普通高中教科书

数学选择性必修

第二册

A版

普通高中教科书数学

选择性必修

第二册

人民教育出版社课程教材研究所
编著
中学数学课程教材研究开发中心

·北京· A版

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

主 编：章建跃李增沪
副主编：李勇李海东李龙才
本册主编：李龙才周远方

编写人员：李龙才宋莉莉张艳娇周远方桂思铭郭慧清

责任编辑：张艳娇
美术编辑：王俊宏

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普通高中教科书数学选择性必修第二册
人民教育出版社课程教材研究所
编著
中学数学课程教材研究开发中心

出 版
（北京市海淀区中关村南大街17号院1号楼邮编：100081）
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02高中物理必修第一册



本书根据《普通高中数学课程标准（２０１７年版）》编写，包括“数列”“一元函数的导
数及其应用”两章内容．
数列是一类特殊的函数，是数学重要的研究对象，是研究其他函数的基本工具，在日
常生活中也有着广泛的应用．在“数列”中，同学们将学习数列的概念和表示方法；研究
两类特殊的数列———等差数列和等比数列，探索它们的取值规律，建立它们的通项公式、
前狀项和公式；在运用等差数列、等比数列解决实际问题和数学问题的过程中，体会数
学模型的现实意义与应用；通过建立等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的联系，
感受数列与函数的共性和差异，体会数学的整体性．同学们还将学习一种特殊的证明方
法———数学归纳法，并用它证明与数列相关的一些简单命题．
导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；
导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数性质的基本工具．在“一元函数的导数及
其应用”中，同学们将通过丰富的实际背景，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过
程，学习导数的概念及其几何意义，导数的运算法则；并在运用导数研究函数的性质、解
决简单的实际问题的过程中，体会导数的内涵与思想，感受导数的作用．
祝愿同学们通过本册书的学习，不但学到更多的数学知识，而且在数学能力、数学核
心素养等方面都有较大的提高，并培养起更高的数学学习兴趣，形成对数学的更加全面的
认识．

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第四章数列…………………………………………………１
４．１数列的概念……………………………………………２
阅读与思考斐波那契数列………………………１０
４．２等差数列……………………………………………１２
４．３等比数列……………………………………………２７
阅读与思考中国古代数学家求数列和的方法…４２
４．４数学归纳法…………………………………………４４
小结…………………………………………………………５３
复习参考题４……………………………………………５４
第五章一元函数的导数及其应用…………………５８
５．１导数的概念及其意义………………………………５９
５．２导数的运算…………………………………………７２
探究与发现牛顿法———用导数方法求方程的近似解
……………………………………………………８２
５．３导数在研究函数中的应用…………………………８４
信息技术应用图形技术与函数性质……………１００
文献阅读与数学写作微积分的创立与发展…………１０１
小结………………………………………………………１０２
复习参考题５……………………………………………１０３

部分中英文词汇索引……………………………………………１０５

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第四章
数列

对数列的研究源于现实生产、生活的需要．例如，一棵树在
某一时刻的高度是２ｍ，如果在每年的同一时刻都记录下这棵树
的高度，并按先后顺序排列起来，就得到一列数．人们常用这样
的一列数有序地表达一类事物，或者记录一个过程．像这样按照
确定的顺序排列的一列数称为数列．如果用正整数表示事物发展
过程的先后顺序，并且把这样的正整数看作自变量的取值，把事
物的对应数值看作相应的函数值，那么数列就是定义在正整数集
（或正整数集的有限子集）上的一类离散函数．数列无论在理论
研究还是在实际应用中都非常重要．
本章我们将学习数列的概念和表示方法，并研究两类特殊的
数列———等差数列和等比数列，探索它们的取值规律，建立它们
的通项公式、前狀项和公式，并应用它们解决一些问题．我们将
把数列看成一类特殊的函数，并用函数的思想方法研究数列．我
们还将学习数学归纳法，这是一种证明与正整数有关的数学命题
的特殊方法．在本章的学习中，我们可以体验通过数学抽象获得
一个数学对象，并通过数学运算、逻辑推理等进行研究的过程和
方法；通过建立数学模型刻画具有递推规律的事物，提高解决实
际问题的能力．

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４１数列的概念

在现实生活和数学学习中，我们经常需要根据问题的意
义，通过对一些数据按特定顺序排列的方法来刻画研究对
象．例如：

１．王芳从１岁到１７岁，每年生日那天测量身高．将这些身高数据168

（单位：ｃｍ）依次排成一列数：
７５，８７，９６，１０３，１１０，１１６，１２０，１２８，１３８，

162158153 160
145138

１４５，１５３，１５８，１６０，１６２，１６３，１６５，１６８．①　120116110
记王芳第犻岁时的身高为犺犻，那么犺１＝７５，犺２＝８７，…，犺１７＝１６８．10396
我们发现，犺犻中的犻反映了身高按岁数从１到１７的顺序排列时的确定位8775
置，即犺１＝７５是排在第１位的数，犺２＝８７是排在第２位的数……犺１７＝
１６８是排在第１７位的数，它们之间不能交换位置．所以，①是具有确定
顺序的一列数．
２．在两河流域发掘的一块泥版（编号Ｋ９０，约产生于公元前７世纪）上，有一列依
次表示１５天中从第１天到第１５天每天月亮可见部分的数?：
５，１０，２０，４０，８０，９６，１１２，１２８，　1　2　3　4　5　6　7　8
１４４，１６０，１７６，１９２，２０８，２２４，２４０．②　9　10　11　12　13　14　15
记第犻天月亮可见部分的数为狊犻，那么
狊１＝５，狊２＝１０，…，狊１５＝２４０．这里，狊犻中的犻
反映了月亮可见部分的数按日期从１到１５的顺　?把满月分成２４０份，
序排列时的确定位置，即狊１＝５是排在第１位的　则从初一到十五每天月亮的
数，狊２＝１０是排在第２位的数……狊１５＝２４０是排　可见部分可用一个代表份数
在第１５位的数，它们之间不能交换位置．所以，　的数来表示．
②也是具有确定顺序的一列数．

３．－１２的狀次幂按１次幂、２次幂、３次幂、４次幂……依次排成一列数：
－１２，１４，－１８，１１６，…．　③



你能仿照上面的叙述，说明③也是具有确定顺序的一列数吗？

２第四章数列

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上述例子的共同特征是什么？
一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列
（ｓｅｑｕｅｎｃｅｏｆｎｕｍｂｅｒ），数列中的每一个数叫做这个数列的
项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第１项，常用项数有限的数列叫做
符号犪１表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第２项，有穷数列，项数无限的数
用犪２表示……第狀个位置上的数叫做这个数列的第狀项，列叫做无穷数列．
用犪狀表示．其中第１项也叫做首项．①是按年龄从小到大
的顺序排列的，②是按每月的日期从小到大的顺序排列的，
③是按幂指数从小到大的顺序排列的，它们都是从第１项开
始的．
数列的一般形式是
犪１，犪２，…，犪狀，…，
简记为｛犪狀｝．
由于数列｛犪狀｝中的每一项犪狀与它的序号狀有下面的对应关系：
序号１２３…狀…
↓↓↓　↓
项犪１犪２犪３…犪狀…
所以数列｛犪狀｝是从正整数集犖（或它的有限子集｛１，
２，…，狀｝）到实数集犚的函数，其自变量是序号狀，对应
的函数值是数列的第狀项犪狀，记为犪狀＝犳（狀）．也就是说， 以前我们学过的函数
当自变量从１开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的自变量通常是连续变化
的一列函数值犳（１），犳（２），…，犳（狀），…就是数列｛犪狀｝．的，而数列是自变量为离
另一方面，对于函数狔＝犳（狓），如果犳（狀）（狀∈犖）有意散的数的函数．
义，那么
犳（１），犳（２），…，犳（狀），…
构成了一个数列｛犳（狀）｝．
与其他函数一样，数列也可以用表格和图象来表示．例如，数列①可以表示为表４．１１．
表４１１
狀１２３４５６７８９１０１１１２１３１４１５１６１７
犪狀７５８７９６１０３１１０１１６１２０１２８１３８１４５１５３１５８１６０１６２１６３１６５１６８
它的图象如图４．１１所示．

第四章数列３

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120
100
80
60
40

从表４．１１和图４．１１
中，你能发现数列中的
①
项随序号的变化呈现出的
特点吗？

图４．１１
与其他函数类似，我们可以定义数列的单调性．从第２项起，每一项都大于它的前一
项的数列叫做递增数列；从第２项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列．特
别地，各项都相等的数列叫做常数列．
如果数列｛犪狀｝的第狀项犪狀与它的序号狀之间的对应关系可以用一个式子来表示，那

狀

么这个式子叫做这个数列的通项公式．例如，数列③的通项公式为犪狀＝（）－１２．显然，

通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项．

例１根据下列数列｛犪狀｝的通项公式，写出数列的前５项，并画出它们的图象．
狀２＋狀　（狀－１）π
（１）犪狀＝２；（２）犪狀＝ｃｏｓ２．
解：（１）当通项公式中的狀＝１，２，３，４，５时，数列｛犪狀｝的前５项依次为
１，３，６，１０，１５．
图象如图４．１２（１）所示．

15

a

12

2

9

1

6
123 45n
3

0
-1

（１）　（２）
图４．１２
（２）当通项公式中的狀＝１，２，３，４，５时，数列｛犪狀｝的前５项依次为
１，０，－１，０，１．
图象如图４．１２（２）所示．
４第四章数列

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例２根据下列数列的前４项，写出数列的一个通项公式：

（１）１，－１２，１３，－１４，…；

（２）２，０，２，０，…．
解：（１）这个数列的前４项的绝对值都是序号的倒数，
并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为
（－１）狀＋１?　（）狀或（）狀＋１
犪狀＝狀．　?－１－１
常常用来表示正负相间的
（２）这个数列前４项的奇数项是２，偶数项是０，所以变化规律．
它的一个通项公式为
犪狀＝（－１）狀＋１＋１．



１．写出下列数列的前１０项，并作出它们的图象：
（１）所有正整数的倒数按从大到小的顺序排列成的数列；
（２）当自变量狓依次取１，２，３，…时，函数犳（狓）＝２狓＋１的值构成的数列；
（３）数列的通项公式为狀＝２，狀为奇数，

２．根据数列｛犪狀｝的通项公式填表犪｛狀：＋１，狀为偶数．

狀１２…５… … … 狀
犪狀　… …１５３…２７３…３（３＋４狀）
３．除数函数（ｄｉｖｉｓｏｒｆｕｎｃｔｉｏｎ）狔＝犱（狀）（狀∈犖）的函数值等于狀的正因数的个数，例如，犱（１）＝１，
犱（４）＝３．写出数列犱（１），犱（２），…，犱（狀），…的前１０项．
４．根据下列数列的前５项，写出数列的一个通项公式：
（１）１，１，１，１，１，…；
３５７９
（２）１，槡２，１，槡２，１，…．
２２４４

例３如果数列｛犪狀｝的通项公式为犪狀＝狀２＋２狀，那么１２０是不是这个数列的项？如
果是，是第几项？
分析：要判断１２０是不是数列｛犪狀｝中的项，就是要回答是否存在正整数狀，使得
狀２＋２狀＝１２０．也就是判断上述关于狀的方程是否有正整数解．

第四章数列５

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解：令
狀２＋２狀＝１２０，
解这个关于狀的方程，得
狀＝－１２（舍去），或狀＝１０．
所以，１２０是数列｛犪狀｝的项，是第１０项．

例４图４．１３中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形．在图中４个大三角形
中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前４项，写出这个数列的一个通项公式．

（１） （２） （３） （４）
图４．１３
解：在图４．１３（１）（２）（３）（４）中，着色三角形的个数依次为
１，３，９，２７，
即所求数列的前４项都是３的指数幂，指数为序号减１．
因此，这个数列的一个通项公式是
犪狀＝３狀－１．
换个角度观察图４．１３中的４个图形．可以发现，
犪１＝１，且每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂当不能明显看出数列
为３个着色小三角形和１个无色小三角形．于是从第２个图的项的取值规律时，可以
形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着尝试通过运算来寻找规
色三角形个数的３倍．这样，例４中的数列的前４项满足律．如依次取出数列的某
犪１＝１，犪２＝３犪１，犪３＝３犪２，犪４＝３犪３．由此猜测这个数列一项，减去或除以它的前
烄１，狀＝１，　一项，再对差或商加以
满足公式犪狀＝烅烆３犪狀－１，狀≥２．　观察．
像犪狀＝３犪狀－１（狀≥２）这样，如果一个数列的相邻两项
或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．知道
了首项或前几项，以及递推公式，就能求出数列的每一项了．

例５已知数列｛犪狀｝的首项为犪１＝１，递推公式为犪狀＝１＋１（狀≥２），写出这个数
犪狀－１
列的前５项．
６第四章数列

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解：由题意可知
犪１＝１，
犪２＝１＋１ ，

犪１＝１＋１１＝２

犪３＝１＋１ ，

犪２＝１＋１２＝３２

犪４＝１＋１ ，

犪３＝１＋２３＝５３

犪５＝１＋１ ．

犪４＝１＋３５＝８５

在对数列的研究中，求数列某些项的和是主要问题之
一．我们把数列｛犪狀｝从第１项起到第狀项止的各项之和，称
为数列｛犪狀｝的前狀项和，记作犛狀，即　探索数列的求和公
犛狀＝犪１＋犪２＋…＋犪狀．　式，曾是古代算学家非常
如果数列｛犪狀｝的前狀项和犛狀与它的序号狀之间的对应感兴趣的问题．
关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的
前狀项和公式．
显然犛１＝犪１，而犛狀－１＝犪１＋犪２＋…＋犪狀－１（狀≥２），
于是我们有
犪狀＝烄烅犛１，狀＝１，
烆犛狀－犛狀－１，狀≥２．



已知数列｛犪狀｝的前狀项和公式为犛狀＝狀２＋狀，你能求出｛犪狀｝的通项公式吗？
因为
犪１＝犛１＝２，
犪狀＝犛狀－犛狀－１
＝狀２＋狀－［（狀－１）２＋（狀－１）］
＝２狀（狀≥２），
并且当狀＝１时，犪１＝２×１＝２依然成立．
所以｛犪狀｝的通项公式是犪狀＝２狀．

第四章数列７

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１．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中分别填
上第５项的图形和点数．
（１）

;
1　6　11　16　()

（２）

;
1　4　7　10　()

（３）

.

3

8

15

24

()

（第１题）
２．根据下列条件，写出数列｛犪狀｝的前５项：
（１）犪１＝１，犪狀＝犪狀－１＋２狀－１（狀≥２）；

（２）犪１＝３，犪狀＝２３犪狀－１＋１（狀≥２）．

３．已知数列｛犪狀｝满足犪１＝２，犪狀＝２－１（狀≥２），写出它的前５项，并猜想它的通项公式．
犪狀－１
４．已知数列｛犪狀｝的前狀项和公式为犛狀＝－２狀２，求｛犪狀｝的通项公式．

习题４．１



１．写出下列数列的前１０项，并作出它们的图象：
（１）素数按从小到大的顺序排列成的数列；
（２）欧拉函数φ（狀）（狀∈犖）的函数值按自变量从小到大整数狀，且与狀互素的正整
的顺序排列成的数列．
２．根据下列条件，写出数列｛犪狀｝的前５项：
（１）犪狀＝１２；
狀

欧拉函数φ（狀）（狀∈犖）
的函数值等于所有不超过正
数的个数，例如，φ（１）＝１，
φ（４）＝２．
（２）犪狀＝（－１）狀＋１（狀２＋１）；

（３）犪１＝１２，犪狀＝４犪狀－１＋１（狀≥２）；（４）犪１＝－１４，犪狀＝１－犪狀１－１（狀≥２）．

３．观察下列数列的特点，用适当的数填空，并写出数列的一个通项公式：
（１）（），－４，９，（），２５，（），４９，…；

８第四章数列

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（２）１，１２，（），１２，１２，（），１２，…；
３ ７９ １３
（３）１，槡２，（），２，槡５，（），槡７，…；
（４）１，１，（），１，１，（），…．
２６ ２０３０



４．已知数列｛犪狀｝的第１项是１，第２项是２，以后各项由犪狀＝犪狀－１＋犪狀－２（狀＞２）给出．
（１）写出这个数列的前５项；
（２）利用数列｛犪狀｝，通过公式犫狀＝犪狀＋１构造一个新的数列
犪狀
｛犫狀｝，试写出数列｛犫狀｝的前５项．　1 3　6　10
５．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研
究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多
类，如图中第一行的１，３，６，１０称为三角形数，第二行的
１，４，９，１６称为正方形数，第三行的１，５，１２，２２称为1 4　9　16
五边形数．请你分别写出三角形数、正方形数和五边形数
所构成的数列的第５项和第６项．
６．假设某银行的活期存款年利率为０．３５％，某人存入１０万元1 5 12　22
后，既不加进存款也不取款，每年到期利息连同本金自动（第５题）
转存．如果不考虑利息税及利率的变化，用犪狀表示第狀年
到期时的存款余额，求犪１，犪２，犪３及犪狀．



狓－１



７．已知函数犳（狓）＝２２狓（狓∈犚），设数列｛犪狀｝的通项公式为犪狀＝犳（狀）（狀∈犖）．

（１）求证犪狀≥１．
２
（２）｛犪狀｝是递增数列还是递减数列？为什么？

第四章数列９

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斐波那契数列
１２０２年，意大利数学家斐波那契（ＬｅｏｎａｒｄｏＦｉｂｏｎａｃｃｉ，约１１７０—约１２５０）
出版了他的《算盘书》（犔犻犫犲狉犃犫犪犮犻）．他在书中收录了一些有意思的问题，其中
有一个关于兔子繁殖的问题：
如果１对兔子每月能生１对小兔子（一雄一雌），而每１对小兔子在它出生后
的第３个月里，又能生１对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由１对初生的
小兔子开始，５０个月后会有多少对兔子？
在第１个月时，只有１对小兔子，过了１个月，那对兔子成熟了，在第３个月
时便生下１对小兔子，这时有２对兔子．再过１个月，成熟的兔子再生１对小兔
子，而另１对小兔子长大，有３对兔子．如此推算下去，我们可以得到一个表格：
时间／月 初生兔子／对 成熟兔子／对 兔子总数／对
１　１　０　１
２　０　１　１
３　１　１　２
４　１　２　３
５　２　３　５
６　３　５　８
７　５　８　１３
８　８　１３　２１
９　１３　２１　３４
１０　２１　３４　５５
１１　３４　５５　８９
１２　５５　８９ １４４
…　…　…　…
由此可知，从第１个月开始，每月末的兔子总对数是
１，１，２，３，５，８，１３，２１，３４，５５，８９，１４４，…．
你发现这个数列的规律了吗？
如果用犉狀表示第狀个月的兔子的总对数，可以看出，
犉狀＝犉狀－１＋犉狀－２（狀＞２）．
这是一个由递推公式给出的数列，称为斐波那契数列．

１０第四章数列

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斐波那契数列有很多有趣的性质．　5
例如，斐波那契数列满足等式犉２１＋犉２２＋
…＋犉狀２＝犉狀犉狀＋１，我们可以用图形
（图１）来表示这个等式．图１中小正8　1
方形的边长分别为斐波那契数犉１＝１，
犉２＝１，犉３＝２，犉４＝３，…，面积分　1　3
别为犉２１，犉２２，犉２３，犉２４，…．前　2
狀（狀＝２，３，４，…）个小正方形拼　图１
成的长方形的面积依次是两个斐波那
契数的乘积犉２犉３，犉３犉４，犉４犉５，…．如图１所示，从内到外依次连接通过小正
方形的四分之一圆弧，就得到了一条被称为“斐波那契螺旋”的弧线．如果我们
在图１上不断增加边长是斐波那契数的正方形，那么“斐波那契螺旋”也将不断
向外延伸，而且它的形状将越来越接近“黄金比例螺旋”．
更加有趣的是，人们在自然界中发现了
许多斐波那契数列．例如，一棵树在第一年
长出一条新枝，新枝成长一年后变为老枝，
老枝每年都长出一条新枝．每一条树枝都按
照这个规律成长，则每年的树枝总数正好构
成了斐波那契数列．又如，图２中向日葵的
管状小花排列成两组交错的螺旋，从内往外
看，逆时针方向的螺旋有１３条，顺时针方向
的有２１条，恰为斐波那契数列的相邻两项．　图
菠萝和松球的鳞片的排列也呈现出类似的２
规律．
由于斐波那契数列的广泛应用性，美国成立了斐波那契协会，并于１９６３年
创办《斐波那契季刊》，专门发表关于这个数列的研究论文．
有兴趣的同学可以通过浏览互联网或查阅相关书籍搜集资料，进一步了解和
研究斐波那契数列．

第四章数列１１

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４２等差数列

我们知道，数列是一种特殊的函数．在函数的研究中，
我们在理解了函数的一般概念，了解了函数变化规律的研究
内容（如单调性、奇偶性等）后，通过研究基本初等函数，
不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函数、指数函数、
对数函数、三角函数等非常有用的函数模型．类似地，在了
解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律
的数列，建立它们的通项公式和前狀项和公式，并运用它
们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义
与应用．下面，我们从一类取值规律比较简单的数列入手．
４２１!"#$%&'(
请看下面几个问题中的数列．
１．北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间
是圆形的天心石，围绕天心石的是９圈扇环形的石
板，从内到外各圈的石板数依次为
９，１８，２７，３６，４５，５４，６３，７２，８１．①
２．Ｓ，Ｍ，Ｌ，ＸＬ，ＸＸＬ，ＸＸＸＬ型号的女装
上衣对应的尺码分别是
３８，４０，４２，４４，４６，４８．②
３．测量某地垂直地面方向上海拔５００ｍ以下的
大气温度，得到从距离地面２０ｍ起每升高１００ｍ
处的大气温度（单位：℃）依次为
２５．０，２４．４，２３．８，２３．２，２２．６．③　如果按月还款，等额本
４．某人向银行贷款犪万元，贷款时间为狀年． 金还款方式的计算公式是
如果个人贷款月利率为狉，那么按照等额本金方式还每月归还本金＝贷款
款，他从某月开始，每月应还本金犫＝犪万元，每 总额÷贷款期总月数，

月支付给银行的利息（单位：万元）（依次为１２狀）

额－已归还本金累计额利息部分＝（贷款总）×

犪狉，犪狉－犫狉，犪狉－２犫狉，犪狉－３犫狉，…．④

月利率．

１２第四章数列

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在代数的学习中，我们常常通过运算来发现规律．例如，在指数函数的学习中，
我们通过运算发现了Ａ，Ｂ两地旅游人数的变化规律．类似地，你能通过运算发现以
上数列的取值规律吗？
对于①，我们发现
１８＝９＋９，２７＝１８＋９，…，８１＝７２＋９，
换一种写法，就是　改变表达方式使数列
１８－９＝９，２７－１８＝９，…，８１－７２＝９．的取值规律更突出了．
如果用｛犪狀｝表示数列①，那么有
犪２－犪１＝９，犪３－犪２＝９，…，犪９－犪８＝９．
这表明，数列①有这样的取值规律：从第２项起，每一项与它的前一项的差都等于同
一个常数．数列②～④也有这样的取值规律．
一般地，如果一个数列从第２项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那
么这个数列就叫做等差数列（ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃｐｒｏｇｒｅｓｓｉｏｎ），这个常数叫做等差数列的公差
（ｃｏｍｍｏｎｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ），公差通常用字母犱表示．例如，数列①的公差犱＝９．
由三个数犪，犃，犫组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，犃叫做犪
与犫的等差中项（ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃｍｅａｎ）．根据等差数列的定义可以知道，２犃＝犪＋犫．
在日常生活中，人们常常用到等差数列．例如，在给各种产品的尺寸划分级别时，当
其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级（如前面例子中的上衣尺
码）．你能举出一些例子吗？



你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？
设一个等差数列｛犪狀｝的首项为犪１，公差为犱．根据等
差数列的定义，可得　犪狀＋１－犪狀＝犱就是等
犪狀＋１－犪狀＝犱，　差数列｛犪狀｝的递推公式．
所以
犪２－犪１＝犱，犪３－犪２＝犱，犪４－犪３＝犱，…．
于是
犪２＝犪１＋犱，
犪３＝犪２＋犱＝（犪１＋犱）＋犱＝犪１＋２犱，
犪４＝犪３＋犱＝（犪１＋２犱）＋犱＝犪１＋３犱，
第四章数列１３

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……
归纳可得
犪狀＝犪１＋（狀－１）犱（狀≥２）．
当狀＝１时，上式为犪１＝犪１＋（１－１）犱＝犪１．这就是说，上式当狀＝１时也成立．
因此，首项为犪１，公差为犱的等差数列｛犪狀｝的通项公式为
犪狀＝犪１＋（狀－１）犱．



观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？
由于犪狀＝犪１＋（狀－１）犱＝犱狀＋（犪１－犱），所以当犱≠０f(x)　(6,a)f(x)=dx+(a1-d)

a

6

时，等差数列｛犪狀｝的第狀项犪狀是一次函数犳（狓）＝犱狓＋

6

(5,a)

a

5

（犪１－犱）（狓∈犚）当狓＝狀时的函数值，即犪狀＝犳（狀）．

5 (4,a)

在平面直角坐标系中画出函数犳（狓）＝犱狓＋（犪１－犱）a4(3,a)

