为１
．
狔＝犪狓２，即狓２＝１狔，这个方程表示的曲线是顶点为原点，焦点为０，１的抛物线．

因此，二次函数犪狔＝犪狓２＋犫狓＋犮的图象是一条抛物线．（４犪）

第三章圆锥曲线的方程１３３

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

３３２!"#$%&'()*+



类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线
狔２＝２狆狓（狆＞０）　①
的哪些几何性质？如何研究这些性质？

１范围
因为狆＞０，由方程①可知，对于抛物线上的点犕（狓，狔），狓≥０，狔∈犚，当狓＞０
时，抛物线在狔轴的右侧，开口方向与狓轴的正方向相同；当狓的值增大时，狔的值
也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．

２对称性
以－狔代狔，方程①不变，所以抛物线关于狓轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛
物线的轴．

３顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程①中，当狔＝０时，狓＝０，因此抛
物线的顶点就是原点．

４离心率
抛物线上的点犕与焦点犉的距离和点犕到准线的距离犱的比犕犉，叫做抛物线的
犱
离心率，用犲表示．由抛物线的定义可知，犲＝１．

例３已知抛物线关于狓轴对称，它的顶点在原点，并且经过点犕（２，－２槡２），求
它的标准方程．
解：因为抛物线关于狓轴对称，它的顶点在原点，并且经过点犕（２，－２槡２），所以
可设它的标准方程为２
狔＝２狆狓（狆＞０）．
因为点犕在抛物线上，所以 ２
（－２槡２）＝２狆×２，
解得狆＝２．
因此，所求抛物线的标准方程是２
狔＝４狓．
１３４第三章圆锥曲线的方程

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用



顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点犕（２，－２２槡）的抛物线有几条？求
出这些抛物线的标准方程．
例４斜率为１的直线犾经过抛物线狔２＝４狓的焦点犉，且与抛物线相交于犃，犅两
点，求线段犃犅的长．
分析：由抛物线的方程可以得到它的焦点坐标，又直线犾的斜率为１，所以可以求出
直线犾的方程；与抛物线的方程联立，可以求出犃，犅两点的坐标；利用两点间的距离公
式可以求出犃犅．这种方法思路直接，具有一般性．请你用此方法求犃犅．
下面介绍另外一种方法———数形结合的方法．　y　l

在图３．３４中，设犃（狓１，狔１），犅（狓２，狔２）．由抛物线的定义A

可知，犃犉等于点犃到准线的距离犃犃′．由狆＝２，狆２＝１，得

F

狆
犃犃′＝狓１＋２＝狓１＋１，于是犃犉＝狓１＋１．同理，犅犉＝
犅犅′＝狓２＋狆狓２＋１，于是得

B
B
l

x

２＝

图

犃犅＝犃犉＋犅犉＝狓１＋狓２＋狆＝狓１＋狓２＋２． ３．３４
由此可见，只要求出点犃，犅的横坐标之和狓１＋狓２，就可以求出犃犅．

解：由题意可知，狆＝２，狆２＝１，焦点犉的坐标为（１，０），准线方程为狓＝－１．如

图３．３４，设犃（狓１，狔１），犅（狓２，狔２），犃，犅两点到准线的距离分别为犱犃，犱犅．由抛
物线的定义，可知
犃犉＝犱犃＝狓１＋１，犅犉＝犱犅＝狓２＋１，
于是
犃犅＝犃犉＋犅犉＝狓１＋狓２＋２．
因为直线犾的斜率为１，且过焦点犉（１，０），所以直线如果直线犾不经过焦
犾的方程为　点犉，犃犅还等于狓１＋
狔＝狓－１．　①狓２＋２吗？
将①代入方程狔２＝４狓，得（狓－１）２＝４狓，化简，得
狓２－６狓＋１＝０．
所以
狓１＋狓２＝６，
犃犅＝狓１＋狓２＋２＝８．
所以，线段犃犅的长是８．
第三章圆锥曲线的方程１３５

