八年级下册 · 第十七章 · 交互课时
为什么直角三角形三边满足 a² + b² = c²？这一课时不做搬运：你会先猜、再拖、再看面积怎么重排，最后用它去解没见过的问题。
§ 17.1
直角三角形三边有一个著名关系：a² + b² = c²（c 是斜边）。先看一个具体的例子：直角边 3 和 4， 斜边恰好是 5，因为 9 + 16 = 25。
但真正的问题不是"记住这个式子"，而是：为什么是平方而不是立方？为什么换成任意长度都成立？ 下面先动手改变边长，看这个关系会不会失效。
保持 b = 4 不变，把 a 从 3 慢慢拉到 6，a² + b² 与 c² 还相等吗？
拖动下面组件里的 a 滑杆（3 → 4 → 5 → 6，或拖到非整数），盯住两栏读数：a² + b² 与 c²。它们是否始终一致？c 变成了多少？
§ 17.2
只看数字相等还不够，我们要知道为什么。中国古代的"赵爽弦图"给出了一个纯面积的证明： 用四个全等的直角三角形（直角边 a、b，斜边 c）拼成一个大正方形。
这个大正方形可以从两个角度算面积——
| 算法 | 表达式 |
|---|---|
| 按外框：边长是 c | 面积 = c² |
| 按内部：4 个三角形 + 中间小正方形 | 面积 = 4 × (½ab) + (b − a)² |
两式相等，化简即得结论。
取 a = 3、b = 4。四个三角形围出的中间小正方形，边长是多少？（这个数是推导的关键）
点下面的"分步演示"按钮，一步一步看：四个三角形如何摆放 → 中间小正方形怎么被围出来 → 两种算法怎么化简。
推导（这就是"公式为什么成立"）：
注意 2ab 恰好抵消——这正是"平方"出现的原因：面积天然是二次量。
§ 17.3
勾股定理反过来也成立：若 a² + b² = c²（c 为最长边），则这个三角形是直角三角形，c 所对的角是直角。
更进一步，设 m 是最长边，p、q 是另外两边，那么比较 p² + q² 与 m² 就能判断形状：
| 比较结果 | 三角形形状 |
|---|---|
| p² + q² = m² | 直角三角形 |
| p² + q² > m² | 锐角三角形 |
| p² + q² < m² | 钝角三角形 |
前提是这三条边能构成三角形：两小边之和必须大于最大边。
三边分别是 4、5、7（最大边 7），它是什么形状？先自己算一算再动手。
在下方的判定组件里把三边调成 4、5、7，看 p² + q² 与 m² 的比较结果和结论；再试 5、5、6 和 2、3、6。
为什么可以这样判：由余弦定理 m² = p² + q² − 2pq·cos M。当 M = 90° 时 cos M = 0，退化成勾股定理； M > 90° 时 cos M < 0，于是 m² > p² + q²（钝角）；M < 90° 时反过来。
§ 17.4
五道基础题。选错会立刻提示"这个选项为什么错"——先把错因想清楚，再看解析。
§ 17.5
下面三题的情境讲义里都没出现过。能迁移，才算真的会了。
§ 17.6