的图象，就得到一条斜率为犱，截距为犪１－犱的直线．a3

在这条直线上描出点（１，犳（１）），（２，犳（２）），…，（狀，a2
犳（狀）），…，就得到了等差数列｛犪狀｝的图象．事实上，a1 (1,a1)
公差犱≠０的等差数列｛犪狀｝的图象是点（狀，犪狀）组成的a1-d
集合，这些点均匀分布在直线犳（狓）＝犱狓＋（犪１－犱）上．O123456　x
犱＞０，犪１－犱＞０的情形如图４．２１所示．　图４．２１
反之，任给一次函数犳（狓）＝犽狓＋犫（犽，犫为常数），则犳（１）＝犽＋犫，犳（２）＝２犽＋犫，
…，犳（狀）＝狀犽＋犫，…构成一个等差数列｛狀犽＋犫｝，其首项为（犽＋犫），公差为犽．
下面，我们利用通项公式解决等差数列的一些问题．
例１（１）已知等差数列｛犪狀｝的通项公式为犪狀＝５－２狀，求｛犪狀｝的公差和首项；
（２）求等差数列８，５，２，…的第２０项．
分析：（１）已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由犪狀－犪狀－１＝犱
即可求出公差犱；（２）可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式求数
列的第２０项．
解：（１）当狀≥２时，由｛犪狀｝的通项公式犪狀＝５－２狀，可得
于是　犪狀－１＝５－２（狀－１）＝７－２狀．
犱＝犪狀－犪狀－１＝（５－２狀）－（７－２狀）＝－２．
把狀＝１代入通项公式犪狀＝５－２狀，得
犪１＝５－２×１＝３．
１４第四章数列

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所以，｛犪狀｝的公差为－２，首项为３．
（２）由已知条件，得
犱＝５－８＝－３．
把犪１＝８，犱＝－３代入犪狀＝犪１＋（狀－１）犱，得
犪狀＝８－３（狀－１）＝１１－３狀．
把狀＝２０代入上式，得
犪２０＝１１－３×２０＝－４９．
所以，这个数列的第２０项是－４９．

例２－４０１是不是等差数列－５，－９，－１３，…的项？如果是，是第几项？
分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于狀的方程，再看－４０１是否能使这个方
程有正整数解．
解：由犪１＝－５，犱＝－９－（－５）＝－４，得这个数列的通项公式为
犪狀＝－５－４（狀－１）＝－４狀－１．
令
－４狀－１＝－４０１，
解这个关于狀的方程，得
狀＝１００．
所以，－４０１是这个数列的项，是第１００项．



１．判断下列数列是不是等差数列．如果是，写出它的公差．
（１）９５，８２，６９，５６，４３，３０；
（２）１，１．１，１．１１，１．１１１，１．１１１１，１．１１１１１；
（３）１，－２，３，－４，５，－６；
（４）１，１１，５，３，２，７，１．
１２６４３１２２
２．求下列各组数的等差中项：

（１）６４７和８９５； （２）－１２１３和２４３５．

３．已知｛犪狀｝是一个等差数列，请在下表中的空格处填入适当的数．
犪１　犪３　犪５　犪７　犱
－７　８
２　－６．５
４．已知在等差数列｛犪狀｝中，犪４＋犪８＝２０，犪７＝１２．求犪４．
５．在７和２１中插入３个数，使这５个数成等差数列，求这３个数．
第四章数列１５

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例３某公司购置了一台价值为２２０万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值
会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少犱万元（犱为正常数）．已知这台设备
的安全使用年限为１０年，第１１年期间，它的价值将低于购进价值的５％，设备需在这年年
初报废．请确定犱的取值范围．
分析：这台设备使用满狀年时的价值构成一个数列｛犪狀｝．由题意可知，使用满１０年
时，这台设备的价值应不小于（２２０×５％＝）１１万元；而第１１年年底，这台设备的价值应
小于１１万元．可以利用｛犪狀｝的通项公式列不等式求解．
解：设使用满狀年时，这台设备的价值为犪狀万元，则可得数列｛犪狀｝．由已知条件，得
犪狀＝犪狀－１－犱（狀≥２）．
由于犱是与狀无关的常数，所以数列｛犪狀｝是一个公差为－犱的等差数列．因为购进设
备的价值为２２０万元，所以犪１＝２２０－犱，于是
犪狀＝犪１＋（狀－１）（－犱）＝２２０－狀犱．
根据题意，得
烄烅犪１０≥１１，
烆犪１１＜１１，
即
２２０－１０犱≥１１，

解这个不等式组，得｛２２０－１１犱＜１１．

１９＜犱≤２０．９．
所以，犱的取值范围为１９＜犱≤２０．９．

例４已知等差数列｛犪狀｝的首项犪１＝２，公差犱＝８，在｛犪狀｝中每相邻两项之间都插入
３个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列｛犫狀｝．
（１）求数列｛犫狀｝的通项公式．
（２）犫２９是不是数列｛犪狀｝的项？若是，它是｛犪狀｝的第几项？若不是，说明理由．
分析：（１）｛犪狀｝是一个确定的数列，只要把犪１，犪２表示为｛犫狀｝中的项，就可以利用
等差数列的定义得出｛犫狀｝的通项公式；（２）设｛犪狀｝中的第狀项是｛犫狀｝中的第犮狀项，根据
条件可以求出狀与犮狀的关系式，由此即可判断犫２９是不是｛犪狀｝的项．
解：（１）设数列｛犫狀｝的公差为犱′．
由题意可知，犫１＝犪１，犫５＝犪２，于是　
犫５－犫１＝犪２－犪１＝８．　如果插入犽（犽∈犖）
因为犫５－犫１＝４犱′，所以４犱′＝８，所以犱′＝２． 个数，那么｛犫狀｝的公差是
所以　多少？
１６第四章数列

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犫狀＝２＋（狀－１）×２＝２狀．
所以，数列｛犫狀｝的通项公式是
犫狀＝２狀．
（２）数列｛犪狀｝的各项依次是数列｛犫狀｝的第１，５，９，
１３，…项，这些下标构成一个首项为１，公差为４的等差数
列｛犮狀｝，则犮狀＝４狀－３．　对于第（２）小题，
令４狀－３＝２９，解得　你还有其他解决方法吗？
狀＝８．
所以，犫２９是数列｛犪狀｝的第８项．

例５已知数列｛犪狀｝是等差数列，狆，狇，狊，狋∈犖，且狆＋狇＝狊＋狋．求证犪狆＋犪狇＝
犪狊＋犪狋．
分析：只要根据等差数列的定义写出犪狆，犪狇，犪狊，犪狋，再利用已知条件即可得证．
证明：设数列｛犪狀｝的公差为犱，则
犪狆＝犪１＋（狆－１）犱，
犪狇＝犪１＋（狇－１）犱，
犪狊＝犪１＋（狊－１）犱，
犪狋＝犪１＋（狋－１）犱．
所以
犪狆＋犪狇＝２犪１＋（狆＋狇－２）犱，
犪狊＋犪狋＝２犪１＋（狊＋狋－２）犱．
因为狆＋狇＝狊＋狋，所以
犪狆＋犪狇＝犪狊＋犪狋．



an

(t,at)

例５是等差数列的一条性质，图４．２２是它的一种情aaqt
形．你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？

(q,aq)
ap (s,as)(p,ap)

图４．２２



１．某体育场一角看台的座位是这样排列的：第１排有１５个座位，从第２排起每一排都比前一排多２个
座位．你能用犪狀表示第狀排的座位数吗？第１０排有多少个座位？
画出数列狀１８，狀＝１，的图象，并求通过图象上所有点的直线的斜率

２．犪＝｛犪狀－１－３，１＜狀≤６

．

第四章数列１７

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３．在等差数列｛犪狀｝中，犪狀＝犿，犪犿＝狀，且狀≠犿，求犪犿＋狀．
４．已知数列｛犪狀｝，｛犫狀｝都是等差数列，公差分别为犱１，犱２，数列｛犮狀｝满足犮狀＝犪狀＋２犫狀．
（１）数列｛犮狀｝是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由．
（２）若｛犪狀｝，｛犫狀｝的公差都等于２，犪１＝犫１＝１，求数列｛犮狀｝的通项公式．
５．已知一个无穷等差数列｛犪狀｝的首项为犪１，公差为犱．
（１）将数列中的前犿项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它
的首项和公差分别是多少？
（２）依次取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的
首项和公差分别是多少？
（３）依次取出数列中所有序号为７的倍数的项，组成一个新的数列，它是等差数列吗？你能根据得
到的结论作出一个猜想吗？

４２２!"#$%&)狀*+,-
前面我们学习了等差数列的概念和通项公式，下面我们将利用
这些知识解决等差数列的求和问题．
据说，二百多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：
１＋２＋３＋…＋１００＝？
当其他同学忙于把１００个数逐项相加时，１０岁的高斯却用下面
的方法迅速算出了正确答案：　高斯（Ｇａｕｓｓ，１７７７—
（）（）…（）　１８５５），德国数学
１＋１００＋２＋９９＋＋５０＋５１＝１０１×５０＝５０５０．家，近代数学的奠
高斯的算法实际上解决了求等差数列基者之一．他在天
１，２，３，…，狀，…　文学、大地测量学、
①磁学、光学等领域
前１００项的和的问题．　都作出了杰出贡献．



你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗？你能从中得到求数列①
的前狀项和的方法吗？
对于数列①，设犪狀＝狀，那么高斯的计算方法可以表示为
（犪１＋犪１００）＋（犪２＋犪９９）＋…＋（犪５０＋犪５１）＝１０１×５０＝５０５０．
可以发现，高斯在计算中利用了
犪１＋犪１００＝犪２＋犪９９＝…＝犪５０＋犪５１
这一特殊关系，这就是上一小节例５中性质的应用，它使不你能用高斯的方法求
同数的求和问题转化成了相同数（即１０１）的求和，从而简１＋２＋…＋１００＋１０１吗？
１８第四章数列

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化了运算．
将上述方法推广到一般，可以得到：
当狀是偶数时，有
犪１＋犪狀＝犪２＋犪狀－１＝…＝犪狀２＋犪狀２＋１，
于是有
犛狀＝１＋２＋３＋…＋狀

＝（１＋狀）＋［２＋（狀－１）］＋…＋［狀２＋（狀２＋１）］

＝（烏１＋狀）＋（１＋狀烐）＋…＋（１＋狀烑）

狀个
２

＝狀（１＋狀）．
２
当狀为奇数时，有
犛狀＝１＋２＋３＋…＋狀
＝（１＋狀）＋［２＋（狀－１）］＋…＋狀＋１－１＋狀＋１＋１＋狀＋１

（）（）…（）［（狀２＋１）（２）］２

＝烏１＋狀＋１＋狀烐＋＋１＋狀烑＋２

狀－１个
２

＝狀－１·（１＋狀）＋狀＋１
２　２
＝狀（１＋狀）．
２
所以，对任意正整数狀，都有
犛狀＝１＋２＋３＋…＋狀＝狀（１＋狀）．
２



我们发现，在求前狀个正整数的和时，要对狀分奇数、偶数进行讨论，比较麻
烦．能否设法避免分类讨论？

如果对公式犛狀＝１＋２＋３＋…＋狀＝狀狀（＋１）作变形，可得
２
２犛狀＝２１＋２＋３＋（ …＋狀）＝狀狀（＋１），
它相当于两个犛狀相加，而结果变成狀个（狀＋１）相加．
受此启发，我们得到下面的方法：

第四章数列１９

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犛狀＝１＋２＋３＋…＋狀，
犛狀＝狀＋（狀－１）＋（狀－２）＋…＋１，
将上述两式相加，可得
２犛狀＝（狀＋１）＋［（狀－１）＋２］＋［（狀－２）＋３］＋…＋１＋（狀）
＝（烏１＋狀）＋（１＋狀烐）＋…＋（１＋狀烑）

狀个

＝狀狀（＋１），
所以　犛狀＝１＋２＋３＋…＋狀＝狀狀（＋１）．
２



上述方法的妙处在哪里？这种方法能够推广到求等差数列｛犪狀｝的前狀项和吗？
可以发现，上述方法的妙处在于将１＋２＋３＋…＋狀“倒序”为狀＋（狀－１）＋（狀－
２）＋…＋１，再将两式相加，得到狀个相同的数（即狀＋１）相加，从而把不同数的求和转
化为狀个相同的数求和．
对于等差数列｛犪狀｝，因为犪１＋犪狀＝犪２＋犪狀－１＝…＝犪狀＋犪１，由上述方法得到启示，我
们用两种方式表示犛狀：
犛狀＝犪１＋犪２＋…＋犪狀，　②
犛狀＝犪狀＋犪狀－１＋…＋犪１．　③
②＋③，得
２犛狀＝（犪１＋犪狀）＋（犪２＋犪狀－１）＋…＋（犪狀＋犪１）
＝（烏犪１＋犪狀）＋（犪１＋犪烐狀）＋…＋（犪１＋犪狀烑）

狀个

＝狀（犪１＋犪狀）．
由此得到等差数列｛犪狀｝的前狀项和公式　将（）变形可得
狀（犪１＋犪狀）　１
犛狀＝２．　（１）犪１＋犪狀＝犪１＋犪２＋…＋犪狀，
２ 狀
对于等差数列｛犪狀｝，利用公式（１），只要已知等差数所以犪１＋犪狀就是等差数列
列｛犪狀｝的首项犪１和末项犪狀，就可以求得前狀项和犛狀．另 ２
外，如果已知首项犪１和公差犱，那么这个等差数列就完全｛犪狀｝前狀项的平均数．实
确定了，所以我们也可以用１和来表示狀　际上，我们就是利用等差
犪犱犛．　数列的这一重要特性来推
把等差数列的通项公式犪狀＝犪１＋（狀－１）犱代入公式导它的前狀项和的．你还
（１），可得　能发现这一特性的一些应
狀（狀－１）　（）用吗？
犛狀＝狀犪１＋２犱． ２
２０第四章数列

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不从公式（１）出发，你能用其他方法得到公式（２）吗？
例６已知数列｛犪狀｝是等差数列．
（１）若犪１＝７，犪５０＝１０１，求犛５０；

（２）若犪１＝２，犪２＝５２，求犛１０；
（３）若犪１＝１２，犱＝－１６，犛狀＝－５，求狀．

对于等差数列｛犪狀｝的
相关量犪１，犪狀，犱，狀，

犛狀，已知几个量就可以确
分析：对于（１），可以直接利用公式犛狀＝狀犪（１＋犪狀）求定其他量？
２
和；在（２）中，可以先利用犪１和犪２的值求出犱，再利用
公式犛狀＝狀犪１＋狀狀（－１）犱求和；（３）已知公式犛狀＝狀犪１＋
２
狀狀（－１）犱中的犪１，犱和犛狀，解方程即可求得狀．
２
解：（１）因为犪１＝７，犪５０＝１０１，根据公式犛狀＝狀（犪１＋犪狀），可得
２

犛５０＝５０×（７＋１０１）＝２７００．

２

（２）因为犪１＝２，犪２＝５，所以犱＝１．根据公式犛狀＝狀犪１＋狀（狀－１）犱，可得

２ ２

２

犛１０＝１０×２＋１０×（１０－１）５．
１　２×１２＝８狀狀（２－１）
（３）把犪１＝１２，犱＝－６，犛狀＝－５代入犛狀＝狀犪１＋２犱，得

－５＝１２狀＋狀狀（２－１）×（）－１６．

整理，得
狀２－７狀－６０＝０．
解得
狀＝１２，或狀＝－５（舍去）．
所以
狀＝１２．
例７已知一个等差数列｛犪狀｝前１０项的和是３１０，前２０项的和是１２２０．由这些条件
能确定这个等差数列的首项和公差吗？
第四章数列２１

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分析：把已知条件代入等差数列前狀项和的公式（２）后，可得到两个关于犪１与犱
的二元一次方程．解这两个二元一次方程所组成的方程组，就可以求得犪１和犱．
解：由题意，知
犛１０＝３１０，犛２０＝１２２０．
把它们代入公式
犛狀＝狀犪１＋狀狀（－１）犱，
２
得
烄烅１０犪１＋４５犱＝３１０，
烆２０犪１＋１９０犱＝１２２０．
解方程组，得
烄烅犪１＝４，
烆犱＝６．
所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差．

一般地，对于等差数列，只要给定两个相互独立的条件，这个数列就完全确定．



已知数列｛犪狀｝的前狀项和为犛狀＝狆狀２＋狇狀＋狉，其中狆，狇，狉为常数，且狆≠０．
任取若干组狆，狇，狉，在电子表格中计算犪１，犪２，犪３，犪４，犪５的值（图４．２３给出
狆＝１，狇＝２，狉＝０的情况），观察数列｛犪狀｝的特点，研究它是一个怎样的数列，并
证明你的结论．

图４．２３中的电子表
格Ａ列中Ａ１，Ａ２，Ａ３
分别表示狆，狇，狉的值，
Ｂ列、Ｃ列中分别是相应
的犛狀和犪狀的值．
图４．２３



１．根据下列各题中的条件，求相应等差数列｛犪狀｝的前狀项和犛狀．
（１）犪１＝５，犪狀＝９５，狀＝１０； （２）犪１＝１００，犱＝－２，狀＝５０；
（３）犪１＝－４，犪８＝－１８，狀＝１０；（４）犪１＝１４．５，犱＝０．７，犪狀＝３２．
２．等差数列－１，－３，－５，…的前多少项的和是－１００？
２２第四章数列

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３．在等差数列｛犪狀｝中，犛狀为其前狀项的和，若犛４＝６，犛８＝２０，求犛１６．
４．在等差数列｛犪狀｝中，若犛１５＝５（犪２＋犪６＋犪犽），求犽．
５．已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为２９０，所有偶数项的和为２６１．求此数列中
间一项的值以及项数．

例８某校新建一个报告厅，要求容纳８００个座位，报告厅共有２０排座位，从第２
排起每排都比前一排多２个座位．问第１排应安排多少个座位．
分析：将第１排到第２０排的座位数依次排成一列，构成数列｛犪狀｝．设数列｛犪狀｝的前
狀项和为犛狀．由题意可知，｛犪狀｝是等差数列，且公差及前２０项的和已知，所以可利用等
差数列的前狀项和公式求首项．
解：设报告厅的座位从第１排到第２０排，各排的座位数依次排成一列，构成数列
｛犪狀｝，其前狀项和为犛狀．根据题意，数列｛犪狀｝是一个公差为２的等差数列，且犛２０＝８００．

由犛２０＝２０犪１＋２０×（２０－１）×２＝８００，可得

２
犪１＝２１．
因此，第１排应安排２１个座位．

例９已知等差数列｛犪狀｝的前狀项和为犛狀，若犪１＝１０，公差犱＝－２，则犛狀是否存
在最大值？若存在，求犛狀的最大值及取得最大值时狀的值；若不存在，请说明理由．
分析：由犪１＞０和犱＜０，可以证明｛犪狀｝是递减数列，且存在正整数犽，使得当狀≥犽
时，犪狀＜０，犛狀递减．这样，就把求犛狀的最大值转化为求｛犪狀｝的所有正数项的和．
另一方面，等差数列的前狀项和公式可写成犛狀＝犱狀２＋
２　Sn
犪１－犱狀，所以当犱≠０时，犛狀可以看成二次函数狔＝犱狓２＋ 3028

（犱２）（）当时的函数值如图，当２　24
时（犪１，－２）关于狓狓∈的图象是一条开口向下的抛物线上的一些点犚狓＝狀 ．４．２４犱＜０ 18

犛狀狀　．
因此，可以利用二次函数求相应的狀，犛狀的值．
解法１：由犪狀＋１－犪狀＝－２＜０，得犪狀＋１＜犪狀，所以｛犪狀｝是 10
递减数列　O24681012n
．
又由犪狀＝１０＋（狀－１）×（－２）＝－２狀＋１２，可知：　图４．２４
当狀＜６时，犪狀＞０；
当狀＝６时，犪狀＝０；
当狀＞６时，犪狀＜０．
所以
第四章数列２３

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犛１＜犛２＜…＜犛５＝犛６＞犛７＞…．
也就是说，当狀＝５或６时，犛狀最大．

因为犛５＝５２×［２×１０＋（５－１）×（－２）］＝３０，所以犛狀的最大值为３０．

解法２：因为犛狀＝犱狀２＋犪１－犱狀

＝－２狀２＋１１（狀２）

想一想，这是为

１２２１

什么？

＝－（狀－１２）＋１４，

所以，当狀取与１１最接近的整数即５或６时，犛狀最大，最大值为３０．
２



在例９中，当犱＝－３．５时，犛狀有最大值吗？结合例９考虑更一般的等差数列前
狀项和的最大值问题．



１．某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，获奖者可以选择价值２０００元的奖品；
第二种，从１２月２０日到第二年的１月１日，每天到该商场领取奖品，第１天领取的奖品价值为１００
元，第２天为１１０元，以后逐天增加１０元．你认为哪种领奖方式获奖者领取的奖品价值更高？

２．已知数列｛犪狀｝的前狀项和犛狀＝１４狀２＋２３狀＋３．求这个数列的通项公式．

３．已知等差数列－４．２，－３．７，－３．２，…的前狀项和为犛狀，犛狀是否存在最大（小）值？如果存在，
求出取得最值时狀的值．
４．求集合犕＝｛犿｜犿＝２狀－１，狀∈犖，且犿＜６０｝中元素的个数，并求这些元素的和．
５．已知数列｛犪狀｝的通项公式为犪狀＝狀－２，前狀项和为犛狀．求犛狀取得最小值时狀的值．
２狀－１５

习题４．２



１．根据下列等差数列｛犪狀｝中的已知量，求相应的未知量：

（１）犪１＝２０，犪狀＝５４，犛狀＝９９９，求犱及狀；（２）犱＝１３，狀＝３７，犛狀＝６２９，求犪１及犪狀；
（３）犪１＝５６，犱＝－１６，犛狀＝－５，求狀及犪狀；（４）犱＝２，狀＝１５，犪狀＝－１０，求犪１及犛狀．

２４第四章数列

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２．已知｛犪狀｝为等差数列，犪１＋犪３＋犪５＝１０５，犪２＋犪４＋犪６＝９９．求犪２０．
３．（１）求从小到大排列的前狀个正偶数的和．
（２）求从小到大排列的前狀个正奇数的和．
（３）在三位正整数的集合中有多少个数是５的倍数？求这些数的和．
（４）在小于１００的正整数中，有多少个数被７除余２？这些数的和是多少？
４．１６８２年，英国天文学家哈雷发现一颗大彗星的运行曲线
和１５３１年、１６０７年的彗星惊人地相似．他大胆断定，这
是同一天体的三次出现，并预言它将于７６年后再度回归．
这就是著名的哈雷彗星，它的回归周期大约是７６年．请
你查找资料，列出哈雷彗星的回归时间表，并预测它在本
世纪回归的年份．



５．已知一个多边形的周长等于１５８ｃｍ，所有各边的长成等差数列，最大的边长为４４ｃｍ，公差为
３ｃｍ．求这个多边形的边数．
６．数列｛犪狀｝，｛犫狀｝都是等差数列，且犪１＝５，犫１＝１５，犪１００＋犫１００＝１００．求数列｛犪狀＋犫狀｝的前
１００项的和．
７．已知犛狀是等差数列｛犪狀｝的前狀项和．
（１）证明犛狀是等差数列；

（）｛｝狀犛狀　， ， ，
２设犜狀为数列｛｝狀的前狀项和若犛４＝１２犛８＝４０求犜狀．

８．已知两个等差数列２，６，１０，…，１９０及２，８，１４，…，２００，将这两个等差数列的公共项按
从小到大的顺序组成一个新数列．求这个新数列的各项之和．
９．一支车队有１５辆车，某天下午依次出发执行运输任务．第一辆车于１４时出发，以后每间隔
１０ｍｉｎ发出一辆车．假设所有的司机都连续开车，并都在１８时停下来休息．
（１）截止到１８时，最后一辆车行驶了多长时间？
（２）如果每辆车行驶的速度都是６０ｋｍ／ｈ，这个车队当天一共行驶了多少千米？



１０．已知等差数列｛犪狀｝的公差为犱，求证犪犿－犪狀＝犱．你能从直线的斜率角度来解释这个结果吗？
犿－狀
１１．虎甲虫以爬行速度快闻名，下表记录了一只虎甲虫连续爬行狀ｓ（狀＝１，２，…，１０）时爬行
的距离．
时间／ｓ１２３４５６７８９１０
距离／ｍ２．５０５．０３７．５５１０．０５１２．４５１５．０１１７．２８１９．９０２２．４８２５．０７
（１）你能建立一个数列模型，近似地表示这只虎甲虫连续爬行的距离与时间之间的关系吗？
第四章数列２５

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（２）利用建立的模型计算，这只虎甲虫连续爬行１ｍｉｎ能爬多远（精确到０．０１ｍ）？它连续
爬行１０ｍ需要多长时间（精确到０．１ｓ）？
１２．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．
“三角垛”的最上层有１个球，第二层有３个球，第三层有６个球……设各层球数构成一个数
列｛犪狀｝．
（１）写出数列｛犪狀｝的一个递推公式；
（２）根据（１）中的递推公式，写出数列｛犪狀｝的一个通项公式．