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用



１．求适合下列条件的抛物线的标准方程：
（１）关于狓轴对称，并且经过点犕（５，－４）；
（２）关于狔轴对称，准线经过点犈（５，－５）；
（３）准线在狔轴的右侧，顶点到准线的距离是４；
（４）焦点犉在狔轴负半轴上，经过横坐标为１６的点犘，且犉犘平行于准线．
２．在同一坐标系中画出下列抛物线，观察它们开口的大小，并说明抛物线开口大小与方程中狓的系数
的关系：
（１）狔２＝１狓；（２）狔２＝狓；（３）狔２＝２狓；（４）狔２＝４狓．
２
３．过点犕（２，０）作斜率为１的直线犾，交抛物线狔２＝４狓于犃，犅两点，求犃犅．
４．垂直于狓轴的直线交抛物线狔２＝４狓于犃，犅两点，且犃犅＝４３槡，求直线犃犅的方程．

例５经过抛物线焦点犉的直线交抛物线于犃，犅两点，经 ly
过点犃和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点犇，求证：直　A
线犇犅平行于抛物线的对称轴．
分析：我们用坐标法证明这个结论，即通过建立抛物线及直O F　x
线的方程，运用方程研究直线犇犅与抛物线对称轴之间的位置关D B
系．建立如图３．３５所示的直角坐标系，只要证明点犇的纵坐标
与点犅的纵坐标相等即可．
证明：如图３．３５，以抛物线的对称轴为狓轴，抛物线的顶图３．３５
点为原点，建立平面直角坐标系犗狓狔．设抛物线的方程为
狔２＝２狆狓（狆＞０），　①
点犃的坐标为狔２０，狔０（狔０≠０），则直线犗犃的方程为

（２狆）

狆，

狔＝２狔０狓

②

抛物线的准线方程是狓＝－狆．　③
２　２
联立②③，可得点犇的纵坐标为－狆０．
狔
因为焦点犉的坐标是狆，０，当狔２０≠狆２时，直线犃犉的方程为

（２）＝２狆狔０２－狆．
联立①④，消去狓，可得狔０狔２狔－（狔狔２０２０－－狆狆２）（狓狔－狔２０狆）２＝０，即　④

（狔－狔０）（狔０狔＋狆２）＝０，
１３６第三章圆锥曲线的方程

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

狆２
可得点犅的纵坐标为－狔０，与点犇的纵坐标相等，于是
犇犅平行于狓轴．　你还有其他证明方
当狔２０＝狆２时，易知结论成立．　法吗？
所以，直线犇犅平行于抛物线的对称轴．

例６如图３．３６，已知定点犅（犪，－犺），犅犆⊥狓轴于点犆，犕是线段犗犅上任意一
点，犕犇⊥狓轴于点犇，犕犈⊥犅犆于点犈，犗犈与犕犇相交于点犘，求点犘的轨迹方程．
解：设点犘（狓，狔），犕（狓，犿），其中０≤狓≤犪，则点犈的坐标为（犪，犿）．
由题意，直线犗犅的方程为
狔＝－犺狓．
犪
因为点犕在犗犅上，将点犕的坐标代入①，得
犺，
犿＝－犪狓
所以点犘的横坐标狓满足②．
直线犗犈的方程为
犿

