§ 5.1
任意角与弧度制
角不再只是"一个图形",而是一次旋转:一条射线绕着它的端点转动,逆时针方向转出的角为正,顺时针为负。转一圈不够就再转一圈——这样便得到任意大小的角。终边相同的角彼此相差 360° 的整数倍。
度量角,除了"度",还有更自然的单位:弧度。把长度等于半径的弧所对的圆心角规定为 1 弧度(rad)。于是圆心角 α(弧度)、所对弧长 l 与半径 r 满足:
整圆的弧长为 2πr,所以周角 = 2π rad,由此得到互化桥梁:180° = π rad。弧度制下,弧长公式退化为一次乘法,这正是它"自然"的地方。
§ 5.2
三角函数的概念
把角 α 放在单位圆(半径为 1 的圆)上:设 α 的终边与圆交于点 P(x, y)。坐标由角唯一确定,于是用坐标直接定义三个函数——
因为 P 在圆上,x² + y² = 1,立刻得到同角基本关系:
三个函数值的正负由终边所在象限决定,口诀"一全正、二正弦、三正切、四余弦"。
把 θ 从 0° 慢慢转到 90°，tan θ 会怎么变化？它在 90° 之前就"不存在"了吗？
拖动下面组件里的点 P（勾选吸附），依次停在 45° → 60° → 75° → 89° → 90°， 盯住 tan θ 的读数和黄线：数值在变多大？90° 时读数是什么？黄线在 89° 时为什么只画到一半？
为什么这样定义：在单位圆里，tan θ 是过点 (1, 0) 的切线上被终边截出的线段长度。 终边越接近竖直，与切线交点越远 → 线段越长；终边竖直时与切线平行，永远交不上 → 无定义。
§ 5.3
正弦函数的图象
让单位圆上的点 P 从角 0 出发逆时针转动,把它的纵坐标按角的大小在直角坐标系里"展开",就得到 y = sin x 在 [0, 2π] 上的图象;由终边相同角的周期性,图象每 2π 重复一次,向两侧延拓。这就是周期 T = 2π 的由来。
作图时不必描太多点——抓住一个周期里起决定作用的五个点即可:
y = sin x 的主要性质
| 性质 | 结论 |
|---|---|
| 定义域 | ℝ |
| 值域 | [−1, 1](最大值 1,最小值 −1) |
| 奇偶性 | 奇函数,图象关于原点对称 |
| 周期性 | T = 2π |
| 单调递增 | [−π/2 + 2kπ, π/2 + 2kπ],k ∈ ℤ |
| 单调递减 | [π/2 + 2kπ, 3π/2 + 2kπ],k ∈ ℤ |
§ 5.4
函数 y = A sin(ωx + φ)
给正弦函数装上三个旋钮,就能描述一切"匀速往复"的现象:
| 参数 | 名称 | 对图象的影响 |
|---|---|---|
| A | 振幅 | A > 0;值域变为 [−A, A],图象纵向拉伸 |
| ω > 0 | 角频率 | 周期 T = 2π/ω,图象横向压缩(ω 越大越密) |
| φ | 初相 | 图象左右平移,ωx + φ 称为相位 |
从 y = sin x 变换到 y = A sin(ωx + φ),常用路径是:先横向伸缩(横坐标变为原来的 1/ω),再平移(向左平移 φ/ω,φ > 0 时),最后纵向伸缩(纵坐标变为原来的 A 倍)。注意:先伸缩后平移时,平移量是 φ/ω 而不是 φ——这是最常见的失分点。
保持 A 和 φ 不变，只把 ω 从 1 调到 2，y = A sin(ωx + φ) 的图象会怎样变化？周期变长还是变短？
在下面的参数实验台上，把 ω 滑杆从 1 拉到 2、再到 3，数一数 0 ~ 2π 内出现了几个完整波形； 同时看虚线基准 y = sin x，对比峰的个数。
怎么记住：ωx + φ 要增加 2π 才算走完一个周期，于是 ω·T = 2π，即 T = 2π/ω。 迁移提醒：若先平移后伸缩，平移量是 |φ|；若先伸缩后平移，平移量是 |φ|/ω——这是最容易失分的地方。
§ 5.5
应用:潮汐与作业窗口
港口的水深随时间周期起伏(以下为教学样例模型):
振幅 2.5、周期 T = 2π ÷ π/6 = 12(小时)、竖直位移 5:水深在最低 2.5 米与最高 7.5 米之间往复,低潮约在 0 时与 12 时,高潮约在 6 时与 18 时。
货轮进港要求水深不小于 k 米——"哪些时段可以作业"就是解不等式 h(t) ≥ k:移项得 sin(πt/6 − π/2) ≥ (k − 5)/2.5,再利用图象与周期性读出解集。在下面的组件里拖动 k,红色阴影就是安全作业窗口。
§ 5.6
练习与自测
五道题覆盖本章主要小节。选错可以再选,解析在答对后展开——先把错因想清楚,再看解析。
§ 5.7
本章小结
概念
- 任意角:旋转生成,正负由方向定
- 弧度制:|α| = l/r,180° = π rad
- 单位圆定义:sin α = y,cos α = x
图象与性质
- 单位圆展开 → 正弦曲线
- 五点法定一个周期的形状
- 值域 [−1, 1],周期 2π,奇函数
变换与应用
- A 控高矮,ω 控疏密,φ 控左右
- 先伸缩后平移:平移量为 φ/ω
- 潮汐问题 = 解三角不等式