（第１２题）

２６第四章数列

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４３等比数列

我们知道，等差数列的特征是“从第２项起，每一项与
它的前一项的差都等于同一个常数”，类比等差数列的研究
思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是
值得研究的？
４３１!".$%&'(
请看下面几个问题中的数列．
１．两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的
数列?：
９，９２，９３，…，９１０；　① 古巴比伦人用六十
，２，３，…，１０；　?
１００２１００３１００１０１００ ②进制记数，这里转化为十
５，５，５，…，５．　③进制．
２．《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万
世不竭．”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“１”，那么
从第１天开始，各天得到的“棰”的长度依次是
１，１，１，１，１，…．　④　
２４８１６３２
３．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每
２０ｍｉｎ就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第１次
分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是
２，４，８，１６，３２，６４，…． ⑤
?复利是指把前一期
４．某人存入银行犪元，存期为５年，年利率为狉，那么的利息和本金加在一起算
按照复利?，他５年内每年末得到的本利和分别是作本金，再计算下一期的
犪（１＋狉），犪（１＋狉）２，犪（１＋狉）３，犪（１＋狉）４，犪（１＋狉）５．⑥利息．



类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？你
发现了什么规律？

第四章数列２７

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我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律．
如果用｛犪狀｝表示数列①，那么有
犪２＝９，犪３＝９，…，犪１０＝９．
犪１犪２ 犪９
这表明，数列①有这样的取值规律：从第２项起，每一项与它的前一项的比都等于９．
其余几个数列也有这样的取值规律，请你写出相应的规律．



类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概
念吗？
一般地，如果一个数列从第２项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那
么这个数列叫做等比数列（ｇｅｏｍｅｔｒｉｃｐｒｏｇｒｅｓｓｉｏｎ），这个常数叫做等比数列的公比（ｃｏｍ
ｍｏｎｒａｔｉｏ），公比通常用字母狇表示（显然狇≠０）．例如，数列①～⑥的公比依次是９，

１００，５，１２，２，１＋狉．

与等差中项类似，如果在犪与犫中间插入一个数犌，使犪，犌，犫成等比数列，那么
犌叫做犪与犫的等比中项（ｇｅｏｍｅｔｒｉｃｍｅａｎ）．此时，犌２＝犪犫．



你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
设一个等比数列｛犪狀｝的首项为犪１，公比为狇．根据等比数列的定义，可得
犪狀＋１＝犪狀·狇．
所以
犪２＝犪１狇，
犪３＝犪２狇＝（犪１狇）狇＝犪１狇２，
犪４＝犪３狇＝（犪１狇２）狇＝犪１狇３，
……
由此可得
犪狀＝犪１狇狀－１（狀≥２）．
又犪１＝犪１狇０＝犪１狇１－１，这就是说，当狀＝１时上式也成立．
因此，首项为犪１，公比为狇的等比数列｛犪狀｝的通项公式为
犪狀＝犪１狇狀－１．

２８第四章数列

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类似于等差数列与一次函数的关系，由犪狀＝犪１·狇狀可
狇
知，当狇＞０且狇≠１时，等比数列｛犪狀｝的第狀项犪狀是函数类比指数函数的性
犳（狓）＝犪１·狇狓（狓∈犚）当狓＝狀时的函数值，即犪狀＝犳（狀）．质，说说公比狇＞０的等
狇　比数列的单调性．
犪１＞０，狇＞１的情形如图４．３１所示．

公比狇＞０且狇≠１的
(4,a)　等比数列｛犪狀｝的图象有什

a

4

4

么特点？

图４．３１
反之，任给函数犳（狓）＝犽犪狓（犽，犪为常数，犽≠０，犪＞０，且犪≠１），则犳（１）＝犽犪，
犳（２）＝犽犪２，…，犳（狀）＝犽犪狀，…构成一个等比数列｛犽犪狀｝，其首项为犽犪，公比为犪．
下面，我们利用通项公式解决等比数列的一些问题．

例１若等比数列｛犪狀｝的第４项和第６项分别为４８和１２，求｛犪狀｝的第５项．
分析：等比数列｛犪狀｝由犪１，狇唯一确定，可利用条件列出关于犪１，狇的方程（组），
进行求解．
解法１：由犪４＝４８，犪６＝１２，得
烄犪１狇３＝４８，　①
烅烆犪１狇５＝１２．　②
②的两边分别除以①的两边，得

狇２＝１４．

解得

狇＝１２或－１２．
把狇＝１２代入①，得

犪１＝３８４．
第四章数列２９

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此时　４
犪５＝犪１狇４＝３８４×１＝２４．

把狇代入①，得 （）２

＝－１２犪１＝－３８４．

此时

４

４

犪５＝犪１狇＝－３８４×（）－１２＝－２４．

因此，｛犪狀｝的第５项是２４或－２４．
解法２：因为犪５是犪４与犪６的等比中项，所以
犪２５＝犪４犪６＝４８×１２＝５７６．
所以
犪５＝±槡５７６＝±２４．
因此，｛犪狀｝的第５项是２４或－２４．

例２已知等比数列｛犪狀｝的公比为狇，试用｛犪狀｝的第犿项犪犿表示犪狀．
解：由题意，得
犪犿＝犪１狇犿－１，　①
犪狀＝犪１狇狀－１．　② 等比数列的任意一项
②的两边分别除以①的两边，得　都可以由该数列的某一项
犪狀＝狇狀－犿，　和公比表示．
犪犿
所以
犪狀＝犪犿狇狀－犿．
例３数列｛犪狀｝共有５项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第３项等于８０，
第２项与第４项的和等于１３６，第１项与第５项的和等于１３２．求这个数列．
分析：先利用已知条件表示出数列的各项，再进一步根据条件列方程组求解．
解：设前三项的公比为狇，后三项的公差为犱，则数列的各项依次为８０２，８０，８０，
狇狇
８０＋犱，８０＋２犱．于是得
烄８０＋（８０＋犱）＝１３６，
烅狇
８０２＋（８０＋２犱）＝１３２．
烆狇
解方程组，得
３０第四章数列

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烄狇＝２，或烄狇＝２３，

烅烆犱＝１６，烅
烆犱＝－６４．
所以这个数列是２０，４０，８０，９６，１１２，或１８０，１２０，８０，１６，－４８．



１．判断下列数列是不是等比数列．如果是，写出它的公比．
（１）３，９，１５，２１，２７，３３；（２）１，１．１，１．２１，１．３３１，１．４６４１；
（３）１，１，１，１，１，１；（４）４，－８，１６，－３２，６４，－１２８．
３６９１２１５１８
２．已知｛犪狀｝是一个公比为狇的等比数列，在下表中填上适当的数．
犪１ 犪３ 犪５ 犪７ 狇
２　８
２　０．２
３．在等比数列｛犪狀｝中，犪１犪３＝３６，犪２＋犪４＝６０．求犪１和公比狇．
４．对于数列｛犪狀｝，若点（狀，犪狀）（狀∈犖）都在函数狔＝犮狇狓的图象上，其中犮，狇为常数，且犮≠０，
狇≠０，狇≠１，试判断数列｛犪狀｝是不是等比数列，并证明你的结论．
５．已知数列｛犪狀｝是等比数列．
（１）犪３，犪５，犪７是否构成等比数列？为什么？犪１，犪５，犪９呢？
（２）当狀＞１时，犪狀－１，犪狀，犪狀＋１是否构成等比数列？为什么？
当狀＞犽＞０时，犪狀－犽，犪狀，犪狀＋犽是否构成等比数列？

例４用１００００元购买某个理财产品一年．
（１）若以月利率０．４００％的复利计息，１２个月能获得多少利息（精确到０．０１元）？
（２）若以季度复利计息，存４个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不
少于（１）中按月结算的利息（精确到１０－５）？
分析：复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息，所以若
原始本金为犪元，每期的利率为狉，则从第一期开始，各期的本利和犪（１＋狉），
犪（１＋狉）２，…构成等比数列．
解：（１）设这笔钱存狀个月以后的本利和组成一个数列｛犪狀｝，则｛犪狀｝是等比数列，
首项犪１＝１０４（１＋０．４００％），公比狇＝１＋０．４００％，所以
犪１２＝１０４（１＋０．４００％）１２≈１０４９０．７０２．
所以，１２个月后的利息为１０４９０．７０２－１０４≈４９０．７０（元）．
（２）设季度利率为狉，这笔钱存狀个季度以后的本利和组成一个数列｛犫狀｝，则｛犫狀｝也
是一个等比数列，首项犫１＝１０４（１＋狉），公比为１＋狉，于是
犫４＝１０４（１＋狉）４．
第四章数列３１

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因此，以季度复利计息，存４个季度后的利息为
［１０４（１＋狉）４－１０４］元．
解不等式１０４（１＋狉）４－１０４≥４９０．７０，得
狉≥１．２０５％．
所以，当季度利率不小于１．２０５％时，按季结算的利息不少于按月结算的利息．

例５已知数列｛犪狀｝的首项犪１＝３．
（１）若｛犪狀｝为等差数列，公差犱＝２，证明数列｛３犪狀｝为等比数列；

（２）若｛犪狀｝为等比数列，公比狇＝１９，证明数列｛ｌｏｇ３犪狀｝为等差数列．

分析：根据题意，需要从等差数列、等比数列的定义出发，利用指数、对数的知识进
行证明．
证明：（１）由犪１＝３，犱＝２，得｛犪狀｝的通项公式为
犪狀＝２狀＋１．
设犫狀＝３犪狀，则
犫狀＋１２（狀＋１）＋１

犫狀＝３３２狀＋１＝９．

又
犫１＝３３＝２７，
所以，｛３犪狀｝是以２７为首项，９为公比的等比数列．

（２）由犪１＝３，狇＝１９，得

狀－１３－２狀

犪狀＝３×（）１９＝３．

两边取以３为底的对数，得
ｌｏｇ３犪狀＝ｌｏｇ３３３－２狀＝３－２狀．
所以
ｌｏｇ３犪狀＋１－ｌｏｇ３犪狀＝［３－２（狀＋１）］－（３－２狀）＝－２．
又
ｌｏｇ３犪１＝ｌｏｇ３３＝１，
所以，｛ｌｏｇ３犪狀｝是首项为１，公差为－２的等差数列．



已知犫＞０且犫≠１，如果数列｛犪狀｝是等差数列，那么数列｛犫犪狀｝是否一定是等比数
列？如果数列｛犪狀｝是各项均为正的等比数列，那么数列｛ｌｏｇ犫犪狀｝是否一定是等差数列？

３２第四章数列

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例６某工厂去年１２月试产１０５０个高新电子产品，产品合格率为９０％．从今年１月
开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品．１月按去年１２月的产量和产品合格率生
产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高５％，产品合格率比前一个月增加０．４％，
那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在１００个以内？
分析：设从今年１月起，各月的产量及不合格率分别构成数列｛犪狀｝，｛犫狀｝，则各月不
合格品的数量构成数列｛犪狀犫狀｝．由题意可知，数列｛犪狀｝是等比数列，｛犫狀｝是等差数列．由
于数列｛犪狀犫狀｝既非等差数列又非等比数列，所以可以先列表观察规律，再寻求问题的解决
方法．
解：设从今年１月起，各月的产量及不合格率分别构成数列｛犪狀｝，｛犫狀｝．
由题意，知
犪狀＝１０５０×１．０５狀－１，
犫狀＝１－［９０％＋０．４％（狀－１）］＝０．１０４－０．００４狀，其中狀＝１，２，…，２４，
则从今年１月起，各月不合格产品的数量是
犪狀犫狀＝１０５０×１．０５狀－１×（０．１０４－０．００４狀）
＝１．０５狀×（１０４－４狀）．
由计算工具计算（精确到０．１），并列表（表４．３１）．
表４３１
狀 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７
犪狀犫狀１０５．０１０５．８１０６．５１０７．０１０７．２１０７．２１０６．９
狀 ８ ９ １０１１１２１３１４
犪狀犫狀１０６．４１０５．５１０４．２１０２．６１００．６９８．１９５．０
观察发现，数列｛犪狀犫狀｝先递增，在第６项以后递减，所以只要设法证明当狀≥６时，
｛犪狀犫狀｝递减，且犪１３犫１３＜１００即可．
由　狀＋１

犪狀＋１狀犫狀狀＋１＝１．０５×狀［１０４－４（（狀＋１））］＜１，

得　犪犫 １．０５×１０４－４狀
狀＞５．
所以，当狀≥６时，｛犪狀犫狀｝递减．
又
犪１３犫１３≈９８＜１００，
所以，当１３≤狀≤２４时，犪狀犫狀≤犪１３犫１３＜１００．　为什么狀≤２４？
所以，生产该产品一年后，月不合格品的数量能控制在
１００个以内．

第四章数列３３

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１．求满足下列条件的数：
（１）在９与２４３中间插入２个数，使这４个数成等比数列；
（２）在１６０与－５中间插入４个数，使这６个数成等比数列．
２．设数列｛犪狀｝，｛犫狀｝都是等比数列，分别研究下列数列是不是等比数列．若是，证明结论；若不是，
请说明理由．
（１）数列｛犮狀｝，其中犮狀＝犪狀犫狀；
（２）数列｛犱狀｝，其中犱狀＝犪狀．
犫狀
３．某汽车集团计划大力发展新能源汽车，２０１７年全年生产新能源汽车５０００辆．如果在后续的几年
中，后一年新能源汽车的产量都是前一年的１５０％，那么２０２５年全年约生产新能源汽车多少辆
（精确到１）？
４．某城市今年空气质量为“优”“良”的天数为１０５，力争２年后使空气质量为“优”“良”的天数达
到２４０．这个城市空气质量为“优”“良”的天数的年平均增长率应达到多少（精确到０．０１）？
狀３
５．已知数列｛犪狀｝的通项公式为犪狀＝３狀，求使犪狀取得最大值时狀的值．

４３２!".$%&)狀*+,-
国际象棋起源于古印度．相传国王要奖赏国际
象棋的发明者，问他想要什么．发明者说：“请在棋
盘的第１个格子里放上１颗麦粒，第２个格子里放上
２颗麦粒，第３个格子里放上４颗麦粒……依此类
推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的２倍，直到第６４个格子．请
给我足够的麦粒以实现上述要求．”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．已知１０００颗
麦粒的质量约为４０ｇ，据查，２０１６—２０１７年度世界小麦产量约为７．５亿吨，根据以上数
据，判断国王是否能实现他的诺言．
让我们一起来分析一下．如果把各格所放的麦粒数看成一个数列，我们可以得到一个
等比数列，它的首项是１，公比是２，求第１个格子到第６４个格子各格所放的麦粒数总和
就是求这个等比数列前６４项的和．
一般地，如何求一个等比数列的前狀项和呢？
设等比数列｛犪狀｝的首项为犪１，公比为狇，则｛犪狀｝的前狀项和是
犛狀＝犪１＋犪２＋犪３＋…＋犪狀．
根据等比数列的通项公式，上式可写成

３４第四章数列

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犛狀＝犪１＋犪１狇＋犪１狇２＋…＋犪１狇狀－１．　①
我们发现，如果用公比狇乘①的两边，可得
狇犛狀＝犪１狇＋犪１狇２＋…＋犪１狇狀－１＋犪１狇狀．　②
①②两式的右边有很多相同的项，用①的两边分别减去②的两边，就可以消去这些相同的
项，可得犛狀－狇犛狀＝犪１－犪１狇狀，即
（１－狇）犛狀＝犪１（１－狇狀）．
因此，当狇≠１时，我们就得到了等比数列的前狀项和公式
犪１（１－狇狀）　当狇＝１时，等比数
犛狀＝１－狇（狇≠１）．　（１）列的前狀项和犛狀等于
因为 狀－１，所以公式（）还可以写成多少？
犪狀＝犪１狇　１
犛狀＝犪１－犪狀狇（狇≠１）．　（２）
１－狇

有了上述公式，就可以解决本小节开头提出的问题了．
由犪１＝１，狇＝２，狀＝６４，可得
（１－２６４）６４

犛６４＝１×１－２＝２－１．

２６４－１这个数很大，超过了１．８４×１０１９．如果１０００颗麦粒的质量约为４０ｇ，那么以上这
些麦粒的总质量超过了７０００亿吨，约是２０１６—２０１７年度世界小麦产量的９８１倍．因此，
国王根本不可能实现他的诺言．

例７已知数列｛犪狀｝是等比数列．

（１）若犪１＝１２，狇＝１２，求犛８；

对于等比数列的相关

（２）若犪１＝２７，犪９＝１，狇＜０，求犛８；
２４３

量犪１，犪狀，狇，狀，犛狀，
已知几个量就可以确定其

（３）若犪１＝８，狇＝１２，犛狀＝３１２，求狀．　他量？
解：（１）因为犪１＝１２，狇＝１２，所以

１ １８

犛８＝２×［１－１（）２］＝２２５５５６．

１－２
（２）由犪１＝２７，犪９＝１，可得
２４３
２７×狇８＝１，
２４３
第四章数列３５

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即
８１８

又由，得

狇＝（）３．

狇＜０

狇＝－１３，

所以

８

犛８＝２７×［１－（－１３１）］＝１６４０８１．
１－（）－３（狀）

（３）把犪１＝８，狇＝１，犛狀＝３１代入犛狀＝犪１１－狇，得
２２ １－狇

狀

８×［１－１（）１２］＝３１２．

１－２
整理，得

１狀＝１．

解得

（）２３２

狀＝５．

例８已知等比数列｛犪狀｝的首项为－１，前狀项和为犛狀．若犛１５０＝３１，求公比狇．

犛３２
解：若狇＝１，则

犛犛１０５＝１０５犪犪１１＝２≠３１３２，

所以
狇≠１．

当狇≠１时，由犛１５０＝３１，得

犛３２
（－１）（１－狇１０）１－狇

１－狇·（－１）（１－狇５）＝３１３２．

整理，得

１＋狇５＝３３１２，

即
３６第四章数列

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狇５＝－１．
所以　３２

狇＝－１２．

例９已知等比数列｛犪狀｝的公比狇≠－１，前狀项和为犛狀．证明犛狀，犛２狀－犛狀，犛３狀－
犛２狀成等比数列，并求这个数列的公比．
证明：当狇＝１时，
犛狀＝狀犪１，
犛２狀－犛狀＝２狀犪１－狀犪１＝狀犪１，
犛３狀－犛２狀＝３狀犪１－２狀犪１＝狀犪１，　想一想，不用分类讨
所以犛狀，犛２狀－犛狀，犛３狀－犛２狀成等比数列，公比为１． 论的方式能否证明该
当狇≠１时，　结论？
犪１（１－狇狀）
犛狀＝１－狇，
犪１（１－狇２狀）犪１（１－狇狀）犪１狇狀（１－狇狀）狀
犛２狀－犛狀＝１－狇－１－狇＝１－狇＝狇犛狀，
犪１（１－狇３狀）犪１（１－狇２狀）犪１狇２狀（１－狇狀）狀
犛３狀－犛２狀＝１－狇－１－狇＝１－狇＝狇（犛２狀－犛狀），
所以
犛２狀－犛狀＝犛３狀－犛２狀＝狇狀．
犛狀犛２狀－犛狀
因为狇狀为常数，所以犛狀，犛２狀－犛狀，犛３狀－犛２狀成等比数列，公比为狇狀．



１．已知数列｛犪狀｝是等比数列．
（１）若犪１＝３，狇＝２，狀＝６，求犛狀；

（２）若犪１＝－２．７，狇＝－１３，犪狀＝９０１，求犛狀；
（３）若犪３＝３２，犛３＝９２，求犪１与狇．

２．已知犪≠犫，且犪犫≠０．对于狀∈犖，证明：

狀＋１狀＋１

犪狀＋犪狀－１犫＋犪狀－２犫２＋…＋犪犫狀－１＋犫狀＝犪－犫．
犪－犫
３．设等比数列｛犪狀｝的前狀项和为犛狀，已知犪２＝６，６犪１＋犪３＝３０．求犪狀和犛狀．
４．已知三个数成等比数列，它们的和等于１４，积等于６４．求这个等比数列的首项和公比．
５．如果一个等比数列前５项的和等于１０，前１０项的和等于５０，那么这个数列的公比等于多少？
第四章数列３７

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例１０如图４．３２，正方形犃犅犆犇的边长为５ｃｍ，取正方形A　H　D
犃犅犆犇各边的中点犈，犉，犌，犎，作第２个正方形犈犉犌犎，然后 L O K
再取正方形犈犉犌犎各边的中点犐，犑，犓，犔，作第３个正方形E P　NG
犐犑犓犔，依此方法一直继续下去．　IM J
（１）求从正方形犃犅犆犇开始，连续１０个正方形的面积之和；B　F　C
（２）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么这些正方形的图４．３２
面积之和将趋近于多少？
分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列．
解：设正方形犃犅犆犇的面积为犪１，后继各正方形的面积依次为犪２，犪３，…，犪狀，
…，则
犪１＝２５．
由于第犽＋１个正方形的顶点分别是第犽个正方形各边的中点，所以

犪犽＋１＝１２犪犽．?
因此，｛犪狀｝是以２５为首项，１２为公比的等比数列．　?你能说明理由吗？

设｛犪狀｝的前狀项和为犛狀．

１０

（１）犛１０＝２５×［１－（）１２］＝５０×［１－（）１２１０］＝２５５７５５１２．

所以，前个正方形的面积之和为１－１２２５５７５２

１０　５１２ｃｍ．
（２）当狀无限增大时，犛狀无限趋近于所有正方形的面积和犪１＋犪２＋犪３＋…＋犪狀＋…．而
１狀

犛狀＝２５×［１－（）２］＝５０１－［（）１２狀］，

随着狀的无限增大，狀将趋近于１－１２０，犛狀将趋近于５０．

所以，这些正方形的面积之和将趋近于（）１２ ５０ｃｍ２．

例１１去年某地产生的生活垃圾为２０万吨，其中１４万吨垃圾以填埋方式处理，６万
吨垃圾以环保方式处理．预计每年生活垃圾的总量递增５％，同时，通过环保方式处理的
垃圾量每年增加１．５万吨．为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起狀年内通过填
埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起５年内通过填埋方式处理的垃圾总量
（精确到０．１万吨）．
分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃
圾量构成等差数列．因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算．
３８第四章数列

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解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列｛犪狀｝，每年以环保方式
处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列｛犫狀｝，狀年内通过填埋方式处理的垃圾总量为犛狀
（单位：万吨），则
犪狀＝２０（１＋５％）狀，
犫狀＝６＋１．５狀，
犛狀＝（犪１－犫１）＋（犪２－犫２）＋…＋（犪狀－犫狀）
＝（犪１＋犪２＋…＋犪狀）－（犫１＋犫２＋…＋犫狀）
＝（２０×１．０５＋２０×１．０５２＋…＋２０×１．０５狀）－（７．５＋９＋…＋６＋１．５狀）
（２０×１．０５）×（１－１．０５狀）狀
＝ １－１．０５－２（７．５＋６＋１．５狀）

＝４２０×１．０５狀－３４狀２－２４７狀－４２０．

当狀＝５时，犛５≈６３．５．
所以，从今年起５年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为６３．５万吨．

例１２某牧场今年初牛的存栏数为１２００，预计以后每年牛群的自然增长率为８％，
且在每年年底卖出１００头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为犮１，犮２，
犮３，…．
（１）写出一个递推公式，表示犮狀＋１与犮狀之间的关系；
（２）将（１）中的递推公式表示成犮狀＋１－犽＝狉（犮狀－犽）的形式，其中犽，狉为常数；
（３）求犛１０＝犮１＋犮２＋犮３＋…＋犮１０的值（精确到１）．
分析：（１）可以利用“每年牛群的自然增长率为８％”和“每年年底卖出１００头”建
立犮狀＋１与犮狀的关系；（２）这是待定系数法的应用，可以将它还原为（１）中的递推公式
的形式，通过比较系数，得到方程组；（３）利用（２）的结论可得出解答．
解：（１）由题意，得犮１＝１２００，并且
犮狀＋１＝１．０８犮狀－１００．　①
（２）将犮狀＋１－犽＝狉（犮狀－犽）化成
犮狀＋１＝狉犮狀－狉犽＋犽．　②
比较①②的系数，可得
烄烅狉＝１．０８，
烆犽－狉犽＝－１００．
解这个方程组，得
烄烅狉＝１．０８，
烆犽＝１２５０．
第四章数列３９

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所以，（１）中的递推公式可以化为
犮狀＋１－１２５０＝１．０８（犮狀－１２５０）．
（３）由（２）可知，数列｛犮狀－１２５０｝是以－５０为首项， 利用递推公式，借助
１．０８为公比的等比数列，则　于电子表格的计算，能快
（犮１－１２５０）＋（犮２－１２５０）＋（犮３－１２５０）＋…＋（犮１０－１２５０）捷地求得（３）的结果．
（１－１．０８１０）　你可以试一试．

＝－５０×１－１．０８≈－７２４．３．

所以
犛１０＝犮１＋犮２＋犮３＋…＋犮１０≈１２５０×１０－７２４．３＝１１７７５．７≈１１７７６．



１．一个乒乓球从１ｍ高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的０．６１倍．
（１）当它第６次着地时，经过的总路程是多少（精确到１ｃｍ）？
（２）至少在第几次着地后，它经过的总路程能达到４００ｃｍ？
２．某牛奶厂２０１５年初有资金１０００万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到５０％．
每年年底扣除下一年的消费基金后，剩余资金投入再生产．这家牛奶厂每年应扣除多少消费基金，
才能实现经过５年资金达到２０００万元的目标（精确到１万元）？
３．已知数列｛犪狀｝的前狀项和为犛狀，若犛狀＝２犪狀＋１，求犛狀．