① y
D C
O
P
②
B
图
３．３６

x
M

E

狔＝犪狓，

③

因为点犘在犗犈上，所以点犘的坐标（狓，狔）满足③．
将②代入③，消去犿，得

２

狓２＝－犪犺狔（０≤狓≤犪），

即点犘的轨迹方程．

例６中，设点犅关于狔轴的对称点为犃，则方程

２

狓２＝－犪犺狔（－犪≤狓≤犪）

对应的轨迹是常见的抛物拱犃犗犅（图３．３７）．抛物拱在现实中有许多原型，如桥拱（图
３．３８）、卫星接收天线等，抛掷出的铅球在空中划过的轨迹也是抛物拱的一部分．

A

B

图３．３７　图３．３８
第三章圆锥曲线的方程１３７

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用



１．求适合下列条件的抛物线的标准方程：
（１）焦点犉关于准线的对称点为犕（０，－９）；
（２）关于狔轴对称，与直线狔＝－１２相交所得线段的长为１２；
（３）关于狓轴对称，以焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为２３槡的等边三角形．
２．点犕（犿，４）在抛物线狔２＝２４狓上，犉为焦点，直线犕犉与准线相交于点犖，求犉犖．
３．设抛物线狓２＝２狆狔（狆＞０）上的点犕与焦点犉的距离为４，点犕到狔轴的距离为槡３狆，求抛物线
的方程和点犕的坐标．
４．两条直线狔＝犽狓和狔＝－犽狓分别与抛物线狔２＝２狆狓（狆＞０）相交于不同于原点的犃，犅两点，犽为
何值时，直线犃犅经过抛物线的焦点？
５．已知圆心在狔轴上移动的圆经过点犃（０，５），且与狓轴、狔轴分别交于犅（狓，０），犆（０，狔）两个动
点，求点犕（狓，狔）的轨迹方程．

习题３．３



１．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（１）狓２＝２狔；（２）４狓２＋３狔＝０；（３）２狔２＋狓＝０；（４）狔２－６狓＝０．
２．填空题．
（１）准线方程为狓＝２的抛物线的标准方程是；
（２）抛物线狔２＝８狓上与焦点的距离等于６的点的坐标是．
３．抛物线狔２＝２狆狓（狆＞０）上一点犕与焦点犉的距离犕犉＝２狆，求点犕的坐标．
４．根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画出图形：
（１）顶点在原点，对称轴是狓轴，并且顶点与焦点的距离等于６；
（２）顶点在原点，对称轴是狔轴，并经过点犘（－６，－３）．
５．如图，犕是抛物线狔２＝４狓上的一点，犉是抛物线的焦点，以犉狓为始边、犉犕为终边的角
∠狓犉犕＝６０°，求犉犕．

y

y

M

B

OF

x

OF

x

（第５题）　（第６题）
６．如图，直线狔＝狓－２与抛物线狔２＝２狓相交于犃，犅两点，求证：犗犃⊥犗犅．
１３８第三章圆锥曲线的方程

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

７．如图，吊车梁的鱼腹部分犃犗犅是抛物线的一段，宽为７ｍ，高为０．７ｍ．根据图中的坐标系，
求这条抛物线的方程．

y

O

A

B

l

O

0.7x

7

4

（第７题）　（第８题）
８．图中是抛物线形拱桥，当水面在犾时，拱顶离水面２ｍ，水面宽４ｍ．水面下降１ｍ后，水面
宽多少？（精确到０．１ｍ）



９．从抛物线狔２＝２狆狓（狆＞０）上各点向狓轴作垂线段，求垂线段的中点的轨迹方程，并说明它是
什么曲线．
１０．已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线狔２＝２狆狓（狆＞０）上，求这个
等边三角形的边长．
１１．已知犃，犅两点的坐标分别是（－１，０），（１，０），直线犃犕，犅犕相交于点犕，且直线犃犕
的斜率与直线犅犕的斜率的差是２，求点犕的轨迹方程．



１２．已知抛物线的方程为狔２＝４狓，点犘（－２，１）在直线犾上，直线犾绕点犘旋转，讨论直线犾与
抛物线狔２＝４狓的公共点个数，并回答下列问题：
（１）画出图形表示直线犾与抛物线的各种位置关系，从图中你发现直线犾与抛物线只有一个公
共点时是什么情况？
（２）狔２＝４狓与直线犾的方程组成的方程组解的个数与公共点的个数是什么关系？
１３．设抛物线狔２＝２狆狓（狆＞０）的焦点为犉，从点犉发出的光线经过抛物线上的点犕（不同于抛
物线的顶点）反射，证明反射光线平行于抛物线的对称轴．

第三章圆锥曲线的方程１３９

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

 