习题４．３



１．已知数列｛犪狀｝是等比数列．
（１）若犪１＝－１，犪４＝６４，求狇与犛４；
（２）若犪５－犪１＝１５，犪４－犪２＝６，求犪３．
２．已知｛犪狀｝是一个无穷等比数列，公比为狇．
（１）将数列｛犪狀｝中的前犽项去掉，剩余项组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果
是，它的首项与公比分别是多少？
（２）取出数列｛犪狀｝中的所有奇数项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它
的首项与公比分别是多少？
（３）在数列｛犪狀｝中，从第１项起，每隔１０项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数
列吗？如果是，它的公比是多少？你能根据得到的结论作出关于等比数列的一个猜想吗？
３．求和：
（１）（２－３×５－１）＋（４－３×５－２）＋…＋（２狀－３×５－狀）；
（２）１＋２狓＋３狓２＋…＋狀狓狀－１．
４０第四章数列

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４．放射性元素在狋＝０时的原子核总数为犖０，经过一年原子核总数衰变为犖０狇，常数１－狇称为
年衰变率．考古学中常利用死亡的生物体中碳１４元素稳定持续衰变的现象测定遗址的年代．
已知碳１４的半衰期为５７３０年．
（１）碳１４的年衰变率为多少（精确到１０－６）？
（２）某动物标本中碳１４含量为正常大气中碳１４含量的６０％（即衰变了４０％），该动物的死亡
时间大约距今多少年（精确到１年）？



５．已知犛狀是等比数列｛犪狀｝的前狀项和，犛３，犛９，犛６成等差数列．求证：犪２，犪８，犪５成等差数列．
６．求下列数列的一个通项公式和一个前狀项和公式：
１，１１，１１１，１１１１，１１１１１，…．
７．已知数列｛犪狀｝的首项犪１＝１，且满足犪狀＋１＋犪狀＝３×２狀．
（１）求证：｛犪狀－２狀｝是等比数列．
（２）求数列｛犪狀｝的前狀项和犛狀．
８．若数列｛犪狀｝的首项犪１＝１，且满足犪狀＋１＝２犪狀＋１，求数列｛犪狀｝的通项公式及前１０项的和．
９．在流行病学中，基本传染数犚０是指在没有外力介入，同时所
有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．对于犚０＞１，而且死亡
犚０一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每率较高的传染病，一般要隔
次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染离感染者，以控制传染源，
数犚０＝３．８，平均感染周期为７天，那么感染人数由１个初始切断传播途径．
感染者增加到１０００人大约需要几轮传染？需要多少天？（初
始感染者传染犚０个人为第一轮传染，这犚０个人每人再传染犚０个人为第二轮传染……）



１０．已知数列｛犪狀｝为等比数列，犪１＝１０２４，公比狇＝１２．若犜狀是数列｛犪狀｝的前狀项积，求犜狀的

最大值．
１１．已知数列｛犪狀｝的首项犪１，且满足犪狀＋１＝３犪狀．

＝３５２犪狀＋１

（１）求证：数列１－１为等比数列．

１１１｛犪狀｝１

（２）若犪１＋犪２＋犪３＋…＋犪狀＜１００，求满足条件的最大整数狀．
１２．已知数列｛犪狀｝为等差数列，犪１＝１，犪３＝２２＋１槡，前狀项和为犛狀，数列｛犫狀｝满足犫狀＝犛狀．
狀
求证：
（１）数列｛犫狀｝为等差数列；
（２）数列｛犪狀｝中的任意三项均不能构成等比数列．
第四章数列４１

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中国古代数学家求数列和的方法
前面，我们用巧妙的“倒序相加法”和“错位相减法”推导出了等差数列和
等比数列的前狀项和公式．人们对数列求和问题的兴趣由来已久，大约在公元前
１８００年，古埃及的“加罕纸草书”上就记载了等差数列的求和问题．同样地，等
比数列的求和也是人们很早就感兴趣的问题．后来，人们开始探索求正整数的平
方、立方、４次幂以至狀次幂之和的公式．１７世纪代数符号普及之后，数列求和
问题经历了由有限到无限、由数项到函数项的发展过程，逐渐形成了现代分析学
的一个分支———级数理论．
中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造
并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智．下面，我们介绍中国数学家
求数列和的方法．
刘徽是我国魏晋时期的数学家，他在为《九章算术》
所做的注文中给出了等差数列的求和公式（２）．《九章算
术》“盈不足”章的第１９问是一个等差数列问题：“今有良
马与驽马发长安至齐．齐去长安三千里（里是我国市制长
度单位，１里＝５００ｍ）．良马初日行一百九十三里，日增十
三里．驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复 刘徽
还迎驽马．问：几何日相逢及各行几何？”刘徽用“平行
数±中平里”来计算良马和驽马１５日所行里数，其中“平行数”“以二马初日所

行里乘十五日”得到，良马的“中平里”的计算公式是（１＋１４）×１２４×１３，驽马的
“中平里”的计算公式是（１＋１４）×１２４×１２．这样良马１５日所行里数的和为犛良＝
１９３×１５＋（１＋１４）×１２４×１３，这相当于使用了等差数列的求和公式（２）．刘徽是

怎样发现这个公式的呢？史学家认为，他可能是在把良马１５日内每日所行里数
逐项相加的过程中发现的．具体如下：
１９３＋（１９３＋１３）＋（１９３＋１３×２）＋（１９３＋１３×３）＋…＋（１９３＋１３×１４）
＝１９３×１５＋（１＋２＋３＋…＋１４）×１３

＝２８９５＋（１＋１４）×１２４×１３．

４２第四章数列

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北宋的数学家沈括博学多才、善于观察．据说有一天，他走进一家酒馆，看
见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”沈括“用刍童
（长方台）法求之，常失于数少”．他想堆积的酒坛、棋子等虽然看起来像实体，
但中间是有空隙的，应该把它们看成离散的量．经过反复尝试，沈括提出对于上
底有犪犫个，下底有犮犱个，共狀层的堆积物（图１），可以用公式犛＝狀［（２犫＋犱）·
６
犪＋（犫＋２犱）犮］＋狀（犮－犪）求出物体的总数．这就是所谓的“隙积术”，相当于求数
６
列犪犫，（犪＋１）（犫＋１），（犪＋２）（犫＋２），…，（犪＋狀－１）（犫＋狀－１）＝犮犱的和．然
而，“隙积术”的意义不仅在于提出了二阶等差数列的一个求和公式，而且在于
发展了自《九章算术》以来对等差数列问题的研究，开创了我国“垛积术”的
研究．

c



图１　图２
南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连
续量问题转化为求离散量的垛积问题”．例如，求图２“圭垛”中的格点个数总
和，杨辉认为虽然圭垛的形状与三角形相似，但要用梯形的面积公式计算，即
犛７＝（１＋７）×７＝２８．在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相
２
应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍甍垛、刍童垛等的公式．例如三
角垛指的是顶层放１个，第二层放３个，第三层放６个……
第狀层放１狀（狀＋１）个物体堆成的堆垛，类比图３中的立体图
２

形，杨辉推出了它的求和公式犛＝１＋３＋６＋…＋１２狀（狀＋１）＝

１狀（狀＋１）（狀＋２）．
６　图３

第四章数列４３

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４４数学归纳法

在数列的学习过程中，我们已经用归纳的方法得出了一
些结论，例如等差数列｛犪狀｝的通项公式犪狀＝犪１＋（狀－１）犱
等，但并没有给出严格的数学证明．那么，对于这类与正整
数狀有关的命题，我们怎样证明它对每一个正整数狀都成立
呢？本节我们就来介绍一种重要的证明方法———数学归纳法．



已知数列｛犪狀｝满足犪１＝１，犪狀＋１＝１（狀∈犖），计算犪２，犪３，犪４，猜想其通
２－犪狀
项公式，并证明你的猜想．
计算可得犪２＝１，犪３＝１，犪４＝１．再结合犪１＝１，由此猜想：犪狀＝１（狀∈犖）．
如何证明这个猜想呢？我们自然会想到从狀＝５开始一个个往下验证．一般来说，
与正整数狀有关的命题，当狀比较小时可以逐个验证，但当狀较大时，验证起来会很麻
烦．特别是证明狀取所有正整数都成立的命题时，逐一验证是不可能的．因此，我们需
要另辟蹊径，寻求一种方法：
通过有限个步骤的推理，证明狀取所有正整数时命题都成立．

我们先从多米诺骨牌游戏说起．码放骨牌时，要保证
任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后
一块骨牌倒下．这样，只要推倒第１块骨牌，就可导致第
２块骨牌倒下；而第２块骨牌倒下，就可导致第３块骨牌
倒下；……．总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下．



在这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？
可以看出，使所有骨牌都能倒下的条件有两个：
（１）第一块骨牌倒下；

标有的内容为选学内容，不作考试要求．
４４第四章数列

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（２）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．



你认为条件（２）的作用是什么？如何用数学语言描述它？
可以看出，条件（２）实际上是给出了一个递推关系：第
犽块骨牌倒下第犽＋１块骨牌倒下．　假设有无限多块多米
这样，只要第１块骨牌倒下，其他所有的骨牌就能够相诺骨牌，我们可以想象前
继倒下．事实上，无论有多少块骨牌，只要保证（１）（２）成一块推倒后一块的动作将
立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下．　永远进行下去．



你认为证明前面的猜想“数列的通项公式是犪狀＝１（狀∈犖）”与上述多米诺骨
牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？
显然，如果能得到一个类似于“第犽块骨牌倒下第犽＋１块骨牌倒下”的递推关
系，那么猜想的正确性也就得到证明了．为此，我们先回顾一下猜想的获得过程：
由犪１＝１，利用递推关系，推出犪２＝１；
由犪２＝１，利用递推关系，推出犪３＝１；
由犪３＝１，利用递推关系，推出犪４＝１；
……



归纳上述过程的共性，你能得出推理的一般结构吗？
我们发现，上述过程蕴含着一个与多米诺骨牌游戏的条
件（２）类似的递推结构：　这里犽是任意的，所
以犪犽＝１成立为条件，推出犪犽＋１＝１也成立． 有能使猜想成立的正整数
它相当于命题：　都可以作为犽，并且这样
当狀＝犽时猜想成立，则狀＝犽＋１时猜想也成立． 的犽也是存在的，因为数
只要能够证明这个命题，我们就可以在犪１＝１的条件“１”就是一个例子．
下，由这个命题得到：对任意正整数狀，犪狀＝１成立．
事实上，如果狀＝犽时猜想成立，即犪犽＝１，那么
犪犽＋１＝１＝１＝１，
２－犪犽２－１
第四章数列４５

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即当狀＝犽＋１时，猜想也成立．
这样，对于猜想“犪狀＝１”，由狀＝１成立，就有狀＝２成立；由狀＝２成立，就有狀＝３
成立；……．所以，对于任意正整数狀，猜想都成立，即数列｛犪狀｝的通项公式是犪狀＝１
（狀∈犖）．
一般地，证明一个与正整数狀有关的命题，可按下列步骤进行：
（１）（归纳奠基）证明当狀＝狀０（狀０∈犖）时命题成立；
（２）（归纳递推）以“当狀＝犽（犽∈犖，犽≥狀０）时命题成立”为条件，推出“当
狀＝犽＋１时命题也成立”．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从狀０开始的所有正整数狀都成立，这种证
明方法称为数学归纳法（ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｉｎｄｕｃｔｉｏｎ）．



数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？
记犘（狀）是一个关于正整数狀的命题．我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下：
条件：（１）犘（狀０）为真；（２）若犘（犽）（犽∈犖，犽≥狀０）为真，则犘（犽＋１）也为真．
结论：犘（狀）为真．
在数学归纳法的两步中，第一步验证（或证明）了当狀＝狀０时结论成立，即命题
犘（狀０）为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：
若犘（犽）为真，则犘（犽＋１）也为真．
完成这两步，就有犘（狀０）真，犘（狀０＋１）真……犘（犽）真，犘（犽＋１）真……．从而完成
证明．

例１用数学归纳法证明：如果｛犪狀｝是一个公差为犱的等差数列，那么
犪狀＝犪１＋（狀－１）犱　①
对任何狀∈犖都成立．
分析：因为等差数列的通项公式涉及全体正整数，所以用数学归纳法证明的第一步应
证明当狀＝１时命题成立．第二步要明确证明的目标，即要证明一个新命题：如果当狀＝犽
时①式是正确的，那么当狀＝犽＋１时①式也是正确的．
证明：（１）当狀＝１时，左边＝犪１，右边＝犪１＋０×犱＝犪１，①式成立．
（２）假设当狀＝犽（犽∈犖）时，①式成立，即
犪犽＝犪１＋（犽－１）犱，
根据等差数列的定义，有
犪犽＋１－犪犽＝犱，
于是
４６第四章数列

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犪犽＋１＝犪犽＋犱
＝［犪１＋（犽－１）犱］＋犱　在证明递推步骤时，
＝犪１＋［（犽－１）＋１］犱　必须使用归纳假设，并把
＝犪１＋［（犽＋１）－１］犱，　“证明的目标”牢记在心．
即当狀＝犽＋１时，①式也成立．
由（１）（２）可知，①式对任何狀∈犖都成立．



１．下列各题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？
（１）求证：当狀∈犖时，狀＝狀＋１．
证明：假设当狀＝犽（犽∈犖）时，等式成立，即犽＝犽＋１．
则当狀＝犽＋１时，左边＝犽＋１＝（犽＋１）＋１＝右边．
所以当狀＝犽＋１时，等式也成立．
由此得出，对任何狀∈犖，等式狀＝狀＋１都成立．
（２）用数学归纳法证明等差数列的前狀项和公式是犛狀＝狀（犪１＋犪狀）．
２
证明：①当狀＝１时，左边＝犛１＝犪１，右边＝犪１，等式成立．
②假设当狀＝犽（犽∈犖）时，等式成立，即犛犽＝犽（犪１＋犪犽）．
２
则当狀＝犽＋１时，
犛犽＋１＝犪１＋犪２＋犪３＋…＋犪犽＋犪犽＋１，
犛犽＋１＝犪犽＋１＋犪犽＋犪犽－１＋…＋犪２＋犪１．
上面两式相加并除以２，可得
犛犽＋１＝（犽＋１）（犪１＋犪犽＋１），
２
即当狀＝犽＋１时，等式也成立．
由①②可知，等差数列的前狀项和公式是犛狀＝狀（犪１＋犪狀）．
２
２．用数学归纳法证明：首项为犪１，公比为狇的等比数列的通项公式是犪狀＝犪１狇狀－１，前狀项和公式是
犪１（１－狇狀）
犛狀＝１－狇（狇≠１）．

例２用数学归纳法证明：

１２＋２２＋…＋狀２＝１６狀（狀＋１）（２狀＋１）（狀∈犖）．

①

分析：用数学归纳法证明时，第二步要证明的是一个以“当狀＝犽时，①式成立”为条
件，得出“当狀＝犽＋１时，①式也成立”的命题，证明时必须用上上述条件．
第四章数列４７

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证明：（１）当狀＝１时，①式的左边＝１２＝１，

右边＝１６×１×（１＋１）×（２×１＋１）＝１×２×３６＝１，

所以①式成立．
（２）假设当狀＝犽（犽∈犖）时，①式成立，即

１２＋２２＋…＋犽２＝１６犽（犽＋１）（２犽＋１），

在上式两边同时加上（犽＋１）２，有
１２＋２２＋…＋犽２＋（犽＋１）２

＝１６犽（犽＋１）（２犽＋１）＋（犽＋１）２

犽（犽＋１）（２犽＋１）＋６（犽＋１）２
＝ ６
（犽＋１）（２犽２＋７犽＋６）
＝ ６
＝（犽＋１）（犽＋２）（２犽＋３）
６

＝１６（犽＋１）［（犽＋１）＋１］［２（犽＋１）＋１］，

即当狀＝犽＋１时，①式也成立．
由（１）（２）可知，①式对任何狀∈犖都成立．
例３已知数列｛犪狀｝满足犪１＝０，２犪狀＋１－犪狀犪狀＋１＝１（狀∈犖），试猜想数列｛犪狀｝的通
项公式，并用数学归纳法加以证明．
分析：先将数列｛犪狀｝的递推关系２犪狀＋１－犪狀犪狀＋１＝１化为犪狀＋１＝１（狀∈犖），通
２－犪狀
过计算犪２，犪３，犪４，犪５的值，归纳共性并作出猜想，再应用数学归纳法证明猜想．
解：由２犪狀＋１－犪狀犪狀＋１＝１，可得
犪狀＋１＝１（狀∈犖）．
２－犪狀
由
犪１＝０，
可得

犪２＝２－０１＝１２．

同理可得
犪３＝１，犪４＝１，犪５＝１．

２－１２＝２３２－２３＝３４２－３４＝４５

４８第四章数列

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归纳上述结果，猜想
犪狀＝狀－１（狀∈犖）．　①
狀
下面用数学归纳法证明这个猜想．

（１）当狀＝１时，①式左边＝犪１＝０，右边＝１－１１＝０，猜想成立．

（２）假设当狀＝犽（犽∈犖）时，①式成立，即
犪犽＝犽－１，
犽
那么
犪犽＋１＝１＝１＝犽（犽＋１）－１，

２－犪犽２－犽犽－１犽＋１＝犽＋１

即当狀＝犽＋１时，猜想也成立．
由（１）（２）可知，猜想对任何狀∈犖都成立．

例４设狓为实数，且狓＞－１，狓≠０，狀为大于１的正整数，记数列
狓，狓（１＋狓），狓（１＋狓）２，…，狓（１＋狓）狀－１，…
的前狀项和为犛狀，试比较犛狀与狀狓的大小，并用数学归纳法证明你的结论．
分析：该问题中涉及两个字母，狓是大于－１且不等于零的实数，狀是大于１的正整
数．一种思路是不求和，而直接通过狀取特殊值比较犛狀与狀狓的大小关系，并作出猜想；
另一种思路是先由等比数列的求和公式求出犛狀，再通过狀取特殊值比较犛狀与狀狓的大小
关系后作出猜想．两种做法都必须用数学归纳法证明得到的猜想．
解法１：由已知可得
犛狀＝狓＋狓（１＋狓）＋狓（１＋狓）２＋…＋狓（１＋狓）狀－１．
当狀＝２时，犛２＝狓＋狓（１＋狓）＝狓２＋２狓，由狓≠０，知狓２＞０，可得
犛２＞２狓；
当狀＝３时，犛３＝狓＋狓（１＋狓）＋狓（１＋狓）２＝狓２（狓＋３）＋３狓，由狓＞－１且狓≠０，知
狓２（狓＋３）＞０，可得
犛３＞３狓．
由此，我们猜想，当狓＞－１且狓≠０，狀∈犖且狀＞１时，犛狀＞狀狓．
下面用数学归纳法证明这个猜想．
（１）当狀＝２时，由上述过程知，猜想成立．
（２）假设当狀＝犽（犽∈犖，且犽≥２）时，不等式成立，即
犛犽＞犽狓，
则
第四章数列４９

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犛犽＋１＝犛犽＋狓（１＋狓）犽
＞犽狓＋狓（１＋狓）犽．
①当狓＞０时，因为犽＞１，所以（１＋狓）犽＞１，所以
狓（１＋狓）犽＞狓．
②当－１＜狓＜０时，０＜１＋狓＜１，且狓２＞０．又因为犽＞１，所以（１＋狓）犽＜１＋狓，
可得
狓（１＋狓）犽＞狓（１＋狓）＝狓＋狓２＞狓．
综合①②可得，当狓＞－１且狓≠０时，
犛犽＋１＞犽狓＋狓（１＋狓）犽
＞犽狓＋狓
＝（犽＋１）狓，
所以，当狀＝犽＋１时，猜想也成立．
由（１）（２）可知，不等式犛狀＞狀狓对任何大于１的正整数狀都成立．
解法２：因为狓＞－１，狓≠０，所以所给数列是等比数列，公比为１＋狓，于是
犛狀＝狓＋狓（１＋狓）＋狓（１＋狓）２＋…＋狓（１＋狓）狀－１
狓［１－（１＋狓）狀］
＝１－（１＋狓）
＝（１＋狓）狀－１．
当狀＝２时，犛２＝（１＋狓）２－１＝狓２＋２狓，由狓≠０，知狓２＞０，可得
犛２＞２狓；
当狀＝３时，犛３＝（１＋狓）３－１＝狓２（狓＋３）＋３狓，由狓＞－１，狓≠０，得狓２（狓＋３）＞
０，可得
犛３＞３狓．
由此，我们猜想，当狓＞－１且狓≠０，狀∈犖且狀＞１时，犛狀＞狀狓．
下面用数学归纳法证明．
（１）当狀＝２时，由上述过程知，猜想成立．
（２）假设当狀＝犽（犽∈犖，且犽≥２）时，不等式犛犽＞犽狓成立，即
（１＋狓）犽－１＞犽狓，
亦即
（１＋狓）犽＞１＋犽狓．
由狓＞－１，得狓＋１＞０．又因为犽＞１，狓≠０，所以犽狓２＞０．于是
犛犽＋１＝（１＋狓）犽＋１－１
＝（１＋狓）犽（１＋狓）－１
＞（１＋犽狓）（１＋狓）－１
＝犽狓２＋（犽＋１）狓
５０第四章数列

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＞（犽＋１）狓．
所以，当狀＝犽＋１时，猜想也成立．
由（１）（２）可知，不等式犛狀＞狀狓对任何大于１的正整数狀都成立．



１．用数学归纳法证明：－１＋３－５＋…＋（－１）狀（２狀－１）＝（－１）狀狀．
２．若数列１，１，１，…，（１），…的前狀项和为犛狀，计算犛１，犛２，犛３，由此推测计算
１×２２×３３×４狀狀＋１
犛狀的公式，并用数学归纳法进行证明．
３．观察下列两个数列｛犪狀｝，｛犫狀｝：
数列｛犪狀｝：１，４，９，１６，２５，３６，４９，６４，８１，…；
数列｛犫狀｝：２，４，８，１６，３２，６４，１２８，２５６，５１２，…．
猜想从第几项起犪狀小于犫狀，并证明你的结论．
４．猜想满足犪１＝犪，２犪狀＋１－犪狀犪狀＋１＝１的数列｛犪狀｝的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．

习题４．４



１．选择题
用数学归纳法证明下列等式：
－１＋３－５＋７＋…＋（－１）狀（２狀－１）＋（－１）狀＋１（２狀＋１）＋（－１）狀＋２（２狀＋３）＝（－１）狀＋２（狀＋２）．
要验证当狀＝１时等式成立，其左边的式子应为（）．
（Ａ）－１（Ｂ）－１＋３（Ｃ）－１＋３－５（Ｄ）－１＋３－５＋７
２．用数学归纳法证明：
（１）１＋３＋５＋…＋（２狀－１）＝狀２；
（２）１＋２＋２２＋…＋２狀－１＝２狀－１；
３３３　３１　２

（３）１＋２＋３＋…＋狀＝［２狀（狀＋１）］．



３．已知数列｛犪狀｝满足犪１＝１，４犪狀＋１－犪狀犪狀＋１＋２犪狀＝９（狀∈犖）．计算犪２，犪３，犪４，由此猜想数
列｛犪狀｝的通项公式，并用数学归纳法证明．
４．已知数列１×４１，４×７１，７×１０１，…，（３狀－２）（１３狀＋１），…的前狀项和为犛狀．计算犛１，犛２，
犛３，犛４，由此猜想犛狀的表达式，并用数学归纳法证明．

第四章数列５１

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１２２２　狀２ 狀（狀＋１）
５．用数学归纳法证明：１×３＋３×５＋…＋（２狀－１）（２狀＋１）＝２（２狀＋１）．
６．已知数列｛犪狀｝，｛犫狀｝的通项公式分别为犪狀＝２狀，犫狀＝狀４，其中狀∈犖．试推断犪狀＞犫狀对哪些
正整数狀成立，证明你的结论．
７．已知数列｛狓狀｝满足狓１＝１，狓狀＝狓狀＋１＋ｌｎ（１＋狓狀＋１）（狀∈犖）．试用数学归纳法证明狓狀＞０，
并比较狓狀与狓狀＋１的大小关系．



８．证明：狀３＋５狀（狀∈犖）能够被６整除．
９．一本旧教材上有一个关于正整数狀的恒等式
１×２２＋２×３２＋…＋狀（狀＋１）２＝１狀（狀＋１）？
１２
其中问号处由于年代久远，只能看出它是关于狀的二次三项式，具体的系数已经看不清楚了．
请你猜想这个恒等式的形式，并用数学归纳法证明．
１０．已知命题：设犪１，犪２为非负实数，犫１，犫２为正实数，若犫１＋犫２＝１，则

犫１犫２

犪１犪２≤犪１犫１＋犪２犫２．
请将该命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．

５２第四章数列

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在本章中，我们学习了数列的定义，并以取值规律最简单的两类数列———等
差数列和等比数列为例，在研究它们的性质的基础上，推导出了这两类数列的通
项公式与前狀项和公式，还通过建立数列模型，解决了一些数学问题和实际问题．
数列的定义建立起了它的序号与项之间的对应关系．数列是一种特殊的函
数，因此我们可以用函数的方法来研究数列，例如，用表格、图象和函数解析
式（数列的通项公式）来表示数列，建立数列模型刻画具有递推规律的事物等．
而从等差数列、等比数列的通项公式出发，我们发现了等差数列与一次函数、
等比数列与指数函数之间的关系．在本章的学习中，我们还常常通过运算发现
数列的取值规律，解决与数列有关的问题．

第四章数列５３

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此外，我们还学习了数学归纳法．这种方法建立了一种无穷递推的机制，
用有限的步骤证明了与无限多个正整数有关的命题，实现了从有限到无限的飞
跃．它既是我们证明与正整数狀有关的命题的一种思想方法，又为我们提供了
一种“观察—归纳—猜想—证明”的思维模式．需要注意的是，数学归纳法中
的两个步骤是缺一不可的．
请你带着下面的问题，复习一下全章内容吧！
１．为什么说数列是一种特殊的函数？
２．在什么情况下可以用通项公式表示数列，在什么情况下可以用递推公式
表示数列？
３．数列的前狀项和公式与它的通项公式有什么关系？
４．等差数列和等比数列的通项公式分别是什么？你是如何推导出它们的？
等差数列和等比数列的图象分别有什么特点？
５．“等差中项”“等比中项”与“平均数”之间有什么内在联系？等差数
列、等比数列有许多有趣的性质，你能列举一些吗？
６．推导等差数列、等比数列的前狀项和公式时，各用了哪些巧妙的方法？
７．为什么说数学归纳法的两个步骤（归纳奠基与归纳递推）缺一不可？你
能说说两个步骤各自的作用吗？它们之间有怎样的关系？

复习参考题４



１．根据下列数列的通项公式，分别作出它们的图象：
狀　狀　狀＋１ （－１）狀

（１）犪狀＝－４；（２）犫狀＝２３；（３）犮狀＝２狀；（４）犱狀＝狀．

２．根据下列数列的前４项，写出数列的一个通项公式：

（１）１２，３４，５８，１６７，…；（２）１＋２１２，１－３４２，１＋５６２，１－７８２，…；

（３）０，槡２，０，槡２，…．
３．选择题
（１）预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是犘狀＝犘０（１＋犽）狀
（犽＞－１），其中犘狀为预测期人口数，犘０为初期人口数，犽为预测期内人口年增长率，狀
为预测期间隔年数．如果在某一时期犽∈（－１，０），那么在这期间人口数（）．
（Ａ）呈上升趋势（Ｂ）呈下降趋势（Ｃ）摆动变化（Ｄ）不变

５４第四章数列

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（２）《莱因德纸草书》（犚犺犻狀犱犘犪狆狔狉狌狊）是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的
题目，请给出答案：把１００个面包分给５个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较

大的三份之和的１７是较小的两份之和，则最小的一份为（）．

（Ａ）５
（）如图是瑞典数学家科赫在３
３
正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，
再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边
长为１，把图①、图②、图③、图④中图形的周长依次记为犆１，犆２，犆３，犆４，则犆４＝（）．
（Ａ）１２８
９

（Ｂ）１０
年构造的能够描述雪花形状的图案３
１９０４
（Ｂ）６４
９

（Ｃ）５
６ 图形的作法是６：从一个
．
（Ｃ）６４
２７

（Ｄ）１１
（Ｄ）１２８
２７

①　②　③　④
（第３（３）题）
４．填空题
（１）已知犪＝５＋２６槡，犮＝５－２６．槡若犪，犫，犮三个数成等差数列，则犫＝；若犪，犫，
犮三个数成等比数列，则犫＝．
（２）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共
灯三百八十一，请问尖头几盏灯．”意思是：一座７层塔共挂了３８１盏灯，且相邻两层中
的下一层灯数是上一层灯数的２倍，则塔的顶层共有盏灯．
５．某教育网站本月的用户为２０００人．网站改造后，预计平均每月的用户都比上一个月增加
３０％，那么从本月起，大约经过几个月可使用户达到１万人（精确到１）？
６．某中学的募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款１２００元．他们第１天
只得到１０元，之后采取了积极措施，从第２天起，每天收到的捐款都比前一天多１０元．这次
募捐活动一共进行了多少天？
７．某同学利用暑假中的一段时间（不超过２０天）到一家商场勤工俭学．该商场向他提供了三种
付酬方案：第一种，每天支付８５元；第二种，第１天支付６５元，从第２天起，每天比前一天
都多支付２元；第三种，第１天支付４０元，从第２天起，每天支付的金额都是前一天的１．１
倍．你认为他选择哪种方案领取报酬更划算？



８．非零实数犪，犫，犮不全相等．
（１）若犪，犫，犮成等差数列，１，１，１能构成等差数列吗？你能用函数图象解释一下吗？
犪犫犮
（２）若犪，犫，犮成等比数列，１，１，１能构成等比数列吗？为什么？
犪犫犮
第四章数列５５

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９．小明的父母为了准备小明将来考入大学的学费，于２０１７年元旦在某银行存入１００００元，并在
后续每一年的元旦都在该银行存入１２００元，直到２０２２年存入最后一笔钱为止．如果银行的存
款年利率为２．７５％，且以复利计息，那么小明的父母在２０２３年元旦将存款连本带利全部取出
时，能取到多少钱？
１０．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘３再加上１；若是偶数，就将该数除以２．反复进行
上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈１→４→２→１．这就是数学史上著名的“冰
雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数犿＝６，根据上述运算法则得出６→３→１０→
５→１６→８→４→２→１，共需经过８个步骤变成１（简称为８步“雹程”）．
现给出冰雹猜想的递推关系如下：
烄犪狀，当犪狀为偶数时，
已知数列｛犪狀｝满足：犪１＝犿（犿为正整数），犪狀＋１＝烅２
烆３犪狀＋１，当犪狀为奇数时．
（１）当犿＝１７时，试确定使得犪狀＝１需要多少步雹程；
（２）若犪８＝１，求犿所有可能的取值集合犕．
１１．已知等差数列｛犪狀｝的前狀项和为犛狀，且犛４＝４犛２，犪２狀＝２犪狀＋１（狀∈犖）．
（１）求数列｛犪狀｝的通项公式；
（２）若犫狀＝３狀－１，令犮狀＝犪狀犫狀，求数列｛犮狀｝的前狀项和犜狀．
１２．已知等比数列｛犪狀｝的前狀项和为犛狀，且犪狀＋１＝２犛狀＋２（狀∈犖）．
（１）求数列｛犪狀｝的通项公式．
（２）在犪狀与犪狀＋１之间插入狀个数，使这狀＋２个数组成一个公差为犱狀的等差数列，在数列
｛犱狀｝中是否存在３项犱犿，犱犽，犱狆（其中犿，犽，狆成等差数列）成等比数列？若存在，
求出这样的３项；若不存在，请说明理由．
１３．类比等差数列和等比数列的定义、通项公式、常用性质等，发现它们具有如下的对偶关系：
只要将等差数列的一个关系式中的运算“＋”改为“×”，“－”改为“÷”，正整数倍改为正
整数指数幂，相应地就可得到等比数列中一个形式相同的关系式，反之也成立．
（１）根据上述说法，请你参照下表给出的信息推断出相关的对偶关系式；
名称　等差数列｛犪狀｝　等比数列｛犫狀｝
定义　犪狀＋１－犪狀＝犱
通项公式　犫狀＝犫１狇狀－１＝犫犿狇狀－犿
①犪１＋犪狀＝犪２＋犪狀－１＝犪３＋犪狀－２＝…①
②犪狀－犽＋犪狀＋犽＝２犪狀（狀＞犽） ②
常用性质③　③若犿＋狀＝犽＋犾（犿，狀，犽，犾∈犖），
则犫狀犫犿＝犫犽犫犾
④犪１＋犪２＋…＋犪狀＝狀（犪１＋犪狀）④
２
（２）在等差数列｛犪狀｝中，若犪２０１８＝０，则有
犪１＋犪２＋…＋犪狀＝犪１＋犪２＋…＋犪４０３５－狀（狀∈犖，狀＜４０３５）．
相应地，在等比数列｛犫狀｝中，若犫２０１９＝１，请你类比推测出对偶的等式，并加以证明．
５６第四章数列

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１４．在２０１５年苏州世乒赛期间，某景点用
乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的
装饰品，其中第１堆只有１层，就一
个球；第２，３，４，…堆最底层（第一
层）分别按图中所示方式固定摆放，
从第二层开始，每层的小球自然垒放 （第１４题）
在下一层之上，第狀堆第狀层就放一个乒乓球．记第狀堆的乒乓球总数为犳（狀）．
（１）求出犳（３）；
（２）试归纳出犳（狀＋１）与犳（狀）的关系式，并根据你得到的关系式探求犳（狀）的表达式．

参考公式：１２＋２２＋…＋狀２＝１６狀（狀＋１）（２狀＋１）．

１５．有理数都能表示成犿（犿，狀∈犣，且狀≠０，犿与狀互质）的形式，进而有理数集犙＝
狀
犿｜犿，狀∈犣，且狀≠０，犿与狀互质．任何有理数犿都可以化为有限小数或无限循环小数．

｛狀

犿｝狀

反之，任一有限小数也可以化为狀的形式，从而是有理数；那么无限循环小数是不是有理数？
思考下列问题：

·

（１）１．２是有理数吗？请说明理由．

··

（２）１．２４是有理数吗？请说明理由．
１６．平面上有狀（狀∈犖，狀≥３）个点，其中任何三点都不在同一条直线上．过这些点中任意两点
作直线，这样的直线共有多少条？证明你的结论．
１７．数学归纳法还有其他变化形式，例如，将数学归纳法中的第（１）步保持不变，第（２）步改
为“以‘当狀０≤狀≤犽（犽∈犖，犽≥狀０）时命题成立’为条件，推出‘当狀＝犽＋１时命题也
成立’，”也可以断定命题对从狀０开始的所有正整数狀都成立．这种证明方法称为第二数学归
纳法．试用第二数学归纳法证明如下命题：
若数列｛犉狀｝满足犉１＝１，犉２＝１，犉狀＝犉狀－１＋犉狀－２（狀≥３，狀∈犖）（｛犉狀｝称为斐波那
１１＋槡５狀１－槡５狀

契数列），则其通项公式为犉狀＝槡５［（２）－（２）］．

第四章数列５７

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第五章
一元函数的导数及其应用

为了描述现实世界中的运动、变化现象，在数学中引入了函
数．刻画静态现象的数与刻画动态现象的函数都是数学中非常重
要的概念．在对函数的深入研究中，数学家创立了微积分，这是
具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑．
微积分的创立与处理四类科学问题直接相关．一是已知物体
运动的路程关于时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速
度，反之，已知物体的加速度关于时间的函数，求速度与路程；
二是求曲线的切线；三是求函数的最大值与最小值；四是求长
度、面积、体积和重心等．历史上科学家们对这些问题的兴趣和
研究经久不衰，终于在１７世纪中叶，牛顿和莱布尼茨在前人探
索与研究的基础上，凭着他们敏锐的直觉和丰富的想象力，各自
独立地创立了微积分．
导数是微积分的核心内容之一，是现
代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本
思想；导数定量地刻画了函数的局部变
化，是研究函数增减、变化快慢、最大
（小）值等性质的基本工具，因而在解决
诸如增长率、膨胀率、效率、密度、速
度、加速度等实际问题中有着广泛应用．
在本章，我们将通过丰富的实际背景
和具体实例，学习导数的概念和导数的基
本运算，体会导数的内涵与思想，感悟极
限的思想．通过具体实例感受导数在研究
函数和解决实际问题中的作用，体会导数
的意义．

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５１导数的概念及其意义

在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函
数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函
数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的，“指
数爆炸”比“直线上升”快得多．进一步地，能否精确定量
地刻画变化速度的快慢呢？下面我们就来研究这个问题．

５１１!"#$%&
问题１跳水运动员的速度



在一次跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度犺（单位：
ｍ）与起跳后的时间狋（单位：ｓ）存在函数关系
犺（狋）＝－４．９狋２＋２．８狋＋１１．
如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？

直觉告诉我们，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动得越来越慢，在下降
阶段运动得越来越快．我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内
的平均速度狏珔近似地描述他的运动状态．
例如，在０≤狋≤０．２这段时间里，
狏珔＝犺（０．２）－犺（０）＝１．８２（ｍ／ｓ）；
０．２－０
在１≤狋≤１．５这段时间里，
狏珔＝犺（１．５）－犺（１）＝－９．４５（ｍ／ｓ）．
１．５－１
一般地，在狋１≤狋≤狋２这段时间里，
狏珔＝犺（狋２）－犺（狋１）＝－４．９（狋１＋狋２）＋２．８．
狋２－狋１

第五章一元函数的导数及其应用５９

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计算运动员在０≤狋≤４这段时间里的平均速度，你发现了什么？你认为用平均速
７
度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

我们发现，运动员在０≤狋≤４７这段时间里的平均速度为０．显然，在这段时间内，运动

员并不处于静止状态．因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态．
为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念．我们把物体在某一时刻
的速度称为瞬时速度（ｉｎｓｔａｎｔａｎｅｏｕｓｖｅｌｏｃｉｔｙ）．



瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在狋＝１ｓ时的瞬
时速度吗？
设运动员在狋０时刻附近某一时间段内的平均速度是狏珔，
可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么狏珔将越来
越趋近于运动员在狋０时刻的瞬时速度．
为了求运动员在狋＝１时的瞬时速度，我们在狋＝１之后
或之前，任意取一个时刻１＋Δ狋，Δ狋是时间改变量，可以 用运动变化的观点研
是正值，也可以是负值，但不为０．当Δ狋＞０时，１＋Δ狋在１究问题是微积分的重要
之后；当Δ狋＜０时，１＋Δ狋在１之前．当Δ狋＞０时，把运动思想．
员在时间段［１，１＋Δ狋］内近似看成做匀速直线运动，计算
时间段［１，１＋Δ狋］内的平均速度狏珔，用平均速度狏珔近似表
示运动员在狋＝１时的瞬时速度．当Δ狋＜０时，在时间段
［１＋Δ狋，１］内可作类似处理．为了提高近似表示的精确度，
我们不断缩短时间间隔，得到如下表格（表５．１１）．
表５１１
当Δ狋＜０时，在时间段［１＋Δ狋，１］内 当Δ狋＞０时，在时间段［１，１＋Δ狋］内
狏珔＝犺（１）－犺（１＋Δ狋）　狏珔＝犺（１＋Δ狋）－犺（１）
１－（１＋Δ狋）　（１＋Δ狋）－１

Δ狋 ＝４．９（Δ狋）２＋７Δ狋

Δ狋 ＝－４．９（Δ狋）２－７Δ狋

－Δ狋
＝－４．９Δ狋－７

Δ狋
＝－４．９Δ狋－７

６０第五章一元函数的导数及其应用

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续表
当Δ狋＜０时，在时间段［１＋Δ狋，１］内 当Δ狋＞０时，在时间段［１，１＋Δ狋］内
－０．０１－６．９５１０．０１ －７．０４９
－０．００１－６．９９５１０．００１－７．００４９
－０．０００１－６．９９９５１０．０００１－７．０００４９
－０．００００１－６．９９９９５１０．００００１－７．００００４９
－０．０００００１－６．９９９９９５１０．０００００１－７．０００００４９
……　……



给出Δ狋更多的值，利用计算工具计算对应的平均速度狏珔的值．当Δ狋无限趋近于
０时，平均速度狏珔有什么变化趋势？
我们发现，当Δ狋无限趋近于０，即无论狋从小于１的一边，还是从大于１的一边无限
趋近于１时，平均速度狏珔都无限趋近于－７．
事实上，由狏珔＝犺（１＋Δ狋）－犺（１）＝－４．９Δ狋－７可以发现，当Δ狋无限趋近于０时，
（１＋Δ狋）－１
－４．９Δ狋也无限趋近于０，所以狏珔无限趋近于－７．这与前面得到的结论一致．数学中，我
们把－７叫做“当Δ狋无限趋近于０时，狏珔＝犺（１＋Δ狋）－犺（１）的极限”，记为
Δ狋
ｌｉｍ犺（１＋Δ狋）－犺（１）＝－７．
Δ狋→０Δ狋
从物理的角度看，当时间间隔｜Δ狋｜无限趋近于０时，平均速度狏珔就无限趋近于狋＝１
时的瞬时速度．因此，运动员在狋＝１ｓ时的瞬时速度狏（１）＝－７ｍ／ｓ．



（１）求运动员在狋＝０．５ｓ时的瞬时速度；
（２）如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻狋０的瞬时速度？



１．求问题１中跳水运动员在狋＝１．５ｓ时的瞬时速度．
２．火箭发射狋ｓ后，其高度（单位：ｍ）为犺（狋）＝０．９狋２．求：
（１）在１≤狋≤２这段时间里，火箭爬高的平均速度；
（２）发射后第１０ｓ时，火箭爬高的瞬时速度．
第五章一元函数的导数及其应用６１

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３．一个小球从５ｍ的高处自由下落，其位移狔（单位：ｍ）与时间狋（单位：ｓ）之间的关系为狔（狋）＝
－４．９狋２．求狋＝１ｓ时小球的瞬时速度．

问题２抛物线的切线的斜率
我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切．对
于一般的曲线犆，如何定义它的切线呢？下面我们以抛物线犳（狓）＝狓２为例进行研究．



你认为应该如何定义抛物线犳（狓）＝狓２在点犘０（１，１）处的切线？

与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线犳（狓）＝狓２在点犘０（１，１）处的切线，我们通
常在点犘０（１，１）的附近任取一点犘（狓，狓２），考察抛物线犳（狓）＝狓２的割线犘０犘的变
化情况．



如图５．１１，当点犘（狓，狓２）沿着抛物线犳（狓）＝狓２趋近于点犘０（１，１）时，割
线犘０犘有什么变化趋势？

4
演示图５．１１中犘０犘的
3

P
动态变化趋势．

利用信息技术工具，

1

P0

O

1

2 x

图５．１１

我们发现，当点犘无限趋近于点犘０时，割线犘０犘无限趋近于一个确定的位置，这
个确定位置的直线犘０犜称为抛物线犳（狓）＝狓２在点犘０（１，１）处的切线．

６２第五章一元函数的导数及其应用

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我们知道，斜率是确定直线的一个要素．如何求抛物线犳（狓）＝狓２在点犘０（１，１）
处的切线犘０犜的斜率犽０呢？
从上述切线的定义可见，抛物线犳（狓）＝狓２在点犘０（１，１）
处的切线犘０犜的斜率与割线犘０犘的斜率有内在联系．记Δ狓＝ ?Δ狓可以是正值，
狓－１，?则点犘的坐标是（１＋Δ狓，（１＋Δ狓）２）．于是，割也可以是负值，但不为０．
线犘０犘的斜率
犳（狓）－犳（１）（１＋Δ狓）２－１
犽＝狓－１＝（１＋Δ狓）－１＝Δ狓＋２．
我们可以用割线犘０犘的斜率犽近似地表示切线犘０犜的
斜率犽０，并且可以通过不断缩短横坐标间隔｜Δ狓｜来提高近
似表示的精确度，得到如下表格（表５．１２）．
表５１２
Δ狓＜０　Δ狓＞０
Δ狓　犽＝Δ狓＋２　Δ狓　犽＝Δ狓＋２
－０．０１１．９９ ０．０１ ２．０１
－０．００１１．９９９０．００１２．００１
－０．０００１１．９９９９０．０００１２．０００１
－０．００００１１．９９９９９０．００００１２．００００１
－０．０００００１１．９９９９９９０．０００００１２．０００００１
……　……



利用计算工具计算更多割线犘０犘的斜率犽的值，当Δ狓无限趋近于０时，割线
犘０犘的斜率犽有什么变化趋势？
我们发现，当Δ狓无限趋近于０时，即无论狓从小于１的一边，还是从大于１的一边
无限趋近于１时，割线犘０犘的斜率犽都无限趋近于２．
事实上，由犽＝犳（１＋Δ狓）－犳（１）＝Δ狓＋２可以直接看出，当Δ狓无限趋近于０时，Δ狓＋２
Δ狓
无限趋近于２．我们把２叫做“当Δ狓无限趋近于０时，犽＝犳（１＋Δ狓）－犳（１）的极限”，记为
Δ狓
ｌｉｍ犳（１＋Δ狓）－犳（１）＝２．
Δ狓→０Δ狓
第五章一元函数的导数及其应用６３

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从几何图形上看，当横坐标间隔｜Δ狓｜无限变小时，点犘无限趋近于点犘０，于是割线
犘０犘无限趋近于点犘０处的切线犘０犜．这时，割线犘０犘的斜率犽无限趋近于点犘０处的切
线犘０犜的斜率犽０．因此，切线犘０犜的斜率犽０＝２．



观察问题１中的函数犺（狋）＝－４．９狋２＋２．８狋＋１１h
的图象（图５．１２），平均速度
狏珔＝犺（１＋Δ狋）－犺（１）
（１＋Δ狋）－１
的几何意义是什么？瞬时速度狏（１）呢？

h(t)=-4.9t2+2.8t+11
(1,h(1))
(1+t,h(1+t))

O1

t

图５．１２



１．你认为应该怎样定义抛物线犳（狓）＝狓２在点（狓０，狓０２）处的切线？试求抛物线犳（狓）＝狓２在点（－１，１）
处切线的斜率．
２．求抛物线犳（狓）＝狓２＋１在点（０，１）处的切线方程．

５１２!'()*+,-./01
前面我们研究了两类变化率问题：一类是物理学中的问题，涉及平均速度和瞬时速
度；另一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率．这两类问题来自不同的学科领
域，但在解决问题时，都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法；问题
的答案也有一样的表示形式．下面我们用上述思想方法研究更一般的问题．
对于函数狔＝犳（狓），设自变量狓从狓０变化到狓０＋Δ狓，相应地，函数值狔就从犳（狓０）
变化到犳（狓０＋Δ狓）．这时，狓的变化量为Δ狓，狔的变化量为
Δ狔＝犳（狓０＋Δ狓）－犳（狓０）．
我们把比值Δ狔，即
Δ狓
Δ狔＝犳（狓０＋Δ狓）－犳（狓０）
Δ狓 Δ狓
６４第五章一元函数的导数及其应用

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叫做函数狔＝犳（狓）从狓０到狓０＋Δ狓的平均变化率．
如果当Δ狓→０时，平均变化率Δ狔无限趋近于一个确定的值，即Δ狔有极限，则称狔＝
Δ狓　Δ狓
犳（狓）在狓＝狓０处可导，并把这个确定的值叫做狔＝犳（狓）在狓＝狓０处的导数（ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ）
（也称为瞬时变化率），记作犳′（狓０）或狔′｜狓＝狓０，即
犳′（狓０）＝ｌｉｍΔ狔＝ｌｉｍ犳（狓０＋Δ狓）－犳（狓０）．
Δ狓→０Δ狓Δ狓→０ Δ狓
由导数的定义可知，问题１中运动员在狋＝１时的瞬时根据物体的路程关于
速度狏（１），就是函数犺（狋）＝－４．９狋２＋２．８狋＋１１在狋＝１处时间的函数求速度与加速
的导数犺′（１）；问题２中抛物线犳（狓）＝狓２在点犘０（１，１）度和求已知曲线的切线，
处的切线犘０犜的斜率犽０，就是函数犳（狓）＝狓２在狓＝１处这两类问题直接促使了导
的导数犳′（１）．实际上，导数可以描述任何运动变化事物的数的产生．
瞬时变化率，如效率、交变电流、比热容等．

例１设犳（狓）＝１，求犳′（１）．
狓　１
解：（）犳（１＋Δ狓）－犳（１）１＋Δ狓－１
犳′１＝ｌΔｉ狓ｍ→０Δ狓＝ｌΔｉ狓ｍ→０Δ狓
＝ｌΔｉ狓ｍ→０－１＝－１．

（１＋Δ狓）

例２将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．
已知在第狓ｈ时，原油的温度（单位：℃）为狔＝犳（狓）＝狓２－７狓＋１５（０≤狓≤８）．计算第２ｈ
与第６ｈ时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
解：在第２ｈ和第６ｈ时，原油温度的瞬时变化率就是犳′（２）和犳′（６）．
根据导数的定义，
Δ狔＝犳（２＋Δ狓）－犳（２）
Δ狓 Δ狓２　２
＝（２＋Δ狓）－７（２＋Δ狓）＋１５－（２－７×２＋１５）
２ Δ狓

＝４Δ狓＋（Δ狓）－７Δ狓

Δ狓
＝Δ狓－３，
所以
犳′（２）＝ｌΔｉ狓ｍ→０Δ狔＝ｌΔｉ狓ｍ→０（Δ狓－３）＝－３．
Δ狓　?请同学们自己完成
同理可得　具体运算过程．
犳′（６）＝５．?
第五章一元函数的导数及其应用６５