圆锥曲线的光学性质及其应用
椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点．焦点，顾名思义，就是光线
的聚集点．这说明圆锥曲线与光线有紧密的联系，圆锥曲线具有丰富的光学性质．
我们知道，当一束光线照到镜面时，光线会依一定的
规律反射，即反射角等于入射角（图１）．当光照射到曲面aa
时，特别是由圆锥曲线绕其对称轴旋转而成的曲面时，会
有什么现象呢？　图１
我们看生活中的一个实例：一只很小的灯泡发出的
光，会分散地射向各方，但把它装在圆柱形手电筒里，经过适当调节，就能射出
一束比较强的平行光线，这是为什么呢？
原来手电筒内，在小灯泡后面有一个反光镜，镜面的形状是一个由抛物线绕
它的对称轴旋转所得到的曲面（图２），这种曲面叫做抛物面．抛物线有一条重要
性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线
的轴．探照灯（图３）也是利用这个原理设计的．

图２　图３　图４
应用抛物线的这个性质，也可以使一束平行于抛物线的轴的光线，经过抛物
面的反射集中于它的焦点．人们应用这个原理，设计了一种加热水和食物的太阳
灶（图４）．在这种太阳灶上装有一个旋转抛物面形的反光镜，当它的轴与太阳光
线平行时，太阳光线经过反射后集中于焦点处，这一点的温度就会很高．
椭圆和双曲线的光学性质与抛物线不同．从椭圆的一个焦点发出的光线，经
过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上（图５）；从双曲线的一个焦点
发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，它们就好像是从另一个焦

１４０第三章圆锥曲线的方程

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

点射出的一样（图６）．椭圆、双曲线的光学性质也被人们广泛地应用于各种设
计中．

F1
F1
B

F2A
F2

F1

F2

图５　图６　图７
如图７，胶片电影放映机的聚光灯有一个反射镜，它的形状是旋转椭圆面．
为了使影片门（电影胶片通过的地方）处获得最强的光线，灯丝犉２与影片门犉１
应位于椭圆的两个焦点处，这就是利用椭圆光学性质的一个实例．数字电影机采
用数字光处理技术ＤＬＰ的数字电影放映新模式，替代了传统胶片电影放映机胶
片图像重现模式，实现了无胶片放映．

第三章圆锥曲线的方程１４１

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

 

解析几何的形成与发展
对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立被马克思主义创始人之一的恩
格斯并称为１７世纪数学的三大成就．解析几何的产生是科学发展的需要．坐标
系的引入，使常量数学进入变量数学时代，而变量进入数学正是近代数学的重要
标志．由于变量进入了数学，我们可以研究运动与变化，研究物体运动的轨迹．
解析几何可以定量描述物体的运动变化，为研究物体的运动变化提供了方法和工
具，特别是为微积分的建立提供了重要支撑．
解析几何是如何形成和发展的？在数学和人类社会的发展历史中起了什么作
用？请你按以下要求，查阅与解析几何有关的文献，自己选题，写一篇数学小
论文．
一、主题
１．解析几何形成与发展的过程；
２．解析几何对人类文明的主要贡献．
二、实施建议
１．选题：根据个人兴趣，围绕主题，初步确定选题范围；
２．分组：相近选题的５～６人为一个小组，确定一名组长；
３．分配任务：根据个人的具体情况，经小组共同商议，由组长确定每人的具
体任务；
４．搜集资料：针对具体的论文题目，通过网络、书店、图书馆等多种途径搜
集素材，包括文字、图片、数据以及音像资料，并记录相关资料；
５．素材汇总：用论文的形式展现小组的实践成果；
６．在全班范围进行交流、讨论和总结．
三、参考选题
１．解析几何产生的背景；
２．解析几何发展中的重要事件；
３．对解析几何的形成与发展作出重要贡献的数学家；
４．解析几何对人类文明进步的贡献．

标有的内容为选学内容，不作为考试要求．
１４２第三章圆锥曲线的方程

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用



6789:;<=







  



 