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

在第２ｈ与第６ｈ时，原油温度的瞬时变化率分别为－３℃／ｈ与５℃／ｈ．说明在第２ｈ附
近，原油温度大约以３℃／ｈ的速率下降；在第６ｈ附近，原油温度大约以５℃／ｈ的速率上升．
一般地，犳′（狓０）（０≤狓０≤８）反映了原油温度在时刻狓０附近的变化情况．
例３一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设汽车在某一路段内狋ｓ时的速度（单
位：ｍ／ｓ）为狔＝狏（狋）＝－狋２＋６狋＋１７，求汽车在第２ｓ与第６ｓ时的瞬时加速度，并说明
它们的意义．
分析：瞬时加速度是速度关于时间的瞬时变化率．因此，在第２ｓ与第６ｓ时，汽车
的瞬时加速度分别为狏′（２），狏′（６）．
解：在第２ｓ和第６ｓ时，汽车的瞬时加速度就是狏′（２）和狏′（６）．
根据导数的定义，
Δ狔＝狏（２＋Δ狋）－狏（２）
Δ狋 Δ狋
－（２＋Δ狋）２＋６（２＋Δ狋）＋１７－（－２２＋６×２＋１７）
＝　Δ狋
＝－Δ狋＋２，
所以
狏′（２）＝ｌΔｉ狋ｍ→０Δ狔＝ｌΔｉ狋ｍ→０（－Δ狋＋２）＝２．
Δ狋
同理可得
狏′（６）＝－６．
在第２ｓ与第６ｓ时，汽车的瞬时加速度分别是２ｍ／ｓ２与－６ｍ／ｓ２．说明在第２ｓ附
近，汽车的速度每秒大约增加２ｍ／ｓ；在第６ｓ附近，汽车的速度每秒大约减少６ｍ／ｓ．



１．在例２中，计算第３ｈ与第５ｈ时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
２．设犳（狓）＝狓，求犳′（１）．
３．一质点犃沿直线运动，位移狔（单位：ｍ）与时间狋（单位：ｓ）之间的关系为狔（狋）＝２狋２＋１，求质点犃
在狋＝２．７ｓ时的瞬时速度．
４．设函数犳（狓）＝狓２－１．求：
（１）当自变量狓由１变到１．１时，函数的平均变化率；
（２）函数在狓＝１处的导数．

我们知道，导数犳′（狓０）表示函数狔＝犳（狓）在狓＝狓０处的瞬时变化率，反映了函数狔＝
犳（狓）在狓＝狓０附近的变化情况．那么导数犳′（狓０）的几何意义是什么？
６６第五章一元函数的导数及其应用

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观察函数狔＝犳（狓）的图象（图５．１３），平
均变化率
Δ狔＝犳（狓０＋Δ狓）－犳（狓０）
Δ狓 Δ狓

y
f(x0+x)
P
f(x0)

y=f(x)
P
Tf(x0+x)-f(x0)
0

表示什么？瞬时变化率　O　x0 x0+xx
犳′（狓０）＝ｌｉｍΔ狔＝ｌｉｍ犳（狓０＋Δ狓）－犳（狓０）　图５．１３
Δ狓→０Δ狓Δ狓→０ Δ狓
表示什么？

容易发现，平均变化率
Δ狔＝犳（狓０＋Δ狓）－犳（狓０）
Δ狓 Δ狓
表示割线犘０犘的斜率．
如图５．１４，在曲线狔＝犳（狓）上任取一点犘（狓，
犳（狓）），如果当点犘（狓，犳（狓））沿着曲线狔＝犳（狓）无限此处的切线定义与初
趋近于点犘０（狓０，犳（狓０））时，割线犘０犘无限趋近于一个确中学过的圆的切线定义有
定的位置，这个确定位置的直线犘０犜称为曲线狔＝犳（狓）在什么不同？
点犘０处的切线（ｔａｎｇｅｎｔｌｉｎｅ）．

利用信息技术工具，
T　演示图５．１４中犘０犘的动
态变化效果．做一做，看
f(x0)　一看！

O

x0

x

图５．１４
与问题２中抛物线的割线和切线之间的关系类似，容易知道，割线犘０犘的斜率
犽＝犳（狓）－犳（狓０）．
狓－狓０
记Δ狓＝狓－狓０，当点犘沿着曲线狔＝犳（狓）无限趋近于点犘０时，即当Δ狓→０时，犽无限趋
第五章一元函数的导数及其应用６７

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

近于函数狔＝犳（狓）在狓＝狓０处的导数．因此，函数狔＝犳（狓）在狓＝狓０处的导数犳′（狓０）
就是切线犘０犜的斜率犽０，即
犽０＝ｌｉｍ犳（狓０＋Δ狓）－犳（狓０）＝犳′（狓０）．
Δ狓→０ Δ狓
这就是导数的几何意义．
继续观察图５．１４，可以发现点犘０处的切线犘０犜比任
何一条割线更贴近点犘０附近的曲线．进一步地，利用信息?数学上常用简单的
技术工具将点犘０附近的曲线不断放大（图５．１５），可以发对象刻画复杂的对象．例
现点犘０附近的曲线越来越接近于直线．因此，在点犘０附如，用有理数３．１４１６近
近，曲线＝（狓）可以用点犘０处的切线犘０犜近似代替．? 似代替无理数π．这里，
狔犳　我们用曲线上某点处的切
T　T　T　线近似代替这一点附近的
P0　P0　P0　曲线，这是微积分中重要
的思想方法———以直代曲．
图５．１５
例４图５．１６是跳水运动中某运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数
犺（狋）＝－４．９狋２＋２．８狋＋１１的图象．根据图象，请描述、比较曲线犺（狋）在狋＝狋０，狋１，狋２
附近的变化情况．

为使横轴中各点明确
区分，本图坐标系中横、
纵轴的单位长度选取不
t4　一致．

Ot3t0t1t2

ll1t

图５．１６
解：我们用曲线犺（狋）在狋＝狋０，狋１，狋２处的切线斜率，刻画曲线犺（狋）在上述三个时
刻附近的变化情况．
（１）当狋＝狋０时，曲线犺（狋）在狋＝狋０处的切线犾０平行于狋轴，犺′（狋０）＝０．这时，在狋＝
狋０附近曲线比较平坦，几乎没有升降．
（２）当狋＝狋１时，曲线犺（狋）在狋＝狋１处的切线犾１的斜率犺′（狋１）＜０．这时，在狋＝狋１
附近曲线下降，即函数犺（狋）在狋＝狋１附近单调递减．
（３）当狋＝狋２时，曲线犺（狋）在狋＝狋２处的切线犾２的斜率犺′（狋２）＜０．这时，在狋＝狋２
附近曲线下降，即函数犺（狋）在狋＝狋２附近也单调递减．
从图５．１６可以看出，直线犾１的倾斜程度小于直线犾２的倾斜程度，这说明曲线犺（狋）
在狋＝狋１附近比在狋＝狋２附近下降得缓慢．
６８第五章一元函数的导数及其应用

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例５图５．１７是人体血管中药物浓度犮＝犳（狋）（单位：ｍｇ／ｍＬ）随时间狋（单位：
ｍｉｎ）变化的函数图象．根据图象，估计狋＝０．２，０．４，０．６，０．８ｍｉｎ时，血管中药物浓
度的瞬时变化率（精确到０．１）．

图５．１７
解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度犳（狋）在此时刻的导数，
从图象上看，它表示曲线犳（狋）在此点处的切线的斜率．
如图５．１７，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此
时刻药物浓度瞬时变化率的近似值．
作狋＝０．８处的切线，并在切线上取两点，如（０．７，０．９１），（１．０，０．４８），则该切线
的斜率

犽＝０．４１．０－０．７８－０．９１

≈－１．４，
所以
犳′（０．８）≈－１．４．
表５．１３给出了药物浓度的瞬时变化率的估计值．
表５１３
狋　０．２０．４０．６０．８
药物浓度的瞬时变化率犳′（狋） ０．４０ －０．７－１．４
从求函数狔＝犳（狓）在狓＝狓０处导数的过程可以看到，当狓＝狓０时，犳′（狓０）是一个
唯一确定的数．这样，当狓变化时，狔＝犳′（狓）就是狓的函数，我们称它为狔＝犳（狓）的
导函数（ｄｅｒｉｖｅｄｆｕｎｃｔｉｏｎ）（简称导数）．狔＝犳（狓）的导函数有时也记作狔′，即
犳′（狓）＝狔′＝ｌｉｍ犳（狓＋Δ狓）－犳（狓）．
Δ狓→０Δ狓



１．根据图５．１６，描述曲线犺（狋）在狋＝狋３，狋４附近增（减）以及增（减）快慢的情况．

第五章一元函数的导数及其应用６９

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２．函数犳（狓）的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）．　y　f(x)
（Ａ）犳′（１）＞犳′（２）＞犳′（３）＞０ （Ｂ）犳′（１）＜犳′（２）＜犳′（３）＜０
（Ｃ）０＜犳′（１）＜犳′（２）＜犳′（３） （Ｄ）犳′（１）＞犳′（２）＞０＞犳′（３）
３．求曲线狔＝－２狓２＋１在点（１，－１）处的切线方程．
４．吹气球时，气球的半径狉（单位：ｄｍ）与体积犞（单位：Ｌ）之间的函数O 123　x
３３犞　（第２题）

关系是狉（犞）＝槡４π．利用信息技术工具，画出０≤犞≤５时函数的图象，并

根据其图象估计犞＝０．６，１．２Ｌ时，气球的瞬时膨胀率．

习题５．１



１．一个物体从１０ｍ高处做自由落体运动，狋ｓ时该物体距离地面的高度（单位：ｍ）为犺（狋）＝
－４．９狋２＋１０．求该物体在狋＝１时的瞬时速度，并解释此时物体的运动状况．
２．圆的面积犛（单位：ｃｍ２）与半径犚（单位：ｃｍ）的关系为犛＝π犚２．求犚＝５ｃｍ时面积关于
半径的瞬时变化率．
３．某质点沿直线运动，位移狔（单位：ｍ）与时间狋（单位：ｓ）之间的关系为狔（狋）＝５狋２＋６．求：
（１）２≤狋≤３这段时间内的平均速度；
（２）狋＝２ｓ时的瞬时速度．

４．已知车轮旋转的角度θ（单位：ｒａｄ）与时间狋（单位：ｓ）之间的关系为θ（狋）＝２５８π狋２．求车轮转

动开始后第３．２ｓ时的瞬时角速度．
５．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行
驶．与以上事件吻合得最好的图象是（）．









O

tO

t O

tO

t

（Ａ）
６．如图，试描述函数犳（狓）在狓＝－５，－４，－２，０，１附
近的变化情况．

（Ｂ）
y
O

（Ｃ）

（Ｄ）

７．求曲线狔＝１２狓２－２在点（１，－３２）处的切线的倾斜角． -5-4-3-2-1-4012x

（第６题）
７０第五章一元函数的导数及其应用

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８．一个质量为犿＝３ｋｇ的物体做直线运动，设位移狔（单位：ｍ）与时间狋（单位：ｓ）之间的关系

为狔（狋）＝１＋狋２，并且物体的动能犈犽＝１２犿狏２．求物体开始运动后第５ｓ时的动能．

９．根据下面的文字叙述，画出相应的路程关于时间的函数图象的大致形状．
（１）汽车在笔直的公路上匀速行驶；
（２）汽车在笔直的公路上不断加速行驶；
（３）汽车在笔直的公路上不断减速行驶．
１０．如图，已知函数犳（狓）的图象，试画出其导函数犳′（狓）图象的大致形状．

y

y

y

O
O

x
x

O

x

（１）　（２）　（３）
（第１０题）



１１．在一次跳水运动中，狋ｓ时运动员的重心相对于水面的高度（单位：ｍ）是犺（狋）＝－４．９狋２＋
２．８狋＋１１．高度犺关于时间狋的导数是速度狏，速度狏关于时间狋的导数狏′的物理意义是什
么？试求狏，狏′关于时间狋的函数解析式．
１２．根据下列条件，分别画出函数狔＝犳（狓）的图象在这点附近的大致形状：
（１）犳（１）＝－５，犳′（１）＝－１； （２）犳（５）＝１０，犳′（５）＝１５；
（３）犳（１０）＝２０，犳′（１０）＝０．

第五章一元函数的导数及其应用７１

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５２导数的运算

由导函数的定义可知，一个函数的导数是唯一确定的．在必
修第一册中我们学过基本初等函数，并且知道，很多复杂的函
数都是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算得到的．由
此自然想到，能否先求出基本初等函数的导数，然后研究出导
数的“运算法则”，这样就可以利用导数的运算法则和基本初等
函数的导数求出复杂函数的导数．本节我们就来研究这些问题．

５２１!23456()'(
根据导数的定义，求函数狔＝犳（狓）的导数，就是求出当Δ狓→０时，Δ狔无限趋近的那
Δ狓
个定值．下面我们求几个常用函数的导数．

１函数狔＝犳（狓）＝犮的导数
因为　y
Δ狔＝犳（狓＋Δ狓）－犳（狓）＝犮－犮＝０，　y=c
Δ狓 Δ狓 Δ狓
所以
Δ狔　O　x
狔′＝ｌΔｉ狓ｍ→０Δ狓＝ｌΔｉ狓ｍ→００＝０．　图
若（图）表示位移关于时间的函数，则可以 ５．２１
狔＝犮５．２１　狔′＝０
解释为某物体的瞬时速度始终为０，即一直处于静止状态．

２函数狔＝犳（狓）＝狓的导数
因为　y
Δ狔＝犳（狓＋Δ狓）－犳（狓）＝（狓＋Δ狓）－狓＝１，　y=x
Δ狓 Δ狓　Δ狓
所以　O　x
狔′＝ｌΔｉ狓ｍ→０Δ狔＝ｌΔｉ狓ｍ→０１＝１．
Δ狓　图５．２２
若狔＝狓（图５．２２）表示位移关于时间的函数，则狔′＝１可以
解释为某物体做瞬时速度为１的匀速直线运动．
７２第五章一元函数的导数及其应用

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３函数狔＝犳（狓）＝狓２的导数
因为　２２
Δ狔＝犳（狓＋Δ狓）－犳（狓）＝（狓＋Δ狓）－狓
Δ狓２Δ狓　２２Δ狓
＝狓＋２狓·Δ狓＋（Δ狓）－狓
Δ狓
＝２狓＋Δ狓，
所以
狔′＝ｌΔｉ狓ｍ→０Δ狔＝ｌΔｉ狓ｍ→０（２狓＋Δ狓）＝２狓．
２ Δ狓　y
狔′＝２狓表示函数狔＝狓的图象（图５．２３）上点（狓，狔）处切　y=x2
线的斜率为２狓，说明随着狓的变化，切线的斜率也在变化．另一方
面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，狔′＝２狓表明：当
狓＜０时，随着狓的增加，｜狔′｜越来越小，狔＝狓２减少得越来越慢；

２

O

x

当狓＞０时，随着狓的增加，｜狔′｜越来越大，狔＝狓增加得越来越
快．若狔＝狓２表示位移关于时间的函数，则狔′＝２狓可以解释为某物图５．２３
体做变速运动，它在时刻狓的瞬时速度为２狓．

４函数狔＝犳（狓）＝狓３的导数
因为
Δ狔犳（狓＋Δ狓）－犳（狓）（狓＋Δ狓）３－狓３
Δ狓＝Δ狓 ＝Δ狓
狓３＋３狓２·Δ狓＋３狓·（Δ狓）２＋（Δ狓）３－狓３
＝　Δ狓
＝３狓２＋３狓·Δ狓＋（Δ狓）２，
所以　y
Δ狔［２·（）２］２　y=x3
狔′＝ｌΔｉ狓ｍ→０Δ狓＝ｌΔｉ狓ｍ→０３狓＋３狓Δ狓＋Δ狓＝３狓．
狔′＝３狓２表示函数狔＝狓３的图象（图５．２４）上点（狓，狔）处切
线的斜率为２，这说明随着的变化，切线的斜率也在变化，且恒 O　x
３狓　狓
为非负数．
１　图５．２４
５函数狔＝犳（狓）＝狓的导数
因为

Δ狔犳（狓＋Δ狓）－犳（狓）狓＋１Δ狓－１狓

Δ狓＝Δ狓 ＝Δ狓
第五章一元函数的导数及其应用７３

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＝狓－（狓＋Δ狓）＝－２１，
狓（狓＋Δ狓）Δ狓狓＋狓·Δ狓
所以
狔′＝ｌΔｉ狓ｍ→０Δ狔＝ｌΔｉ狓ｍ→０－２１＝－１２．

Δ狓（狓＋狓·Δ狓）狓



画出函数狔＝１的图象．根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点（１，１）
狓
处的切线方程．

６函数狔＝犳（狓）＝槡狓的导数
因为
Δ狔＝犳（狓＋Δ狓）－犳（狓）＝槡狓＋Δ狓－槡狓
Δ狓 Δ狓　Δ狓
＝（槡狓＋Δ狓－槡狓）（槡狓＋Δ狓＋槡狓）
Δ狓（槡狓＋Δ狓＋槡狓）
＝１，
槡狓＋Δ狓＋槡狓
所以
狔′＝ｌΔｉ狓ｍ→０Δ狔＝ｌΔｉ狓ｍ→０１＝１．
Δ狓槡狓＋Δ狓＋槡狓２槡狓
前面我们根据导数的定义求出了一些常用函数的导数．一般地，有下面的基本初等函
数的导数公式表（表５．２１），这些公式可以直接使用．
表５２１
基本初等函数的导数公式
１．若犳（狓）＝犮（犮为常数），则犳′（狓）＝０；
２．若犳（狓）＝狓α（α∈犚，且α≠０），则犳′（狓）＝α狓α－１；
３．若犳（狓）＝ｓｉｎ狓，则犳′（狓）＝ｃｏｓ狓；
４．若犳（狓）＝ｃｏｓ狓，则犳′（狓）＝－ｓｉｎ狓；
５．若犳（狓）＝犪狓（犪＞０，且犪≠１），则犳′（狓）＝犪狓ｌｎ犪；
特别地，若犳（狓）＝ｅ狓，则犳′（狓）＝ｅ狓；
６．若犳（狓）＝ｌｏｇ犪狓（犪＞０，且犪≠１），则犳′（狓）＝１；
狓ｌｎ犪
特别地，若犳（狓）＝ｌｎ狓，则犳′（狓）＝１．
狓

７４第五章一元函数的导数及其应用

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例１求下列函数的导数：
（１）狔＝狓２３；（２）狔＝ｌｏｇ２狓．
２３ ２３－１２－１３

解：（１）狔′＝（狓）′＝２３狓＝３狓；

（２）狔′＝（ｌｏｇ２狓）′＝１．
狓ｌｎ２
例２假设某地在２０年间的年均通货膨胀率为５％，物价狆（单位：元）与时间狋
（单位：年）之间的关系为
狆（狋）＝狆０（１＋５％）狋，
其中狆０为狋＝０时的物价．假定某种商品的狆０＝１，那么在
第１０个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精
确到０．０１元／年）？
解：根据基本初等函数的导数公式表，有　如果某种商品的
狆′（狋）＝１．０５狋ｌｎ１．０５．　狆０＝
所以　５，那么在第１０个年头，
（） １０　这种商品的价格上涨的速
狆′１０＝１．０５ｌｎ１．０５≈０．０８．度大约是多少？
所以，在第１０个年头，这种商品的价格约以０．０８元／年
的速度上涨．



１．求下列函数的导数：
（１）狔＝１４； （２）狔＝槡３狓４； （３）狔＝３狓；
狓
１狓

（４）狔＝（）２；（５）狔＝ｌｏｇ４狓； （６）狔＝ｌｏｇ１２狓．

２．求下列函数在给定点处的导数：
（１）狔＝狓５在狓＝３处的导数；

（２）狔＝ｌｎ狓在狓＝２３处的导数；

（３）狔＝ｓｉｎ狓在狓＝２π处的导数；
（４）狔＝ｅ狓在狓＝０处的导数．
３．求余弦曲线狔＝ｃｏｓ狓在点π，０处的切线方程．

１２（，）（２）

４．求曲线狔＝狓在点４２处的切线方程．

第五章一元函数的导数及其应用７５

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

５２２!'()789:;8
在例２中，当狆０＝５时，狆（狋）＝５×１．０５狋．这时，求狆关于狋的导数可以看成求函数
犳（狋）＝５与犵（狋）＝１．０５狋乘积的导数．一般地，如何求两个函数的和、差、积、商的导数呢？



设犳（狓）＝狓２，犵（狓）＝狓，计算［犳（狓）＋犵（狓）］′与［犳（狓）－犵（狓）］′，它们与
犳′（狓）和犵′（狓）有什么关系？再取几组函数试试，上述关系仍然成立吗？由此你能想
到什么？
设狔＝犳（狓）＋犵（狓）＝狓２＋狓，因为
Δ狔（狓＋Δ狓）２＋（狓＋Δ狓）－（狓２＋狓）
Δ狓＝　Δ狓
（Δ狓）２＋２狓·Δ狓＋Δ狓
＝ Δ狓
＝Δ狓＋２狓＋１，
所以
［犳（狓）＋犵（狓）］′＝狔′＝ｌΔｉ狓ｍ→０Δ狔＝ｌΔｉ狓ｍ→０（Δ狓＋２狓＋１）＝２狓＋１．
Δ狓
而
犳′（狓）＝（狓２）′＝２狓，犵′（狓）＝狓′＝１，
所以
［犳（狓）＋犵（狓）］′＝犳′（狓）＋犵′（狓）．
同样地，对于上述函数，［犳（狓）－犵（狓）］′＝犳′（狓）－犵′（狓）．
一般地，对于两个函数犳（狓）和犵（狓）的和（或差）的导数，我们有如下法则：
［犳（狓）±犵（狓）］′＝犳′（狓）±犵′（狓）．

例３求下列函数的导数：
（１）狔＝狓３－狓＋３； （２）狔＝２狓＋ｃｏｓ狓．
解：（１）狔′＝（狓３－狓＋３）′
＝（狓３）′－（狓）′＋（３）′
＝３狓２－１；
（２）狔′＝（２狓＋ｃｏｓ狓）′
＝（２狓）′＋（ｃｏｓ狓）′
＝２狓ｌｎ２－ｓｉｎ狓．
７６第五章一元函数的导数及其应用

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设犳（狓）＝狓２，犵（狓）＝狓，计算［犳（狓）犵（狓）］′与犳′（狓）犵′（狓），它们是否相等？
犳（狓）与犵（狓）商的导数是否等于它们导数的商呢？
通过计算可知，［犳（狓）犵（狓）］′＝（狓３）′＝３狓２，犳′（狓）犵′（狓）＝２狓·１＝２狓，因此
［犳（狓）犵（狓）］′≠犳′（狓）犵′（狓）．同样地，犳（狓）′与犳′（狓）也不相等．

事实上，对于两个函数犳（狓）和犵（狓［犵）的乘积（狓）］犵′（或商（狓））的导数，我们有如下法则：

［犳（狓）犵（狓）］′＝犳′（狓）犵（狓）＋犳（狓）犵′（狓）；
犳（狓）′＝犳′（狓）犵（狓）－犳（２狓）犵′（狓）（犵（狓）≠０）．

［犵（狓）］［犵（狓）］

由函数的乘积的导数法则可以得出
［犮犳（狓）］′＝犮′犳（狓）＋犮犳′（狓）＝犮犳′（狓），
也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即
［犮犳（狓）］′＝犮犳′（狓）．
例４求下列函数的导数：

（１）狔＝狓３ｅ狓； （２）狔＝２ｓ狓ｉｎ２狓．

解：（１）狔′＝（狓３ｅ狓）′
＝（狓３）′ｅ狓＋狓３（ｅ狓）′
＝３狓２ｅ狓＋狓３ｅ狓．
（２）狔′＝２ｓｉｎ２狓′

＝（（２ｓｉｎ狓狓））′狓２－２２ｓ２ｉｎ狓（狓２）′＝２狓２ｃｏｓ狓－４４狓ｓｉｎ狓

（狓）

狓

＝２狓ｃｏｓ狓狓－４３ｓｉｎ狓．

例５日常生活中的饮用水通常是经过净化的．随着水的纯净度的提高，所需净化费
用不断增加．已知将１ｔ水净化到纯净度为狓％时所需费用（单位：元）为
犮狓（）＝５２８４（８０＜狓＜１００）．
１００－狓
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：
（１）９０％；（２）９８％．
第五章一元函数的导数及其应用７７

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解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．
犮′狓（）＝５２８４′

（１００－′×狓（１００－）狓）－５２８４×（１００－狓）′

＝５２８４（１００－狓）２
＝０×（１００－（狓）－５２８４×）２（－１）

１００－狓
＝５２８４２．
（１００－狓）
（１）因为犮′（９０）＝５２８４２＝５２．８４，所以，净化到纯净度为９０％时，净化费用的
（１００－９０）
瞬时变化率是５２．８４元／吨．
（２）因为犮′（９８）＝５２８４２＝１３２１，所以，净化到纯净度为９８％时，净化费用的
（１００－９８）
瞬时变化率是１３２１元／吨．

函数犳（狓）在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，
犮′（９８）＝２５犮′（９０）．它表示净化到纯净度为９８％左右时净化费用的变化率，大约是净化到
纯净度为９０％左右时净化费用变化率的２５倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费
用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．



１．运用基本初等函数的导数公式与导数运算法则，重新求解５．１节例２．你是否感觉到运算法则给解
题带来的方便简捷？
２．求下列函数的导数：
（１）狔＝２狓３－３狓２－４；（２）狔＝３ｃｏｓ狓＋２狓；（３）狔＝ｅ狓ｌｎ狓；

（４）狔＝（狓２＋２狓）槡狓；（５）狔＝ｌｎ狓狓；

（６）狔＝ｔａｎ狓．

３．求曲线狔＝狓２＋３在点（１，４）处的切线方程．
狓

５２３!<=>?6()'(



如何求函数狔＝ｌｎ（２狓－１）的导数呢？

７８第五章一元函数的导数及其应用

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函数狔＝ｌｎ（２狓－１）不是由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的，所以无法
用现有的方法求它的导数．下面，我们先分析这个函数的结构特点．

若设狌＝２狓－１（狓＞１２），则狔＝ｌｎ狌．从而狔＝ｌｎ（２狓－１）可以看成是由狔＝ｌｎ狌和
狌＝２狓如果把－１（狓狔＞与１２狌）经过的关系记作“复合”狔得到的＝犳（狌，），即狌狔与可以通过中间变量狓的关系记作狌＝狌犵表示为自变量（狓），那么这个狓的函数“复合．”

过程可表示为
狔＝犳（狌）＝犳（犵（狓））＝ｌｎ（２狓－１）．
一般地，对于两个函数狔＝犳（狌）和狌＝犵（狓），如果通过中间变量狌，狔可以表示成狓
的函数，那么称这个函数为函数狔＝犳（狌）和狌＝犵（狓）的复合函数（ｃｏｍｐｏｓｉｔｅｆｕｎｃｔｉｏｎ），
记作狔＝犳（犵（狓））．
我们遇到的许多函数都可以看成是由两个函数经过“复合”得到的．例如，函数狔＝

ｌｎ（２狓－１）由狔＝ｌｎ狌和狌＝２狓－１（狓＞１２）复合而成．又如，函数狔＝ｓｉｎ２狓由狔＝ｓｉｎ狌

和狌＝２狓复合而成．
如何求复合函数的导数呢？我们先来研究狔＝ｓｉｎ２狓的导数．
一个合理的猜想是，函数狔＝ｓｉｎ２狓的导数一定与函数狔＝ｓｉｎ狌，狌＝２狓的导数有关．
下面我们就来研究这种关系．
以狔′狓表示狔对狓的导数，狔′狌表示狔对狌的导数，狌′狓表示狌对狓的导数．一方面，
狔′狓＝ｓ（ｉｎ２狓）′＝（２ｓｉｎ狓ｃｏｓ狓）′
＝２［（ｓｉｎ狓）′·ｃｏｓ狓＋ｓｉｎ狓·（ｃｏｓ狓）′］
＝２［ｃｏｓ２狓·ｃｏｓ２狓＋ｓｉｎ狓·（－ｓｉｎ狓）］
＝２（ｃｏｓ狓－ｓｉｎ狓）
＝２ｃｏｓ２狓．
另一方面，狔′狌＝（ｓｉｎ狌）′＝ｃｏｓ狌，狌′狓＝２（狓）′＝２．
可以发现，狔′狓＝２ｃｏｓ２狓＝ｃｏｓ狌·２＝狔′狌·狌′狓．
一般地，对于由函数狔＝犳（狌）和狌＝犵（狓）复合而成的函数狔＝犳（犵（狓）），它的导数
与函数狔＝犳（狌），狌＝犵（狓）的导数间的关系为
狔′狓＝狔′狌·狌′狓．
即狔对狓的导数等于狔对狌的导数与狌对狓的导数的乘积．

例６求下列函数的导数：
（１）狔＝（３狓＋５）３； （２）狔＝ｅ－０．０５狓＋１；
（３）狔＝ｌｎ（２狓－１）．
第五章一元函数的导数及其应用７９

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解：（１）函数狔＝（３狓＋５）３可以看作函数狔＝狌３和狌＝３狓＋５的复合函数．根据复合
函数的求导法则，有
狔′狓＝狔′狌·狌′狓
＝（狌３）′·（３狓＋５）′
＝３狌２×３
＝９（３狓＋５）２．
（２）函数狔＝ｅ－０．０５狓＋１可以看作函数狔＝ｅ狌和狌＝－０．０５狓＋１的复合函数．根据复合
函数的求导法则，有
狔′狓＝狔′狌·狌′狓
＝（ｅ狌）′·（－０．０５狓＋１）′
＝－０．０５ｅ狌
＝－０．０５ｅ－０．０５狓＋１．
（３）函数狔＝ｌｎ（２狓－１）可以看作函数狔＝ｌｎ狌和狌＝２狓－１狓＞１的复合函数．根据

复合函数的求导法则，有

（２）

狔′狓＝狔′狌·狌′狓
＝（ｌｎ狌）′·（２狓－１）′
＝１×２
狌
＝２．
２狓－１
例７某个弹簧振子在振动过程中的位移狔（单位：ｍｍ）与时间狋（单位：ｓ）之间的关

系为狔＝１８ｓｉｎ２（３π狋－２π）．求函数狔在狋＝３ｓ时的导数，并解释它的实际意义．
解：函数狔＝１８ｓｉｎ２（３π狋－２π）可以看作函数狔＝１８ｓｉｎ狌和狌＝２３π狋－２π的复合函数，根

据复合函数的求导法则，有
狔′狋＝狔′狌·狌′狋
＝（１８ｓｉｎ狌）′·２π狋－π′

＝１８ｃｏｓ狌×２π（３２）

３

＝１２πｃｏｓ２（３π狋－２π）．

当狋＝３时，狔′狋＝１２πｃｏｓ３２π＝０．

它表示当狋＝３ｓ时，弹簧振子振动的瞬时速度为０ｍｍ／ｓ．
８０第五章一元函数的导数及其应用

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１．求下列函数的导数：
（１）狔＝２； （２）狔＝（１－２狓）３； （３）狔＝ｌｏｇ２（２狓＋１）；
槡３狓＋１

（４）狔＝ｃｏｓ狓３； （５）狔＝ｓｉｎ３（２π－３狓）；（６）狔＝２２狓＋１．

２．求下列函数在给定点处的导数：

（１）狔＝ｅ－２狓＋１在狓＝１２处的导数；

（２）狔＝ｌｎ（５狓＋２）在狓＝１处的导数．

３．求曲线狔＝槡３３狓－１在点（２３，１）处的切线方程．

习题５．２



１．求下列函数的导数：
（１）狔＝２狓３－３狓２＋５； （２）狔＝２＋４； （３）狔＝２狓＋ｌｏｇ２狓；
狓３狓＋１
（４）狔＝狓５ｅ狓；　（５）狔＝狓－１；　（６）狔＝ｓｉｎ狓．
ｓｉｎ狓　ｓｉｎ狓＋ｃｏｓ狓
２．求下列函数的导数：
（１）狔＝（狓＋１）９９；　（２）狔＝狓； （３）狔＝（２狓－３）ｓｉｎ（２狓＋５）；
槡２狓＋１

（４）狔＝ｃｏｓ（３狓－２）； （５）狔＝（３狓＋１）２ｌｎ（３狓）；（６）狔＝３狓ｅ－３狓．

２狓　２
３．已知函数犳（狓）＝１３－８狓＋槡２狓，且犳′（狓０）＝４，求狓０．
４．已知函数狔＝狓ｌｎ狓．
（１）求这个函数的导数；
（２）求这个函数的图象在点（１，０）处的切线方程．

５．求曲线狔＝ｓｉ狓ｎ狓在点犕（π，０）处的切线方程．



６．已知函数犳（狓）满足犳（狓）＝犳′πｓｉｎ狓－ｃｏｓ狓，求犳（狓）在狓＝π处的导数．

７．设函数犳（狓）＝１－ｅ狓的图象与狓（）４轴相交于点犘，求该曲线在点犘４处的切线方程．

狓２
８．已知函数犳（狓）＝２＋２狓－３ｌｎ狓，求犳（狓）的导数，并求出犳′（狓）＞０的解集．

第五章一元函数的导数及其应用８１

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９．氡气是一种从地表或建筑材料中自然散发的无色无味的放射性气体．如果５００ｇ氡气经过狋天
散发后，剩余量为犃（狋）＝５００×０．８３４狋ｇ．
（１）氡气的散发速度是多少？
（２）犃′（７）的值是多少（精确到０．１）？它表示什么意义？
１０．设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程犾（单位：ｍ）与时间狋（单位：ｓ）之间的

关系为犾（狋）＝２狋２＋３２狋．

（１）求犾关于狋的导数，并解释它的实际意义；
（２）当狋＝３ｓ时，求运动员的滑雪速度；
（３）当运动员的滑雪路程为３８ｍ时，求此时的滑雪速度．



１１．设曲线狔＝ｅ２犪狓在点（０，１）处的切线与直线２狓－狔＋１＝０垂直，求犪的值．
１２．请按步骤，完成下面的任务．

（１）利用信息技术工具，分别画出犺＝１，０．５，０．１，０．０５时，函数狔＝ｓｉｎ（狓＋犺）－ｓｉｎ狓的图象．

犺
（２）画出函数狔＝ｃｏｓ狓的图象，并与上面的四个图象比较，当犺越来越小时，你观察到了什么？
（３）猜测狔＝ｓｉｎ狓的导数，它与基本初等函数的导数公式表中ｓｉｎ狓的导数公式一样吗？
１３．某海湾拥有世界上最大的海潮．假设在该海湾某一固定点
处，大海水深犱（单位：ｍ）与午夜后的时间狋（单位：ｈ）
之间的关系为犱（狋）＝１０＋４ｃｏｓπ狋．求下列时刻此固定点
６
的水位变化速度（精确到０．０１ｍ／ｈ）：
（１）上午６：００； （２）上午１０：００；
（３）中午１２：００； （４）下午４：００．



牛顿法———用导数方法求方程的近似解
人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿（ＩｓａａｃＮｅｗｔｏｎ，
１６４３—１７２７）在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法———牛
顿法．这种求方程根的方法，在科学界已被广泛采用．

下面，我们看看如何求方程１１５狓３－３５狓２＋２狓－１２５＝０的根．
从函数的观点看，方程１１５狓３－３５狓２＋２狓－１２５＝０的根就是函数犳（狓）＝１５１狓３－

８２第五章一元函数的导数及其应用

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３５狓２＋２狓－１２５的零点．从图形上看，一个函数的零yf(x)=151x3-35x2+2x-125

点狉就是函数犳（狓）的图象与狓轴的交点的横坐标
（图１）．那么，如何求狉的值呢？
如果可以找到一步一步逼近狉的狓０，狓１，…，O　rx2x1x0 x
狓狀，使得当狀很大时，｜狓狀－狉｜很小，那么，我们
就可以把狓狀的值作为狉的近似值，即把狓狀作为方
程犳（狓）＝０的近似解．
牛顿用“作切线”的方法找到了这一串狓０，
狓１，…，狓狀．当然，要有一个起始点，比如，我们　图１
从狓０＝６开始．?
如图１，在横坐标为狓０的点处作犳（狓）的切线， 起始点当然是越
切线与狓轴交点的横坐标就是狓１；用狓１代替狓０重 ?
复上面的过程得到狓２；一直继续下去，得到狓０，接近零点越好，我们可以
事先对零点作一个估计．
狓１，…，狓狀．从图形上我们可以看到，狓１较狓０接如果使用信息技术工具，
近狉，狓２较狓１接近狉，等等．它们越来越逼近狉．接这种估计是比较容易的．
下来的任务是计算狓狀．我们知道，犳（狓）在点（狓０，
犳（狓０））处切线的斜率是犳′（狓０），因此切线方程为
狔－犳（狓０）＝犳′（狓０）（狓－狓０）．
如果犳′（狓０）≠０，那么切线与狓轴交点的横坐标是
狓１＝狓０－犳（狓０）．
犳′（狓０）
继续这个过程，就可以推导出如下求方程根的
牛顿法公式：
如果犳′（狓狀－１）≠０，那么
狓狀＝狓狀－１－犳（狓狀－１）．?　?请同学们自己推导．
犳′（狓狀－１）
对于一个给定的精确度，你能根据上述公式，求

出方程１１５狓３－３５狓２＋２狓－１２５＝０的近似解吗？

进一步思考以下问题：
１．不同的初始值对求方程的近似解有影响吗？
如果有，影响在什么地方？
２．你还知道其他求方程近似解的方法吗？你认
为牛顿法的优点和缺点是什么？

第五章一元函数的导数及其应用８３

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５３导数在研究函数中的应用

在必修第一册中，我们通过图象直观，利用不等式、方
程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大
（小）值等性质．在本章前两节中，我们学习了导数的概念
和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地
刻画了函数的局部变化．能否利用导数更加精确地研究函数
的性质呢？本节我们就来讨论这个问题．

５３１!6()789
我们先来研究前面学习过的跳水问题．



图５．３１（１）是某跳水运动员的重心相对于水面的高度犺随时间狋变化的函数
犺（狋）＝－４．９狋２＋２．８狋＋１１的图象，图５．３１（２）是跳水运动员的速度狏随时间狋变化

的函数狏（狋）＝犺′（狋）＝－９．８狋＋２．８的图象．犪＝２７，犫是函数犺（狋）的零点．

Oab

t

（１）　（２）
图５．３１
运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区
别？如何从数学上刻画这种区别？
观察图象可以发现：
（１）从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度犺随时间狋的增加
８４第五章一元函数的导数及其应用

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

而增加，即犺（狋）单调递增．相应地，狏（狋）＝犺′（狋）＞０．
（２）从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度犺随时间狋的增加
而减小，即犺（狋）单调递减．相应地，狏（狋）＝犺′（狋）＜０．



我们看到，函数犺（狋）的单调性与犺′（狋）的正负有内在联系．那么，我们能否由
犺′（狋）的正负来判断函数犺（狋）的单调性呢？
对于上述跳水问题，可以发现：
当狋∈（０，犪）时，犺′（狋）＞０，函数犺（狋）的图象是“上升”的，函数犺（狋）在（０，犪）
内单调递增；
当狋∈（犪，犫）时，犺′（狋）＜０，函数犺（狋）的图象是“下降”的，函数犺（狋）在（犪，犫）
内单调递减．
这种情况是否具有一般性呢？



观察下面一些函数的图象（图５．３２），探讨函数的单调性与导数的正负的关系．

O x
O

O
x

x

O

x

（１）　（２）　（３）　（４）
图５．３２
如图５．３３，导数犳′（狓０）表示函数狔＝犳（狓）的图象在点 y
（狓０，犳（狓０））处的切线的斜率．可以发现：　y=f(x)
在狓＝狓０处，犳′（狓０）＞０，切线是“左下右上”的上升
式，函数犳（狓）的图象也是上升的，函数犳（狓）在狓＝狓０附近(x1,f(x1))
单调递增；　(x0,f(x0))
在狓＝狓１处，犳′（狓１）＜０，切线是“左上右下”的下降　O　x
式，函数犳（狓）的图象也是下降的，函数犳（狓）在狓＝狓１附近
单调递减．　图５．３３

第五章一元函数的导数及其应用８５

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

一般地，函数犳（狓）的单调性与导函数犳′（狓）的正负之
间具有如下的关系：
在某个区间（犪，犫）内，如果犳′（狓）＞０，那么函数如果在某个区间上恒
狔＝犳（狓）在区间（犪，犫）内单调递增；　有犳′（狓）＝０，那么函数
在某个区间（犪，犫）内，如果犳′（狓）＜０，那么函数犳（狓）有什么特性？
狔＝犳（狓）在区间（犪，犫）内单调递减．
例１利用导数判断下列函数的单调性：
（１）犳（狓）＝狓３＋３狓； （２）犳（狓）＝ｓｉｎ狓－狓，狓∈（０，π）；
（３）犳（狓）＝狓－１．
狓 ３
解：（１）因为犳（狓）＝狓＋３狓，所以
犳′（狓）＝３狓２＋３＝３（狓２＋１）＞０．
所以，函数犳（狓）＝狓３＋３狓在犚上单调递增，如图５．３４（１）所示．

x
O
O 1

1
f(x)=sinx-x
x

（１）　（２）　（３）
图５．３４
（２）因为犳（狓）＝ｓｉｎ狓－狓，狓∈（０，π），所以
犳′（狓）＝ｃｏｓ狓－１＜０．
所以，函数犳（狓）＝ｓｉｎ狓－狓在（０，π）内单调递减，如图５．３４（２）所示．
（３）因为犳（狓）＝１－１，狓∈（－∞，０）∪（０，＋∞），所以
狓
犳′（狓）＝１２＞０．
狓
所以，函数犳（狓）＝狓－１在区间（－∞，０）和（０，＋∞）上单调递增，如图５．３４（３）所示．
狓
例２已知导函数犳′（狓）的下列信息：
当１＜狓＜４时，犳′（狓）＞０；
当狓＜１，或狓＞４时，犳′（狓）＜０；
当狓＝１，或狓＝４时，犳′（狓）＝０．
８６第五章一元函数的导数及其应用

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

试画出函数犳（狓）图象的大致形状．
解：当１＜狓＜４时，犳′（狓）＞０，可知犳（狓）在区间（１，４）yy=f(x)
内单调递增；
当狓＜１，或狓＞４时，犳′（狓）＜０，可知犳（狓）在区间
（－∞，１）和（４，＋∞）上都单调递减；　O1　4　x
当狓＝１，或狓＝４时，犳′（狓）＝０，这两点比较特殊，我
们称它们为“稳定点”．　图５．３５
综上，函数犳（狓）图象的大致形状如图５．３５所示．



请同学们回顾一下函数单调性的定义，并思考在某个区间上单调的函数狔＝犳（狓）
的平均变化率的几何意义与犳′（狓）的正负的关系．



１．判断下列函数的单调性：　y=f(x)
（１）犳（狓）＝狓２－２狓＋４； （２）犳（狓）＝ｅ狓－狓．
２．利用导数讨论二次函数犳（狓）＝犪狓２＋犫狓＋犮的单调区间．
３．函数狔＝犳（狓）的图象如图所示，试画出函数狔＝犳′（狓）在区间（０，犫）内
图象的大致形状．　O a b x

（第３题）

形如犳（狓）＝犪狓３＋犫狓２＋犮狓＋犱（犪≠０）的函数应用广泛，下面我们利用导数来研究
这类函数的单调性．

例３求函数犳（狓）＝１３狓３－１２狓２－２狓＋１的单调区间．
解：函数犳（狓）＝１３狓３－１２狓２－２狓＋１的定义域为犚．对犳（狓）求导数，得

犳′（狓）＝狓２－狓－２＝（狓＋１）（狓－２）．
令犳′（狓）＝０，解得
狓＝－１，或狓＝２．
狓＝－１和狓＝２把函数定义域划分成三个区间，犳′（狓）在各区间上的正负，以及
犳（狓）的单调性如表５．３１所示．

第五章一元函数的导数及其应用８７

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表５３１
狓（－∞，－１） －１（－１，２） ２ （２，＋∞）
犳′（狓） ＋　０　－　０　＋

犳（狓）单调递增犳（－１）＝１６３单调递减犳（２）＝－７３单调递增

所以，犳（狓）的单调递增区间是（－∞，－１）和（２，＋∞），单调递减区间是（－１，２），
如图５．３６所示．　y

6
法，直接运用单调性的定
O
算过程麻烦吗？你有什么
(2,-7)

如果不用导数的方
x
体会？

义，你如何求解本题？运

图５．３６
一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数狔＝犳（狓）的单调性：
第１步，确定函数的定义域；
第２步，求出导数犳′（狓）的零点；
第３步，用犳′（狓）的零点将犳（狓）的定义域划分为若干个区间，列表给出犳′（狓）在各
区间上的正负，由此得出函数狔＝犳（狓）在定义域内的单调性．



研究对数函数狔＝ｌｎ狓与幂函数狔＝狓３在区间（０，＋∞）上增长快慢的情况．

对数函数狔＝ｌｎ狓的导数为狔′＝１＞０（狓∈（０，＋∞）），所以狔＝ｌｎ狓在区间（０，＋∞）
狓
上单调递增．当狓越来越大时，狔′＝１越来越小，所以函数狔＝ｌｎ狓递增得越来越慢，图
狓
象上升得越来越“平缓y”（如图５．３７（１））．

O

x

O

x

（１）　（２）
图５．３７
８８第五章一元函数的导数及其应用

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

幂函数狔＝狓３的导数为狔′＝３狓２＞０（狓∈（０，＋∞）），所以狔＝狓３在区间（０，＋∞）
上单调递增．当狓越来越大时，狔′＝３狓２越来越大，函数狔＝狓３递增得越来越快，图象上
升得越来越“陡峭”（如图５．３７（２））．
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化
得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得
较慢，函数的图象就比较“平缓”．

例４设狓＞０，犳（狓）＝ｌｎ狓，犵（狓）＝１－１，两个函数的图象如图５．３８所示．判断
狓
犳（狓），犵（狓）的图象与犆１，犆２之间的对应关系．
解：因为犳（狓）＝ｌｎ狓，犵（狓）＝１－１，所以
狓
犳′（狓）＝１，犵′（狓）＝１２．
狓 狓
当狓＝１时，犳′（狓）＝犵′（狓）＝１；　y　C
当 时，（）（）；　2
０＜狓＜１犵′狓＞犳′狓＞１　C1
当狓＞１时，０＜犵′（狓）＜犳′（狓）＜１．　O1　x
所以，犳（狓），犵（狓）在（０，＋∞）上都是增函数．在
区间（０，１）内，犵（狓）的图象比犳（狓）的图象要“陡峭”；在
区间（１，＋∞）上，犵（狓）的图象比犳（狓）的图象要“平缓”．　图５．３８
所以，犳（狓），犵（狓）的图象依次是图５．３８中的犆２，犆１．



１．判断下列函数的单调性，并求出单调区间：
（１）犳（狓）＝３狓－狓３；　（２）犳（狓）＝狓３－狓２－狓．
２．证明函数犳（狓）＝２狓３－６狓２＋７在区间（０，２）内单调递减．　c d
３．函数＝（狓）的图象如图所示，试画出函数＝（狓）图象的大致O ab　ex
狔犳′　狔犳
形状．
（第３题）

５３２!6()BCDEFGHIC
在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减．如果
函数在某些点处的导数为０，那么在这些点处函数有什么性质呢？
第五章一元函数的导数及其应用８９

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１函数的极值
观察图５．３９，我们发现，当狋＝犪时，跳水运动员距水面的高度最大．那么，函数
犺（狋）在此点处的导数是多少呢？此点附近的图象有什么特点？相应地，导数的正负性有
什么变化规律？


h
(t)0


h
(t)0

Oab

t

图５．３９　图５．３１０
放大狋＝犪附近函数犺（狋）的图象，如图５．３１０．可以看出，犺′（犪）＝０；在狋＝犪的附
近，当狋＜犪时，函数犺（狋）单调递增，犺′（狋）＞０；当狋＞犪时，函数犺（狋）单调递减，犺′（狋）＜０．
这就是说，在狋＝犪附近，函数值先增（当狋＜犪时，犺′（狋）＞０）后减（当狋＞犪时，犺′（狋）＜０）．
这样，当狋在犪的附近从小到大经过犪时，犺′（狋）先正后负，且犺′（狋）连续变化，于是
有犺′（犪）＝０．
对于一般的函数狔＝犳（狓），是否也有同样的性质呢？



如图５．３１１，函数狔＝犳（狓）在狓＝犪，犫，犮，犱，犲等点处的函数值与这些点附
近的函数值有什么关系？狔＝犳（狓）在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，狔＝
犳（狓）的导数的正负性有什么规律？

a
Ob

c
d

e

x

图５．３１１

以狓＝犪，犫两点为例，可以发现，函数狔＝犳（狓）在点狓＝犪处的函数值犳（犪）比它在
点狓＝犪附近其他点处的函数值都小，犳′（犪）＝０；而且在点狓＝犪附近的左侧犳′（狓）＜０，
９０第五章一元函数的导数及其应用

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

右侧犳′（狓）＞０．类似地，函数狔＝犳（狓）在点狓＝犫处的函数值犳（犫）比它在点狓＝犫附近其
他点处的函数值都大，犳′（犫）＝０；而且在点狓＝犫附近的左侧犳′（狓）＞０，右侧犳′（狓）＜０．
我们把犪叫做函数狔＝犳（狓）的极小值点，犳（犪）叫做函数狔＝犳（狓）的极小值；犫叫做
函数狔＝犳（狓）的极大值点，犳（犫）叫做函数狔＝犳（狓）的极大值．极小值点、极大值点统称
为极值点，极小值和极大值统称为极值（ｅｘｔｒｅｍｕｍ）．
极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质．

例５求函数犳（狓）＝１３狓３－４狓＋４的极值．
解：因为犳（狓）＝１３狓３－４狓＋４，所以

犳′（狓）＝狓２－４＝（狓＋２）（狓－２）．
令犳′（狓）＝０，解得狓＝－２，或狓＝２．
当狓变化时，犳′（狓），犳（狓）的变化情况如表５．３２所示．
表５３２
狓 （－∞，－２） －２ （－２，２） ２ （２，＋∞）
犳′（狓） ＋　０　－　０　＋
犳（狓）单调递增２８ 单调递减　单调递增

３

－４３

因此，当狓＝－２时，犳（狓）有极大值，并且极大值为

犳（－２）＝２３８；

当狓＝２时，犳（狓）有极小值，并且极小值为　极大值一定大于极小
值吗？

犳（２）＝－４３．
函数犳（狓）＝１３狓３－４狓＋４的图象如图５．３１２所示．

图５．３１２



导数值为０的点一定是函数的极值点吗？
第五章一元函数的导数及其应用９１

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导数值为０的点不一定是函数的极值点．例如，对于函数犳（狓）＝狓３，我们有犳′（狓）＝
３狓２．虽然犳′（０）＝０，但由于无论狓＞０，还是狓＜０，恒有犳′（狓）＞０，即函数犳（狓）＝狓３
是增函数，所以０不是函数犳（狓）＝狓３的极值点．一般地，函数狔＝犳（狓）在一点处的导数
值为０是函数狔＝犳（狓）在这点取极值的必要条件，而非充分条件．
一般地，可按如下方法求函数狔＝犳（狓）的极值：
解方程犳′（狓）＝０，当犳′（狓０）＝０时：
（１）如果在狓０附近的左侧犳′（狓）＞０，右侧犳′（狓）＜０，那么犳（狓０）是极大值；
（２）如果在狓０附近的左侧犳′（狓）＜０，右侧犳′（狓）＞０，那么犳（狓０）是极小值．