>7?@ABC

圆锥曲线有丰富的现实背景和广泛的实际应用，例如行星运行轨道、抛物
运动轨迹、探照灯的镜面等．本章我们结合具体情境探索了椭圆、双曲线和抛
物线的几何特征，利用确定三类圆锥曲线的几何要素（如定点、定直线等）合
理地建立坐标系，用代数语言描述这些特征，得到相应的标准方程，通过方程
研究了圆锥曲线的简单几何性质，并用圆锥曲线的方程解决了一些简单问题．
我们用犆代表曲线，用犳（狓，狔）＝０表示方程．通过本章的学习可以看到，
只有当曲线犆上任意一点的坐标都满足方程犳（狓，狔）＝０，同时以方程犳（狓，
狔）＝０的解为坐标的点都在曲线犆上，我们才称“曲线犆是方程犳（狓，狔）＝０
的曲线”“方程犳（狓，狔）＝０是曲线犆的方程”．也只有在这样的条件下，才能
通过研究方程犳（狓，狔）＝０的性质得到曲线犆的性质．利用坐标系建立曲线与
方程的这种关系，是解析几何的基础，在今后的学习中可以进一步体会到．
通过本章的学习可以看到，用坐标法研究几何问题，首先要注意观察相应
几何图形的特征，把握确定几何图形的要素，例如椭圆是平面内到两个定点的

第三章圆锥曲线的方程１４３

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

距离之和等于定长的点的轨迹，这里“两个定点”“距离之和为定长”等就是确
定椭圆的几何要素；然后再用坐标法解决，即利用几何特征合理建立坐标系，
用坐标表示点，用方程表示几何要素的关系．在此基础上，利用方程研究曲线
的性质．可以看到，解析几何中研究椭圆、双曲线、抛物线的过程和方法是一
致的．这表明，用代数方法研究几何问题（如圆锥曲线的性质），其处理方法具
有统一性．实际上，通过代数方法研究几何图形，不但有利于发现和证明图形
的性质，而且这种解决问题的方式基本上是程序化的，这是解析几何的优势所
在，是体现数形结合思想方法威力的典范，需要我们在学习中认真体会．
我们发现，用坐标法研究几何图形时，代数式的化简、方程的变形与等价
转化等起着很重要的作用．例如，当我们把椭圆的方程化简为标准方程后，就
能容易地看出椭圆的范围、对称性、顶点等，发现长轴、短轴、焦距之间的关
系，并由此得到刻画椭圆扁平程度的离心率等．所以，学习解析几何需要较强
的逻辑推理、数学运算等能力，同学们要给予特别关注．
在圆锥曲线的研究中，信息技术可以发挥很好的作用．例如，运用信息技
术，可以方便地画出曲线；通过改变某些量（如椭圆的长轴的长、短轴的长或
焦距等），可以帮助我们发现曲线的几何特征及其基本性质（变化中的不变性）
等．研究圆锥曲线时，信息技术在发现问题、形成思想方法、获得结论等方面，
都能发挥重要作用．
请你带着下面的问题，复习一下全章内容吧！
１．你能说说用坐标法研究圆锥曲线的具体过程吗？
２．在椭圆、双曲线、抛物线三类圆锥曲线的研究中，椭圆是研究的第一类
圆锥曲线，对双曲线、抛物线的研究，我们采用的是类比的方法，你能说说具
体的类比内容吗？
３．椭圆、双曲线、抛物线的几何特征是什么？这些几何特征在研究圆锥曲
线中有什么作用？
４．圆锥曲线的几何性质主要包括哪些方面？如何用代数方法研究这些几何
性质？
５．圆锥曲线的“统一性”体现在哪些方面？你如何理解圆锥曲线的“统一
性”？
６．如何用直线与圆锥曲线的方程判断它们之间的位置关系？
７．数形结合在圆锥曲线的研究中具有重要作用，你能举例说明吗？