１．函数犳（狓）的导函数狔＝犳′（狓）的图象如图所示，试找出 y
函数犳（狓）的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是　y=f
(x)
极小值点．
２．求下列函数的极值：　x3
（１）犳（狓）＝６狓２－狓－２；　ax1Ox2 x4x5 x6　b x
（２）犳（狓）＝狓３－２７狓；
（３）犳（狓）＝６＋１２狓－狓３；　（第１题）
（４）犳（狓）＝３狓－狓３．

２函数的最大（小）值
我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内
的性质．也就是说，如果狓０是函数狔＝犳（狓）的极大（小）值点，那么在狓＝狓０附近找不
到比犳（狓０）更大（小）的值．但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往更关
心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小．如果狓０是某个区间上函数狔＝犳（狓）
的最大（小）值点，那么犳（狓０）不小（大）于函数狔＝犳（狓）在此区间上的所有函数值．
图５．３１３是函数狔＝犳（狓），狓∈y［犪，犫］的图象，你能找出它的极小值、极大值吗？

ax1x2 x3Ox4 x5

x6 b x

图５．３１３
观察图象，我们发现，犳（狓１），犳（狓３），犳（狓５）是函数狔＝犳（狓）的极小值，犳（狓２），
犳（狓４），犳（狓６）是函数狔＝犳（狓）的极大值．
９２第五章一元函数的导数及其应用

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进一步地，你能找出函数狔＝犳（狓）在区间［犪，犫］上的最小值、最大值吗？
从图５．３１３可以看出，函数狔＝犳（狓）在区间［犪，犫］上的最小值是犳（狓３），最大值是
犳（犪）．
在图５．３１４、图５．３１５中，观察［犪，犫］上的函数狔＝犳（狓）和狔＝犵（狓）的图象，它们
在［犪，犫］上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？

a
O
b

x4
x

ax1x2Ox3

x5b x

图５．３１４　图５．３１５
一般地，如果在区间［犪，犫］上函数狔＝犳（狓）的图象是一条连续不断的曲线，那么它
必有最大值和最小值．
结合图５．３１４、图５．３１５，以及函数极值中的例子，不难看出，只要把函数狔＝
犳（狓）的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值．

例６求函数犳（狓）＝１３狓３－４狓＋４在区间［０，３］上的最大值与最小值．

解：由例５可知，在区间［０，３］上，当狓＝２时，函数y

犳（狓）＝１狓３－４狓＋４有极小值，并且极小值为犳（２）＝－４．
３　３　f(x)=13x3-4x+4
又由于
犳（０）＝４，犳（３）＝１，

所以，函数犳（狓）＝１３狓３－４狓＋４在区间［０，３］上的最大值是４， O 12 3x
最小值是－４３．　图５．３１６
上述结论可以从函数犳（狓）＝１３狓３－４狓＋４在区间［０，３］上的图象（图５．３１６）得到

直观验证．
一般地，求函数狔＝犳（狓）在区间［犪，犫］上的最大值与最小值的步骤如下：
第五章一元函数的导数及其应用９３

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

（１）求函数狔＝犳（狓）在区间（犪，犫）内的极值；
（２）将函数狔＝犳（狓）的各极值与端点处的函数值犳（犪），犳（犫）比较，其中最大的一个
是最大值，最小的一个是最小值．

观察例４中的图５．３８，我们发现，当狓＞０时，
１－１≤ｌｎ狓．　①
狓
怎样证明这个结论呢？
我们将不等式①转化为
１－１＋ｌｎ狓≥０．
狓
设狊（狓）＝１－１＋ｌｎ狓，那么
狓
狊′（狓）＝－１２＋１＝狓－１２．
狓狓狓
令狊′（狓）＝０，解得狓＝１．
当狓变化时，狊′（狓），狊（狓）的变化情况如表５．３３所示．
表５３３
狓　（０，１） １ （１，＋∞）
狊′（狓） －　０　＋
狊（狓） 单调递减０ 单调递增
所以，当狓＝１时，狊（狓）取得最小值．所以
狊（狓）≥狊（１）＝０，
即
１－１＋ｌｎ狓≥０．
狓
所以，当狓＞０时，１－１≤ｌｎ狓．
狓



１．参考求函数极值的练习，求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：
（１）犳（狓）＝６狓２－狓－２，狓∈［０，２］；
（２）犳（狓）＝狓３－２７狓，狓∈［－４，４］；

（３）犳（狓）＝６＋１２狓－狓３，狓∈［－１３，３］；

（４）犳（狓）＝３狓－狓３，狓∈［２，３］．
２．证明不等式：狓－１≥ｌｎ狓，狓∈（０，＋∞）．
９４第五章一元函数的导数及其应用

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

下面我们通过实例说明如何利用导数解决与函数相关的问题．

例７给定函数犳（狓）＝（狓＋１）ｅ狓．
（１）判断函数犳（狓）的单调性，并求出犳（狓）的极值；
（２）画出函数犳（狓）的大致图象；
（３）求出方程犳（狓）＝犪（犪∈犚）的解的个数．
解：（１）函数的定义域为犚．
犳′（狓）＝（狓＋１）′ｅ狓＋（狓＋１）（ｅ狓）′
＝ｅ狓＋（狓＋１）ｅ狓
＝（狓＋２）ｅ狓．
令犳′（狓）＝０，解得狓＝－２．
犳′（狓），犳（狓）的变化情况如表５．３４所示．
表５３４
狓 （－∞，－２） －２（－２，＋∞）
犳′（狓） －　０　＋
犳（狓） 单调递减－１２ 单调递增
ｅ
所以，犳（狓）在区间（－∞，－２）上单调递减，在区间（－２，＋∞）上单调递增．
当狓＝－２时，犳（狓）有极小值犳（－２）＝－１２．
ｅ
（２）令犳（狓）＝０，解得狓＝－１．
当狓＜－１时，犳（狓）＜０；当狓＞－１时，犳（狓）＞０．
所以，犳（狓）的图象经过特殊点犃－２，－１２，犅（－１，０），犆（０，１）．

当狓→－∞时，与一次函数相比，指数函数（狔ｅ＝ｅ）－狓呈爆炸性增长，从而犳（狓）＝狓＋１－狓→０；

ｅ
当狓→＋∞时，犳（狓）→＋∞，犳′（狓）→＋∞．
根据以上信息，我们画出犳（狓）的大致图象如图y５．３１７所示．

图５．３１７
第五章一元函数的导数及其应用９５

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（３）方程犳（狓）＝犪（犪∈犚）的解的个数为函数狔＝犳（狓）的图象与直线狔＝犪的交点
个数．
由（１）及图５．３１７可得，当狓＝－２时，犳（狓）有最小值犳（－２）＝－１２．
ｅ
所以，关于方程犳（狓）＝犪（犪∈犚）的解的个数有如下结论：
当犪＜－１２时，解为０个；
ｅ
当犪＝－１２或犪≥０时，解为１个；
ｅ
当－１２＜犪＜０时，解为２个．
ｅ
由例７可见，函数犳（狓）的图象直观地反映了函数犳（狓）的性质．通常，可以按如下步
骤画出函数犳（狓）的大致图象：
（１）求出函数犳（狓）的定义域；
（２）求导数犳′（狓）及函数犳′（狓）的零点；
（３）用犳′（狓）的零点将犳（狓）的定义域划分为若干个区间，列表给出犳′（狓）在各区间
上的正负，并得出犳（狓）的单调性与极值；
（４）确定犳（狓）的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；
（５）画出犳（狓）的大致图象．

下面我们通过实例介绍导数在解决实际问题中的应用．

问题饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
（１）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？你想从数学
上知道它的道理吗？
（２）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
例８某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是０．８π狉２分，其中狉
（单位：ｃｍ）是瓶子的半径．已知每出售１ｍＬ的饮料，制造商可获利０．２分，且制造商
能制作的瓶子的最大半径为６ｃｍ．
（１）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
（２）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
解：由题意可知，每瓶饮料的利润是３
狔＝犳（狉）＝０．２×４π狉３－０．８π狉２＝０．８π狉狉２，０＜狉≤６．

所以

３ （３－）

犳′（狉）＝０．８π（狉２－２狉）．
９６第五章一元函数的导数及其应用

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

令犳′（狉）＝０，解得狉＝２．
当狉∈（０，２）时，犳′（狉）＜０；当狉∈（２，６）时，犳′（狉）＞０．
因此，当半径狉＞２时，犳′（狉）＞０，犳（狉）单调递增，即半径越大，利润越高；当半径
狉＜２时，犳′（狉）＜０，犳（狉）单调递减，即半径越大，利润越低．
（１）半径为６ｃｍ时，利润最大．
（２）半径为２ｃｍ时，利润最小，这时犳（２）＜０，表示瓶内饮料的利润还不够瓶子的
成本，此时利润是负值．

换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数y

犳（狉）的图象（图５．３１８）上观察，你有什么发现？　f(r)=0.8π(3r

从图象上容易看出，当狉＝３时，犳（３）＝０，即瓶子的
半径是３ｃｍ时，瓶内饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相O123　r
等；当狉＞３时，犳（狉）＞０，利润为正值．
当狉∈（０，２）时，犳（狉）单调递减，你能解释它的实际
意义吗？　图５．３１８
通过此问题的解决，我们很容易回答开始时的问题．
请同学们自己作出回答．



１．利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：
ｓｉｎ狓＜狓，狓∈（０，π）．
２．如图，用铁丝围成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为犪ｍ２．为使
所用材料最省，圆的直径应为多少？
（第２题）

习题５．３



１．判断下列函数的单调性，并求出单调区间：
（１）犳（狓）＝－２狓＋１； （２）犳（狓）＝狓＋ｃｏｓ狓，狓∈０，π；

（３）犳（狓）＝２狓－４；

（４）犳（狓）＝２狓３＋４狓．（２）

２．判断下列函数的单调性，并求出单调区间：
（１）犳（狓）＝狓２＋２狓－４； （２）犳（狓）＝２狓２－３狓＋３；
（３）犳（狓）＝３狓＋狓３；　（４）犳（狓）＝狓３＋狓２－狓．
第五章一元函数的导数及其应用９７

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

３．如图，已知汽车在笔直的公路上行驶．
（１）如果狔＝犳（狋）表示时刻狋时汽车与起点的距离，请标出汽车速度等于０的点；
（２）如果狔＝犳（狋）表示时刻狋时汽车的速度，那么（１）中标出点的意义是什么？y

x4
x1x2Ox3x5
O

x
t

（第３题）　（第４题）
４．导函数狔＝犳′（狓）的图象如图所示．在标记的点中，在哪一点处
（１）导函数狔＝犳′（狓）有极大值？
（２）导函数狔＝犳′（狓）有极小值？
（３）函数犳（狓）有极大值？
（４）函数犳（狓）有极小值？
５．求下列函数的极值：
（１）犳（狓）＝６狓２＋狓＋２； （２）犳（狓）＝狓３－１２狓；
（３）犳（狓）＝６－１２狓＋狓３； （４）犳（狓）＝４８狓－狓３．
６．参照第５题，求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：
（１）犳（狓）＝６狓２＋狓＋２，狓∈［－１，１］；
（２）犳（狓）＝狓３－１２狓，狓∈［－３，３］；

（３）犳（狓）＝６－１２狓＋３狓３，狓∈［－１３，１］；

（４）犳（狓）＝４８狓－狓，狓∈［－３，５］．



７．将一条长为犾的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形．要使两个正方形的面积和最小，两段铁
丝的长度分别是多少？
８．将一个边长为犪的正方形铁片的四角截去四个边长均为狓的小正方形，做成一个无盖方盒．
（１）试把方盒的容积犞表示为狓的函数；
（２）狓多大时，方盒的容积犞最大？
９．用测量工具测量某物体的长度，由于工具的精度以及测量技术的原因，测量狀次得到的数据
为：犪１，犪２，犪３，…，犪狀．记这狀个数据的平均值为狓珚，即
１狀

狓珚＝狀犻∑＝１犪犻．

证明：当狓＝狓珚时，函数

狀

犳（狓）＝狀１犻∑＝１（犪犻－狓）２

取得最小值．

９８第五章一元函数的导数及其应用

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

１０．已知某商品的生产成本犆与产量狇之间的关系为犆＝１００＋４狇，单价狆与产量狇之间的关系为

狆＝２５－１８狇．产量狇为何值时，利润最大？

１１．已知某商品进价为犪元／件，根据以往经验，当售价是犫犫（≥４３犪）元／件时，可卖出犮件．市

场调查表明，当售价下降１０％时，销量可增加４０％．现决定一次性降价，售价为多少时，可
获得最大利润？
１２．利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：
（１）ｅ狓＞１＋狓，狓≠０；（２）ｌｎ狓＜狓＜ｅ狓，狓＞０．



１３．利用信息技术工具，根据给定的犪，犫，犮，犱的值，
可以画出函数
犳（狓）＝犪狓３＋犫狓２＋犮狓＋犱（犪≠０）

y
ab==1.00-4.00
c=5.00

6

d=-1.00

4

的图象，当犪＝－４，犫＝１，犮＝５，犱＝－１时，犳（狓）f(x)=ax3+bx2+cx+d2
的图象如图所示．改变犪，犫，犮，犱的值，观察图
象的形状：　-5　O　5x
（１）你能归纳函数犳（狓）图象的大致形状吗？它的-2
图象有什么特点？你能从图象上大致估计它的-4
单调区间吗？
（２）运用导数研究它的单调性，并求出相应的单调（第１３题）
区间．

第五章一元函数的导数及其应用９９

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图形技术与函数性质
信息技术发展到今天，图形计算器、计算机软件的图形技术功能已经非常强
大．函数作图和分析功能是图形技术的一个重要方面，主要包括：
１．由函数犳（狓）的解析式直接画出其图象；
２．移动光标，显示函数犳（狓）图象上任一点的坐标；
３．由函数犳（狓）的解析式及其图象求出其导函数犳′（狓），并画出其图象；
４．显示并求出经过函数犳（狓）图象上某点切线的斜率和切线的方程；
５．求出并显示函数犳（狓）的零点和极值点；
６．对函数犳（狓）图象的局部进行放大和缩小；
７．求出函数犳（狓）在定义域内某个闭区间上的最大值与最小值．
图１、图２展示了上述部分功能．

图１　图２
图形计算器和计算机软件提供的函数作图和分析功能，对我们把握函数的性
质有重要的帮助：一方面，通过画出函数的图象，对图象进行观察和分析，并作
出猜想和发现，从而探讨函数的性质；另一方面，用导数研究函数的性质后，可
用图形技术进行直观验证，两者相辅相成．

１００第五章一元函数的导数及其应用

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微积分的创立与发展
１７世纪中叶，数学史上发生了一件具有划时代意义的重大事件，那就是微积
分的诞生．
微积分的创立有深刻的时代背景．从欧洲文艺复兴时期到１７世纪上半叶，社
会、经济、科学、贸易、航运等的发展，对数学提出了新的要求．紧接着函数概
念的引入，微积分应运而生，这是继欧氏几何后数学史上最伟大的创造．微积分
的创立不仅是数学思想史上的里程碑，也是科学思想史上的里程碑．
微积分是如何创立的？又是如何发展的？它在数学史和人类社会的发展中起
了什么作用？请你按以下要求，查阅与微积分有关的文献，自己选题，写一份研
究报告或一篇数学小论文．
一、主题
１．微积分创立与发展的过程．
２．微积分对人类文明的主要贡献．
二、实施建议
１．选题：根据个人兴趣，围绕主题，初步确定选题范围．
２．分组：将相近选题的５～６人分为一个小组，确定一名组长．
３．分配任务：根据个人的具体情况，经小组共同商议，由组长确定每人的具
体任务．
４．搜集资料：针对具体的研究报告或论文题目，通过网络、书店、图书馆等
多种途径搜集素材，包括文字、图片、数据以及音像资料，并记录相关资料．
５．素材汇总：用研究报告或论文的形式展现小组的实践成果．
６．在全班范围内进行交流、讨论和总结．
三、参考选题
１．微积分创立的背景与过程．
２．微积分的完善与发展．
３．微积分创立与发展的过程中，作出重要贡献的数学家以及他们的主要
贡献．
４．微积分在数学思想史和科学思想史上的价值．

第五章一元函数的导数及其应用１０１

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JK3LMNOP










   





 





  

  

QKRSDTU

在本章，我们通过丰富的实际背景，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率
的过程，得到导数的概念及其几何意义．在此基础上给出导数的运算法则，进
而运用导数研究函数的单调性、极值和最大（小）值等性质，并利用导数解决
简单的实际问题．
导数是关于瞬时变化率的数学表达，客观世界中大量的变化率问题都可以
用导数加以刻画，导数的几何意义直观地反映了函数的局部变化情况，学习时
应注意体会导数的内涵与思想，并体会极限的思想．
对很多运动变化问题的研究最后都会归结为对各种函数的研究，其中函数
的增减，以及增减的范围、增减的快慢等是最基本的问题．导数简明地回答了
这些问题：由犳′（狓）的正负可知函数犳（狓）是增还是减，由犳′（狓）绝对值的大小
可知函数变化得急剧还是平缓．不仅如此，导数也是研究函数极值问题从而是
解决优化问题的一种通法．导数定量地刻画了函数的局部变化规律，是研究函
数性质的基本工具．利用导数研究函数的性质，思路清晰，步骤明确，既快捷
又易于掌握．学习时应通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的
作用，体会导数的意义．
请你带着下面的问题，复习一下全章内容吧．
１．平均变化率与瞬时变化率之间有什么内在联系？有人说，“导数就是瞬时
变化率”，对此你有什么认识？
２．你能从物理和几何两方面解释导数的意义吗？
１０２第五章一元函数的导数及其应用

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

３．利用导数定义推导函数狔＝犳（狓）的导数时，其基本步骤是什么？
４．导数的四则运算法则是什么？如何求简单复合函数的导数？
５．利用导数研究函数性质的基本步骤是什么？
６．通过本章的学习，你对“导数是研究函数性质的基本工具”有什么体会？

复习参考题５



１．已知点犘和点犙是曲线狔＝狓２－２狓－３上的两点，且点犘的横坐标是１，点犙的横坐标是
４．求：
（１）割线犘犙的斜率； （２）点犘处的切线方程．
２．求下列函数的导数：
（１）狔＝２狓ｔａｎ狓；　（２）狔＝２狓ｌｎ狓；　（３）狔＝（狓－２）３（３狓＋１）２；

２

（４）狔＝（２狓狓＋１）３； （５）狔＝ｅ－２狓＋１ｃｏｓ（－狓２＋狓）；（６）狔＝ｓｉｎ２狓．

槡狓
３．已知函数狔＝犳（狓）的图象是下列四个图象之一，且其导函数狔＝犳′（狓）的图象如图所示，则该
函数的图象是（）．

yy=f
(x)

y

y

y

y

-1O 1x

-1O 1x-1O1x-1O 1x-1O 1x

（第３题）
４．求下列曲线在给定点处的切线方程：
１

（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
２狓－１１

（１）狔＝狓－狓，（１，０）；（２）狔＝ｅ狓２，（２，４）．

５．一个距地心距离为狉，质量为犿的人造卫星，与地球之间的万有引力犉由公式犉＝犌犕犿２给
狉
出，其中犕为地球质量，犌为引力常量．求犉对于狉的瞬时变化率．
６．一杯８０℃的热红茶置于２０℃的房间里，它的温度会逐渐下降，温度犜（单位：℃）与时间狋（单
位：ｍｉｎ）之间的关系由函数犜＝犳（狋）给出．
（１）判断犳′（狋）的正负，并说明理由．
（２）犳′（３）＝－４的实际意义是什么？如果犳（３）＝６５℃，你能画出函数犳（狋）在狋＝３时图象的
大致形状吗？
７．求函数犳（狓）＝槡３狓２的单调区间．
第五章一元函数的导数及其应用１０３

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８．已知函数犳（狓）＝狓２＋狆狓＋狇，试确定狆，狇的值，使得当狓＝１时， y
犳（狓）有最小值４．
９．已知函数犳（狓）＝狓（狓－犮）２在狓＝２处有极大值，求犮的值．　B P(1,1)
１０．如图，过点犘（１，１）作直线犃犅，分别与狓轴的正半轴、狔轴的正O　A　x
半轴交于点犃，犅．当直线犃犅在什么位置时，△犃犗犅的面积最
小？最小面积是多少？　（第１０题）



１１．如图，直线犾和圆犘，当犾从犾０开始在平面上按逆时针方向绕点犗匀速转动（转动角度不超
过９０°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积犛是时间狋的函数．这个函数的图象大致是（）．

P

S

S

S

S

O

l0

O

tO

tO

t O

t

（第１１题）　（Ａ）（Ｂ）（Ｃ） （Ｄ）
１２．当室内的有毒细菌开始增加时，就要使用杀菌剂．刚开始使用的时候，细菌数量还会继续增
加，随着时间的增加，它增加的幅度逐渐变小，到一定时间，细菌数量开始减少．已知使用
杀菌剂狋ｈ后的细菌数量为犫（狋）＝１０５＋１０４狋－１０３狋２．
（１）求细菌数量在狋＝５与狋＝１０时的瞬时变化率．
（２）细菌数量在哪段时间增加，在哪段时间减少？为什么？
１３．已知曲线狔＝狓＋ｌｎ狓在点（１，１）处的切线与曲线狔＝犪狓２＋（２犪＋３）狓＋１只有一个公共点，
求犪的值．
１４．用总长１４．８ｍ的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一边的长比另一边的
长多０．５ｍ，那么高为多少时容器的容积最大？最大容积是多少？
１５．用半径为犚的圆形铁皮剪出一个圆心角为α的扇形，制成一个圆锥形容器．扇形的圆心角α
为多大时，容器的容积最大？



１６．已知Ａ，Ｂ两地的距离是１３０ｋｍ．根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在５０～１００ｋｍ／ｈ．
狓２

假设油价是７元／Ｌ，以狓ｋｍ／ｈ的速度行驶时，汽车的耗油率为（３＋３６０）Ｌ／ｈ，司机每小时的工

资是３５元．那么最经济的车速是多少（精确到１ｋｍ／ｈ）？如果不考虑其他费用，这次行车的
总费用是多少狓（精确到１元）？

１７．作函数狔＝ｅ（２狓－１－１）的大致图象．

狓狓
１８．已知函数犳（狓）＝ｅ－ｌｎ（狓＋犿）．当犿≤２时，求证犳（狓）＞０．
１９．已知函数犳（狓）＝犪ｅ２狓＋（犪－２）ｅ狓－狓．
（１）讨论犳（狓）的单调性；　（２）若犳（狓）有两个零点，求犪的取值范围．

１０４第五章一元函数的导数及其应用

仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用

 

中文
数列
等差数列
公差
等差中项
等比数列
公比
等比中项
数学归纳法 ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｉｎｄｕｃｔｉｏｎ４６
瞬时速度
导数
切线
导函数
复合函数
极值

英文
ｓｅｑｕｅｎｃｅｏｆｎｕｍｂｅｒ３
ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃｐｒｏｇｒｅｓｓｉｏｎ１３
ｃｏｍｍｏｎｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ１３
ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃｍｅａｎ１３
ｇｅｏｍｅｔｒｉｃｐｒｏｇｒｅｓｓｉｏｎ２８
ｃｏｍｍｏｎｒａｔｉｏ２８
ｇｅｏｍｅｔｒｉｃｍｅａｎ２８
ｉｎｓｔａｎｔａｎｅｏｕｓｖｅｌｏｃｉｔｙ６０
ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ６５
ｔａｎｇｅｎｔｌｉｎｅ６７
ｄｅｒｉｖｅｄｆｕｎｃｔｉｏｎ６９
ｃｏｍｐｏｓｉｔｅｆｕｎｃｔｉｏｎ７９
ｅｘｔｒｅｍｕｍ９１

页码

部分中英文词汇索引１０５

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后记

本册教科书是人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心依据教
育部《普通高中数学课程标准（2017年版）》编写的，2019年经国家教材委员会专家委员
会审核通过．
本册教科书的编写，集中反映了我国十余年来普通高中课程改革的成果，吸取了2004
年版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》的编写经验，凝聚了参与课改实验
的教育专家、学科专家、教材编写专家、教研人员和一线教师，以及教材设计装帧专家的
集体智慧．本书插图绘制为王俊宏．
我们感谢2004年版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》的主编刘绍学，
副主编钱珮玲、章建跃，以及所有编写人员．我们感谢所有对教科书的编写、出版、试教
等提供过帮助与支持的同仁和社会各界朋友．
本册教科书出版之前，我们通过多种渠道与教科书选用作品（包括照片、画作）的作
者进行了联系，得到了他们的大力支持．对此，我们表示衷心的感谢！恳请未联系到的作
者与我们联系，以便及时支付稿酬．
本册教科书投入使用后，我们根据各方意见作了修订，真诚希望广大师生和家长继续
提出宝贵意见！

联系方式
电话：010-58758866
电子邮箱：jcfk@pep.com.cn

人民教育出版社课程教材研究所
中学数学课程教材研究开发中心

后记01

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