１４４第三章圆锥曲线的方程

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

复习参考题３


y

１．如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以
地心（地球的中心）犉２为一个焦点的椭圆．已知它的近地
点（离地面最近的点）犃距地面４３９ｋｍ，远地点（离地面B　OF2 Ax
最远的点）犅距地面２３８４ｋｍ，并且犉２，犃，犅在同一直
线上，地球半径约为６３７１ｋｍ．求：（１）卫星运行的轨道方
程（精确到１ｋｍ）；（２）卫星轨道的离心率．　（第１题）
２．选择题．
狓２狔２ 狓２狔２
（１）椭圆２５＋９＝１与椭圆２５－犽＋９－犽＝１（犽＜９）的（）．
（Ａ）长轴长相等 （Ｂ）短轴长相等
（Ｃ）离心率相等 （Ｄ）焦距相等
（２）与圆狓２＋狔２＝１及圆狓２＋狔２－８狓＋１２＝０都外切的圆的圆心在（）．
（Ａ）椭圆上　（Ｂ）双曲线的一支上
（Ｃ）抛物线上　（Ｄ）圆上
３．当α从０°到１８０°变化时，方程狓２＋狔２ｃｏｓα＝１表示的曲线的形状怎样变化？
４．已知直线狔＝犽狓－１与双曲线狓２－狔２＝４没有公共点，求犽的取值范围．
５．设抛物线的顶点为犗，经过焦点且垂直于对称轴的直线交抛物线于犅，犆两点，经过抛物线上
一点犘且垂直于对称轴的直线与对称轴交于点犙．求证：犘犙２＝犅犆犗犙．
６．已知等边三角形的一个顶点位于抛物线狔２＝２狆狓（狆＞０）的焦点，另外两个顶点在抛物线上，
求这个等边三角形的边长．



７．已知犘是椭圆１６狓２＋２５狔２＝１６００上的一点，且在狓轴上方，犉１，犉２分别是椭圆的左、右焦
点，直线犘犉２的斜率为－４３槡，求△犘犉１犉２的面积．
狓２狔２　y
８．如图，从椭圆犪２＋犫２＝１（犪＞犫＞０）上一点犘向狓轴作垂线，　B
垂足恰为左焦点犉１．又点犃是椭圆与狓轴正半轴的交点，点犅 P
是椭圆与狔轴正半轴的交点，且犃犅∥犗犘，犉１犃＝槡１０＋槡５， F1 O F2Ax
求椭圆的方程．
９．已知犃，犅两点的坐标分别是（－１，０），（１，０）．直线犃犕， （）
犅犕相交于点犕，且它们的斜率之和是２，求点犕的轨迹方程． 第８题

第三章圆锥曲线的方程１４５

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

１０．如图，已知直线与抛物线狔２＝２狆狓（狆＞０）交于犃，犅两点， y
且犗犃⊥犗犅，犗犇⊥犃犅交犃犅于点犇，点犇的坐标为（２，１）， A
求狆的值．　D
１１．已知△犃犅犆的两个顶点犃，犅的坐标分别是（－５，０），（５，O　x
０），且犃犆，犅犆所在直线的斜率之积等于犿（犿≠０），求顶点
犆的轨迹．　B
１２．在抛物线狔２＝４狓上求一点犘，使得点犘到直线狔＝狓＋３的距
离最短．　（第１０题）
１３．当犿变化时，指出方程（犿－１）狓２＋（３－犿）狔２＝（犿－１）（３－犿）
表示的曲线的形状．
１４．如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线
构成．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶6m
部在竖直方向上高度之差至少要有０．５ｍ．已知行车道总宽度　2m
犃犅＝６（ｍ），那么车辆通过隧道的限制高度是多少米？（精 A3m 3mB
确到０．１ｍ）　8m
（第１４题）



１５．综合应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜．这种望远镜的特点
是，镜筒可以很短而观察天体运动又很清楚．例如，某天文仪器厂设计制造的一种镜筒长为
２ｍ的反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示．其中，一个反射镜
犘犗１犙弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜犕犗２犖弧所在的曲线为双曲线的一个分支．已
知犉１，犉２是双曲线的两个焦点，其中犉２同时又是抛物线的焦点，试根据图示尺寸（单位：
ｍｍ），分别求抛物线和双曲线的方程．

（第１５题）
１６．过抛物线狔２＝２狆狓（狆＞０）的焦点犉作直线与抛物线交于犃，犅两点，以犃犅为直径画圆，
观察它与抛物线的准线犾的关系，你能得到什么结论？相应于椭圆、双曲线如何？你能证明
你的结论吗？

１４６第三章圆锥曲线的方程

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

 

中文
空间向量
模
零向量
单位向量
共线向量
平行向量
相等向量
方向向量
共面向量
数量积
基底
基向量
法向量
倾斜角
斜率
点斜式
截距
斜截式
两点式
截距式
一般式
圆的标准方程ｓｔａｎｄａｒｄｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｃｉｒｃｌｅ８２
圆的一般方程ｇｅｎｅｒａｌｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｃｉｒｃｌｅ８６
圆锥曲线
椭圆
焦点
焦距
双曲线
抛物线

英文
ｓｐａｃｅｖｅｃｔｏｒ２
ｍｏｄｕｌｕｓ ２
ｚｅｒｏｖｅｃｔｏｒ２
ｕｎｉｔｖｅｃｔｏｒ２
ｃｏｌｌｉｎｅａｒｖｅｃｔｏｒｓ２
ｐａｒａｌｌｅｌｖｅｃｔｏｒｓ２
ｅｑｕａｌｖｅｃｔｏｒｓ３
ｄｉｒｅｃｔｉｏｎｖｅｃｔｏｒ４
ｃｏｐｌａｎａｒｖｅｃｔｏｒｓ４
ｉｎｎｅｒｐｒｏｄｕｃｔ６
ｂａｓｅ
ｂａｓｅｖｅｃｔｏｒｓ１２
ｎｏｒｍａｌｖｅｃｔｏｒ２８
ａｎｇｌｅｏｆｉｎｃｌｉｎａｔｉｏｎ５１
ｓｌｏｐｅ
ｐｏｉｎｔｓｌｏｐｅｆｏｒｍ６０
ｉｎｔｅｒｃｅｐｔ６１
ｓｌｏｐｅｉｎｔｅｒｃｅｐｔｆｏｒｍ６１
ｔｗｏｐｏｉｎｔｆｏｒｍ６２
ｉｎｔｅｒｃｅｐｔｆｏｒｍ６３
ｇｅｎｅｒａｌｆｏｒｍ６５
ｃｏｎｉｃｓｅｃｔｉｏｎｓ１０４
ｅｌｌｉｐｓｅ１０５
ｆｏｃｕｓ
ｆｏｃｕｓｄｉｓｔａｎｃｅ１０５
ｈｙｐｅｒｂｏｌａ１１９
ｐａｒａｂｏｌａ１３０

页码
１２
５３
１０５

部分中英文词汇索引１４７

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

后记

本册教科书是人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心依据教
育部《普通高中数学课程标准（2017年版）》编写的，2019年经国家教材委员会专家委员
会审核通过.
本册教科书的编写，集中反映了我国十余年来普通高中课程改革的成果，吸取了
2004年版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》的编写经验，凝聚了参与课改
实验的教育专家、学科专家、教材编写专家、教研人员和一线教师，以及教材设计装帧专
家的集体智慧.本册教科书的编写者还有李海东、张劲松等；本书插图绘制为王俊宏，为
本书提供照片的有ICphoto（第104页一张图）等.
我们感谢2004年版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》的主编刘绍学，
副主编钱珮玲、章建跃，以及所有编写人员.我们感谢所有对教科书的编写、出版、试教
等提供过帮助与支持的同仁和社会各界朋友.
本册教科书出版之前，我们通过多种渠道与教科书选用作品（包括照片、画作）的作
者进行了联系，得到了他们的大力支持.对此，我们表示衷心的感谢！恳请未联系到的作
者与我们联系，以便及时支付稿酬.
本册教科书投入使用后，我们根据各方意见作了修订，真诚希望广大师生和家长继续
提出宝贵意见！

联系方式
电话：010-58758866
电子邮箱：jcfk@pep.com.cn

人民教育出版社课程教材研究所
中学数学课程教材研究开发中心

后记01

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

®

PUTONGGAOZHONGJIAOKESHU

SHUXUE

绿色印刷产品